Acción de grupo

El grupo cíclico C₃ que consiste en las rotaciones de 0°, 120° y 240° en el conjunto de los tres vértices.

En matemáticas, una acción de grupo sobre un espacio es un homomorfismo de grupo de un grupo dado en el grupo de transformaciones del espacio. De manera similar, una acción de grupo sobre una estructura matemática es un homomorfismo de grupo de un grupo en el grupo de automorfismo de la estructura. Se dice que el grupo actúa sobre el espacio o estructura. Si un grupo actúa sobre una estructura, normalmente también actuará sobre los objetos construidos a partir de esa estructura. Por ejemplo, el conjunto de isometrías euclidianas actúa sobre el espacio euclidiano y también sobre las figuras dibujadas en él. Por ejemplo, actúa sobre el conjunto de todos los triángulos. De manera similar, el conjunto de simetrías de un poliedro actúa sobre los vértices, las aristas y las caras del poliedro.

Una acción de grupo en un espacio vectorial se denomina representación del grupo. En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita, permite identificar muchos grupos con subgrupos de GL(n, K), el grupo de las matrices invertibles de dimensión n sobre un campo K.

El grupo simétrico S_n actúa sobre cualquier conjunto con n elementos permutando los elementos del conjunto. Aunque el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto depende formalmente del conjunto, el concepto de acción de grupo permite considerar un solo grupo para estudiar las permutaciones de todos los conjuntos con la misma cardinalidad.

Definición

Acción del grupo izquierdo

Si G es un grupo con elemento de identidad e, y X es un conjunto, luego a (left) acción de grupo α de G en X es una función

${displaystyle alpha colon Gtimes Xto X,}$

que satisfaga los siguientes dos axiomas:

Identidad:	${displaystyle alpha (e,x)=x}$
Compatibilidad:	${displaystyle alpha left(g,alpha left(h,xright)right)=alpha left(gh,xright)}$

(con α(g, x) a menudo abreviado como gx o g ⋅ x cuando la acción siendo considerado es claro por el contexto):

Identidad:	${displaystyle ecdot x=x}$
Compatibilidad:	${displaystyle gcdot (hcdot x)=(gh)cdot x}$

para todos los g y h en G y todas las x en X.

Se dice que el grupo G actúa sobre X (desde la izquierda). Un conjunto X junto con una acción de G se llama (izquierda) G-set.

De estos dos axiomas, se deduce que para cualquier g en G, la función de X a sí misma que mapea x a g ⋅ x es una biyección, con biyección inversa el mapa correspondiente para g⁻¹. Por lo tanto, se puede definir de manera equivalente una acción grupal de G en X como homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico Sym(X) de todas las biyecciones desde X a sí mismo.

Acción del grupo correcto

Del mismo modo, una acción de grupo derecho de G en X es una función

${displaystyle alpha colon Xtimes Gto X,}$

que satisface los axiomas análogos:

Identidad:	${displaystyle alpha (x,e)=x}$
Compatibilidad:	${displaystyle alpha left(alpha left(x,gright),hright)=alpha left(x,ghright)}$

(con α(x, g) a menudo abreviado como xg o x ⋅ g cuando la acción siendo considerado es claro por el contexto)

Identidad:	${displaystyle xcdot e=x}$
Compatibilidad:	${displaystyle (xcdot g)cdot h=xcdot (gh)}$

para todos los g y h en G y todas las x en X.

La diferencia entre las acciones izquierda y derecha está en el orden en que un producto gh actúa sobre x. Para una acción izquierda, h actúa primero, seguida de g segundo. Para una acción correcta, g actúa primero, seguido de h segundo. Debido a la fórmula (gh)⁻¹ = h⁻¹< i>g⁻¹, se puede construir una acción izquierda a partir de una acción derecha componiendo con la operación inversa del grupo. Además, una acción correcta de un grupo G en X puede considerarse como una acción izquierda de su grupo opuesto G^op en X.

Por lo tanto, para establecer las propiedades generales de las acciones grupales, basta con considerar solo las acciones izquierdas. Sin embargo, hay casos en los que esto no es posible. Por ejemplo, la multiplicación de un grupo induce tanto una acción a la izquierda como una acción a la derecha en el grupo mismo: multiplicación a la izquierda y a la derecha, respectivamente.

