Afinación pitagórica

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Método de sintonización de un instrumento musical

El continuum sintónico de sintonía, mostrando el afinado pitagórico en 702 centavos.

Una serie de quintos generados puede dar siete notas: una escala mayor diatónica en C en el afinado pitagórico

Jugar(help·info).

Escala diatónica en C

Jugar(help·info) 12 tonos igual templado y

Jugar(help·info) sólo la intonación.

Pythagorean (tonic) acorde mayor en C

Jugar(help·info) (compare

Jugar(help·info) igual templado y

Jugar(help·info) sólo).

Comparación de intervalos iguales (negros) y pitagóricos (verde) que muestran la relación entre la relación de frecuencia y los valores de intervalos, en centavos.

La afinación pitagórica es un sistema de afinación musical en el que las relaciones de frecuencia de todos los intervalos se basan en la relación 3:2. Esta proporción, también conocida como la "pura" quinta perfecta, se elige porque es una de las más consonantes y más fáciles de afinar de oído y por la importancia atribuida al número 3 entero. Como dijo Novalis, "Las proporciones musicales me parecen proporciones naturales particularmente correctas." Alternativamente, se puede describir como la afinación del temperamento sintónico en el que el generador es la proporción 3:2 (es decir, la quinta perfecta sin templar), que tiene una amplitud de ≈702 centésimas.

El sistema data de la antigua Mesopotamia; ver Música de Mesopotamia § Teoría de la música. El sistema se nombra, y ha sido ampliamente atribuido erróneamente, a los antiguos griegos, en particular a Pitágoras (siglo VI a. C.) por los autores modernos de teoría musical, mientras que Ptolomeo, y más tarde Boecio, atribuyeron la división del tetracordio por solo dos intervalos, llamados &# 34;semitonio", "tonus", "tonus" en latín (256:243 × 9:8 × 9:8), a Eratóstenes. La llamada "afinación pitagórica" Fue utilizado por músicos hasta principios del siglo XVI. "El sistema pitagórico parecería ser ideal debido a la pureza de las quintas, pero algunos consideran que otros intervalos, particularmente la tercera mayor, están tan desafinados que los acordes mayores [pueden considerarse] una disonancia". #34;

La escala pitagórica es cualquier escala que se puede construir a partir de quintas (3:2) y octavas (2:1) puras y perfectas. En la música griega se usaba para afinar tetracordes, que se componían en escalas que abarcaban una octava. Se puede hacer una distinción entre la afinación pitagórica extendida y un temperamento pitagórico de 12 tonos. La afinación pitagórica extendida corresponde 1 a 1 con la notación musical occidental y no hay límite para el número de quintas. Sin embargo, en el temperamento pitagórico de 12 tonos, uno está limitado por 12 tonos por octava y no se puede tocar la mayoría de la música de acuerdo con el sistema pitagórico correspondiente a la notación enarmónica; en cambio, se encuentra que, por ejemplo, la sexta disminuida se convierte en una "quinta lobo". #34;.

Método

El temperamento pitagórico de 12 tonos se basa en una pila de intervalos llamados quintas perfectas, cada uno afinado en la proporción 3:2, la siguiente proporción más simple después de 2:1. A partir de D, por ejemplo (afinación basada en D), otras seis notas se producen moviendo seis veces una proporción de 3:2 hacia arriba, y las restantes moviendo la misma proporción hacia abajo:

E bebe-B bebe-F-C-GD–A–E–B–F – F – – – –

Esta sucesión de once intervalos 3:2 abarca una amplia gama de frecuencias (en el teclado de un piano, abarca 77 teclas). Dado que las notas que difieren en frecuencia por un factor de 2 se perciben como similares y reciben el mismo nombre (equivalencia de octava), se acostumbra dividir o multiplicar las frecuencias de algunas de estas notas por 2 o por una potencia de 2. El propósito de este ajuste es para mover las 12 notas dentro de un rango de frecuencia más pequeño, es decir, dentro del intervalo entre la nota base D y la D arriba (una nota con el doble de su frecuencia). Este intervalo normalmente se denomina octava básica (en el teclado de un piano, una octava tiene solo 12 teclas). Esto data de la antigüedad: en la antigua Mesopotamia, en lugar de apilar quintas, la afinación se basaba en alternar quintas ascendentes y cuartas descendentes (igual a una quinta ascendente seguida de una octava descendente), lo que daba como resultado que las notas de una escala pentatónica o heptatónica cayeran dentro de un octava.

