Álgebra de Banach

En matemáticas, especialmente el análisis funcional, a Banach álgebra, nombrado por Stefan Banach, es un álgebra asociativa A{displaystyle A} sobre los números reales o complejos (o sobre un campo no armenio completo) que al mismo tiempo es también un espacio de Banach, es decir, un espacio normal que está completo en la métrica inducida por la norma. La norma es necesaria para satisfacer

.. xSí... ≤ ≤ .. x.. .. Sí... para todosx,Sí.▪ ▪ A.{fnMicrosoft Sans SerpientesfnMicrosoft Sans SerpientesfnMicrosoft Sans Serif}x, yin A.}

Esto asegura que la operación de multiplicación sea continua.

Un álgebra de Banach se llama unidad si tiene un elemento de identidad para la multiplicación cuya norma es 1,{displaystyle 1,} y commutative si su multiplicación es conmutativa. Cualquier Álgebra de Banach A{displaystyle A} (si tiene un elemento de identidad o no) se puede incrustar isométricamente en un álgebra de Banach unitaria Ae{displaystyle A_{e} para formar un ideal cerrado Ae{displaystyle A_{e}. A menudo uno asume a priori que el álgebra bajo consideración es unitario: para uno puede desarrollar gran parte de la teoría al considerar Ae{displaystyle A_{e} y luego aplicar el resultado en el álgebra original. Sin embargo, este no es el caso todo el tiempo. Por ejemplo, no se puede definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin identidad.

La teoría de las álgebras de Banach reales puede ser muy diferente de la teoría de las álgebras de Banach complejas. Por ejemplo, el espectro de un elemento de un álgebra de Banach compleja no trivial nunca puede estar vacío, mientras que en un álgebra de Banach real podría estar vacío para algunos elementos.

Álgebras de plátano también se puede definir sobre campos de p{displaystyle p}- números adictivos. Esto es parte de p{displaystyle p}- Análisis médico.

Ejemplos

El ejemplo prototípico de un álgebra de Banach es C0()X){displaystyle C_{0}(X)}, el espacio de funciones continuas (valoradas por complejo) en un espacio localmente compacto (Hausdorff) que desaparecen en el infinito. C0()X){displaystyle C_{0}(X)} es unitario si y sólo si X{displaystyle X} es compacto. La compleja conjugación siendo una involución, C0()X){displaystyle C_{0}(X)} es de hecho un álgebra C*. Más generalmente, cada álgebra C* es un álgebra de Banach por definición.

