Álgebra de Clifford

El producto de Clifford de los vectores v y w es dada por

$${displaystyle vw+w=-2,d(v,w). }$$

Denote un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales de R⁴ como { e₁, e₂, e₃, e₄}, entonces el producto de Clifford produce las relaciones

$${displaystyle e...$$

$${displaystyle e_{1} {2}=e_{2}=e_{2}=-1,,,e_{4}=0}$$

El elemento general del álgebra de Clifford Cl(R⁴, d) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cl^[0]
(R⁴, d) con el elemento general

$${displaystyle ¿Qué?$$

Los elementos básicos se pueden identificar con los elementos básicos del cuaternión i, j, k y la unidad dual ε como

$${displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},,,varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}$$

Para ver esto, calcule

$${2}e_{2}e_{1}e_}e_{1}e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}e_{4}e_}e_{2}e_{2}e_}e_{2}e_}e_{3}e_{4}e_}e_}$$

$${2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{4}e_{2}e_{3}e_{3}e_{3}e_{1}e_{2}e_{4}e_{2}e_}e_{3}e_{3}e_{2}e_}e_{3}e_{3}e_}_=e_=e_=e_=e_____________________________________________________________________________}$$

Ejemplos: en pequeña dimensión

Sea K cualquier campo de característica no 2.

Dimensión 1

Para dim V = 1, si Q tiene diagonalización diag(a), es decir, hay un vector distinto de cero x tal que Q(x) = a, entonces Cl(V, Q) es álgebra-isomorfa a K-álgebra generada por un elemento x que satisface x² = a, el álgebra cuadrática K[X] / (X² − a).

En particular, si a = 0 (es decir, Q< /span> es la forma cuadrática cero) entonces Cl(V, Q) es álgebra-isomorfa a los números duales álgebra sobre K.

Si a es un cuadrado distinto de cero en K, entonces Cl(V, Q) ≃ K ⊕ K< /lapso>.

De lo contrario, Cl(V, Q) es isomorfo a la extensión del campo cuadrático K(√a) de K.

Dimensión 2

Para dim V = 2, si Q tiene diagonalización diag(a, b) con distinto de cero a< /i> y b (que siempre existe si Q< /span> no es degenerado), entonces Cl(V, Q) es isomorfo a K-álgebra generada por los elementos x y y satisfaciendo x² = a, y² = b y xy = −yx.

Por lo tanto, Cl(V, Q) es isomorfo al álgebra de cuaterniones (generalizada) (a, b)_K. Recuperamos los cuaterniones de Hamilton cuando a = b = −1, ya que H = (−1, −1)_R.

Como caso especial, si alguna x en V satisface Q(x) = 1, entonces Cl(V , Q) ≃ M₂(K).

Propiedades

Relación con el álgebra exterior

Dado un espacio vectorial V, se puede construir el álgebra exterior ⋀V, cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V. Resulta que si K no tiene la característica 2 entonces hay un isomorfismo natural entre < abarcan clase="texhtml">⋀V y Cl(V, Q)< /span> considerados como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en la característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y solo si Q = 0. Por lo tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cl(V, Q) como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantificación, cf. la Introducción) del álgebra exterior sobre V con una multiplicación que depende de Q (aún se puede definir el producto exterior independientemente de Q).

La forma más fácil de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal {e₁,..., e_n} para V y extiéndalo a una base para Cl(V, Q) como se describe arriba. El mapa Cl(V, Q) → ⋀V está determinado por

$${displaystyle E_{i_{1}e_{i_{2}cdots E_{i_{k}mapsto E_{i_{1}wedge e_{i_{2}wedge cdots wedge E_{i_{k}}$$

{}e₁,... e_n}

Si la característica de K es 0, también se puede establecer el isomorfismo por antisimetrización. Definir funciones f_k: V × ⋯ × V → Cl(< i>V, Q) por

$${displaystyle f_{k}(v_{1},ldotsv_{k}={frac} {1}{k}}sum _{sigma in mathrm {fnK}cdots v_{sigma)}$$

kS_kf_k⋀^k V → Cl(V, Q)⋀VCl(V, Q)

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración en Cl(V, Q). Recuerde que el álgebra tensorial T(V) tiene una filtración natural: F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ ⋯ , donde F^k contiene sumas de tensores con orden ≤ k. Proyectar esto al álgebra de Clifford da una filtración en Cl(V, Q). El álgebra graduada asociada

$${displaystyle operatorname [Gr] _{F}operatorname {Cl} (V,Q)=bigoplus ¿Por qué?$$

⋀VF^kF^{k+ 1}k

Calificación

A continuación, suponga que la característica no es 2.

