Álgebra conmutativa

Una postal de 1915 de uno de los pioneros del álgebra comunicativa, Emmy Noether, a E. Fischer, discutiendo su trabajo en álgebra conmutativa.

Álgebra conmutativa, primero conocido como teoría ideal, es la rama de álgebra que estudia anillos comunicativos, sus ideales, y módulos sobre tales anillos. Tanto la geometría algebraica como la teoría del número algebraico construyen en álgebra conmutativa. Ejemplos destacados de anillos conmutativos incluyen anillos polinomios; anillos de enteros algebraicos, incluyendo los enteros ordinarios Z{displaystyle mathbb {Z}; e enteros p-adic.

El álgebra conmutativa es la principal herramienta técnica en el estudio local de esquemas.

El estudio de anillos que no son necesariamente conmutativos se conoce como álgebra no conmutativa; incluye la teoría de anillos, la teoría de la representación y la teoría de las álgebras de Banach.

Resumen

El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que ocurren en la teoría algebraica de números y la geometría algebraica.

En la teoría algebraica de números, los anillos de los enteros algebraicos son anillos de Dedekind, que constituyen, por lo tanto, una clase importante de anillos conmutativos. Las consideraciones relacionadas con la aritmética modular han llevado a la noción de un anillo de valoración. La restricción de las extensiones de campos algebraicos a subanillos ha llevado a las nociones de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados, así como a la noción de ramificación de una extensión de anillos de valoración.

La noción de localización de un anillo (en particular la localización con respecto a un ideal primo, la localización que consiste en invertir un solo elemento y el cociente total del anillo) es una de las principales diferencias entre el álgebra conmutativa y la teoría de los no -anillos conmutativos. Conduce a una clase importante de anillos conmutativos, los anillos locales que tienen un solo ideal maximal. El conjunto de los ideales primos de un anillo conmutativo está naturalmente dotado de una topología, la topología de Zariski. Todas estas nociones son ampliamente utilizadas en geometría algebraica y son las herramientas técnicas básicas para la definición de la teoría de esquemas, una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck.

Muchas otras nociones del álgebra conmutativa son contrapartes de las nociones geométricas que se dan en la geometría algebraica. Este es el caso de la dimensión de Krull, la descomposición primaria, los anillos regulares, los anillos de Cohen-Macaulay, los anillos de Gorenstein y muchas otras nociones.

Historia

El tema, primero conocido como teoría ideal, comenzó con el trabajo de Richard Dedekind sobre los ideales, basado en el trabajo anterior de Ernst Kummer y Leopold Kronecker. Posteriormente, David Hilbert introdujo el término anillo para generalizar el término anterior anillo numérico. Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados a la computación basados en cosas como el análisis complejo y la teoría invariante clásica. A su vez, Hilbert influyó fuertemente en Emmy Noether, quien reformuló muchos resultados anteriores en términos de una condición de cadena ascendente, ahora conocida como la condición de Noether. Otro hito importante fue el trabajo del alumno de Hilbert, Emanuel Lasker, quien introdujo los ideales primarios y demostró la primera versión del teorema de Lasker-Noether.

El principal responsable del nacimiento del álgebra conmutativa como materia madura fue Wolfgang Krull, quien introdujo las nociones fundamentales de localización y terminación de un anillo, así como la de los anillos locales regulares. Estableció el concepto de la dimensión Krull de un anillo, primero para los anillos noetherianos antes de pasar a expandir su teoría para cubrir los anillos de valoración general y los anillos Krull. Hasta el día de hoy, el teorema ideal principal de Krull es ampliamente considerado como el teorema fundamental más importante del álgebra conmutativa. Estos resultados allanaron el camino para la introducción del álgebra conmutativa en la geometría algebraica, una idea que revolucionaría esta última materia.

Gran parte del desarrollo moderno del álgebra conmutativa enfatiza los módulos. Ambos ideales de un anillo R y R-álgebras son casos especiales de módulos R, por lo que la teoría de módulos abarca tanto la teoría ideal como la teoría de extensiones de anillo Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker, el enfoque moderno del álgebra conmutativa que utiliza la teoría de módulos generalmente se atribuye a Krull y Noether.

Principales herramientas y resultados

Anillos noetherianos

En matemáticas, más específicamente en el área del álgebra moderna conocida como teoría de anillos, un anillo noetheriano, llamado así por Emmy Noether, es un anillo en el que cada conjunto de ideales no vacío tiene un máximo elemento. De manera equivalente, un anillo es noetheriano si satisface la condición de la cadena ascendente sobre los ideales; es decir, dada cualquier cadena:

I1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ Ik− − 1⊆ ⊆ Ik⊆ ⊆ Ik+1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ {displaystyle I_{1}subseteq cdots I_{k-1}subseteq I_{k}subseteq I_{k+1}subseteq cdots }

existe un n tal que:

In=In+1=⋯ ⋯ {displaystyle I_{n}=I_{n+1}=cdots }

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano, basta con que todos los ideales primos del anillo se generen finitamente. (El resultado se debe a I. S. Cohen.)