• El conjunto de números reales (o complejos) es un álgebra de Banach con norma dada por el valor absoluto.
• El conjunto de todo real o complejo n{displaystyle n}-por-n{displaystyle n} matrices se convierte en un álgebra de Banach unitario si lo equipamos con una norma de matriz submultiplicativa.
• Tome el espacio de Banach Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} (o Cn{displaystyle mathbb {C} {n}}) con la norma .. x.. =maxSilencioxiSilencio{displaystyle Toddxfnh00=max - ¿Qué? y definir componente de multiplicación: ()x1,...... ,xn)()Sí.1,...... ,Sí.n)=()x1Sí.1,...... ,xnSí.n).{displaystyle left(x_{1},ldotsx_{n}right)left(y_{1},ldotsy_{n}right)=left(x_{1}y_{1},ldotsx_{n}y_{n}right).}}}
• Las cuaterniones forman un álgebra real de Banach 4 dimensiones, con la norma que se da por el valor absoluto de las cuaterniones.
• El álgebra de todas las funciones ligadas de valor real o complejo definidas en algún conjunto (con la multiplicación de punto y la norma supremum) es un álgebra de Banach unitaria.
• El álgebra de todas las funciones continuas de valor real o complejo en algún espacio localmente compacto (de nuevo con operaciones puntuales y norma supremum) es un álgebra de Banach.
• El álgebra de todos los operadores lineales continuos en un espacio de Banach E{displaystyle E} (con la composición funcional como multiplicación y la norma del operador como norma) es un álgebra de Banach unitaria. El conjunto de todos los operadores compactos en E{displaystyle E} es un álgebra Banach e ideal cerrado. Es sin identidad si dim⁡ ⁡ E=JUEGO JUEGO .{displaystyle dim E=infty.}
• Si G{displaystyle G. es un grupo topológico Hausdorff localmente compacto y μ μ {displaystyle mu } es su Medida de Haar, luego el espacio de Banach L1()G){displaystyle L^{1}(G)} de todos μ μ {displaystyle mu }- Funciones integradas G{displaystyle G. se convierte en un álgebra Banach bajo la convolución xSí.()g)=∫ ∫ x()h)Sí.()h− − 1g)dμ μ ()h){displaystyle xy(g)=int x(h)yleft(h^{-1}gright)dmu (h)} para x,Sí.▪ ▪ L1()G).{displaystyle x,yin L^{1}(G). }
• Álgebra uniforme: Álgebra de Banach que es un subalgebra del álgebra complejo C()X){displaystyle C(X)} con la norma supremum y que contiene las constantes y separa los puntos de X{displaystyle X} (que debe ser un espacio compacto Hausdorff).
• Álgebra de la función de Banach natural: Un álgebra uniforme todos cuyos caracteres son evaluaciones en puntos de X.{displaystyle X.}
• C*-Álgebra: A Banach álgebra que es un *-subalgebra cerrada del álgebra de operadores ligados en algún espacio Hilbert.
• Álgebra de medición: A Banach álgebra que consiste de todas las medidas Radon en algún grupo localmente compacto, donde el producto de dos medidas es dado por la convolución de medidas.
• El álgebra de las cuaterniones H{displaystyle mathbb {H} es un álgebra de Banach real, pero no es un álgebra compleja (y por lo tanto no un álgebra de Banach complejo) por la simple razón de que el centro de las quaternions es los números reales, que no puede contener una copia de los números complejos.
• Un álgebra affinoide es un cierto tipo de álgebra de Banach sobre un campo noarquimedean. Álgebras affinoide son los bloques de construcción básicos en geometría analítica rígida.

Propiedades

Varias funciones elementales que se definen mediante series de potencias se pueden definir en cualquier álgebra unitaria de Banach; los ejemplos incluyen la función exponencial y las funciones trigonométricas, y más generalmente cualquier función completa. (En particular, el mapa exponencial se puede usar para definir grupos de índices abstractos). La fórmula para la serie geométrica sigue siendo válida en álgebras de Banach unitarias generales. El teorema del binomio también se cumple para dos elementos conmutativos de un álgebra de Banach.

El conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra unitaria de Banach es un conjunto abierto, y la operación de inversión en este conjunto es continua (y por lo tanto es un homeomorfismo), por lo que forma un grupo topológico bajo multiplicación.

Si un álgebra de Banach tiene unidad 1,{displaystyle mathbf {1} entonces 1{displaystyle mathbf {1} no puede ser un conmutador; es decir, xSí.− − Sí.xل ل 1{displaystyle xy-yxneq mathbf {1}para cualquier x,Sí.▪ ▪ A.{displaystyle x,yin A.} Esto es porque xSí.{displaystyle xy} y Sí.x{displaystyle yx} tienen el mismo espectro excepto posiblemente 0.{displaystyle 0.}

Las diversas álgebras de funciones dadas en los ejemplos anteriores tienen propiedades muy diferentes de los ejemplos estándar de álgebras como los reales. Por ejemplo:

• Cada álgebra de Banach real que es un álgebra de división es isomorfa a los reinos, los complejos, o las quaternions. Por lo tanto, el único complejo álgebra de Banach que es un álgebra de división es los complejos. (Esto se conoce como el teorema Gelfand-Mazur.)
• Cada álgebra de Banach real unitario sin divisores cero, y en la que cada ideal principal está cerrado, es isomorfo a los reinos, los complejos, o las cuaterniones.
• Cada álgebra de Banach Noetherian real comunicativa con ningún divisor de cero es isomorfa a los números reales o complejos.
• Cada álgebra de Banach Noetherian real (posiblemente teniendo cero divisores) es finito-dimensional.
• Los elementos permanentemente singulares en los álgebras de Banach son divisores topológicos de cero, es decir, considerando extensiones B{displaystyle B} de álgebras de Banach A{displaystyle A} algunos elementos que son singulares en el álgebra dado A{displaystyle A} tener un elemento inverso multiplicativo en una extensión de álgebra Banach B.{displaystyle B.} Divisores topológicos de cero en A{displaystyle A} son permanentemente singulares en cualquier extensión de Banach B{displaystyle B} de A.{displaystyle A.}