Las álgebras de Clifford son álgebras de grado Z₂ (también conocidas como superálgebras). De hecho, el mapa lineal en V definido por v ↦ −v (reflexión a través de la origen) conserva la forma cuadrática Q y así por la propiedad universal de las álgebras de Clifford se extiende a un automorfismo de álgebra

$${displaystyle alpha:operatorname {Cl} (V,Q)to operatorname {Cl} (V,Q). }$$

Dado que α es una involución (es decir, cuadra a la identidad) se puede descomponer Cl(V, Q) en espacios propios positivos y negativos de α

$${displaystyle operatorname [Cl} (V,Q)=operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)oplus operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} ^{i}(V,Q)=left{xin operatorname {Cl} (V,Q)mid alpha (x)=(-1)^{i}xright}$$

Dado que α es un automorfismo, se sigue que:

$${displaystyle operatorname [Cl] ^{[i]}(V,Q)operatorname {Cl} ^{ [j]}(V,Q)=operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

Cl(V, Q)Z₂Cl^[0]()V, Q)Cl(V, Q)incluso subalgebraCl^[1]()V, Q)Parte extrañaCl(V, Q)Z₂αprincipal involucióngrado de evoluciónZ₂

Observación. En la característica no 2, el espacio vectorial subyacente de Cl(V, Q) hereda un N-graduación y una Z-graduación del isomorfismo canónico con el espacio vectorial subyacente del álgebra exterior ⋀V. Sin embargo, es importante tener en cuenta que se trata de una clasificación de espacio vectorial únicamente. Es decir, la multiplicación de Clifford no respeta la calificación N ni la calificación Z, solo la calificación Z₂. calificación: por ejemplo, si Q(v) ≠ 0, entonces v ∈ Cl¹(V, Q), pero v² ∈ Cl⁰(V, Q), no en Cl²(V, Q). Afortunadamente, las calificaciones están relacionadas de forma natural: Z₂ ≅ N/2N ≅ Z/2Z. Además, el álgebra de Clifford se filtra por Z:

$${displaystyle operatorname {Cl} ^{leqslant i}(V,Q)cdot operatorname {Cl} ^{leqslant j}(V,Q)subset operatorname {Cl} ^{leqslant i+j}(V,Q). }$$

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la calificación N.

La subálgebra par Cl^[0](V, Q) de un El álgebra de Clifford es en sí misma isomorfa a un álgebra de Clifford. Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma distinta de cero Q(a) y un subespacio U, entonces Cl^[0](V, Q) es isomorfo a Cl(U, −Q(a)Q)< /span>, donde −Q(a)Q es la forma Q restringido a U y multiplicado por −Q(a). En particular sobre los reales esto implica que:

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q}{[0]}(mathbf {R})cong {begin{cases}operatorname {Cl} _{p,q-1}(mathbf {R}) {Cl} _{q,p-1}(mathbf {R})$$

En el caso definido negativo, esto da una inclusión Cl_0,n−1(R) ⊂ Cl_0,n(R), que extiende la secuencia

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂

Del mismo modo, en el caso complejo, se puede demostrar que la subálgebra par de Cl_n(C) es isomorfo a Cl_n−1(C).

Antiautomorfismos

Además del automorfismo α, hay dos antiautomorfismos que juegan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recuerda que el álgebra tensorial T(V) viene con un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores:

$${displaystyle v_{1}otimes v_{2}otimes cdots otimes v_{k}mapsto v_{k}otimes cdots otimes v_{2}otimes v_{1}.$$

I_QCl(V, Q)transposeinversiónx^t()xy)^t = Sí.^t x^tZ₂αConjugación Clifford${displaystyle {bar {x}}$

$${displaystyle {bar {x}=alpha (x^{mathrm {})=alpha (x)^{mathrm {t}.}$$

Tenga en cuenta que todas estas operaciones son involuciones. Se puede demostrar que actúan como ±1 en elementos que son puros en la clasificación Z. De hecho, las tres operaciones dependen solo del grado módulo 4. Es decir, si x es puro con grado k entonces

$${displaystyle alpha (x)=pm xqquad x^{mathrm {t}=pm xqquad {bar {x}=pm x}$$

k mod. 4	0	1	2	3	...
${displaystyle alpha (x),}$	+	−	+	−	(1)−k
${displaystyle x^{mathrm},}$	+	+	−	−	(1)−k()k −1)/2
${displaystyle {bar {x}}$	+	−	−	+	(1)−k()k + 1)/2