Propiedades notables de las acciones

Vamos ${displaystyle G.$ ser un grupo actuando en un conjunto ${displaystyle X}$. La acción se llama fieles o efectiva si ${displaystyle gcdot x=x}$ para todos ${displaystyle xin X}$ implica que ${displaystyle G=e_{G}$. Equivalentemente, el morfismo de ${displaystyle G.$ al grupo de bijeones ${displaystyle X}$ correspondiente a la acción es inyectable.

La acción se llama gratis (o semiregular o fija-punto libre) si la declaración de que ${displaystyle gcdot x=x}$ para algunos ${displaystyle xin X}$ ya implica que ${displaystyle G=e_{G}$. En otras palabras, no hay elemento no-trivial ${displaystyle G.$ fija un punto de ${displaystyle X}$. Esta es una propiedad mucho más fuerte que la fidelidad.

Por ejemplo, la acción de cualquier grupo en sí misma por la multiplicación izquierda es libre. Esta observación implica el teorema de Cayley que cualquier grupo puede ser incrustado en un grupo simétrico (que es infinito cuando el grupo es). Un grupo finito puede actuar fielmente en un conjunto de tamaño mucho más pequeño que su cardinalidad (cuando tal acción no puede ser libre). Por ejemplo, el abeliano 2-grupo ${displaystyle (mathbb {Z} {Z})}$ (de la cardenalidad ${displaystyle 2^{n}$) actúa fielmente en un conjunto de tamaño ${displaystyle 2n}$. Este no es siempre el caso, por ejemplo el grupo cíclico ${displaystyle mathbb # Mathbb # {Z}$ no puede actuar fielmente en un conjunto de tamaño inferior a ${displaystyle 2^{n}$.

En general, el conjunto más pequeño en el que se puede definir una acción fiel puede variar mucho para grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, tres grupos de tamaño 120 son el grupo simétrico ${displaystyle S_{5}$, el grupo icosahedral ${displaystyle A_{5}times mathbb {Z} /2mathbb {Z}$ y el grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} /120mathbb {Z}$. Los conjuntos más pequeños sobre los cuales se pueden definir acciones fieles para estos grupos son de tamaño 5, 12 y 16 respectivamente.

Propiedades de transitividad

La acción de ${displaystyle G.$ on ${displaystyle X}$ se llama transitoria si por dos puntos ${displaystyle x,yin X}$ existe ${displaystyle gin G}$ así ${displaystyle gcdot x=y}$.

La acción es simplemente transitivo (o agudamente transitoria, o ordinario) si es transitivo y libre. Esto significa que dado ${displaystyle x,yin X}$ el elemento ${displaystyle g}$ en la definición de transitividad es única. Si ${displaystyle X}$ es actuado simplemente transitivamente por un grupo ${displaystyle G.$ entonces se llama un espacio homogéneo principal ${displaystyle G.$ o a ${displaystyle G.$- Señor.

Para un entero ${displaystyle ngeq 1}$, la acción es n-transitivo si ${displaystyle X}$ al menos ${displaystyle n}$ elementos, y para cualquier par de ${displaystyle n}$-tuples ${displaystyle (x_{1},ldotsx_{n}),(y_{1},ldotsy_{n})in X^{n}$ con entradas diferenciadas (eso es ${displaystyle x_{i}not =x_{j}$, ${displaystyle y_{i}not =y_{j}$ cuando ${displaystyle inot =j}$) existe un ${displaystyle gin G}$ tales que ${displaystyle gcdot x_{i}=y_{i}$ para ${displaystyle i=1,ldotsn}$. En otras palabras, la acción en el subconjunto ${displaystyle X^{n}$ de tuples sin entradas repetidas es transitivo. Para ${displaystyle n=2,3}$ a menudo se llama doble, respectivamente triple, transitividad. La clase de grupos 2-transitivos (es decir, subgrupos de un grupo simétrico finito cuya acción es 2-transitiva) y más generalmente multiplica grupos transitivos está bien estudiado en la teoría del grupo finito.

