Álgebra abstracta

En álgebra, que es una división amplia de las matemáticas, el álgebra abstracta (ocasionalmente llamada álgebra moderna o álgebra superior) es el estudio de las estructuras algebraicas. Las estructuras algebraicas incluyen grupos, anillos, campos, módulos, espacios vectoriales, redes y álgebras. El término álgebra abstracta se acuñó a principios del siglo XX para distinguir esta área de estudio de las partes más antiguas del álgebra y, más específicamente, del álgebra elemental, el uso de variables para representar números en el cálculo y el razonamiento.

Las estructuras algebraicas, con sus homomorfismos asociados, forman categorías matemáticas. La teoría de categorías es un formalismo que permite una forma unificada de expresar propiedades y construcciones que son similares para varias estructuras.

El álgebra universal es una materia relacionada que estudia los tipos de estructuras algebraicas como objetos individuales. Por ejemplo, la estructura de grupos es un solo objeto en álgebra universal, que se llama la variedad de grupos.

Historia

Como en otras partes de las matemáticas, los problemas y ejemplos concretos han jugado un papel importante en el desarrollo del álgebra abstracta. A finales del siglo XIX, muchos, quizás la mayoría, de estos problemas estaban relacionados de alguna manera con la teoría de las ecuaciones algebraicas. Los temas principales incluyen:

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, lo que condujo al álgebra lineal.
• Intentos de encontrar fórmulas para soluciones de ecuaciones polinómicas generales de mayor grado que resultaron en el descubrimiento de grupos como manifestaciones abstractas de simetría.
• Investigaciones aritméticas de formas cuadráticas y de grado superior y ecuaciones diofánticas, que produjeron directamente las nociones de anillo e ideal.

Numerosos libros de texto de álgebra abstracta comienzan con definiciones axiomáticas de varias estructuras algebraicas y luego proceden a establecer sus propiedades. Esto crea la falsa impresión de que en álgebra los axiomas habían venido primero y luego sirvieron como motivación y como base para estudios posteriores. El verdadero orden del desarrollo histórico fue casi exactamente el opuesto. Por ejemplo, los números hipercomplejos del siglo XIX tenían motivaciones cinemáticas y físicas, pero desafiaban la comprensión. La mayoría de las teorías que ahora se reconocen como partes del álgebra comenzaron como colecciones de hechos dispares de varias ramas de las matemáticas, adquirieron un tema común que sirvió como núcleo alrededor del cual se agruparon varios resultados y finalmente se unificaron sobre la base de un conjunto común de teorías. conceptos.

Teoría de grupos temprana

Hubo varios hilos en el desarrollo temprano de la teoría de grupos, en lenguaje moderno que se corresponden vagamente con la teoría de números, la teoría de ecuaciones y la geometría.

Leonhard Euler consideró las operaciones algebraicas con números módulo un número entero —aritmética modular— en su generalización del pequeño teorema de Fermat. Estas investigaciones fueron llevadas mucho más lejos por Carl Friedrich Gauss, quien consideró la estructura de los grupos multiplicativos de residuos mod n y estableció muchas propiedades de los grupos abelianos cíclicos y más generales que surgen de esta manera. En sus investigaciones sobre la composición de formas cuadráticas binarias, Gauss enunció explícitamente la ley asociativa para la composición de formas, pero al igual que Euler antes que él, parece haber estado más interesado en los resultados concretos que en la teoría general. En 1870, Leopold Kronecker dio una definición de grupo abeliano en el contexto de grupos de clases ideales de un campo numérico, generalizando el trabajo de Gauss; pero parece que no vinculó su definición con trabajos previos sobre grupos, particularmente grupos de permutación. En 1882, considerando la misma pregunta, Heinrich M. Weber se dio cuenta de la conexión y dio una definición similar que involucraba la propiedad de cancelación pero omitía la existencia del elemento inverso, que era suficiente en su contexto (grupos finitos).