La noción de un anillo noetheriano tiene una importancia fundamental tanto en la teoría de anillos conmutativos como en los no conmutativos, debido al papel que desempeña en la simplificación de la estructura ideal de un anillo. Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo de polinomios sobre un campo son ambos anillos de Noether y, en consecuencia, teoremas como el teorema de Lasker-Noether, el teorema de la intersección de Krull y el teorema de la base de Hilbert se cumplen para ellos. Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de la cadena descendente en ideales primos. Esta propiedad sugiere una teoría profunda de la dimensión de los anillos de Noether que comienza con la noción de la dimensión de Krull.

Teorema de la base de Hilbert

El teorema de la base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos:

1. Por inducción vemos que R[X0,...... ,Xn− − 1]{displaystyle R[X_{0},dotscX_{n-1} también será Noetherian.
2. Desde cualquier variedad affine Rn{displaystyle R^{n} (es decir, un conjunto de locus de una colección de polinomios) puede ser escrito como el locus de un ideal a⊂ ⊂ R[X0,...... ,Xn− − 1]{displaystyle {Mathfrak}subset R[X_{0},dotscX_{n-1} y más allá como el locus de sus generadores, sigue que cada variedad affine es el locus de finitamente muchos polinomios — es decir, la intersección de muchas hipersuperficies finitamente.
3. Si A{displaystyle A} es una generación finita R{displaystyle R.- Álgebra, entonces sabemos que A≃ ≃ R[X0,...... ,Xn− − 1]/a{displaystyle Asimeq R[X_{0},dotscX_{n-1}/{mathfrak {a}}, donde a{displaystyle {Mathfrak}} es un ideal. El teorema de base implica que a{displaystyle {Mathfrak}} debe ser generado finitamente, digamos a=()p0,...... ,pN− − 1){displaystyle {mathfrak}=(p_{0},dotscp_{N-1}}, es decir. A{displaystyle A} se presenta finitamente.

Descomposición primaria

Se dice que un Q ideal de un anillo es primario si Q es propio y siempre que xy ∈ Q, ya sea x ∈ Q o yⁿ ∈ Q para algún entero positivo n. En Z, los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma (p^e) donde p es primo y e es un entero positivo. Así, una descomposición primaria de (n) corresponde a representar (n) como la intersección de un número finito de ideales primarios.

El teorema de Lasker-Noether, dado aquí, puede verse como una cierta generalización del teorema fundamental de la aritmética:

Para cualquier descomposición primaria de I, el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad(Q₁),..., Rad(Q_t)} sigue siendo el mismo según el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el asesino del módulo R/I; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R/I (visto como un módulo sobre R) que son primos.

Localización

La localización es una forma formal de introducir los "denominadores" a un anillo dado oa un módulo. Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de uno existente para que esté formado por fracciones

ms{displaystyle {frac {m}{s}}}.

donde los denominadores s oscilan en un subconjunto determinado S de R. El ejemplo arquetípico es la construcción del anillo Q de números racionales a partir del anillo Z de números enteros.

Finalización

Una terminación es cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos. La terminación es similar a la localización, y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos. Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y se les aplica el lema de Hensel.

Topología de Zariski sobre ideales primos

La topología de Zariski define una topología en el espectro de un anillo (el conjunto de ideales primos). En esta formulación, los conjuntos cerrados de Zariski se toman como los conjuntos

V()I)={}P▪ ▪ Específico()A)▪ ▪ I⊆ ⊆ P}{displaystyle V(I)={Pin operatorname {Spec} ,(A)mid Isubseteq P}}

donde A es un anillo conmutativo fijo e I es un ideal. Esto se define en analogía con la topología clásica de Zariski, donde los conjuntos cerrados en espacios afines son aquellos definidos por ecuaciones polinómicas. Para ver la conexión con la imagen clásica, tenga en cuenta que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se sigue de la Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V(S) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas (a₁,..., a_n) tal que (x₁ - a₁,..., x_n - a_n) contiene S; además, estos son ideales máximos y por los "débiles" Nullstellensatz, un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es máximo si y solo si tiene esta forma. Por lo tanto, V(S) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales primos; en esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.

Ejemplos

El ejemplo fundamental en el álgebra conmutativa es el anillo de los enteros Z{displaystyle mathbb {Z}. La existencia de primos y el teorema de factorización único sentó las bases para conceptos como anillos noetherianos y la descomposición primaria.

Otros ejemplos importantes son:

• Anillos polinomios R[x1,...,xn]{displaystyle R[x_{1},...,x_{n}
• Los enteros p-adic
• Anillos de enteros algebraicos.

Conexiones con geometría algebraica

El álgebra conmutativa (en forma de anillos de polinomios y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas) siempre ha sido parte de la geometría algebraica. Sin embargo, a fines de la década de 1950, las variedades algebraicas se incluyeron en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck. Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos, que son espacios localmente anillados, que forman una categoría antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitarios conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k, y la categoría de k-álgebras reducidas finitamente generadas. El pegado es a lo largo de la topología de Zariski; uno puede adherirse dentro de la categoría de espacios localmente anillados, pero también, utilizando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de pregavillas de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza luego por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck. Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en mente ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la tosca topología de Zariski, a saber, la topología étale, y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día, algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluida la topología de Nisnevich. Las poleas se pueden generalizar además a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a las pilas de Artin y, aún más finas, a las pilas de Deligne-Mumford, ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.