Alejandro Grothendieck

Alexander Grothendieck ()pronunciación alemana: [Escuela Principal] ()escucha); Francés:[ ]]; 28 de marzo de 1928 – 13 de noviembre de 2014) fue un matemático apátridas que se convirtió en la figura principal en la creación de geometría algebraica moderna. Su investigación extendió el alcance del campo y añadió elementos de álgebra conmutativa, álgebra homológica, teoría de hojarasca y teoría de categoría a sus fundaciones, mientras que su llamada perspectiva "relativa" llevó a avances revolucionarios en muchas áreas de matemáticas puras. Es considerado por muchos como el más grande matemático del siglo XX.

Grothendieck comenzó su carrera productiva y pública como matemático en 1949. En 1958, fue nombrado profesor investigador en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) y permaneció allí hasta 1970, cuando, impulsado por convicciones personales y políticas, se fue después de una disputa sobre la financiación militar. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus avances en geometría algebraica, álgebra homológica y teoría K. Más tarde se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier y, aunque todavía producía un trabajo matemático relevante, se retiró de la comunidad matemática y se dedicó a actividades políticas y religiosas (primero el budismo y luego, una visión más cristiana). En 1991, se mudó al pueblo francés de Lasserre en los Pirineos, donde vivió recluido, trabajando incansablemente en matemáticas y sus pensamientos filosóficos y religiosos hasta su muerte en 2014.

Vida

Familia e infancia

Grothendieck nació en Berlín de padres anarquistas. Su padre, Alejandro "Sascha" Schapiro (también conocido como Alexander Tanaroff), tenía raíces judías jasídicas y había estado encarcelado en Rusia antes de mudarse a Alemania en 1922, mientras que su madre, Johanna "Hanka" Grothendieck, procedía de una familia alemana protestante de Hamburgo y trabajaba como periodista. Cuando eran adolescentes, sus padres se habían separado de sus primeros orígenes. En el momento de su nacimiento, la madre de Grothendieck estaba casada con el periodista Johannes Raddatz e inicialmente, su nombre de nacimiento se registró como "Alexander Raddatz". Ese matrimonio se disolvió en 1929 y Schapiro reconoció su paternidad, pero nunca se casó con Hanka Grothendieck. Grothendieck tenía una hermana materna, su media hermana Maidi.

Grothendieck vivió con sus padres en Berlín hasta finales de 1933, cuando su padre se mudó a París para escapar del nazismo. Su madre lo siguió poco después. Grothendieck quedó al cuidado de Wilhelm Heydorn, un pastor y maestro luterano en Hamburgo. Según Winfried Scharlau, durante este tiempo, sus padres participaron en la Guerra Civil española como auxiliares no combatientes. Sin embargo, otros afirman que Schapiro luchó en la milicia anarquista.

Segunda Guerra Mundial

En mayo de 1939, Grothendieck se subió a un tren en Hamburgo rumbo a Francia. Poco después, su padre fue internado en Le Vernet. Él y su madre fueron luego internados en varios campos desde 1940 hasta 1942 como "extranjeros peligrosos indeseables". El primer campo fue el de Rieucros, donde su madre contrajo la tuberculosis que finalmente le causó la muerte. Mientras estuvo allí, Grothendieck logró asistir a la escuela local, en Mendel. Una vez, logró escapar del campo, con la intención de asesinar a Hitler. Más tarde, su madre Hanka fue trasladada al campo de internamiento de Gurs por el resto de la Segunda Guerra Mundial. A Grothendieck se le permitió vivir separado de su madre. En el pueblo de Le Chambon-sur-Lignon, fue resguardado y escondido en pensiones o pensiones locales, aunque ocasionalmente tuvo que buscar refugio en los bosques durante las incursiones nazis, sobreviviendo en ocasiones sin comida ni agua durante varios días. Su padre fue arrestado bajo la legislación antijudía de Vichy y enviado al campo de internamiento de Drancy, y luego entregado por el gobierno francés de Vichy a los alemanes para ser enviado a ser asesinado en el campo de concentración de Auschwitz en 1942. En Le Chambon, Grothendieck asistió al Collège Cévenol (ahora conocido como Le Collège-Lycée Cévenol International), una escuela secundaria única fundada en 1938 por pacifistas protestantes locales y activistas contra la guerra. Muchos de los niños refugiados escondidos en Le Chambon asistieron al Collège Cévenol, y fue en esta escuela donde aparentemente Grothendieck quedó fascinado por las matemáticas por primera vez.

