Acción (física)

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Cantidad física de la energía de dimensión × tiempo

En física, acción es una cantidad escalar que describe cómo ha cambiado un sistema físico con el tiempo (su dinámica). La acción es importante porque las ecuaciones de movimiento del sistema se pueden derivar a través del principio de acción estacionaria.

En el caso simple de una sola partícula que se mueve con una velocidad constante (movimiento lineal uniforme), la acción es el momento de la partícula multiplicado por la distancia que recorre, sumado a lo largo de su trayectoria; de manera equivalente, la acción es el doble de la energía cinética de la partícula por la duración durante la cual tiene esa cantidad de energía. Para sistemas más complicados, todas esas cantidades se combinan.

Más formalmente, la acción es un funcional matemático que toma la trayectoria (también llamada camino o historia) del sistema como argumento y tiene un número real como resultado. Generalmente, la acción toma diferentes valores para diferentes caminos. La acción tiene dimensiones de energía × tiempo o impulso × longitud, y su unidad SI es julio-segundo (como la constante de Planck h).

Introducción

El principio de Hamilton establece que las ecuaciones diferenciales de movimiento para cualquier sistema físico pueden reformularse como una ecuación integral equivalente. Por lo tanto, hay dos enfoques distintos para formular modelos dinámicos.

Se aplica no solo a la mecánica clásica de una sola partícula, sino también a campos clásicos como el electromagnético y el gravitatorio. El principio de Hamilton también se ha extendido a la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, en particular, la formulación de la integral de caminos de la mecánica cuántica hace uso del concepto, donde un sistema físico sigue aleatoriamente uno de los caminos posibles, con la fase del la amplitud de probabilidad para cada camino está determinada por la acción para el camino.

Solución de ecuación diferencial

Las leyes empíricas se expresan con frecuencia como ecuaciones diferenciales, que describen cómo las cantidades físicas, como la posición y el momento, cambian continuamente con el tiempo, el espacio o una generalización de los mismos. Dadas las condiciones iniciales y de contorno de la situación, la "solución" a estas ecuaciones empíricas corresponde una o más funciones que describen el comportamiento del sistema y se denominan ecuaciones de movimiento.

Minimización de la integral de acción

Acción es parte de un enfoque alternativo para encontrar tales ecuaciones de movimiento. La mecánica clásica postula que el camino realmente seguido por un sistema físico es aquel para el cual la acción se minimiza, o más generalmente, es estacionario. En otras palabras, la acción satisface un principio variacional: el principio de acción estacionaria (ver también más abajo). La acción se define por una integral, y las ecuaciones clásicas de movimiento de un sistema se pueden derivar minimizando el valor de esa integral.

Este principio simple proporciona una visión profunda de la física y es un concepto importante en la física teórica moderna.

Historia

Acción se definió de varias maneras ahora obsoletas durante el desarrollo del concepto.

Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli y Pierre Louis Maupertuis definieron la acción para la luz como parte integral de su velocidad o velocidad inversa a lo largo de su trayectoria.
Leonhard Euler (y, posiblemente, Leibniz) definió la acción para una partícula material como parte integral de la velocidad de la partícula a lo largo de su camino a través del espacio.
Pierre Louis Maupertuis presentó varios ad hoc y definiciones contradictorias de acción dentro de un solo artículo, definiendo la acción como energía potencial, como energía cinética virtual, y como híbrido que aseguraba la conservación del impulso en las colisiones.

Definición matemática

Expresado en lenguaje matemático, usando el cálculo de variaciones, la evolución de un sistema físico (es decir, cómo el sistema realmente progresa de un estado a otro) corresponde a un punto estacionario (generalmente, un mínimo) de la acción.

Varias definiciones diferentes de "la acción" son de uso común en física. La acción suele ser una integral en el tiempo. Sin embargo, cuando la acción se refiere a campos, también puede integrarse sobre variables espaciales. En algunos casos, la acción se integra a lo largo del camino seguido por el sistema físico.