Teoría espectral

Álgebras de Banach unitarias sobre el campo complejo proporcionan un entorno general para desarrollar la teoría espectral. El espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro de un elemento x▪ ▪ A,{displaystyle xin A,} denotado por σ σ ()x){displaystyle sigma (x)}, consta de todos esos escalares complejos λ λ {displaystyle lambda } tales que x− − λ λ 1{displaystyle x-lambda mathbf {1} no es invertible A.{displaystyle A.} El espectro de cualquier elemento x{displaystyle x} es un subconjunto cerrado del disco cerrado en C{displaystyle mathbb {C} con radio .. x.. {displaystyle Toddxfnso} y centro 0,{displaystyle 0,} y por lo tanto es compacto. Además, el espectro σ σ ()x){displaystyle sigma (x)} de un elemento x{displaystyle x} no es vacío y satisface la fórmula del radio espectral:

Sup{}Silencioλ λ Silencio:λ λ ▪ ▪ σ σ ()x)}=limn→ → JUEGO JUEGO .. xn.. 1/n.{displaystyle sup{ Anteriorlambda ANTE:lambda in sigma (x)}=lim _{nto infty - ¿Qué?

Dado x▪ ▪ A,{displaystyle xin A,} el cálculo funcional holomorfo permite definir f()x)▪ ▪ A{displaystyle f(x)in A} para cualquier función f{displaystyle f} holomorfa en un barrio σ σ ()x).{displaystyle sigma (x).} Además, el teorema de mapeo espectral sostiene:

σ σ ()f()x))=f()σ σ ()x)).{displaystyle sigma (f(x))=f(sigma (x)). }

Cuando el álgebra de Banach A{displaystyle A} es el álgebra L()X){displaystyle L(X)} de operadores lineales en un complejo espacio de Banach X{displaystyle X} (por ejemplo, el álgebra de matrices cuadradas), la noción del espectro en A{displaystyle A} coincide con el habitual en la teoría del operador. Para f▪ ▪ C()X){displaystyle fin C(X)} (con un espacio Hausdorff compacto X{displaystyle X}, uno ve que:

σ σ ()f)={}f()t):t▪ ▪ X}.{displaystyle sigma (f)={f(t):tin X}

La norma de un elemento normal x{displaystyle x} de un álgebra C* coincide con su radio espectral. Esto generaliza un hecho análogo para los operadores normales.

Vamos A{displaystyle A} ser un álgebra de Banach unitaria compleja en la que cada elemento no cero x{displaystyle x} es invertible (algebra de división). Por todos a▪ ▪ A,{displaystyle ain A,} hay λ λ ▪ ▪ C{displaystyle lambda in mathbb {C} tales que a=λ λ 1{displaystyle a=lambda mathbf {1} no es invertible (porque el espectro de a{displaystyle a} no está vacío) por lo tanto a=λ λ 1:{displaystyle a=lambda mathbf {1} este álgebra A{displaystyle A} es naturalmente isomorfo a C{displaystyle mathbb {C} (el caso complejo del teorema Gelfand-Mazur).

Ideales y personajes

Vamos A{displaystyle A} ser un unidad commutative Banach álgebra sobre C.{displaystyle mathbb {C} Desde A{displaystyle A} es entonces un anillo conmutativo con unidad, cada elemento no invertible A{displaystyle A} pertenece a un ideal máximo de A.{displaystyle A.} Desde un ideal máximo m{displaystyle {m} dentro A{displaystyle A} está cerrado, A/m{displaystyle A/{mthfrak {m}} es un álgebra de Banach que es un campo, y sigue del teorema de Gelfand-Mazur que hay una bijección entre el conjunto de todos los ideales máximos de A{displaystyle A} y el conjunto Δ Δ ()A){displaystyle Delta (A)} de todos los homomorfismos no cero de A{displaystyle A} a C.{displaystyle mathbb {C} El set Δ Δ ()A){displaystyle Delta (A)} se llama el "espacio de estructura" o "espacio de caracteres" A,{displaystyle A,} y sus miembros "caracters".