Una acción es agudamente ${displaystyle n}$-transitivo cuando la acción sobre tuples sin entradas repetidas en ${displaystyle X^{n}$ es muy transitivo.

Ejemplos

La acción del grupo simétrico ${displaystyle X}$ es transitivo, de hecho ${displaystyle n}$-transitivo para cualquier ${displaystyle n}$ hasta el cardenalismo ${displaystyle X}$. Si ${displaystyle X}$ tiene cardenalidad ${displaystyle n,}$ la acción del grupo alterna es ${displaystyle (n-2)}$-transitivo pero no ${displaystyle (n-1)}$-transitivo.

La acción del grupo lineal general de un espacio vectorial ${displaystyle V}$ en el set ${displaystyle Vsetminus{0}}$ de vectores no cero es transitivo, pero no 2-transitivo (similarmente para la acción del grupo lineal especial si la dimensión de ${displaystyle v}$ es al menos 2). La acción del grupo ortogonal de un espacio euclidiano no es transitiva en vectores no cero, sino que está en la esfera unitaria.

Acciones primitivas

La acción de ${displaystyle G.$ on ${displaystyle X}$ se llama primitivo si no hay partición de ${displaystyle X}$ preservados por todos los elementos ${displaystyle G.$ aparte de las particiones triviales (la partición en una sola pieza y su doble, la partición en singletons).

Propiedades topológicas

Supongamos que ${displaystyle X}$ es un espacio topológico y la acción de ${displaystyle G.$ es por homeomorfismos.

La acción es errante si ${displaystyle xin X}$ tiene un barrio ${displaystyle U}$ tal que sólo hay finitos ${displaystyle gin G}$ con ${displaystyle gcdot Ucap Unot =emptyset }$.

Más generalmente, un punto ${displaystyle xin X}$ se llama un punto de discontinuidad para la acción de ${displaystyle G.$ si hay un subconjunto abierto ${displaystyle Uni x}$ tal que sólo hay finitos ${displaystyle gin G}$ con ${displaystyle gcdot Ucap Unot =emptyset }$. El dominio de la discontinuidad de la acción es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad. Equivalentemente es el más grande ${displaystyle G.$- Subconjunto abierto estable ${displaystyle Omega subset X}$ tal que la acción de ${displaystyle G.$ on ${displaystyle Omega }$ Está vagando. En un contexto dinámico esto también se llama juego de vagabundeo.

La acción es adecuadamente discontinuo si para cada subconjunto compacto ${displaystyle Ksubset X}$ hay finitamente muchos ${displaystyle gin G}$ tales que ${displaystyle gcdot Kcap Knot =emptyset }$. Esto es estrictamente más fuerte que vagabundear; por ejemplo, la acción de ${displaystyle mathbb {Z}$ on ${displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)}$ dado por ${displaystyle ncdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y) }$ está vagando y libre pero no adecuadamente discontinuo.

La acción por las transformaciones de cubierta del grupo fundamental de un espacio local simplemente conectado en un espacio de cobertura es vagando y libre. Estas acciones pueden caracterizarse por los siguientes bienes: ${displaystyle xin X}$ tiene un barrio ${displaystyle U}$ tales que ${displaystyle gcdot Ucap U=emptyset }$ para todos ${displaystyle gin Gsetminus {e_{G}}}$. Las acciones con esta propiedad a veces se llaman libremente discontinuo, y el subconjunto más grande en el que la acción es libremente discontinua se llama entonces el set regular libre.

Una acción de un grupo ${displaystyle G.$ en un espacio localmente compacto ${displaystyle X}$ se llama cocompactado si existe un subconjunto compacto ${displaystyle Asubset X}$ tales que ${displaystyle X=Gcdot A}$. Para una acción adecuadamente discontinua, la cocompactitud es equivalente a la compactidad del espacio cociente ${displaystyle Gbackslash X}$.

Acciones de grupos topológicos

Ahora asume ${displaystyle G.$ es un grupo topológico y ${displaystyle X}$ un espacio topológico en el que actúa por homeomorfismos. Se dice que la acción es continuo si el mapa ${displaystyle Gtimes Xto X}$ es continua para la topología del producto.