La acción normalmente se representa como una integral en el tiempo, tomada a lo largo de la ruta del sistema entre el tiempo inicial y el tiempo final del desarrollo del sistema:

{displaystyle {mathcal {S}}=int _{t_{1}}^{t_{2}}L,dt,}

La acción tiene las dimensiones de [energía] × [tiempo], y su unidad SI es joule-segundo, que es idéntica a la unidad de momento angular.

Acción en la física clásica

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In classical physics, the term n#34;action" has a number of meanings.

Acción (funcional)

Más comúnmente, el término se utiliza para un funcionamiento ${mathcal {S}}$ que toma una función de tiempo y (para campos) espacio como entrada y devuelve un escalar. En la mecánica clásica, la función de entrada es la evolución q()t) del sistema entre dos veces t₁ y t₂, donde q representa las coordenadas generalizadas. La acción $mathcal{S}[mathbf{q}(t)]$ se define como la integral del Lagrangiano L para una evolución de entrada entre las dos veces:

{displaystyle {mathcal {S}}[mathbf {q} (t)]=int _{t_{1}}^{t_{2}}L(mathbf {q} (t),{dot {mathbf {q} }}(t),t),dt,}

mathbf{q}_{1} = mathbf{q}(t_{1})

mathbf{q}_{2} = mathbf{q}(t_{2})

q_verdaderot

mathcal{S}[mathbf{q}(t)]

Acción abreviada (funcional)

La acción abreviada también es funcional. Normalmente se denota como $mathcal{S}_{0}$ . Aquí la función de entrada es la sendero seguido por el sistema físico sin tener en cuenta su parámetro por el tiempo. Por ejemplo, el camino de una órbita planetaria es un elipse, y el camino de una partícula en un campo gravitatorio uniforme es una parabola; en ambos casos, el camino no depende de lo rápido que la partícula atraviesa el camino. La acción abreviada $mathcal{S}_{0}$ se define como la parte integral del momenta generalizado a lo largo de un camino en las coordenadas generalizadas:

{displaystyle {mathcal {S}}_{0}=int mathbf {p} cdot dmathbf {q} =int p_{i},dq_{i}.}

{displaystyle {mathcal {S}}_{0}=int _{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {p} (t)cdot {dot {mathbf {q} }}(t),dt=int _{t_{1}}^{t_{2}}p_{i}(t),{frac {dq_{i}(t)}{dt}},dt.}

mathcal{S}_{0}

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Hamilton 's principal function

Función principal de Hamilton ${displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$ se obtiene de la acción funcional ${mathcal {S}}$ fijando el tiempo inicial $t_{0}$ y el punto final inicial ${displaystyle q_{0},}$ permitiendo el límite de tiempo superior $t$ y el segundo punto final $q$ para variar. La función principal de Hamilton satisface la ecuación Hamilton-Jacobi, una formulación de la mecánica clásica. Debido a una similitud con la ecuación Schrödinger, la ecuación Hamilton-Jacobi proporciona, posiblemente, el vínculo más directo con la mecánica cuántica.

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Hamilton 's characteristic function

Cuando la energía total E se conserva, la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede resolver con la separación aditiva de variables:

{displaystyle S(q_{1},dotsq_{N},t)=W(q_{1},dotsq_{N})-Ecdot t,}

Wq₁q₂q_NFunción característica de Hamilton

{displaystyle {frac {dW}{dt}}={frac {partial W}{partial q_{i}}}{dot {q}}_{i}=p_{i}{dot {q}}_{i}.}

Esto se puede integrar para dar

{displaystyle W(q_{1},dotsq_{N})=int p_{i}{dot {q}}_{i},dt=int p_{i},dq_{i},}

que es solo la acción abreviada.

Otras soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a menudo se resuelven mediante separabilidad aditiva; en algunos casos, los términos individuales de la solución, por ejemplo, S_k(q_k), también son llamado "acción".