Por ejemplo, la A se sintoniza de tal manera que su frecuencia es igual a 3/2 veces la frecuencia de D; si D se sintoniza a una frecuencia de 288 Hz, entonces A se sintoniza a 432 Hz. De manera similar, la E sobre A se sintoniza de tal manera que su frecuencia es igual a 3/2 veces la frecuencia de A, o 9/4 veces la frecuencia de D; con A a 432 Hz, esto pone a E a 648 Hz. Dado que este E está fuera de la octava básica mencionada anteriormente (es decir, su frecuencia es más del doble de la frecuencia de la nota base D), es habitual reducir su frecuencia a la mitad para moverlo dentro de la octava básica. Por lo tanto, E está sintonizado a 324 Hz, un 9/8 (= un epogdoon) por encima de D. El B en 3/2 por encima de E está sintonizado en la proporción 27:16 y así sucesivamente. Comenzando desde el mismo punto trabajando al revés, G se sintoniza como 3/2 por debajo de D, lo que significa que se le asigna una frecuencia igual a 2/3 veces la frecuencia de D, con D a 288 Hz, esto pone a G en 192. Hz. Luego, esta frecuencia se duplica (a 384 Hz) para llevarla a la octava básica.

Sin embargo, al extender esta afinación, surge un problema: ninguna pila de intervalos de 3:2 (quintas perfectas) encajará exactamente en ninguna pila de intervalos de 2:1 (octavas). Por ejemplo, una pila como esta, obtenida al agregar una nota más a la pila que se muestra arriba

Un bebe-E bebe-B bebe-F-C-GD–A–E–B–F – F – – – –

será similar pero no idéntico en tamaño a una pila de 7 octavas. Más exactamente, será aproximadamente un cuarto de semitono más grande, llamada coma pitagórica. Por lo tanto, A♭ y G ♯, cuando se introduce en el octava básica, no coincidirá como se esperaba. La siguiente tabla ilustra esto, mostrando para cada nota en la octava básica el nombre convencional del intervalo desde D (la nota base), la fórmula para calcular su relación de frecuencia, su tamaño en centavos y la diferencia en centavos (etiquetada 12- TET-dif en la tabla) entre su tamaño y el tamaño del correspondiente en la escala igualmente temperada.