Se dice que la acción es apropiado si el mapa ${displaystyle Gtimes Xto Xtimes X}$ definidas por ${displaystyle (g,x)mapsto (x,gcdot x)}$ es apropiado. Esto significa que dados conjuntos compactos ${displaystyle K,K}$ el conjunto de ${displaystyle gin G}$ tales que ${displaystyle gcdot Kcap K'not =emptyset }$ es compacto. En particular, esto equivale a una adecuada discontinuidad cuando ${displaystyle G.$ es un grupo discreto.

Se dice que locales libres si existe un barrio ${displaystyle U}$ de ${displaystyle E_{G}$ tales que ${displaystyle gcdot xnot =x}$ para todos ${displaystyle xin X}$ y ${displaystyle gin Usetminus {e_{G}}}$.

Se dice que la acción es fuertemente continua si el mapa orbital ${displaystyle gmapsto gcdot x}$ es continuo para cada ${displaystyle xin X}$. Contrariamente a lo que sugiere el nombre, esta es una propiedad más débil que la continuidad de la acción.

Si ${displaystyle G.$ es un grupo de Lie y ${displaystyle X}$ un manifold diferente, luego el subespacio puntos lisos para la acción es el conjunto de puntos ${displaystyle xin X}$ tal que el mapa ${displaystyle xmapsto gcdot x}$ es suave. Hay una teoría bien desarrollada de las acciones del grupo Lie, es decir, acción que son suaves en todo el espacio.

Acciones lineales

Si ${displaystyle g}$ actúa por transformaciones lineales en un módulo sobre un anillo comunicativo, se dice que la acción es irreducible si no hay un nocero adecuado ${displaystyle g}$- Submodules invariantes. Se dice que semisimple si se descompone como una suma directa de acciones irreducibles.

Órbitas y estabilizadores

En el compuesto de cinco tetrahedra, el grupo de simetría es el grupo (rotacional) icosahedral I de orden 60, mientras que el estabilizador de un solo tetraedro elegido es el grupo (rotacional) tetraedral T del orden 12, y el espacio orbital I/T (de orden 60/12 = 5) se identifica naturalmente con el 5 tetrahedra – el coset gT corresponde al tetraedro al que g envía el tetraedro elegido.

Considerar un grupo G actuando en un conjunto X. El órbita de un elemento x dentro X es el conjunto de elementos en X a la cual x se puede mover por los elementos de G. La órbita de x es denotado por ${displaystyle Gcdot x}$:

$${displaystyle Gcdot x=gcdot x:gin G}$$

Las propiedades definitorias de un grupo garantizan que el conjunto de órbitas de (puntos x in) X en virtud de las medidas adoptadas G forma una partición de X. La relación de equivalencia asociada se define diciendo ${displaystyle xsim y}$ y sólo si existe g dentro G con ${displaystyle gcdot x=y.}$ Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos x y Sí. son equivalentes si y sólo si sus órbitas son iguales, es decir, ${displaystyle Gcdot x=Gcdot y.}$

La acción del grupo es transitiva si tiene exactamente una órbita, es decir, si existe x dentro X con ${displaystyle Gcdot x=X.}$ Este es el caso si y sólo si ${displaystyle Gcdot x=X}$ para Todos x dentro X (debido a eso X no es vacía).

El conjunto de todas las órbitas de X en virtud de las medidas adoptadas G está escrito como X/G (o menos frecuentemente: GX), y se llama el quotient de la acción. En situaciones geométricas se puede llamar el espacio orbital, mientras que en situaciones algebraicas se puede llamar el espacio de coinvariantes, y escrito ${displaystyle X_{G}$ por contraste con los invariantes (puntos fijos), denotado X^G: los coinvariantes son un quotient mientras que los invariantes son un subset. La terminología y notación coinvariantes se utilizan especialmente en la cohomología de grupo y homología de grupo, que utilizan la misma convención de superscript/subscript.

Subconjuntos invariantes

Si Y es un subconjunto de X, entonces ${displaystyle Gcdot Y}$ denota el conjunto ${displaystyle {gcdot y:gin G{text{ y }yin Sí.$ El subconjunto Y se dice que invariable bajo G si ${displaystyle Gcdot Y=Y}$ (que equivale a ${displaystyle Gcdot Ysubseteq Sí.$). En ese caso, G también opera en Y restringiendo la acción a Y. El subconjunto Y se llama fijada en G si ${displaystyle gcdot y=y}$ para todos g dentro G y todos Sí. dentro Y. Cada subconjunto que se fija bajo G es también invariante G, pero no al revés.