Acción de una coordenada generalizada

Esta es una sola variable J_k en las coordenadas del ángulo de acción, definida al integrar un solo momento generalizado alrededor de un camino cerrado en el espacio de fase, correspondiente a rotación o movimiento oscilante:

{displaystyle J_{k}=oint p_{k},dq_{k}}

La variable J_k se denomina "acción" de la coordenada generalizada q_k; la variable canónica correspondiente conjugada a J_k es su "ángulo" w_k, por las razones descritas más detalladamente bajo las coordenadas del ángulo de acción. La integración es solo sobre una sola variable q_k y, por lo tanto, a diferencia del producto escalar integrado en la integral de acción abreviada anterior. La variable J_k es igual al cambio en S_k(q_k) ya que q_k varía alrededor de la ruta cerrada. Para varios sistemas físicos de interés, J_k es una constante o varía muy lentamente; por lo tanto, la variable J_k se usa a menudo en cálculos de perturbaciones y en la determinación de invariantes adiabáticos.

Acción para un flujo hamiltoniano

Véase monoforme tautológico.

Ecuaciones de Euler-Lagrange

En la mecánica lagrangiana, el requisito de que la integral de acción sea estacionaria bajo pequeñas perturbaciones es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales (llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange) que pueden obtenerse usando el cálculo de variaciones.

El principio de acción

Campos clásicos

El principio de acción puede extenderse para obtener las ecuaciones de movimiento de campos, como el campo electromagnético o el campo gravitacional.

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert limitada por un principio de variación.

La trayectoria (camino en el espacio-tiempo) de un cuerpo en un campo gravitatorio se puede encontrar utilizando el principio de acción. Para un cuerpo en caída libre, esta trayectoria es una geodésica.

Leyes de conservación

Las implicaciones de las simetrías en una situación física se pueden encontrar con el principio de acción, junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange, que se derivan del principio de acción. Un ejemplo es el teorema de Noether, que establece que a toda simetría continua en una situación física le corresponde una ley de conservación (y viceversa). Esta conexión profunda requiere que se asuma el principio de acción.

Mecánica cuántica y teoría cuántica de campos

En mecánica cuántica, el sistema no sigue un único camino cuya acción sea estacionaria, sino que el comportamiento del sistema depende de todos los caminos permitidos y del valor de su acción. La acción correspondiente a las distintas trayectorias se utiliza para calcular la integral de trayectoria, que da las amplitudes de probabilidad de los diversos resultados.

Aunque en la mecánica clásica es equivalente a las leyes de Newton, el principio de acción se adapta mejor a las generalizaciones y juega un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física. Se entiende mejor dentro de la mecánica cuántica, particularmente en la formulación de la integral de trayectoria de Richard Feynman, donde surge de la interferencia destructiva de las amplitudes cuánticas.

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Maxwell 's equations can also be derived as conditions of stationary action.

Partícula relativista única

Cuando los efectos relativistas son significativos, la acción de una partícula de punto de masa m viajar una línea mundial C parametrizado por el tiempo adecuado $tau$ es

{displaystyle S=-mc^{2}int _{C},dtau.}

Si en cambio, la partícula está parametrizada por la coordenada de tiempo t de la partícula y la coordenada de tiempo va de t₁ a t₂, entonces la acción se convierte en

{displaystyle S=int _{t1}^{t2}L,dt,}

dónde está el Lagrangiano

{displaystyle L=-mc^{2}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}

Extensiones modernas

El principio de acción se puede generalizar aún más. Por ejemplo, la acción no necesita ser integral, porque las acciones no locales son posibles. El espacio de configuración ni siquiera necesita ser un espacio funcional, dadas ciertas características como la geometría no conmutativa. Sin embargo, queda por establecer experimentalmente una base física para estas extensiones matemáticas.

Fuentes y lecturas adicionales

Para obtener una bibliografía comentada, consulte Edwin F. Taylor, quien enumera, entre otras cosas, los siguientes libros

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