Estudios y contacto con la investigación matemática

Después de la guerra, el joven Grothendieck estudió matemáticas en Francia, inicialmente en la Universidad de Montpellier, donde al principio no se desempeñó bien, y suspendió clases como astronomía. Trabajando solo, redescubrió la medida de Lebesgue. Después de tres años de estudios cada vez más independientes allí, fue a continuar sus estudios en París en 1948.

Inicialmente, Grothendieck asistió al Seminario de Henri Cartan en la École Normale Supérieure, pero carecía de la formación necesaria para seguir el seminario de alto poder. Siguiendo el consejo de Cartan y André Weil, se trasladó a la Universidad de Nancy, donde dos destacados expertos trabajaban en el área de interés de Grothendieck, los espacios vectoriales topológicos: Jean Dieudonné y Laurent Schwartz. Este último había ganado recientemente una medalla Fields. Le mostró a su nuevo alumno su último trabajo; terminó con una lista de 14 preguntas abiertas, relevantes para espacios localmente convexos. Grothendieck introdujo nuevos métodos matemáticos que le permitieron resolver todos estos problemas en unos pocos meses.

En Nancy, escribió su disertación con esos dos profesores sobre análisis funcional, de 1950 a 1953. En ese momento, era un destacado experto en la teoría de los espacios vectoriales topológicos. En 1953 se trasladó a la Universidad de São Paulo en Brasil, donde emigró mediante un pasaporte Nansen, dado que se había negado a adoptar la nacionalidad francesa (ya que eso le habría supuesto un servicio militar en contra de sus convicciones). Permaneció en São Paulo (aparte de una larga visita a Francia desde octubre de 1953 hasta marzo de 1954) hasta fines de 1954. Su trabajo publicado del tiempo que pasó en Brasil todavía se encuentra en la teoría de los espacios vectoriales topológicos; es allí donde completó su último trabajo importante sobre ese tema (sobre la teoría "métrica" de los espacios de Banach).

Grothendieck se mudó a Lawrence, Kansas a principios de 1955, y allí dejó de lado su antiguo tema para trabajar en topología algebraica y álgebra homológica, y cada vez más en geometría algebraica. Fue en Lawrence donde Grothendieck desarrolló su teoría de las categorías abelianas y la reformulación de la cohomología de haces basada en ellas, lo que condujo al muy influyente 'artículo Tôhoku'.

En 1957, Oscar Zariski lo invitó a visitar Harvard, pero la oferta fracasó cuando se negó a firmar un compromiso en el que prometía no trabajar para derrocar al gobierno de los Estados Unidos, una posición que, se le advirtió, podría haberlo llevado en prisión. La perspectiva de la prisión no le preocupaba, siempre que pudiera tener acceso a los libros.

Comparando a Grothendieck durante sus años en Nancy con los estudiantes capacitados en la École Normale Supérieure en ese momento (Pierre Samuel, Roger Godement, René Thom, Jacques Dixmier, Jean Cerf, Yvonne Bruhat, Jean-Pierre Serre y Bernard Malgrange), Leila Schneps dijo:

Fue tan completamente desconocido para este grupo y para sus profesores, vino de un fondo tan privado y caótico, y fue, comparado con ellos, tan ignorante al comienzo de su carrera de investigación, que su ascensión a la estrella repentina es todo más increíble; bastante único en la historia de las matemáticas.

Sus primeros trabajos sobre espacios vectoriales topológicos en 1953 se han aplicado con éxito a la física y la informática, culminando en una relación entre la desigualdad de Grothendieck y la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en física cuántica.

IHÉS años

En 1958, Grothendieck se instaló en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), un nuevo instituto de investigación de financiación privada que, en efecto, había sido creado para Jean Dieudonné y Grothendieck. Grothendieck atrajo la atención por una actividad intensa y altamente productiva de seminarios allí (grupos de trabajo de facto que redactaron en trabajo fundacional a algunos de los matemáticos franceses y otros matemáticos más capaces de la generación más joven). Grothendieck prácticamente dejó de publicar artículos a través de la ruta convencional de las revistas científicas. Sin embargo, pudo desempeñar un papel dominante en las matemáticas durante aproximadamente una década, reuniendo una escuela sólida.