Cada órbita es un subconjunto invariante de X sobre el cual G actúa transitivamente. Por el contrario, cualquier subconjunto invariante de X es una unión de órbitas. La acción de G sobre X es transitiva si y solo si todos los elementos son equivalentes, lo que significa que solo hay una órbita.

A G-invariante elemento X es ${displaystyle xin X}$ tales que ${displaystyle gcdot x=x}$ para todos ${displaystyle gin G.}$ El conjunto de todos esos x es denotado ${displaystyle X^{G}$ y llamó G-invariantes de X. Cuando X es un G-module, X^G es el grupo de cohomología cero G con coeficientes en X, y los grupos de cohomología superiores son los functores derivados del functor del G- invariantes.

Puntos fijos y subgrupos estabilizadores

Dado g dentro G y x dentro X con ${displaystyle gcdot x=x,}$ se dice que "x es un punto fijo g"o eso"g soluciones x". Por todos x dentro X, el estabilizador subgrupo de G con respecto a x (también llamado el grupo isotropía o pequeño grupo) es el conjunto de todos los elementos en G que arreglar x:

$${displaystyle G_{x}={gin G:gcdot x=x}$$

${displaystyle Gto operatorname {Sym} (X),}$

Vamos x y Sí. ser dos elementos en X, y dejar ${displaystyle g}$ ser un elemento de grupo tal que ${displaystyle y=gcdot x.}$ Luego los dos grupos de estabilizadores ${displaystyle G_{x}$ y ${displaystyle G_{y}$ relacionados por ${displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}$ Prueba: por definición, ${displaystyle hin G_{y}$ si ${displaystyle hcdot (gcdot x)=gcdot x.}$ Aplicar ${displaystyle g^{-1}$ a ambos lados de esta igualdad produce ${displaystyle left(g^{-1}hgright)cdot x=x;}$ es decir, ${displaystyle g^{-1}hgin G_{x}.$ Una inclusión opuesta sigue de manera similar al tomar ${displaystyle hin G_{x}$ y suposiciones ${displaystyle x=g^{-1}cdot y.}$

Lo anterior dice que los estabilizadores de elementos en la misma órbita se conjugan entre sí. Así, a cada órbita, podemos asociar una clase de conjugación de un subgrupo de G (es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Vamos ${displaystyle (H)}$ denota la clase conyugal H. Entonces la órbita O tipo ${displaystyle (H)}$ si el estabilizador ${displaystyle G_{x}$ of some/any x dentro O pertenece ${displaystyle (H)}$. Un tipo de órbita máxima se llama a menudo un tipo de órbita principal.

Teorema del estabilizador de órbitas y lema de Burnside

Los órbitas y estabilizadores están estrechamente relacionados. Para un fijo x dentro X, considerar el mapa ${displaystyle f:Gto X}$ dado por ${displaystyle gmapsto gcdot x.}$ Por definición la imagen ${displaystyle f(G)}$ de este mapa es la órbita ${displaystyle Gcdot x.}$ La condición para que dos elementos tengan la misma imagen es

$${displaystyle f(g)=f(h)iff gcdot x=hcdot xiff g^{-1}hcdot x=xiff g^{-1}hin G_{x}iff hin gG_{x}$$

${displaystyle f(g)=f(h)}$

${displaystyle g}$

${displaystyle h}$

${displaystyle G_{x}$

${displaystyle f^{-1}({y})}$

${displaystyle G/G_{x}$

${displaystyle Gcdot x,}$

${displaystyle gG_{x}mapsto gcdot x}$

Si G es finito, entonces el teorema del estabilizador de órbita, junto con el teorema de Lagrange, da

$${fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serpientes,}$$

Ejemplo: Vamos G ser un grupo de primer orden p actuando en un conjunto X con k elementos. Puesto que cada órbita tiene 1 o p elementos, hay al menos ${displaystyle k{bmod {p}}$ órbitas de la longitud 1 que son G- elementos invariantes.