Note	Interval from D	Formula	=	=	Frequency ratio	Size (cents)	12-TET-dif (cents)
A♭	diminished fifth	${displaystyle left({frac {2}{3}}right)^{6}times 2^{4}}$	${displaystyle 3^{-6}times 2^{10}}$	${displaystyle {frac {2^{10}}{3^{6}}}}$	${frac {1024}{729}}$	588.27	−11.73
E♭	minor second	${displaystyle left({frac {2}{3}}right)^{5}times 2^{3}}$	${displaystyle 3^{-5}times 2^{8}}$	${displaystyle {frac {2^{8}}{3^{5}}}}$	${frac {256}{243}}$	90.22	−9.78
B♭	minor sixth	${displaystyle left({frac {2}{3}}right)^{4}times 2^{3}}$	${displaystyle 3^{-4}times 2^{7}}$	${displaystyle {frac {2^{7}}{3^{4}}}}$	${frac {128}{81}}$	792.18	−7.82
F	minor third	${displaystyle left({frac {2}{3}}right)^{3}times 2^{2}}$	${displaystyle 3^{-3}times 2^{5}}$	${displaystyle {frac {2^{5}}{3^{3}}}}$	${frac {32}{27}}$	294.13	−5.87
C	minor seventh	${displaystyle left({frac {2}{3}}right)^{2}times 2^{2}}$	${displaystyle 3^{-2}times 2^{4}}$	${displaystyle {frac {2^{4}}{3^{2}}}}$	${frac {16}{9}}$	996.09	−3.91
G	perfect fourth	$frac{2}{3} times 2$	${displaystyle 3^{-1}times 2^{2}}$	${displaystyle {frac {2^{2}}{3^{1}}}}$	${frac {4}{3}}$	498.04	−1.96
D	unison	${frac {1}{1}}$	${displaystyle 3^{0}times 2^{0}}$	${displaystyle {frac {3^{0}}{2^{0}}}}$	${frac {1}{1}}$	0.00	0.00
A	perfect fifth	${frac {3}{2}}$	${displaystyle 3^{1}times 2^{-1}}$	${displaystyle {frac {3^{1}}{2^{1}}}}$	${frac {3}{2}}$	701.96	1.96
E	major second	${displaystyle left({frac {3}{2}}right)^{2}times {frac {1}{2}}}$	${displaystyle 3^{2}times 2^{-3}}$	${displaystyle {frac {3^{2}}{2^{3}}}}$	${frac {9}{8}}$	203.91	3.91
B	major sixth	${displaystyle left({frac {3}{2}}right)^{3}times {frac {1}{2}}}$	${displaystyle 3^{3}times 2^{-4}}$	${displaystyle {frac {3^{3}}{2^{4}}}}$	${frac {27}{16}}$	905.87	5.87
F♯	major third	${displaystyle left({frac {3}{2}}right)^{4}times left({frac {1}{2}}right)^{2}}$	${displaystyle 3^{4}times 2^{-6}}$	${displaystyle {frac {3^{4}}{2^{6}}}}$	${frac {81}{64}}$	407.82	7.82
C♯	major seventh	${displaystyle left({frac {3}{2}}right)^{5}times left({frac {1}{2}}right)^{2}}$	${displaystyle 3^{5}times 2^{-7}}$	${displaystyle {frac {3^{5}}{2^{7}}}}$	${frac {243}{128}}$	1109.78	9.78
G♯	augmented fourth	${displaystyle left({frac {3}{2}}right)^{6}times left({frac {1}{2}}right)^{3}}$	${displaystyle 3^{6}times 2^{-9}}$	${displaystyle {frac {3^{6}}{2^{9}}}}$	${frac {729}{512}}$	611.73	11.73

En las fórmulas, las proporciones 3:2 o 2:3 representan una quinta perfecta ascendente o descendente (es decir, un aumento o una disminución en la frecuencia de una quinta perfecta, mientras que 2:1 o 1:2 representan una octava ascendente o descendente)). Las fórmulas también se pueden expresar en términos de potencias de los armónicos tercero y segundo.

La escala mayor basada en C, obtenida de esta afinación es:

Nota	C		D		E		F		G		A		B		C
Ratio	1.1		9.8		81.64		4.3		3.2		27.16		243.128		2.1
Paso	—	9.8		9.8		256.243		9.8		9.8		9.8		256.243		—

En temperamento igual, pares de notas enarmónicas como A ♭ y G♯ se consideran exactamente la misma nota; sin embargo, como indica la tabla anterior, en la afinación pitagórica tienen diferentes proporciones con respecto a D, lo que significa que están en una frecuencia diferente. Esta discrepancia, de unos 23,46 centavos, o casi un cuarto de semitono, se conoce como coma pitagórica.

Para sortear este problema, la afinación pitagórica construye solo doce notas como arriba, con once quintas entre ellas. Por ejemplo, uno puede usar solo las 12 notas de E♭ a G♯ . Esto, como se muestra arriba, implica que solo once quintas justas se utilizan para construir toda la escala cromática. El intervalo restante (la sexta disminuida de G♯ a E♭) queda muy desafinado, lo que significa que cualquier música que combine esas dos notas no se puede reproducir en esta afinación. Un intervalo muy desafinado como este se conoce como intervalo de lobo. En el caso de la afinación pitagórica, todas las quintas tienen 701,96 centésimas de ancho, en la proporción exacta de 3:2, excepto la quinta lobo, que tiene sólo 678,49 centésimas de ancho, casi un cuarto de semitono más bemol.

