Alfombra sierpiński

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fractal plano construido a partir de cuadrados
6 pasos de una alfombra Sierpinski.

La alfombra de Sierpiński es un fractal plano descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916. La alfombra es una generalización del conjunto de Cantor en dos dimensiones; otro es el polvo de Cantor.

La técnica de subdividir una forma en copias más pequeñas de sí misma, eliminar una o más copias y continuar recursivamente se puede extender a otras formas. Por ejemplo, subdividir un triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros, eliminar el triángulo central y recursar conduce al triángulo de Sierpiński. En tres dimensiones, una construcción similar basada en cubos se conoce como la esponja de Menger.

Construcción

La construcción de la alfombra Sierpiński comienza con un cuadrado. La plaza se corta en 9 subscuares congruentes en una cuadrícula de 3 por 3, y el subsquare central se elimina. El mismo procedimiento se aplica recursivamente a los 8 subsquares restantes, ad infinitum. Se puede realizar como el conjunto de puntos en el cuadrado de unidad cuyas coordenadas escritas en la base tres no tienen un dígito '1' en la misma posición, utilizando la representación número infinitesimal de la 0.1111⋯ ⋯ =0.2{displaystyle 0.1111dots =0.2}.

El proceso de eliminar cuadrados recursivamente es un ejemplo de una regla de subdivisión finita.

Sierpinski carpet 1.svg Sierpinski carpet 2.svg Sierpinski carpet 3.svg Sierpinski carpet 4.svg Sierpinski carpet 5.svg Sierpinski carpet 6.svg

Propiedades

Variante de la curva Peano con la línea media borrada crea una alfombra Sierpiński

El área de la alfombra es cero (en la medida estándar de Lebesgue).

Prueba: Denote as ai el área de la iteración i. Entonces... ai + 1 = 8/9ai. Así que... ai =8/9)i, que tiende a 0 como i va al infinito.

El interior de la alfombra está vacío.

Prueba: Supongamos por contradicción que hay un punto P en el interior de la alfombra. Entonces hay un cuadrado centrado en P que está completamente contenida en la alfombra. Esta plaza contiene un cuadrado más pequeño cuyas coordenadas son múltiples 1/3k para algunos k. Pero, si esta plaza no ha sido previamente removida, debe haber sido perforada en la iteración k + 1, por lo que no puede ser contenido en la alfombra – una contradicción.

La dimensión de Hausdorff de la alfombra es log 8/log 3 ≈ 1,8928.

Sierpiński demostró que su alfombra es una curva plana universal. Es decir: la alfombra de Sierpinski es un subconjunto compacto del plano con Lebesgue que cubre la dimensión 1, y cada subconjunto del plano con estas propiedades es homeomorfo a algún subconjunto de la alfombra de Sierpinski.

Esta "universalidad" de la alfombra de Sierpiński no es una verdadera propiedad universal en el sentido de la teoría de categorías: no caracteriza de manera única este espacio hasta el homeomorfismo. Por ejemplo, la unión disjunta de una alfombra de Sierpiński y un círculo es también una curva plana universal. Sin embargo, en 1958, Gordon Whyburn caracterizó de manera única la alfombra de Sierpiński de la siguiente manera: cualquier curva que esté conectada localmente y no tenga 'puntos de corte locales' es homeomorfo a la alfombra de Sierpinski. Aquí, un punto de corte local es un punto p para el cual algún vecindario conectado U de p tiene la propiedad de que U − {p} no está conectado. Entonces, por ejemplo, cualquier punto del círculo es un punto de corte local.

En el mismo artículo, Whyburn dio otra caracterización de la alfombra de Sierpiński. Recuerde que un continuo es un espacio métrico compacto conectado no vacío. Supongamos que X es un continuo incrustado en el plano. Supongamos que su complemento en el plano tiene muchas componentes conectadas contablemente C1, C2, C3,... y supongamos:

  • el diámetro Ci va a cero como i;
  • la frontera Ci y la frontera Cj están descompuestos si i ل j;
  • la frontera Ci es una curva cerrada simple para cada i;
  • la unión de los límites de los conjuntos Ci es denso en X.

Entonces X es homeomorfo a la alfombra de Sierpiński.

Movimiento browniano en la alfombra de Sierpiński

El tema del movimiento browniano en la alfombra de Sierpiński ha suscitado interés en los últimos años. Martin Barlow y Richard Bass han demostrado que una caminata aleatoria sobre la alfombra de Sierpiński se difunde a un ritmo más lento que una caminata aleatoria sin restricciones en el plano. Este último alcanza una distancia media proporcional a n después de n pasos, pero la caminata aleatoria en el discreto Sierpiński la alfombra alcanza solo una distancia media proporcional a β n para algunos β > 2. También demostraron que esta caminata aleatoria satisface desigualdades de gran desviación más fuertes (las llamadas "desigualdades sub-gaussianas") y que satisface la desigualdad elíptica de Harnack sin satisfacer la parabólica. La existencia de tal ejemplo fue un problema abierto durante muchos años.

Tamiz Wallis

Tercera iteración del sieve de Wallis

Una variación de la alfombra de Sierpiński, llamada tamiz de Wallis, comienza de la misma manera, subdividiendo el cuadrado de la unidad en nueve cuadrados más pequeños y quitando la mitad de ellos. En el siguiente nivel de subdivisión, subdivide cada uno de los cuadrados en 25 cuadrados más pequeños y elimina el del medio, y continúa en la ith paso subdividiendo cada cuadrado en (2i + 1)2 (los cuadrados impares) cuadrados más pequeños y eliminando el del medio. Por el producto de Wallis, el área del conjunto resultante es π/4, a diferencia de la alfombra Sierpiński estándar que tiene área límite cero. Aunque la criba de Wallis tiene una medida de Lebesgue positiva, ningún subconjunto que sea un producto cartesiano de dos conjuntos de números reales tiene esta propiedad, por lo que su medida de Jordan es cero.

Aplicaciones

Se han producido antenas fractales Wi-Fi y de telefonía móvil en forma de algunas iteraciones de la alfombra de Sierpiński. Debido a su autosimilitud e invariancia de escala, se adaptan fácilmente a múltiples frecuencias. También son fáciles de fabricar y más pequeñas que las antenas convencionales de rendimiento similar, por lo que son óptimas para teléfonos móviles de bolsillo.

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