Producto escalar de Clifford

Cuando la característica no es 2, la forma cuadrática Q en V se puede extender a una forma cuadrática en todo Cl(V, Q) (que también denotamos por Q). Una definición independiente de la base de una de esas extensiones es

$${displaystyle Q(x)=leftlangle x^{mathrm {t}xrightrangle ¿Qué?$$

a₀aZ

$${displaystyle Q(v_{1}v_{2}cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})cdots Q(v_{k})}$$

v_iVnoCl(V, Q)

La forma bilineal simétrica asociada en Cl(V, Q) está dada por

$${displaystyle langle x,yrangle =leftlangle x^{mathrm {t}yrightrangle _{0}$$

VCl(V, Q)V

El operador de la multiplicación Clifford izquierda (respectivamente derecha) por la transposición a^t de un elemento a es el adjunto de la multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por a con respecto a este producto interno. Es decir,

$${displaystyle langle ax,yrangle =leftlangle x,a^{mathrm {t}yrightrangle}$$

$${displaystyle langle xa,yrangle =leftlangle x,ya^{mathrm {t}rightrangle.}$$

Estructura de las álgebras de Clifford

En esta sección asumimos que la característica no es 2, el espacio vectorial V es de dimensión finita y que la forma bilineal simétrica asociada de Q no es degenerada.

Un álgebra simple central sobre K es un álgebra matricial sobre un álgebra de división (de dimensión finita) con centro K. Por ejemplo, las álgebras simples centrales sobre los reales son álgebras matriciales sobre los reales o los cuaterniones.

• Si V tiene incluso dimensión entonces Cl(V, Q) es un álgebra simple central sobre K.
• Si V tiene incluso dimensión entonces el subalgebra Cl^[0]()V, Q) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática K o una suma de dos álgebras simples isomorfos centrales sobre K.
• Si V tiene una dimensión extraña entonces Cl(V, Q) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática K o una suma de dos álgebras simples isomorfos centrales sobre K.
• Si V tiene una dimensión extraña entonces el subalgebra Cl^[0]()V, Q) es un álgebra simple central sobre K.

La estructura de las álgebras de Clifford se puede resolver explícitamente usando el siguiente resultado. Supongamos que U tiene una dimensión par y una forma bilineal no singular con discriminante d , y supongamos que V es otro espacio vectorial con forma cuadrática. El álgebra de Clifford de U + V es isomorfa al producto tensorial de las álgebras de Clifford de U y (−1)^dim(U)/2 dV, que es el espacio V con su forma cuadrática multiplicado por (− 1)^dim(U)/2d. Sobre los reales, esto implica en particular que

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p+2,q}(mathbf {R})=mathrm {M} _{2}(mathbf {R})otimes operatorname {Cl} _{q,p}(mathbf {R})}}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(mathbf {R})=mathrm {M} _{2}(mathbf {R})otimes operatorname {Cl} _{p,q}(mathbf {R})}}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q+2}(mathbf {R})=mathbf {H} otimes operatorname {Cl} _{q,p}(mathbf {R}).}$$

En particular, la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (su teoría de representación: la clase de equivalencia de la categoría de módulos sobre ella) depende solo de la firma (p − q) mod 8. Esta es una forma algebraica de la periodicidad de Bott.

Grupo Lipschitz

La clase de grupos de Lipschitz (también conocidos como grupos de Clifford o grupos de Clifford-Lipschitz) fue descubierta por Rudolf Lipschitz.

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y la forma cuadrática Q< /i> no es degenerado.

Una acción sobre los elementos de un álgebra de Clifford por su grupo de unidades se puede definir en términos de una conjugación torcida: conjugación torcida por x mapas y ↦ α(x) y x⁻¹, donde α es la involución principal definida anteriormente.