Joseph-Louis Lagrange estudió las permutaciones en su artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones) dedicado a las soluciones de ecuaciones algebraicas, en el que introdujo los resolventes de Lagrange. El objetivo de Lagrange era comprender por qué las ecuaciones de tercer y cuarto grado admiten fórmulas para soluciones, e identificó como objetos clave las permutaciones de las raíces. Un importante paso novedoso dado por Lagrange en este artículo fue la visión abstracta de las raíces, es decir, como símbolos y no como números. Sin embargo, no consideró la composición de las permutaciones. Por casualidad, la primera edición de Meditationes Algebraicae de Edward Waring (Meditaciones sobre álgebra) apareció en el mismo año, con una versión ampliada publicada en 1782. Waring demostró el teorema fundamental de los polinomios simétricos, y consideró especialmente la relación entre las raíces de una ecuación cuártica y su cúbica resolvente. Mémoire sur la résolution des équations (Memoria sobre la resolución de ecuaciones) de Alexandre Vandermonde (1771) desarrolló la teoría de las funciones simétricas desde un ángulo ligeramente diferente, pero como Lagrange, con el objetivo de comprender la resolución de ecuaciones algebraicas.

Kronecker afirmó en 1888 que el estudio del álgebra moderna comenzó con este primer artículo de Vandermonde. Cauchy afirma muy claramente que Vandermonde tenía prioridad sobre Lagrange en esta notable idea, que eventualmente condujo al estudio de la teoría de grupos.

Paolo Ruffini fue el primero en desarrollar la teoría de los grupos de permutación y, al igual que sus predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas. Su objetivo era establecer la imposibilidad de una solución algebraica a una ecuación algebraica general de grado mayor que cuatro. En el camino hacia este objetivo, introdujo la noción de orden de un elemento de un grupo, la conjugación, la descomposición cíclica de los elementos de los grupos de permutación y las nociones de primitivo e imprimitivo y demostró algunos teoremas importantes que relacionan estos conceptos, como

si G es un subgrupo de S ₅ cuyo orden es divisible por 5 entonces G contiene un elemento de orden 5.

Sin embargo, se las arregló sin formalizar el concepto de grupo, ni siquiera de grupo de permutación. El siguiente paso lo dio Évariste Galois en 1832, aunque su obra permaneció inédita hasta 1846, cuando consideró por primera vez lo que ahora se llama la propiedad de clausura de un grupo de permutaciones, que expresó como

si en tal grupo uno tiene las sustituciones S y T entonces uno tiene la sustitución ST.

La teoría de los grupos de permutación recibió un mayor desarrollo de la mano de Augustin Cauchy y Camille Jordan, tanto a través de la introducción de nuevos conceptos como, principalmente, de una gran riqueza de resultados sobre clases especiales de grupos de permutación e incluso algunos teoremas generales. Entre otras cosas, Jordan definió una noción de isomorfismo, aún en el contexto de los grupos de permutación y, dicho sea de paso, fue él quien dio un amplio uso al término grupo.

La noción abstracta de un grupo apareció por primera vez en los artículos de Arthur Cayley en 1854. Cayley se dio cuenta de que un grupo no necesita ser un grupo de permutación (ni siquiera finito), sino que puede consistir en matrices, cuyas propiedades algebraicas, como la multiplicación y inversos, investigó sistemáticamente en los años siguientes. Mucho más tarde, Cayley revisaría la cuestión de si los grupos abstractos eran más generales que los grupos de permutación y establecería que, de hecho, cualquier grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

álgebra moderna

A finales del siglo XIX y principios del XX se produjo un cambio en la metodología de las matemáticas. El álgebra abstracta surgió a principios del siglo XX, bajo el nombre de álgebra moderna. Su estudio fue parte del impulso por un mayor rigor intelectual en matemáticas. Inicialmente, los supuestos del álgebra clásica, de los que dependen todas las matemáticas (y la mayor parte de las ciencias naturales), tomaron la forma de sistemas axiomáticos. Ya no satisfechos con establecer las propiedades de los objetos concretos, los matemáticos comenzaron a centrar su atención en la teoría general. Las definiciones formales de ciertas estructuras algebraicas comenzaron a surgir en el siglo XIX. Por ejemplo, los resultados sobre varios grupos de permutaciones llegaron a verse como instancias de teoremas generales que se refieren a una noción general de ungrupo abstracto. Las cuestiones de estructura y clasificación de varios objetos matemáticos pasaron a primer plano.