Si las notas G♯ y E♭ necesitan para que suenen juntos, se puede cambiar la posición de la quinta del lobo. Por ejemplo, una afinación pitagórica basada en C produciría una pila de quintas que van desde D♭ a F♯, creando F♯ -D♭ el intervalo de lobo. Sin embargo, siempre habrá una quinta de lobo en la afinación pitagórica, lo que hace imposible tocar en todas las tonalidades afinadas.

Tamaño de los intervalos

La tabla anterior muestra solo intervalos desde D. Sin embargo, los intervalos se pueden formar comenzando desde cada una de las 12 notas enumeradas anteriormente. Así, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo (doce unísonos, doce semitonos, doce intervalos compuestos por 2 semitonos, doce intervalos compuestos por 3 semitonos, etc.).

Tasa de frecuencia de los 144 intervalos en el ajuste pitagórico basado en D. Los nombres intervalidos se dan en su forma acortada. Los intervalos puros se muestran en negrita fuente. Los intervalos de lobo se destacan en rojo. Los números superiores a 999 se muestran como poderes de 2 o 3.

Tamaño aproximado en centavos de los 144 intervalos en el ajuste pitagórico basado en D. Los nombres intervalidos se dan en su forma acortada. Los intervalos puros se muestran en negrita fuente. Los intervalos de lobo se destacan en rojo.

Como se explicó anteriormente, uno de los doce quintos (el quinto lobo) tiene un tamaño diferente con respecto a los otros once. Por una razón similar, cada uno de los otros tipos de intervalos, excepto los unísonos y las octavas, tiene dos tamaños diferentes en la afinación pitagórica. Este es el precio que se paga por buscar la entonación justa. Las tablas de la derecha y de abajo muestran sus relaciones de frecuencia y sus tamaños aproximados en centavos. Los nombres de los intervalos se dan en su forma abreviada estándar. Por ejemplo, el tamaño del intervalo de D a A, que es un quinto perfecto (P5), se puede encontrar en la séptima columna de la fila denominada D. Los intervalos estrictamente justos (o puros) se muestran en fuente negrita. Los intervalos de Wolf están resaltados en rojo.

La razón por la que los tamaños de los intervalos varían a lo largo de la escala es que los tonos que forman la escala están espaciados de manera desigual. Es decir, las frecuencias definidas por construcción para las doce notas determinan dos semitonos diferentes (es decir, intervalos entre notas adyacentes):

Segundo menorm2), también llamado semitona diatónica, con tamaño
$S_1 = {256 over 243} approx 90.225 hbox{cents}$
(por ejemplo, entre D y E.)
El unísono aumentado (A1), también llamado semitona cromática, con tamaño
$S_2 = {3^7 over 2^{11}} = {2187 over 2048} approx 113.685 hbox{cents}$
(por ejemplo, entre E. y E)

Por el contrario, en una escala cromática igualmente temperada, por definición, los doce tonos están igualmente espaciados, todos los semitonos tienen un tamaño de exactamente

S_E = sqrt[12]{2} = 100.000 hbox{cents}.

Como consecuencia, todos los intervalos de cualquier tipo tienen el mismo tamaño (p. ej., todas las terceras mayores tienen el mismo tamaño, todas las quintas tienen el mismo tamaño, etc.). El precio pagado, en este caso, es que ninguno de ellos está justamente afinado y perfectamente consonante, excepto, por supuesto, el unísono y la octava.