Oficialmente durante este tiempo, tuvo como alumnos a Michel Demazure (quien trabajó en SGA3, en esquemas de grupo), Luc Illusie (complejo cotangente), Michel Raynaud, Jean-Louis Verdier (cofundador de la teoría de categorías derivadas), y Pierre Deligne. Los colaboradores en los proyectos de SGA también incluyeron a Michael Artin (cohomología étale), Nick Katz (teoría de la monodromía y lápices Lefschetz). Jean Giraud también elaboró extensiones de la teoría torsor de la cohomología no abeliana. Muchos otros como David Mumford, Robin Hartshorne, Barry Mazur y C.P. Ramanujam también estuvo involucrado.

"Edad de oro"

El trabajo de Alexander Grothendieck durante lo que se describe como la "Edad de Oro" período en el IHÉS estableció varios temas unificadores en geometría algebraica, teoría de números, topología, teoría de categorías y análisis complejo. Su primer descubrimiento (anterior al IHÉS) en geometría algebraica fue el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch demostrado algebraicamente; en este contexto también introdujo la teoría K. Luego, siguiendo el programa que esbozó en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958, introdujo la teoría de esquemas, desarrollándola en detalle en su Éléments de géométrie algébrique (EGA) y proporcionando los nuevos fundamentos más flexibles y generales para la geometría algebraica que se ha adoptado en el campo desde ese momento. Continuó presentando la teoría de esquemas de cohomología étale, proporcionando las herramientas clave para probar las conjeturas de Weil, así como la cohomología cristalina y la cohomología algebraica de Rham para complementarla. Estrechamente vinculado a estas teorías de la cohomología, originó la teoría del topos como una generalización de la topología (relevante también en la lógica categórica). También proporcionó una definición algebraica de grupos fundamentales de esquemas y, de manera más general, las principales estructuras de una teoría categórica de Galois. Como marco para su teoría coherente de la dualidad, también introdujo categorías derivadas, que Verdier desarrolló aún más.

Los resultados de su trabajo sobre estos y otros temas fueron publicados en la EGA y en forma menos pulida en las notas del Séminaire de géométrie algébrique ( SGA) que dirigió en el IHÉS.

Activismo político

Las opiniones políticas de Grothendieck eran radicales y pacifistas. Se opuso firmemente tanto a la intervención de Estados Unidos en Vietnam como al expansionismo militar soviético. Para protestar contra la Guerra de Vietnam, dio conferencias sobre teoría de categorías en los bosques que rodean a Hanoi mientras la ciudad era bombardeada. En 1966, se negó a asistir al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en Moscú, donde recibiría la Medalla Fields. Se retiró de la vida científica alrededor de 1970 después de enterarse de que IHÉS estaba financiado en parte por los militares. Regresó a la academia unos años más tarde como profesor en la Universidad de Montpellier.

Si bien el tema de la financiación militar fue quizás la explicación más obvia de la salida de Grothendieck del IHÉS, quienes lo conocieron dicen que las causas de la ruptura fueron más profundas. Pierre Cartier, un visiteur de longue durée ("invitado a largo plazo") en el IHÉS, escribió un artículo sobre Grothendieck para un volumen especial publicado con motivo del IHÉS's cuadragésimo aniversario. En esa publicación, Cartier señala que, como hijo de un anarquista antimilitarista y que creció entre los marginados, Grothendieck siempre tuvo una profunda compasión por los pobres y los oprimidos. Como dice Cartier, Grothendieck encontró a Bures-sur-Yvette como "une cage dorée" ("una jaula dorada"). Mientras Grothendieck estaba en el IHÉS, la oposición a la Guerra de Vietnam se estaba intensificando, y Cartier sugiere que esto también reforzó el disgusto de Grothendieck por haberse convertido en un mandarín del mundo científico. Además, después de varios años en el IHÉS, Grothendieck parecía buscar nuevos intereses intelectuales. A fines de la década de 1960, comenzó a interesarse en áreas científicas fuera de las matemáticas. David Ruelle, un físico que se unió a la facultad del IHÉS en 1964, dijo que Grothendieck vino a hablar con él algunas veces sobre física. La biología interesó a Grothendieck mucho más que la física, y organizó algunos seminarios sobre temas biológicos.

En 1970, Grothendieck, junto con otros dos matemáticos, Claude Chevalley y Pierre Samuel, crearon un grupo político llamado Survivre; el nombre luego cambió a Survivre et vivre. El grupo publicaba un boletín y se dedicaba a temas antimilitaristas y ecológicos. También desarrolló fuertes críticas al uso indiscriminado de la ciencia y la tecnología. Grothendieck dedicó los siguientes tres años a este grupo y se desempeñó como editor principal de su boletín.

