Aceleración angular

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En física, la aceleración angular se refiere a la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo. Como hay dos tipos de velocidad angular, a saber, la velocidad angular de espín y la velocidad angular orbital, naturalmente también hay dos tipos de aceleración angular, denominadas aceleración angular de espín y aceleración angular orbital, respectivamente. La aceleración angular de espín se refiere a la aceleración angular de un cuerpo rígido con respecto a su centro de rotación, y la aceleración angular orbital se refiere a la aceleración angular de una partícula puntual con respecto a un origen fijo.

La aceleración angular se mide en unidades de ángulo por unidad de tiempo al cuadrado (que en unidades SI son radianes por segundo al cuadrado), y generalmente se representa con el símbolo alfa (α). En dos dimensiones, la aceleración angular es un pseudoescalar cuyo signo se toma positivo si la velocidad angular aumenta o disminuye en sentido horario, y negativo si la velocidad angular aumenta o disminuye en sentido antihorario. En tres dimensiones, la aceleración angular es un pseudovector.

Para cuerpos rígidos, la aceleración angular debe ser causada por un par externo neto. Sin embargo, esto no es así para los cuerpos no rígidos: por ejemplo, una patinadora artística puede acelerar su rotación (obteniendo así una aceleración angular) simplemente contrayendo sus brazos y piernas hacia adentro, lo que no implica un par externo.

Aceleración angular orbital de una partícula puntual

Registro de una rotación con una aceleración angular constante. Hay 0.02s entre cada punto

Partícula en dos dimensiones

En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la velocidad a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula con respecto al origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier momento está dada por ${displaystyle omega ={frac {v_{perp}}{r}},}$

donde $r$ es la distancia desde el origen y $v_ { perpetrador}$ es la componente radial cruzada de la velocidad instantánea (es decir, la componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positiva para el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj y negativa para el movimiento en el sentido de las agujas del reloj.

Por tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula está dada por ${displaystyle alpha ={frac {d}{dt}}left({frac {v_{perp}}{r}}right).}$

Expandiendo el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, esto se convierte en ${displaystyle alpha ={frac {1}{r}}{frac {dv_{perp }}{dt}}-{frac {v_{perp }}{r^{2}}}{ frac{dr}{dt}}.}$

En el caso especial en el que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen, ${displaystyle {frac {dv_{perp}}{dt}}}$ se convierte en la aceleración tangencial ${displaystyle a_{perp}}$ y ${frac{dr}{dt}}$ se desvanece (ya que la distancia desde el origen permanece constante), por lo que la ecuación anterior se simplifica a ${displaystyle alpha ={frac {a_{perp}}{r}}.}$

En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con signo más o menos que indica orientación, pero no apunta en una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si la velocidad angular aumenta en el sentido contrario a las agujas del reloj o disminuye en el sentido de las agujas del reloj, y el signo se toma como negativo si la velocidad angular aumenta en el sentido de las agujas del reloj o disminuye en el sentido contrario. Entonces, la aceleración angular puede denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la velocidad a la que el vector de velocidad angular orbital tridimensional cambia con el tiempo. El vector de velocidad angular instantánea ${ símbolo de negrita omega}$ en cualquier punto en el tiempo está dado por ${displaystyle {boldsymbol {omega }}={frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r^{2}}},}$

donde $mathbf{r}$ es el vector de posición de la partícula, $r$ su distancia desde el origen y $matemáticas {v}$ su vector de velocidad.

Por lo tanto, la aceleración angular orbital es el vector ${ símbolo de negrita { alfa}}$ definido por ${displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {d}{dt}}left({frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r^{2}}} Correcto).}$

Expandiendo esta derivada usando la regla del producto para productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene: ${displaystyle {begin{alineado}{boldsymbol {alpha }}&={frac {1}{r^{2}}}left(mathbf {r} times {frac {dmathbf {v} }{dt}}+{frac {dmathbf {r} }{dt}}times mathbf {v} right)-{frac {2}{r^{3}}}{ frac {dr}{dt}}left(mathbf {r} times mathbf {v} right)\\&={frac {1}{r^{2}}}left(mathbf {r} times mathbf {a} +mathbf {v} times mathbf {v} right)-{frac {2}{r^{3}}}{frac {dr}{ dt}}left(mathbf {r} times mathbf {v} right)\\&={frac {mathbf {r} times mathbf {a} }{r^{2} }}-{frac {2}{r^{3}}}{frac {dr}{dt}}left(mathbf {r} times mathbf {v} right).end{alineado }}}$