Este resultado es especialmente útil ya que puede emplearse para contar argumentos (típicamente en situaciones donde X también es finito).

Gráfico cúbico con vértices etiquetados

Ejemplo: Podemos usar el teorema estabilizador de órbita para contar los automorfismos de un gráfico. Considere el gráfico cúbico como figurado, y déjelo G denota su grupo de automorfismo. Entonces... G actúa en el conjunto de vértices {1, 2,..., 8}, y esta acción es transitiva como se puede ver componiendo rotaciones sobre el centro del cubo. Así, por el teorema estabilizador de órbita, ${displaystyle TENCIÓN: 1 vida útilG_{1} sufrimiento=8 vidasG_{1}$ Aplicar el teorema ahora al estabilizador ${displaystyle G_{1},}$ podemos obtener ${displaystyle Нар_{1} sobre la vida= la vida (G_{1})cdot 2 vidas eternas (G_{1})_{2}$ Cualquier elemento G que fija 1 debe enviar 2 a 2, 4 o 5. Como ejemplo de estos automorfismos consideran la rotación alrededor del eje diagonal a través de 1 y 7 por ${displaystyle 2pi /3}$ que permuta 2,4,5 y 3,6,8, y fija 1 y 7. Así, ${displaystyle lefttención(G_{1})cdot 2right WordPress=3.}$ Aplicar el teorema una tercera vez da ${displaystyle Silencioleft(G_{1}derecha)_{2}capacdot 3 vidas eternasleft(left(G_{1}right)_{2}derecha)cdot 3 vidas eternasleft(left(G_{1}derecha)_{3}$ Cualquier elemento G que fija 1 y 2 debe enviar 3 a 3 o 6. Reflejar el cubo en el avión a través de 1,2,7 y 8 es un automorfismo que envía 3 a 6, por lo tanto ${displaystyle left durableleft(left(G_{1}right)_{2}cdot 3right perpetua=2}$. Uno también ve que ${displaystyle left(left(G_{1}right)_{2}right)_{3}}$ consiste sólo en el automorfismo de identidad, como cualquier elemento G La fijación 1, 2 y 3 también debe fijar todos los otros vértices, ya que están determinados por su adyacencia a 1, 2 y 3. Combinando los cálculos anteriores, ahora podemos obtener ${cdot 2cdot 1=48}$

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside:

$${displaystyle TENX/G {1}{fn} {fnK}} {fnK}}} {fn} {fnK}}}}}}}}}}}}}} {}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} _{gin G}SobrevivirX^{g}$$

donde X^g es el conjunto de puntos fijados por g. Este resultado es principalmente útil cuando G y X son finitos, cuando se puede interpretar de la siguiente manera: el número de órbitas es igual al número promedio de puntos fijos por grupo elemento.

Fijando un grupo G, el conjunto de diferencias formales de conjuntos G finitos forma un anillo llamado anillo de Burnside de G, donde la suma corresponde a la unión disjunta y la multiplicación al producto cartesiano.