Aunque Grothendieck continuó con investigaciones matemáticas, su carrera matemática estándar terminó en su mayoría cuando dejó el IHÉS. Después de dejar el IHÉS, Grothendieck se convirtió en profesor temporal en el Collège de France durante dos años. Luego se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier, donde se alejó cada vez más de la comunidad matemática. Se jubiló formalmente en 1988, pocos años después de haber aceptado un puesto de investigador en el CNRS.

Manuscritos escritos en la década de 1980

Si bien no publicó investigaciones matemáticas de manera convencional durante la década de 1980, produjo varios manuscritos influyentes con distribución limitada, con contenido tanto matemático como biográfico.

Producido durante 1980 y 1981, La Longue Marche à travers la théorie de Galois (La larga marcha a través de la teoría de Galois) es un manuscrito manuscrito de 1600 páginas que contiene muchos de las ideas que llevaron al programa Esquisse d'un. También incluye un estudio de la teoría de Teichmüller.

En 1983, estimulado por la correspondencia con Ronald Brown y Tim Porter en la Universidad de Bangor, Grothendieck escribió un manuscrito de 600 páginas titulado Persiguiendo pilas. Comenzó con una carta dirigida a Daniel Quillen. Esta carta y las partes sucesivas se distribuyeron desde Bangor (consulte los enlaces externos a continuación). Dentro de estos, de una manera informal, similar a un diario, Grothendieck explicó y desarrolló sus ideas sobre la relación entre la teoría de la homotopía algebraica y la geometría algebraica y las perspectivas de una teoría no conmutativa de las pilas. El manuscrito, que está siendo editado para su publicación por G. Maltsiniotis, dio lugar más tarde a otra de sus obras monumentales, Les Dérivateurs. Escrita en 1991, esta última obra de aproximadamente 2000 páginas, desarrolló aún más las ideas homotópicas iniciadas en Pursuing Stacks. Gran parte de este trabajo anticipó el desarrollo posterior a mediados de la década de 1990 de la teoría de la homotopía motívica de Fabien Morel y Vladimir Voevodsky.

En 1984, Grothendieck escribió la propuesta Esquisse d'un Programme ("Sketch of a Programme") para un puesto en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS).). Describe nuevas ideas para estudiar el espacio de módulos de curvas complejas. Aunque Grothendieck nunca publicó su trabajo en esta área, la propuesta inspiró a otros matemáticos a trabajar en el área al convertirse en la fuente de la teoría del dessin d'enfant y la geometría anabélica. Posteriormente, se publicó en dos volúmenes y se tituló Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).

Durante este período, Grothendieck también dio su consentimiento para publicar algunos de sus borradores para EGA sobre teoremas de tipo Bertini (EGA V, publicado en Ulam Quarterly en 1992-1993 y luego disponible en sitio web de Grothendieck Circle en 2004).

En el manuscrito autobiográfico de 1000 páginas, Récoltes et semailles (1986), Grothendieck describe su enfoque de las matemáticas y sus experiencias en la comunidad matemática, una comunidad que inicialmente lo aceptó de manera abierta y acogedora. manera, pero que percibió progresivamente que estaba gobernado por la competencia y el estatus. Se queja de lo que vio como el "entierro" de su trabajo y la traición de sus antiguos alumnos y compañeros después de haber dejado la comunidad. La obra Récoltes et semailles ya está disponible en Internet en su original francés y se está traduciendo al inglés. Tsuji Yuichi, un amigo de Grothendieck del período Survivre, completó una traducción al japonés en cuatro volúmenes, y sus primeros tres volúmenes se publicaron entre 1989 y 1993, mientras que el cuarto volumen está completo, pero nunca ha sido publicado. Grothendieck ayudó con la traducción y escribió un prefacio. Se han traducido al español partes de Récoltes et semailles, así como una traducción al ruso que se publicó en Moscú. El original francés finalmente se publicó en dos volúmenes en enero de 2022, con textos adicionales de personas de diversas profesiones que discuten ciertos aspectos del libro.