El grupo de Lipschitz Γ se define como el conjunto de elementos invertibles x que < i>estabilizar el conjunto de vectores bajo esta acción, lo que significa que para todos los v en V tenemos:

$${displaystyle alpha (x)vx^{-1}in V.}$$

Esta fórmula también define una acción del grupo de Lipschitz en el espacio vectorial V que conserva la forma cuadrática Q, y así da un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo ortogonal. El grupo de Lipschitz contiene todos los elementos r de V para los cuales Q(r) es invertible en K , y estos actúan sobre V mediante las correspondientes reflexiones que llevan v a v − (⟨r, v⟩ + ⟨v, r⟩)r/< i>Q(r). (En 2 característicos, estos se denominan transvecciones ortogonales en lugar de reflexiones).

Si V es un espacio vectorial real de dimensión finita con una forma cuadrática no degenerada, entonces el grupo de Lipschitz se asigna al grupo ortogonal de V con respecto a la forma (por el teorema de Cartan-Dieudonné) y el núcleo consta de los elementos distintos de cero del campo K. Esto conduce a secuencias exactas

$${displaystyle 1derecha K^{times }rightarrow Gamma rightarrow {mbox{O}_{V}(K)rightarrow 1,,}$$

$${displaystyle 1derecha K^{times }rightarrow #Gamma ^{0}rightarrow {mbox{SO}_{V}(K)rightarrow 1.,}$$

Sobre otros campos o con formas indefinidas, el mapa no es en general sobre, y la falla es capturada por la norma spinor.

Norma de Spinor

En característica arbitraria, la norma spinor Q se define en el grupo de Lipschitz por

$${displaystyle Q(x)=x^{mathrm {t}x.}$$

Los elementos distintos de cero de K tienen norma spinor en el grupo (K^×)² de cuadrados de elementos distintos de cero del campo K. Entonces, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos un mapa inducido del grupo ortogonal de V al grupo K ^×/(K^×)², también llamada norma del espinor. La norma spinor de la reflexión sobre r^⊥, para cualquier vector r, tiene imagen Q( r) en K^×/(K^×)², y esta propiedad lo define de forma única en el grupo ortogonal. Esto da secuencias exactas:

$${displaystyle {begin{aligned}1to {pm 1to} {mbox{Pin}_{V}(K) Pulidoto {mbox{O}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)^{2},1to {pm 1to}toto {mbox{Spin}_{V}(K) Pulidoto {mbox{SO}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)}{2}end{aligned}}}}}}}}}}}}$$

Observe que en la característica 2 el grupo {±1} tiene solo un elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de grupos algebraicos, la norma spinor es un homomorfismo de conexión sobre la cohomología. Escribiendo μ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 (sobre un campo de característica diferente a 2 es más o menos lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial), la sucesión exacta corta

$${displaystyle 1to mu ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicros} 1}$$

$${displaystyle 1to H^{0}(mu _{2};K)to H^{0}({mbox{Pin}}_{V};K)to H^{0}({mbox{O}_{V};K)to H^{1}(mu _{2};K). }$$

El grupo de cohomología de Galois 0 de un grupo algebraico con coeficientes en K es simplemente el grupo de puntos con valores de K: H⁰(G; K) = G(K), y H¹(μ₂; K) ≅ K^×/(K^×)², que recupera la secuencia anterior

$${displaystyle 1to {pm 1to}to {mbox{Pin}_{V}(K)to {mbox{O}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)}{2}}}$$

Grupos de giros y pines

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y su forma bilineal no es singular.

El grupo pin Pin_V(K) es el subgrupo del Lipschitz grupo Γ de elementos de norma spinor 1, y de manera similar el grupo de espín Spin _V(K) es el subgrupo de elementos del invariante de Dickson 0 en Pin_V(K). Cuando la característica no es 2, estos son los elementos del determinante 1. El grupo de giro generalmente tiene un índice 2 en el grupo de pines.

Recuerde de la sección anterior que hay un homomorfismo del grupo de Lipschitz en el grupo ortogonal. Definimos el grupo ortogonal especial como la imagen de Γ⁰. Si K no tiene la característica 2 este es solo el grupo de elementos del grupo ortogonal de determinante 1. Si K tiene la característica 2, entonces todos los elementos del grupo ortogonal tienen determinante 1, y el grupo ortogonal especial es el conjunto de elementos del invariante de Dickson 0.

Hay un homomorfismo del grupo pin al grupo ortogonal. La imagen consta de los elementos de la norma espinora 1 ∈ K^×/(K^{×< /sup>)2}. El kernel consta de los elementos +1 y −1, y tiene un orden 2 a menos que K tenga la característica 2. De manera similar, hay un homomorfismo del grupo Spin al grupo ortogonal especial de V.