Acople Tusi

Un Acople Tusi o pareja Tusi es un dispositivo matemático en el que un círculo pequeño gira dentro de un círculo más grande dos veces el diámetro del círculo más pequeño. Las rotaciones de los círculos hacen que un punto en la circunferencia del círculo más pequeño oscile de un lado a otro en movimiento lineal a lo largo del diámetro del círculo más grande. El par Tusi es un hipocicloide de 2 cúspides.

La pareja fue propuesta por primera vez por el astrónomo y matemático persa del siglo XIII Nasir al-Din al-Tusi en su Tahrir al-Majisti (Comentario sobre el Almagesto) de 1247 como una solución para el movimiento latitudinal de los planetas inferiores, y luego se usó ampliamente. como sustituto del ecuante introducido más de mil años antes en el Almagesto de Ptolomeo.

Descripción original

Tusi describió la curva de la siguiente manera:Si dos círculos coplanares, el diámetro de uno de los cuales es igual a la mitad del diámetro del otro, se toman internamente tangentes en un punto, y si se toma un punto en el círculo más pequeño, y sea en el punto de tangencia, y si los dos círculos se mueven con movimientos simples en direcciones opuestas de tal manera que el movimiento del [círculo] más pequeño es el doble que el del más grande, de modo que el más pequeño completa dos rotaciones por cada rotación del más grande, entonces ese punto se ve moverse sobre el diámetro del círculo mayor que inicialmente pasa por el punto de tangencia, oscilando entre los extremos.

Algebraicamente, esto se puede expresar con números complejos como

Otros comentaristas han observado que la pareja Tusi puede interpretarse como una curva rodante donde la rotación del círculo interior satisface una condición de no deslizamiento a medida que su punto tangente se mueve a lo largo del círculo exterior fijo.

Otras fuentes

El término "pareja Tusi" es moderno, acuñado por Edward Stewart Kennedy en 1966. Es uno de varios dispositivos astronómicos islámicos tardíos que tienen una sorprendente similitud con los modelos en De revolutionibus de Nicolaus Copernicus, incluido su modelo de Mercurio y su teoría de la trepidación. Los historiadores sospechan que Copérnico u otro autor europeo tuvo acceso a un texto astronómico árabe, pero aún no se ha identificado una cadena exacta de transmisión, aunque se ha sugerido al científico y viajero del siglo XVI Guillaume Postel.

Dado que Copérnico utilizó la pareja de Tusi en su reformulación de la astronomía matemática, existe un consenso creciente de que se dio cuenta de esta idea de alguna manera. Se ha sugerido que la idea de la pareja Tusi pudo haber llegado a Europa dejando pocas huellas manuscritas, ya que pudo haber ocurrido sin la traducción de ningún texto árabe al latín. Una posible ruta de transmisión puede haber sido a través de la ciencia bizantina; Gregory Chioniades tradujo algunas de las obras de al-Tusi del árabe al griego bizantino. Todavía se conservan en Italia varios manuscritos griegos bizantinos que contienen la pareja Tusi.

Existen otras fuentes para este modelo matemático para convertir movimientos circulares en movimientos lineales alternativos. Se encuentra en el Comentario de Proclo sobre el Primer Libro de Euclides y el concepto era conocido en París a mediados del siglo XIV. En sus preguntas sobre la esfera (escritas antes de 1362), Nicole Oresme describió cómo combinar movimientos circulares para producir un movimiento lineal alternativo de un planeta a lo largo del radio de su epiciclo. La descripción de Oresme no está clara y no está claro si esto representa una invención independiente o un intento de enfrentarse a un texto árabe mal entendido.

Ejemplos posteriores

Aunque la pareja Tusi se desarrolló dentro de un contexto astronómico, matemáticos e ingenieros posteriores desarrollaron versiones similares de lo que se denominó mecanismos de línea recta hipocicloide. El matemático Gerolamo Cardano diseñó un sistema conocido como movimiento cardánico (también conocido como engranaje cardánico). Los ingenieros del siglo XIX James White, Matthew Murray, así como los diseñadores posteriores, desarrollaron aplicaciones prácticas del mecanismo de línea recta hipocicloide.

John Goodman desarrolló en 2021 una versión práctica y mecánicamente simple de Tusi Couple, que evita el uso de un engranaje de llanta externo, para proporcionar movimiento lineal. Utiliza 3 engranajes rectos estándar. Un brazo giratorio (azul) está montado en un eje central, en el que está montado un engranaje fijo (amarillo). Un engranaje loco (rojo) en el brazo engrana con el engranaje fijo. Un tercer engranaje (verde) engrana con la rueda loca. El tercer engranaje tiene la mitad del número de dientes del engranaje fijo. Un (brazo naranja) está fijado a la tercera marcha. Si la longitud del brazo es igual a la distancia entre los engranajes fijo y exterior = d, el brazo describirá una línea recta de tiro = 2d. Una ventaja de este diseño es que, si los engranajes de módulo estándar no brindan el recorrido requerido, el engranaje loco no tiene que ser colineal con los otros dos engranajes.

Hipotrocoide

Una propiedad de la pareja Tusi es que los puntos del círculo interior que no están en la circunferencia trazan elipses. Estas elipses y la línea recta trazada por el clásico par de Tusi son casos especiales de hipotrocoides.