En 1988, Grothendieck rechazó el Premio Crafoord con una carta abierta a los medios. Escribió que él y otros matemáticos establecidos no necesitaban apoyo financiero adicional y criticó lo que vio como la ética en declive de la comunidad científica que se caracterizaba por el robo científico absoluto que creía que se había vuelto común y tolerado. La carta también expresó su creencia de que eventos totalmente imprevistos antes de fin de siglo conducirían a un colapso sin precedentes de la civilización. Grothendieck agregó, sin embargo, que sus puntos de vista "no pretendían de ninguna manera ser una crítica de los objetivos de la Royal Academy en la administración de sus fondos". y añadió: 'Lamento las molestias que mi negativa a aceptar el premio Crafoord les haya podido causar a usted y a la Royal Academy'.

La Clef des Songes, un manuscrito de 315 páginas escrito en 1987, es el relato de Grothendieck de cómo su consideración de la fuente de los sueños lo llevó a concluir que existe una deidad. Como parte de las notas de este manuscrito, Grothendieck describió la vida y la obra de 18 'mutantes', personas a las que admiraba como visionarios muy adelantados a su tiempo y heraldos de una nueva era. El único matemático de su lista era Bernhard Riemann. Influenciado por la mística católica Marthe Robin, de quien se decía que sobrevivió solo con la Sagrada Eucaristía, Grothendieck casi se muere de hambre en 1988. Su creciente preocupación por los asuntos espirituales también fue evidente en una carta titulada Lettre de la Bonne Nouvelle enviado a 250 amigos en enero de 1990. En él, describió sus encuentros con una deidad y anunció que una "Nueva Era" comenzaría el 14 de octubre de 1996.

El Grothendieck Festschrift, publicado en 1990, fue una colección de tres volúmenes de trabajos de investigación para conmemorar su sexagésimo cumpleaños en 1988.

Más de 20 000 páginas de escritos matemáticos y de otro tipo de Grothendieck se conservan en la Universidad de Montpellier y permanecen inéditas. Han sido digitalizados para su conservación y están disponibles gratuitamente en acceso abierto a través del portal del Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck.

Retiro a la reclusión y muerte

En 1991, Grothendieck se mudó a una nueva dirección que no proporcionó a sus contactos anteriores en la comunidad matemática. Muy pocas personas lo visitaron después. Los aldeanos locales lo ayudaron a mantenerse con una dieta más variada después de que trató de vivir con un alimento básico como la sopa de diente de león. En algún momento, Leila Schneps y Pierre Lochak lo localizaron y luego mantuvieron una breve correspondencia. Por lo tanto, se convirtieron en "los últimos miembros del establecimiento matemático en entrar en contacto con él". Tras su muerte, se supo que vivía solo en una casa en Lasserre, Ariège, un pequeño pueblo al pie de los Pirineos.

En enero de 2010, Grothendieck escribió la carta titulada "Déclaration d'intention de non-publication" a Luc Illusie, alegando que todos los materiales publicados en su ausencia habían sido publicados sin su permiso. Pidió que ninguno de sus trabajos sea reproducido en su totalidad o en parte y que las copias de este trabajo sean retiradas de las bibliotecas. Calificó un sitio web dedicado a su trabajo como "una abominación". Su dictado puede haber sido revertido en 2010.

El 13 de noviembre de 2014, a los 86 años, Grothendieck murió en el hospital de Saint-Girons, Ariège.

Ciudadanía

Grothendieck nació en la Alemania de Weimar. En 1938, a los diez años, se trasladó a Francia como refugiado. Los registros de su nacionalidad fueron destruidos en la caída de la Alemania nazi en 1945 y no solicitó la ciudadanía francesa después de la guerra. Por lo tanto, se convirtió en apátrida durante al menos la mayor parte de su vida laboral y viajó con un pasaporte Nansen. Parte de su renuencia a tener la nacionalidad francesa se atribuye a que no deseaba servir en el ejército francés, particularmente debido a la Guerra de Argelia (1954-1962). Eventualmente solicitó la ciudadanía francesa a principios de la década de 1980, después de haber superado con creces la edad que lo eximía del servicio militar.

Se dice que accedió a solicitar la ciudadanía francesa. No hay evidencia de que lo haya hecho, Cartier no dice que lo haya hecho, y ciertamente no hay evidencia de que lo haya obtenido. Parece haber muerto apátrida.