Por definición, en la afinación pitagórica, 11 quintas perfectas (P5 en la tabla) tienen un tamaño de aproximadamente 701,955 centésimas (700+ε centésimas, donde ε ≈ 1,955 centésimas). Dado que el tamaño promedio de los 12 quintos debe ser exactamente igual a 700 centavos (como en el temperamento igual), el otro debe tener un tamaño de 700−11ε centavos, que es aproximadamente 678,495 centavos (el lobo quinto). Observe que, como se muestra en la tabla, el último intervalo, aunque enarmónicamente equivalente a una quinta, se llama más propiamente una sexta disminuida (d6). Similarmente,

9 tercios menores (m3) son ♥ 294.135 centavos (300−3ε), 3 segundos aumentados (A2) son 317.595 centavos (300+9ε), y su promedio es de 300 centavos;
8 tercios principales (M3) son 407.820 centavos (400+4ε), 4 cuartos disminuidos (d4) son 384.360 céntimos (400-8ε), y su promedio es de 400 céntimos;
7 semitones diatónicosm2) son Ω 90.225 céntimos (100−5ε), 5 semitones cromáticos (A1) son Ω 113.685 centavos (100+7ε), y su promedio es de 100 centavos.

En resumen, se observan diferencias similares en ancho para todos los tipos de intervalo, excepto para unísonos y octavas, y todos son múltiplos de ε, la diferencia entre la quinta pitagórica y la quinta promedio.

Observe que, como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12ε (≈ 23,460) centésimas más estrecho o más ancho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, el d6 (o quinto lobo) es 12ε centavos más estrecho que cada P5, y cada A2 es 12ε centavos más ancho que cada m3. Este intervalo de tamaño 12ε se conoce como coma pitagórica, exactamente igual al opuesto de un segundo disminuido (≈ −23,460 centésimas). Esto implica que ε también se puede definir como la doceava parte de una coma pitagórica.

Intervalos de Pitágoras

Cuatro de los intervalos antes mencionados toman un nombre específico en la afinación pitagórica. En la siguiente tabla, se proporcionan estos nombres específicos, junto con nombres alternativos usados genéricamente para algunos otros intervalos. Nótese que la coma pitagórica no coincide con la segunda disminuida, ya que su tamaño (524288:531441) es el recíproco de la segunda disminuida pitagórica (531441:524288). También ditono y semiditono son específicos para la afinación pitagórica, mientras que tono y tritono se usan genéricamente para todos los sistemas de afinación. A pesar de su nombre, un semitono (3 semitonos, o unas 300 centésimas) difícilmente puede verse como la mitad de un dítono (4 semitonos, o unas 400 centésimas). Todos los intervalos con prefijo sesqui- están justamente afinados, y su relación de frecuencias, que se muestra en la tabla, es un número superparticular (o relación epimórfica). Lo mismo es cierto para la octava.

Número de semitontas	Nombres genéricos				Nombres específicos
	Calidad y número		Otras convenciones sobre nombres		Tuning pitagórico (pitch ratio names)	Ajuste de 5 límites	1/4-commameantone
	Total	Corto	Otras convenciones sobre nombres		Tuning pitagórico (pitch ratio names)	Ajuste de 5 límites	1/4-commameantone
0			coma		Pythagorean comma (524288:531441)		diesis (128:125)
0	disminuido segundo	d2			(531441:524288)		diesis (128:125)
1	segundo menor	m2	Semitone, medio tono, medio paso	Semitone diatónico, minor semitone	limma (λείμα) (256:243)
1	unison aumentada	A1	Semitone, medio tono, medio paso	Semitone cromático, major semitone	apotome (αποτομё) (2187:2048)
2	segundo	M2	tono, tono entero, paso entero		epogdoön (επόγδον), sesquioctavum (9:8)
3	tercero menor	m3			semiditona (32:27)	sesquiquintum (6:5)
4	tercero	M3			ditone (δίτονον) (81:64)	sesquiquartum (5:4)
5	cuarto perfecto	P4	diatessaron (ιιατεσσσσρων)		epitrito (είτρτιος), sesquitertium (4:3)
6	disminuido quinto	d5
6	cuarto aumentado	A4			tritone (τρίτονον) (729:512)
7	perfecta	P5	diapente (διαπ Conceptντε)		hemiolion (ινιόλιον), sesquialterum (3:2)
12	(por defecto) octava	P8	diapason (διαπασюν)		duplex (2:1)

