Abstracción (matemáticas)

Abstracción en matemáticas es el proceso de extraer las estructuras, patrones o propiedades subyacentes de un concepto matemático, eliminando cualquier dependencia de objetos del mundo real con los que podría haber estado conectado originalmente y generalizándolo de manera que que tiene aplicaciones más amplias o coincide con otras descripciones abstractas de fenómenos equivalentes. Dos de las áreas más abstractas de las matemáticas modernas son la teoría de categorías y la teoría de modelos.

Descripción

Muchas áreas de las matemáticas comenzaron con el estudio de problemas del mundo real, antes de que las reglas y conceptos subyacentes fueran identificados y definidos como estructuras abstractas. Por ejemplo, la geometría tiene su origen en el cálculo de distancias y áreas en el mundo real, y el álgebra comenzó con métodos de resolución de problemas aritméticos.

La abstracción es un proceso continuo en matemáticas y el desarrollo histórico de muchos temas matemáticos muestra una progresión de lo concreto a lo abstracto. Por ejemplo, los primeros pasos en la abstracción de la geometría los dieron históricamente los antiguos griegos, siendo los Elementos de Euclides la documentación más antigua que se conserva de los axiomas de la geometría plana, aunque Proclo habla de una axiomatización anterior realizada por Hipócrates de Quíos. En el siglo XVII, Descartes introdujo las coordenadas cartesianas que permitieron el desarrollo de la geometría analítica. Lobachevsky, Bolyai, Riemann y Gauss dieron nuevos pasos en la abstracción, quienes generalizaron los conceptos de geometría para desarrollar geometrías no euclidianas. Más adelante, en el siglo XIX, los matemáticos generalizaron aún más la geometría, desarrollando áreas como la geometría en n dimensiones, la geometría proyectiva, la geometría afín y la geometría finita. Finalmente, el "programa Erlangen" de Felix Klein; identificó el tema subyacente de todas estas geometrías, definiendo cada una de ellas como el estudio de propiedades invariantes bajo un determinado grupo de simetrías. Este nivel de abstracción reveló conexiones entre la geometría y el álgebra abstracta.

En matemáticas, la abstracción puede resultar ventajosa de las siguientes maneras:

• Revela profundas conexiones entre diferentes áreas de matemáticas.
• Los resultados conocidos en un área pueden sugerir conjeturas en otro área relacionada.
• Se pueden aplicar técnicas y métodos de una zona para demostrar resultados en otras áreas relacionadas.
• Los patrones de un objeto matemático se pueden generalizar a otros objetos similares en la misma clase.

Por otro lado, la abstracción también puede ser desventajosa porque los conceptos muy abstractos pueden ser difíciles de aprender. Puede ser necesario cierto grado de madurez matemática y experiencia para la asimilación conceptual de abstracciones.

Bertrand Russell, en The Scientific Outlook (1931), escribe que “el lenguaje ordinario es totalmente inadecuado para expresar lo que la física realmente afirma, ya que las palabras de la vida cotidiana no son lo suficientemente abstractas”. Sólo las matemáticas y la lógica matemática pueden decir tan poco como el físico quiere decir."