Estos procesos estaban ocurriendo a lo largo de todas las matemáticas, pero se hicieron especialmente pronunciados en el álgebra. Se propusieron definiciones formales a través de operaciones primitivas y axiomas para muchas estructuras algebraicas básicas, como grupos, anillos y campos. Por lo tanto, cosas como la teoría de grupos y la teoría de anillos tomaron su lugar en las matemáticas puras. Las investigaciones algebraicas de campos generales de Ernst Steinitz y de anillos conmutativos y luego generales de David Hilbert, Emil Artin y Emmy Noether, que se basan en el trabajo de Ernst Kummer, Leopold Kronecker y Richard Dedekind, quienes consideraron ideales en anillos conmutativos, y de Georg Frobenius e Issai Schur, sobre la teoría de la representación de grupos, llegó a definir el álgebra abstracta.Moderne Algebra, la monografía de dos volúmenes publicada en 1930-1931 que cambió para siempre para el mundo matemático el significado de la palabra álgebra de la teoría de ecuaciones a la teoría de estructuras algebraicas.

Conceptos básicos

Al abstraer varias cantidades de detalles, los matemáticos han definido varias estructuras algebraicas que se utilizan en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, casi todos los sistemas estudiados son conjuntos, a los que se aplican los teoremas de la teoría de conjuntos. Aquellos conjuntos que tienen definida una determinada operación binaria forman magmas, a los que se aplican tanto los conceptos de magmas como los de conjuntos. Podemos agregar restricciones adicionales a la estructura algebraica, como la asociatividad (para formar semigrupos); identidad e inversas (para formar grupos); y otras estructuras más complejas. Con una estructura adicional, se podrían probar más teoremas, pero se reduce la generalidad. La "jerarquía" de objetos algebraicos (en términos de generalidad) crea una jerarquía de las teorías correspondientes: por ejemplo, los teoremas de la teoría de grupos se pueden utilizar al estudiar anillos (objetos algebraicos que tienen dos operaciones binarias con ciertos axiomas) ya que un anillo es un grupo sobre una de sus operaciones. En general, existe un equilibrio entre la cantidad de generalidad y la riqueza de la teoría: las estructuras más generales suelen tener menos teoremas no triviales y menos aplicaciones.

Ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son:

• Magma
• cuasigrupo
• monoide
• semigrupo
• Grupo

Los ejemplos que involucran varias operaciones incluyen:

• Anillo
• Campo
• Módulo
• espacio vectorial
• Álgebra sobre un campo
• Álgebra asociativa
• álgebra de mentira
• Enrejado
• álgebra de Boole

Aplicaciones

Debido a su generalidad, el álgebra abstracta se usa en muchos campos de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, la topología algebraica usa objetos algebraicos para estudiar topologías. La conjetura de Poincaré, probada en 2003, afirma que el grupo fundamental de una variedad, que codifica información sobre la conexión, puede usarse para determinar si una variedad es una esfera o no. La teoría algebraica de números estudia varios anillos numéricos que generalizan el conjunto de números enteros. Utilizando herramientas de la teoría algebraica de números, Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat.

En física, los grupos se utilizan para representar operaciones de simetría y el uso de la teoría de grupos podría simplificar las ecuaciones diferenciales. En la teoría de calibre, el requisito de simetría local se puede utilizar para deducir las ecuaciones que describen un sistema. Los grupos que describen esas simetrías son grupos de Lie, y el estudio de los grupos de Lie y las álgebras de Lie revela mucho sobre el sistema físico; por ejemplo, el número de portadores de fuerza en una teoría es igual a la dimensión del álgebra de Lie, y estos bosones interactúan con la fuerza que median si el álgebra de Lie no es abeliana.