Ejemplos

• El trivial acción de cualquier grupo G en cualquier conjunto X se define por g⋅x = x para todos g dentro G y todos x dentro X; es decir, cada elemento de grupo induce la permutación de identidad en X.
• En cada grupo G, la multiplicación izquierda es una acción de G on G: g⋅x = gx para todos g, x dentro G. Esta acción es libre y transitiva (regular), y forma la base de una prueba rápida del teorema de Cayley - que cada grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de permutaciones del conjunto G.
• En cada grupo G con subgrupo H, la multiplicación izquierda es una acción de G en el conjunto de cosets G/H: g⋅aH = gaH para todos g,a dentro G. En particular si H no contiene subgrupos normales notriviales G esto induce un isomorfismo de G a un subgrupo del grupo de permutación [G: H].
• En cada grupo G, la conjugación es una acción de G on G: g⋅x = g⁻¹. Una notación exponencial se utiliza comúnmente para la variante de la acción correcta: x^g = g⁻¹xg; se satisface (x^g)^h = x^gh.
• En cada grupo G con subgrupo H, la conjugación es una acción de G on conjugates of H: g⋅K = GKG⁻¹ para todos g dentro G y K conjugados de H.
• El grupo simétrico S_n y sus subgrupos actúan en el conjunto 1,... n } permutando sus elementos
• El grupo de simetría de un poliedro actúa sobre el conjunto de vértices de ese poliedro. También actúa en el conjunto de caras o el conjunto de bordes del poliedro.
• El grupo de simetría de cualquier objeto geométrico actúa sobre el conjunto de puntos de ese objeto.
• El grupo de automorfismo de un espacio vectorial (o gráfico, o grupo, o anillo...) actúa en el espacio vectorial (o conjunto de vértices del gráfico, o grupo, o anillo...).
• El grupo lineal general GL(n, K) y sus subgrupos, en particular Subgrupos de mentira (incluyendo el grupo lineal especial SL(n, K), grupo ortogonal O...n, K), grupo ortogonal especial Así que...n, K), y grupo simpático Sp(n, K)) son grupos de mentira que actúan en el espacio vectorial Kⁿ. Las operaciones de grupo se dan multiplicando las matrices de los grupos con los vectores de Kⁿ.
• El grupo lineal general GL(n, Z) actos Zⁿ por acción matriz natural. Las órbitas de su acción son clasificadas por el mayor divisor común de coordenadas del vector en Zⁿ.
• El grupo affine actúa transitivamente en los puntos de un espacio afinal, y el subgrupo V del grupo affine (es decir, un espacio vectorial) tiene transitivo y libre (es decir, ordinario) acción en estos puntos; de hecho esto se puede utilizar para dar una definición de un espacio de afinidad.
• El grupo lineal de proyecto PGL(n + 1, K) y sus subgrupos, en particular Subgrupos de mentira, que son grupos de mentira que actúan en el espacio proyector Pⁿ()K). Este es un cociente de la acción del grupo lineal general sobre el espacio proyectivo. Particularmente notable PGL(2, K), las simetrías de la línea proyectiva, que es agudamente 3-transitivo, preservando la relación transversal; el grupo Möbius PGL(2, C) es de especial interés.
• Las isometrías del plano actúan en el conjunto de imágenes y patrones 2D, como los patrones de papel pintado. La definición se puede hacer más precisa especificando lo que se entiende por imagen o patrón, por ejemplo, una función de posición con valores en un conjunto de colores. De hecho, las historias son un ejemplo de grupo de afina (acción).
• Los conjuntos actuaron en un grupo G la categoría de G-sets en los que los objetos son G-sets y los morfismos son G-set homomorfismos: funciones f: X → Y tales que g⋅(f()x) = f()g⋅x) para todos g dentro G.
• El grupo Galois de una extensión de campo L/K actúa sobre el campo L pero sólo tiene una acción trivial sobre elementos del subcampo K. Subgrupos de Gal(L/K) corresponden a subcampos de L que contienen K, es decir, extensiones de campo intermedias entre L y K.
• El grupo aditivo de los números reales ()R, +) actúa en el espacio de fase de los sistemas "de buena conducta" en la mecánica clásica (y en sistemas dinámicos más generales) por traducción temporal: si t está dentro R y x está en el espacio de fase, entonces x describe un estado del sistema, y t + x se define como el estado del sistema t segundos después t es positivo ot hace segundos t es negativo.
• El grupo aditivo de los números reales ()R, +) actúa en el conjunto de funciones reales de una variable real de varias maneras, con (t⋅f)x) igual a, por ejemplo, f()x + t), f()x) + t, f()xe^t), f()x)e^t, f()x + t)e^t, o f()xe^t) + t, pero no f()xe^t + t).
• Given a group action of G on X, podemos definir una acción inducida de G en el conjunto de poder X, por configuración g⋅U =g⋅u: u ▪ U} para cada subconjunto U de X y todos g dentro G. Esto es útil, por ejemplo, en el estudio de la acción del gran grupo Mathieu en un conjunto de 24 y en el estudio de la simetría en ciertos modelos de geometría finita.
• Las quaternions con la norma 1 (los versos), como grupo multiplicador, actúan sobre R³: para cualquier tipo de quaternion z = α/2 + v pecado α/2, la asignación f()x) zxz^Alternativa es una rotación en sentido contrario a través de un ángulo α sobre un eje dado por un vector de unidad v; z es la misma rotación; ver cuaternones y rotación espacial. Tenga en cuenta que esto no es una acción fiel porque la quaternión −1 deja todos los puntos donde estaban, como lo hace la quaternión 1.
• Dado a la izquierda G-sets ${displaystyle X,Y}$, hay una izquierda G-set ${displaystyle Y^{X}$ cuyos elementos son G- mapas equivariantes ${displaystyle alpha:Xtimes Gto Y}$, y con la izquierda G- acción dada ${displaystyle gcdot alpha =alpha circ (id_{X}times -g)}$ (donde)${displaystyle -g}$" indica la multiplicación correcta por ${displaystyle g}$). Esto G-set tiene la propiedad que sus puntos fijos corresponden a mapas equivariantes ${displaystyle Xto Y}$; más generalmente, es un objeto exponencial en la categoría de G-sets.