Familia

Grothendieck estaba muy unido a su madre, a quien dedicó su tesis. Murió en 1957 a causa de la tuberculosis que contrajo en los campamentos de desplazados. Tuvo cinco hijos: un hijo con su casera durante su estancia en Nancy, tres hijos, Johanna (1959), Alexander (1961) y Mathieu (1965) con su esposa Mireille Dufour, y un hijo con Justine Skalba, con quien vivía en una comuna a principios de la década de 1970.

Trabajo matemático

El primer trabajo matemático de Grothendieck se centró en el análisis funcional. Entre 1949 y 1953 realizó su tesis doctoral sobre este tema en Nancy, bajo la dirección de Jean Dieudonné y Laurent Schwartz. Sus contribuciones clave incluyen productos tensoriales topológicos de espacios vectoriales topológicos, la teoría de los espacios nucleares como base para las distribuciones de Schwartz y la aplicación de espacios Lp en el estudio de mapas lineales entre espacios vectoriales topológicos. En pocos años, se había convertido en una autoridad líder en esta área del análisis funcional, hasta el punto de que Dieudonné compara su impacto en este campo con el de Banach.

Sin embargo, es en la geometría algebraica y campos relacionados donde Grothendieck realizó su trabajo más importante e influyente. Desde aproximadamente 1955 comenzó a trabajar en la teoría de haces y el álgebra homológica, produciendo el influyente "Tôhoku paper" (Sur quelques points d'algèbre homologique, publicado en el Tohoku Mathematical Journal en 1957) donde introdujo categorías abelianas y aplicó su teoría para mostrar que la cohomología de la gavilla se puede definir como ciertos funtores derivados en este contexto.

Jean-Pierre Serre y otros ya habían introducido los métodos homológicos y la teoría de las gavillas en la geometría algebraica, después de que Jean Leray hubiera definido las gavillas. Grothendieck los llevó a un nivel superior de abstracción y los convirtió en un principio organizador clave de su teoría. Cambió la atención del estudio de variedades individuales a su punto de vista relativo (pares de variedades relacionadas por un morfismo), lo que permitió una amplia generalización de muchos teoremas clásicos. La primera aplicación importante fue la versión relativa del teorema de Serre que muestra que la cohomología de un haz coherente en una variedad completa es de dimensión finita; El teorema de Grothendieck muestra que las imágenes directas superiores de haces coherentes bajo un mapa adecuado son coherentes; esto se reduce al teorema de Serre sobre un espacio de un punto.

En 1956, aplicó el mismo pensamiento al teorema de Riemann-Roch, que Hirzebruch había generalizado recientemente a cualquier dimensión. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue anunciado por Grothendieck en el Mathematische Arbeitstagung inicial en Bonn, en 1957. Apareció impreso en un artículo escrito por Armand Borel con Serre. Este resultado fue su primer trabajo en geometría algebraica. Grothendieck pasó a planificar y ejecutar un programa para reconstruir los cimientos de la geometría algebraica, que en ese momento estaban en un estado de cambio y en discusión en el seminario de Claude Chevalley. Describió su programa en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958.

Su trabajo fundamental sobre geometría algebraica se encuentra en un nivel de abstracción más alto que todas las versiones anteriores. Adaptó el uso de puntos genéricos no cerrados, lo que condujo a la teoría de los esquemas. Grothendieck también fue pionero en el uso sistemático de nilpotentes. Como 'funciones' estos pueden tomar solo el valor 0, pero llevan información infinitesimal, en configuraciones puramente algebraicas. Su teoría de los esquemas se ha consolidado como el mejor fundamento universal de este campo, tanto por su expresividad como por su profundidad técnica. En ese entorno, uno puede usar geometría biracional, técnicas de la teoría de números, la teoría de Galois, el álgebra conmutativa y análogos cercanos a los métodos de la topología algebraica, todo de manera integrada.

Grothendieck se destaca por su dominio de los enfoques abstractos de las matemáticas y su perfeccionismo en cuestiones de formulación y presentación. Relativamente poco de su trabajo después de 1960 fue publicado por la ruta convencional de la revista científica, circulando inicialmente en volúmenes duplicados de notas de seminarios; su influencia fue en gran medida personal. Su influencia se extendió a muchas otras ramas de las matemáticas, por ejemplo, la teoría contemporánea de los módulos D. Aunque elogiado como 'el Einstein de las matemáticas', su trabajo también provocó reacciones adversas, con muchos matemáticos buscando áreas y problemas más concretos.

