Álgebra alternativa

En álgebra abstracta, un álgebra alternativa es un álgebra en la que la multiplicación no necesita ser asociativa, solo alternativa. Es decir, uno debe tener

• ${displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${displaystyle (yx)x=y(xx)}$

para todo x e y en el álgebra.

Cada álgebra asociativa es obviamente alternativa, pero también lo son algunas álgebras estrictamente no asociativas como los octoniones.

La asociada

Las álgebras alternativas se denominan así porque son las álgebras para las que se alterna el asociador. El asociador es un mapa trilineal dado por

${displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Por definición, un mapa multilineal es alterno si desaparece siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Las identidades alternativas izquierda y derecha para un álgebra son equivalentes a

${displaystyle [x,x,y]=0}$

${displaystyle [y,x,x]=0.}$

Estas dos identidades juntas implican que

${displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y,y]=0}$

para todos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$. Esto es equivalente al identidad flexible

${displaystyle (xy)x=x(yx). }$

Por lo tanto, el asociador de un álgebra alternativa es alternante. Por el contrario, cualquier álgebra cuyo asociador sea alterno es claramente alternativa. Por simetría, cualquier álgebra que satisfaga dos cualesquiera de:

• identidad alternativa izquierda: ${displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• derecho de identidad alternativa: ${displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• identidad flexible: ${displaystyle (xy)x=x(yx). }$

es alternativa y por lo tanto satisface las tres identidades.

Un asociador alterno siempre es totalmente asimétrico. Es decir,

${displaystyle [x_{sigma (1)},x_{sigma (2)},x_{sigma (3)}=operatorname {sgn}(sigma)[x_{1},x_{2},x_{3}}}$

para cualquier permutación ${displaystyle sigma }$. El converso sostiene mientras la característica del campo base no sea 2.

Ejemplos

• Cada álgebra asociativa es alternativa.
• Las octoniones forman un álgebra alternativa no asociativa, un álgebra de división de la dimensión 8 sobre los números reales.
• Más generalmente, cualquier álgebra de octonión es alternativa.

No ejemplos

• Las sedeniones y todos los álgebras superiores de Cayley-Dickson pierden la alternancia.

Propiedades

Teorema de Artin estados que en un álgebra alternativa el subalgebra generado por cualquier dos elementos es asociativo. Por el contrario, cualquier álgebra para la cual esto es verdad es claramente alternativa. Sigue que las expresiones que implican sólo dos variables pueden ser escritas sin paréntesis en un álgebra alternativa. Una generalización del teorema de Artin afirma que cada vez que tres elementos ${displaystyle x,y,z}$ en un socio de álgebra alternativa (es decir, ${displaystyle [x,y,z]=0}$), el subalgebra generado por esos elementos es asociativo.

Un corolario del teorema de Artin es que las álgebras alternativas son asociativas de potencia, es decir, la subálgebra generada por un solo elemento es asociativa. No es necesario que se cumpla lo contrario: los sedeniones son asociativos de poder pero no alternativos.

Las identidades de Moufang

• ${displaystyle a(x(ay)=(axa)y}$
• ${displaystyle (xa)y)a=x(aya)}$
• ${displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

mantener cualquier álgebra alternativa.

En un álgebra alternativa unitaria, los inversos multiplicadores son únicos cuando existen. Además, para cualquier elemento invertible ${displaystyle x}$ y todos ${displaystyle y}$ uno tiene

${displaystyle y=x^{-1}(xy). }$

Esto equivale a decir el asociado ${displaystyle [x^{-1},x,y]$ desaparece para todos esos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$. Si ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ son invertibles entonces ${displaystyle xy}$ es también invertible con inverso ${displaystyle (xy)}{-1}=y^{-1}x^{-1}$. Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos invertibles se cierra bajo la multiplicación y forma un bucle Moufang. Esto bucle de unidades en un anillo alternativo o álgebra es análogo al grupo de unidades en un anillo asociativo o álgebra.

El teorema de Kleinfeld establece que cualquier anillo alternativo simple no asociativo es un álgebra octonion generalizada sobre su centro. La teoría de la estructura de los anillos alternativos se presenta en.

Aplicaciones

El plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang.

La estrecha relación de álgebras alternativas y álgebras de composición fue dada por Guy Roos en 2008: Muestra (página 162) la relación para un álgebra A con elemento de unidad e y un antiautomorfismo involutivo ${displaystyle amapsto a^{*}$ tales que a + a* aa* are on the line spanned by e para todos a dentro A. Use la notación n()a) aa*. Entonces si n es un mapeo no-singular en el campo de A, y A es alternativa, entonces (A,n) es un álgebra de composición.