Historial y uso

El sistema data de la antigua Mesopotamia y consistía en alternar quintas ascendentes y cuartas descendentes; ver Música de Mesopotamia § Teoría de la música. Dentro de la música griega antigua, los autores modernos de teoría musical habían atribuido el sistema principalmente a Pitágoras (que vivió alrededor del año 500 a. C.); Los antiguos griegos tomaron prestada gran parte de su teoría musical de Mesopotamia, incluida la escala diatónica, la afinación pitagórica y los modos. La escala china Shí-èr-lǜ utiliza los mismos intervalos que la escala pitagórica y se inventó entre el 600 a. C. y el 240 d. C.

Debido al intervalo del lobo cuando se usa un temperamento pitagórico de 12 tonos, esta afinación rara vez se usa en la actualidad, aunque se cree que estuvo muy extendida. En música que no cambia de tonalidad muy a menudo, o que no es muy aventurera armónicamente, es poco probable que el intervalo de lobo sea un problema, ya que no se escucharán todas las quintas posibles en tales piezas. En la afinación pitagórica extendida no hay intervalo de lobo, todas las quintas perfectas son exactamente 3:2.

Debido a que la mayoría de las quintas en el temperamento pitagórico de 12 tonos están en una proporción simple de 3:2, suenan muy "suaves" y consonante. Las terceras, por el contrario, la mayoría de las cuales se encuentran en proporciones relativamente complejas de 81:64 (para terceras mayores) y 32:27 (para terceras menores), suenan menos suaves según el instrumento.

Desde aproximadamente 1510 en adelante, cuando las terceras comenzaron a ser tratadas como consonancias, el temperamento de medio tono y, en particular, el medio tono de un cuarto de coma, que afina las terceras en una proporción relativamente simple de 5:4, se convirtió en el sistema más popular para afinar teclados. Al mismo tiempo, la entonación justa sintónico-diatónica fue postulada primero por Ramos y luego por Zarlino como la afinación normal para los cantantes.

Sin embargo, meantone presentó sus propios desafíos armónicos. Sus intervalos de lobo demostraron ser incluso peores que los de la afinación pitagórica (tanto que a menudo requería 19 teclas por octava en lugar de las 12 en la afinación pitagórica). Como consecuencia, el tono medio no era adecuado para toda la música. Alrededor del siglo XVIII, a medida que crecía el deseo de que los instrumentos cambiaran de clave y, por lo tanto, evitar un intervalo de lobo, esto llevó al uso generalizado de temperamentos buenos y, finalmente, temperamentos iguales.

El temperamento pitagórico todavía se puede escuchar en algunas partes de la música clásica moderna de cantantes y de instrumentos sin afinación fija, como la familia del violín. Cuando un intérprete tiene un pasaje sin acompañamiento basado en escalas, tenderá a usar la entonación pitagórica, ya que eso hará que la escala suene mejor afinada, y luego volverá a otros temperamentos para otros pasajes (solo entonación para figuras de acordes o arpegiados, y temperamento igual cuando acompañado de piano u orquesta). Esto se puede ver en el primer compás de la Sonata n.º 1 de Bach para violín sin acompañamiento, donde el si bemol del acorde inicial se toca de forma natural con una entonación justa y suena más plano que el si bemol subsiguiente que aparece en un acorde. escala descendente y es naturalmente pitagórico. Dichos cambios nunca se anotan explícitamente y son apenas perceptibles para la audiencia, simplemente suenan 'afinados'.

Discografía

Bragod es un dúo dando interpretaciones históricamente informadas de la música mediaeval Welsh usando el liro crwth y de seis cuerdas usando el afinado pitagórico
Voces góticas – Música para el Rey León (Hyperion, CDA66336, 1989), dirigida por Christopher Page (Leech-Wilkinson)
Lou Harrison realizado por John Schneider y el Ensemble de Percusión de las Artes de Cal realizado por John Bergamo - Guitar " Percusión " (Etceter Records, KTC1071, 1990): Suite No 1 para guitarra y percusión y Variaciones simples en "Song of Palestine"

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