Un personaje χ χ {displaystyle chi } es un funcional lineal en A{displaystyle A} que es al mismo tiempo multiplicativo, χ χ ()ab)=χ χ ()a)χ χ ()b),{displaystyle chi (ab)=chi (a)chi (b),} y satisfizos χ χ ()1)=1.{displaystyle chi (mathbf {1})=1.} Cada personaje es automáticamente continuo A{displaystyle A} a C,{displaystyle mathbb {C} ya que el núcleo de un personaje es un ideal máximo, que está cerrado. Además, la norma (es decir, norma del operador) de un carácter es una. Equipado con la topología de la convergencia puntual en A{displaystyle A} (es decir, la topología inducida por la topología débil* AAlternativa Alternativa {displaystyle A^{*}), el espacio de carácter, Δ Δ ()A),{displaystyle Delta (A),} es un espacio compacto Hausdorff.

Para cualquier x▪ ▪ A,{displaystyle xin A,}

σ σ ()x)=σ σ ()x^ ^ ){displaystyle sigma (x)=sigma ({hat {x}}}}

x^ ^ {displaystyle {hat {x}}

x{displaystyle x}

x^ ^ {displaystyle {hat {x}}

Δ Δ ()A){displaystyle Delta (A)}

C{displaystyle mathbb {C}

x^ ^ ()χ χ )=χ χ ()x).{displaystyle {hat {x}(chi)=chi (x).}

x^ ^ ,{displaystyle {hat {x}}}

C()Δ Δ ()A)){displaystyle C(Delta (A)}

Δ Δ ()A).{displaystyle Delta (A). }

σ σ ()x^ ^ )={}χ χ ()x):χ χ ▪ ▪ Δ Δ ()A)}.{displaystyle sigma ({hat {x})={chi (x):chi in Delta (A)}.}

Como álgebra, un álgebra de Banach comunicativa unitaria es semisimple (es decir, su radical Jacobson es cero) si y sólo si su representación Gelfand tiene núcleo trivial. Un ejemplo importante de tal álgebra es un álgebra C* conmutativa. De hecho, cuando A{displaystyle A} es un álgebra unitaria conmutativa C*, la representación Gelfand es entonces un isométrico *-isomorfismo entre A{displaystyle A} y C()Δ Δ ()A)).{displaystyle C(Delta (A)). }

Banach *-álgebras

A Banach *-algebra A{displaystyle A} es un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos, junto con un mapa Alternativa Alternativa :A→ → A{displaystyle {} {}} {}}} Ato A} que tiene las siguientes propiedades:

1. ()xAlternativa Alternativa )Alternativa Alternativa =x{displaystyle left(x^{*}right)}{*}=x} para todos x▪ ▪ A{displaystyle xin A} (así que el mapa es una involución).
2. ()x+Sí.)Alternativa Alternativa =xAlternativa Alternativa +Sí.Alternativa Alternativa {displaystyle (x+y)}=x^{*}+y^{*} para todos x,Sí.▪ ▪ A.{displaystyle x,yin A.}
3. ()λ λ x)Alternativa Alternativa =λ λ ̄ ̄ xAlternativa Alternativa {displaystyle (lambda x)}{}={bar {lambda}x^{*}} para todos λ λ ▪ ▪ C{displaystyle lambda in mathbb {C} y todos x▪ ▪ A;{displaystyle xin A;} Aquí, λ λ ̄ ̄ {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } denota el complejo conjugado de λ λ .{displaystyle lambda.}
4. ()xSí.)Alternativa Alternativa =Sí.Alternativa Alternativa xAlternativa Alternativa {displaystyle (xy)}=y^{*}x^{*} para todos x,Sí.▪ ▪ A.{displaystyle x,yin A.}

En otras palabras, un Banach *-Álgebra es un álgebra de Banach sobre C{displaystyle mathbb {C} que también es un álgebra.

En la mayoría de los ejemplos naturales, también se tiene que la involución es isométrica, es decir,

.. xAlternativa Alternativa .. =.. x.. para todosx▪ ▪ A.{displaystylefnx^{*}fnción=fnciónfnciónfnkad {text{ for all }xin A.}

Un Banach *-Álgebra satisfactoria .. xAlternativa Alternativa x.. =.. xAlternativa Alternativa .. .. x.. {displaystylefnx^{*}xfns=fnx^{*}fnciónfnxi} es un álgebra C*.