Acciones de grupo y groupoides

La noción de acción grupal puede ser codificada por el action groupoid ${displaystyle G'=Gltimes X}$ asociado a la acción del grupo. Los estabilizadores de la acción son los grupos de vértice de la groupoid y las órbitas de la acción son sus componentes.

Morfismos e isomorfismos entre conjuntos G

Si X e Y son dos conjuntos G, un morfismo de X a Y es una función f: X → Y tal que f(g⋅x) = g⋅< i>f(x) para todos los g en G y todos los x en X. Los morfismos de los conjuntos G también se denominan mapas equivalentes o mapas G.

La composición de dos morfismos es nuevamente un morfismo. Si un morfismo f es biyectivo, entonces su inversa también es un morfismo. En este caso, f se denomina isomorfismo, y los dos conjuntos G X e Y< /i> son llamados isomorfos; para todos los propósitos prácticos, los conjuntos G isomorfos son indistinguibles.

Algunos ejemplos de isomorfismos:

• Cada regular G acción es isomorfa a la acción G on G dada por la multiplicación izquierda.
• Cada libre G acción es isomorfa a G × S, donde S es un juego G actos G × S por multiplicación izquierda en la primera coordenadas. ()S se puede tomar para ser el conjunto de órbitas X/G.)
• Cada transito G acción es isomorfo a la izquierda multiplicación por G en el conjunto de cosets izquierdos de algún subgrupo H de G. ()H se puede tomar para ser el grupo estabilizador de cualquier elemento del original G-set.)

Con esta noción de morfismo, la colección de todos los conjuntos G forma una categoría; esta categoría es un topos de Grothendieck (de hecho, suponiendo una metalógica clásica, este topos será incluso booleano).

Variantes y generalizaciones

También podemos considerar acciones de monoides en conjuntos, usando los mismos dos axiomas que arriba. Sin embargo, esto no define mapas biyectivos y relaciones de equivalencia. Ver acción de semigrupo.

En lugar de acciones sobre conjuntos, podemos definir acciones de grupos y monoides sobre objetos de una categoría arbitraria: comience con un objeto X de alguna categoría y luego defina una acción sobre X como un homomorfismo monoide en el monoide de endomorfismos de X. Si X tiene un conjunto subyacente, todas las definiciones y hechos indicados anteriormente se pueden transferir. Por ejemplo, si tomamos la categoría de espacios vectoriales, obtenemos representaciones grupales de esta manera.

Podemos ver un grupo G como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible. Una acción de grupo (izquierda) no es más que un funtor (covariante) de G a la categoría de conjuntos, y una representación de grupo es un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales. Un morfismo entre conjuntos G es entonces una transformación natural entre los funtores de acción de grupo. En analogía, una acción de un grupoide es un funtor del grupoide a la categoría de conjuntos oa alguna otra categoría.

Además de las acciones continuas de grupos topológicos en espacios topológicos, a menudo también se consideran acciones suaves de grupos de Lie en variedades suaves, acciones regulares de grupos algebraicos en variedades algebraicas y acciones de esquemas de grupo en esquemas. Todos estos son ejemplos de objetos grupales que actúan sobre objetos de su categoría respectiva.

Galería

• 

  Orbito de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo octaedral completo.

• 

  Orbito de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo icosahedral completo.