EGA, SGA, FGA

La mayor parte del trabajo publicado de Grothendieck se recopila en los monumentales, aunque incompletos, Éléments de géométrie algébrique (EGA) y Séminaire de géométrie algébrique (SGA). La colección, Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), que reúne las conferencias pronunciadas en el Séminaire Bourbaki, también contiene material importante.

El trabajo de Grothendieck incluye la invención de las teorías de cohomología étale y l-adic, que explican una observación realizada por André Weil que defendía una conexión entre las características topológicas de una variedad y sus propiedades diofánticas (teóricas de números).. Por ejemplo, el número de soluciones de una ecuación sobre un campo finito refleja la naturaleza topológica de sus soluciones sobre los números complejos. Weil se había dado cuenta de que para probar tal conexión, uno necesitaba una nueva teoría de cohomología, pero ni él ni ningún otro experto vieron cómo lograr esto hasta que Grothendieck expresó tal teoría.

Este programa culminó con las demostraciones de las conjeturas de Weil, la última de las cuales fue resuelta por el alumno de Grothendieck, Pierre Deligne, a principios de la década de 1970, después de que Grothendieck se retirara en gran medida de las matemáticas.

Principales contribuciones matemáticas

En la retrospectiva Récoltes et Semailles de Grothendieck, identificó doce de sus contribuciones que consideró calificadas como "grandes ideas". En orden cronológico, son:

1. Productos de tensor totológicos y espacios nucleares
2. dualidad "Continuo" y "descreto" (clases anteriores, "seis operaciones")
3. Yoga del Grothendieck–Riemann–Roch teorem K-teoría relación con la teoría de intersección
4. Esquemas
5. Topoi
6. Étale cohomology and l-adic cohomology
7. Motives and the motivic Galois group (Grothendieck ⊗-categorías)
8. Cristales y cohomología cristalina, yoga de "coeficientes de Rham", "Coeficientes Hodge"...
9. "Algebra Topológica": ∞-stacks, derivados; formalismo cohomológico de topoi como inspiración para un nuevo álgebra homotópica
10. Tame topology
11. Yoga de geometría algebraica anabeliana, teoría Galois – Teichmüller
12. Punto de vista "Schematic" o "arithmetic" para polihedra regular y configuraciones regulares de todo tipo

Aquí, el término yoga denota una especie de "metateoría" que se puede usar heurísticamente; Michel Raynaud escribe los otros términos "hilo de Ariadna" y "filosofía" como equivalentes efectivos.

Grothendieck escribió que, de estos temas, el de mayor alcance era el topoi, ya que sintetizaba la geometría algebraica, la topología y la aritmética. El tema que más se había desarrollado era el de los esquemas, que eran el marco "por excelencia" para ocho de los otros temas (todos menos 1, 5 y 12). Grothendieck escribió que el primer y el último tema, los productos tensoriales topológicos y las configuraciones regulares, eran de tamaño más modesto que los demás. Los productos de tensores topológicos habían desempeñado el papel de una herramienta más que de una fuente de inspiración para desarrollos posteriores; pero esperaba que las configuraciones regulares no pudieran agotarse en la vida de un matemático que se dedicara a ello. Creía que los temas más profundos eran los motivos, la geometría anabélica y la teoría de Galois-Teichmüller.

Influencia

Grothendieck es considerado por muchos como el mayor matemático del siglo XX. En un obituario, David Mumford y John Tate escribieron:

Aunque las matemáticas se hicieron cada vez más abstractas y generales a lo largo del siglo XX, fue Alexander Grothendieck quien fue el mayor maestro de esta tendencia. Su habilidad única era eliminar todas las hipótesis innecesarias y madurar en un área tan profundamente que sus patrones internos en el nivel más abstracto se revelaban a sí mismos – y luego, como un mago, mostrar cómo la solución de los viejos problemas cayó en formas directas ahora que su verdadera naturaleza había sido revelada.

En la década de 1970, el trabajo de Grothendieck se consideraba influyente, no solo en la geometría algebraica y los campos afines de la teoría de haces y el álgebra homológica, sino también en la lógica influida, en el campo de la lógica categórica.

Geometría

Grothendieck se acercó a la geometría algebraica aclarando los fundamentos del campo y desarrollando herramientas matemáticas destinadas a probar una serie de conjeturas notables. La geometría algebraica ha significado tradicionalmente la comprensión de objetos geométricos, como curvas y superficies algebraicas, a través del estudio de las ecuaciones algebraicas de esos objetos. A su vez, se estudian las propiedades de las ecuaciones algebraicas utilizando las técnicas de la teoría de anillos. En este enfoque, las propiedades de un objeto geométrico están relacionadas con las propiedades de un anillo asociado. El espacio (por ejemplo, real, complejo o proyectivo) en el que se define el objeto es extrínseco al objeto, mientras que el anillo es intrínseco.