Como ${displaystyle mathbf {r} times mathbf {v} }$ es justo ${displaystyle r^{2}{boldsymbol {omega }}}$ , el segundo término se puede reescribir como ${displaystyle -{frac {2}{r}}{frac {dr}{dt}}{boldsymbol {omega }}}$ . En el caso de que la distancia $r$ de la partícula desde el origen no cambie con el tiempo (que incluye el movimiento circular como subcaso), el segundo término desaparece y la fórmula anterior se simplifica a ${displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {mathbf {r} times mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

A partir de la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial cruzada en este caso especial como: ${displaystyle mathbf {a} _{perp }={boldsymbol {alpha }}times mathbf {r}.}$

A diferencia de las dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no necesita estar asociada con un cambio en la velocidad angular: si el vector de posición de la partícula "gira" en el espacio, cambiando su plano instantáneo de desplazamiento angular, el cambio en la dirección del ángulo la velocidad ${ símbolo de negrita { omega}}$ seguirá produciendo una aceleración angular distinta de cero. Esto no puede suceder si el vector de posición está restringido a un plano fijo, en cuyo caso ${ símbolo de negrita { omega}}$ tiene una dirección fija perpendicular al plano.

El vector de aceleración angular se llama más correctamente pseudovector: tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que lo hacen las coordenadas cartesianas de un punto, pero que no se transforman como las coordenadas cartesianas bajo reflejos.

Relación con el par

La velocidad angular se considera positiva cuando el cuerpo gira en sentido antihorario con respecto al marco de referencia de dicho sólido

El par neto en una partícula puntual se define como el pseudovector ${displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {r} times mathbf {F},}$

donde $mathbf {F}$ es la fuerza neta sobre la partícula.

El par es el análogo rotacional de la fuerza: induce un cambio en el estado de rotación de un sistema, al igual que la fuerza induce un cambio en el estado de traslación de un sistema. Como la fuerza sobre una partícula está relacionada con la aceleración mediante la ecuación ${displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }$ , se puede escribir una ecuación similar que conecte el par de torsión sobre una partícula con la aceleración angular, aunque esta relación es necesariamente más complicada.

Primero, sustituyendo ${displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }$ el torque en la ecuación anterior, se obtiene ${displaystyle {boldsymbol {tau }}=mleft(mathbf {r} times mathbf {a} right)=mr^{2}left({frac {mathbf {r} veces mathbf {a} }{r^{2}}}right).}$

De la sección anterior: ${displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {mathbf {r} times mathbf {a} }{r^{2}}}-{frac {2}{r}}{ fracción {dr}{dt}}{boldsymbol {omega}},}$

donde ${ símbolo de negrita { alfa}}$ es la aceleración angular orbital y ${ símbolo de negrita { omega}}$ es la velocidad angular orbital. Por lo tanto: ${displaystyle {boldsymbol {tau }}=mr^{2}left({boldsymbol {alpha }}+{frac {2}{r}}{frac {dr}{dt}}{ boldsymbol {omega }}right)=mr^{2}{boldsymbol {alpha }}+2mr{frac {dr}{dt}}{boldsymbol {omega }}.}$

En el caso especial de distancia constante $r$ de la partícula desde el origen ( ${displaystyle {tfrac{dr}{dt}}=0}$ ), el segundo término en la ecuación anterior desaparece y la ecuación anterior se simplifica a ${displaystyle {boldsymbol {tau}}=mr^{2}{boldsymbol {alpha}},}$

que puede interpretarse como un "análogo rotacional" a ${displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }$ , donde la cantidad $señor^{2}$ (conocida como el momento de inercia de la partícula) juega el papel de la masa $metro$ . Sin embargo, a diferencia ${displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }$ de, esta ecuación no se aplica a una trayectoria arbitraria, solo a una trayectoria contenida dentro de una capa esférica alrededor del origen.

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