Grothendieck sentó una nueva base para la geometría algebraica al convertir los espacios intrínsecos ("espectros") y los anillos asociados en los principales objetos de estudio. Con ese fin, desarrolló la teoría de los esquemas que informalmente pueden pensarse como espacios topológicos en los que se asocia un anillo conmutativo a cada subconjunto abierto del espacio. Los esquemas se han convertido en los objetos básicos de estudio para los practicantes de la geometría algebraica moderna. Su uso como base permitió que la geometría absorbiera los avances técnicos de otros campos.

Su generalización del teorema clásico de Riemann-Roch relacionó las propiedades topológicas de las curvas algebraicas complejas con su estructura algebraica y ahora lleva por título el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch. Las herramientas que desarrolló para demostrar este teorema iniciaron el estudio de la teoría K algebraica y topológica, que explora las propiedades topológicas de los objetos asociándolos con anillos. Después del contacto directo con las ideas de Grothendieck en el Arbeitstagung de Bonn, Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch fundaron la teoría K topológica.

Teorías de la cohomología

La construcción de Grothendieck de nuevas teorías de cohomología, que utilizan técnicas algebraicas para estudiar objetos topológicos, ha influido en el desarrollo de la teoría algebraica de números, la topología algebraica y la teoría de la representación. Como parte de este proyecto, su creación de la teoría topos, una generalización teórica de categorías de la topología de conjuntos de puntos, ha influido en los campos de la teoría de conjuntos y la lógica matemática.

Las conjeturas de Weil se formularon a fines de la década de 1940 como un conjunto de problemas matemáticos en geometría aritmética. Describen propiedades de invariantes analíticos, llamadas funciones zeta locales, del número de puntos en una curva algebraica o variedad de mayor dimensión. El descubrimiento de Grothendieck de la cohomología ℓ-adic étale, el primer ejemplo de una teoría de cohomología de Weil, abrió el camino para una prueba de las conjeturas de Weil, finalmente completada en la década de 1970 por su alumno Pierre Deligne. El enfoque a gran escala de Grothendieck ha sido llamado un "programa visionario". La cohomología ℓ-ádica se convirtió entonces en una herramienta fundamental para los teóricos de números, con aplicaciones al programa Langlands.

La teoría conjetural de los motivos de Grothendieck pretendía ser el "ℓ-adic" teoría pero sin la elección de "ℓ", un número primo. No proporcionó la ruta prevista para las conjeturas de Weil, pero ha estado detrás de los desarrollos modernos en la teoría K algebraica, la teoría de la homotopía motívica y la integración motívica. Esta teoría, el trabajo de Daniel Quillen y la teoría de las clases de Chern de Grothendieck se consideran los antecedentes de la teoría del cobordismo algebraico, otro análogo algebraico de las ideas topológicas.

Teoría de categorías

El énfasis de Grothendieck en el papel de las propiedades universales en diversas estructuras matemáticas trajo la teoría de categorías a la corriente principal como un principio organizador para las matemáticas en general. Entre sus usos, la teoría de categorías crea un lenguaje común para describir estructuras y técnicas similares vistas en muchos sistemas matemáticos diferentes. Su noción de categoría abeliana es ahora el objeto básico de estudio en álgebra homológica. El surgimiento de una disciplina matemática separada de la teoría de categorías se ha atribuido a la influencia de Grothendieck, aunque no intencionalmente.

En la cultura popular

La novela Coronel Lágrimas (Coronel Tears en inglés, disponible en Restless Books) del escritor puertorriqueño-costarricense Carlos Fonseca es una novela semibiográfica sobre Grothendieck.

La banda Stone Hill All Stars tiene una canción que lleva el nombre de Alexander Grothendieck.

En la novela Cuando dejemos de entender el mundo, Benjamin Labatut dedica un capítulo a la historia de Grothendieck.

En la novela “El Pasajero” de Cormac McCarthy uno de los personajes principales es el alumno de Grothendieck.

Publicaciones

• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memorias de la American Mathematical Society Series (en francés). Providence: American Mathematical Society. 16ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.

Fuentes y lecturas adicionales