Abraham de Moivre

Abraham de Moivre FRS (Pronunciación en francés: [abʁaam də mwavʁ]; 26 de mayo de 1667 - 27 de noviembre de 1754) fue un matemático francés conocido por la fórmula de De Moivre, una fórmula que vincula números complejos y trigonometría, y por su trabajar sobre la distribución normal y la teoría de la probabilidad.

Se mudó a Inglaterra a una edad temprana debido a la persecución religiosa de los hugonotes en Francia que alcanzó su clímax en 1685 con el Edicto de Fontainebleau. Fue amigo de Isaac Newton, Edmond Halley y James Stirling. Entre sus compañeros hugonotes exiliados en Inglaterra, fue colega del editor y traductor Pierre des Maizeaux.

De Moivre escribió un libro sobre la teoría de la probabilidad, La doctrina de las posibilidades, que se dice que fue apreciado por los jugadores. De Moivre descubrió por primera vez la fórmula de Binet, la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci que vincula la nésima potencia de la proporción áurea φ con la nésimo número de Fibonacci. También fue el primero en postular el teorema del límite central, una piedra angular de la teoría de la probabilidad.

Vida

Doctrina de oportunidades, 1756

Primeros años

Abraham de Moivre nació en Vitry-le-François en Champagne el 26 de mayo de 1667. Su padre, Daniel de Moivre, era un cirujano que creía en el valor de la educación. Aunque los padres de Abraham de Moivre eran protestantes, primero asistió a Christian Brothers' escuela católica en Vitry, que era inusualmente tolerante dadas las tensiones religiosas en Francia en ese momento. Cuando tenía once años, sus padres lo enviaron a la Academia protestante de Sedan, donde pasó cuatro años estudiando griego con Jacques du Rondel. La Academia protestante de Sedan había sido fundada en 1579 por iniciativa de Françoise de Bourbon, la viuda de Henri-Robert de la Marck.

En 1682, se suprimió la Academia protestante de Sedan y De Moivre se inscribió para estudiar lógica en Saumur durante dos años. Aunque las matemáticas no formaban parte de su trabajo de curso, de Moivre leyó varios trabajos sobre matemáticas por su cuenta, incluidos Éléments des mathématiques del sacerdote oratoriano y matemático francés Jean Prestet y un breve tratado sobre juegos de azar, De Ratiociniis in Ludo Aleae , por Christiaan Huygens, el físico, matemático, astrónomo e inventor holandés. En 1684, de Moivre se mudó a París para estudiar física y, por primera vez, tuvo una formación matemática formal con lecciones privadas de Jacques Ozanam.

La persecución religiosa en Francia se agravó cuando el rey Luis XIV emitió el Edicto de Fontainebleau en 1685, que revocó el Edicto de Nantes, que había otorgado derechos sustanciales a los protestantes franceses. Prohibía el culto protestante y requería que todos los niños fueran bautizados por sacerdotes católicos. De Moivre fue enviado a Prieuré Saint-Martin-des-Champs, una escuela a la que las autoridades enviaban a los niños protestantes para que los adoctrinaran en el catolicismo.

No está claro cuándo de Moivre dejó la Prieuré de Saint-Martin y se mudó a Inglaterra, ya que los registros de la Prieuré de Saint-Martin indican que dejó la escuela en 1688, pero de Moivre y su hermano se presentaron como hugonotes. admitido en la Iglesia Savoy de Londres el 28 de agosto de 1687.

Años intermedios

Cuando llegó a Londres, de Moivre era un matemático competente con un buen conocimiento de muchos de los textos estándar. Para ganarse la vida, de Moivre se convirtió en tutor privado de matemáticas, visitando a sus alumnos o enseñando en los cafés de Londres. De Moivre continuó sus estudios de matemáticas después de visitar al conde de Devonshire y ver el libro reciente de Newton, Principia Mathematica. Al mirar el libro, se dio cuenta de que era mucho más profundo que los libros que había estudiado anteriormente, y se decidió a leerlo y comprenderlo. Sin embargo, como debía dar largos paseos por Londres para viajar entre sus alumnos, De Moivre tenía poco tiempo para estudiar, por lo que arrancó páginas del libro y las llevaba en el bolsillo para leer entre lecciones.

Según una historia posiblemente apócrifa, Newton, en los últimos años de su vida, solía referir a las personas que le planteaban cuestiones matemáticas a de Moivre, diciendo: "Él sabe todas estas cosas mejor que yo". #34;

En 1692, de Moivre se hizo amigo de Edmond Halley y poco después del propio Isaac Newton. En 1695, Halley comunicó el primer trabajo matemático de De Moivre, que surgió de su estudio de las fluxiones en los Principia Mathematica, a la Royal Society. Este artículo fue publicado en Philosophical Transactions ese mismo año. Poco después de publicar este artículo, de Moivre también generalizó el notable teorema del binomio de Newton en el teorema multinomial. La Royal Society se enteró de este método en 1697 y eligió a de Moivre como miembro el 30 de noviembre de 1697.

Después de que de Moivre fuera aceptado, Halley lo animó a centrar su atención en la astronomía. En 1705, de Moivre descubrió, intuitivamente, que "la fuerza centrípeta de cualquier planeta está directamente relacionada con su distancia desde el centro de las fuerzas y recíprocamente relacionada con el producto del diámetro de la evoluta y el cubo de la perpendicular". en la tangente." En otras palabras, si un planeta, M, sigue una órbita elíptica alrededor de un foco F y tiene un punto P donde PM es tangente a la curva y FPM es un ángulo recto, de modo que FP es la perpendicular a la tangente, entonces la fuerza centrípeta en el punto P es proporcional a FM/(R*(FP)³) donde R es el radio de la curvatura en M. El matemático Johann Bernoulli demostró esta fórmula en 1710.

A pesar de estos éxitos, de Moivre no pudo obtener un nombramiento para una cátedra de matemáticas en ninguna universidad, lo que lo habría liberado de su dependencia de la tutoría que le consumía mucho tiempo y que lo agobiaba más que a la mayoría de los otros matemáticos de la época.. Al menos una parte de la razón fue un prejuicio contra sus orígenes franceses.

En noviembre de 1697 fue elegido miembro de la Royal Society y en 1712 fue designado miembro de una comisión establecida por la sociedad, junto con MM. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston y Taylor para revisar las afirmaciones de Newton y Leibniz sobre quién descubrió el cálculo. Los detalles completos de la controversia se pueden encontrar en el artículo sobre la controversia del cálculo de Leibniz y Newton.

A lo largo de su vida, De Moivre siguió siendo pobre. Se informa que era un cliente habitual del antiguo Slaughter's Coffee House, St. Martin's Lane en Cranbourn Street, donde ganaba un poco de dinero jugando al ajedrez.

Años posteriores

De Moivre continuó estudiando los campos de la probabilidad y las matemáticas hasta su muerte en 1754 y se publicaron varios artículos después de su muerte. A medida que crecía, se volvió cada vez más letárgico y necesitaba más horas de sueño. Es una afirmación común que De Moivre notó que estaba durmiendo 15 minutos adicionales cada noche y calculó correctamente la fecha de su muerte como el día en que el tiempo de sueño llegó a las 24 horas, el 27 de noviembre de 1754. Ese día, de hecho, murió. en Londres y su cuerpo fue enterrado en St Martin-in-the-Fields, aunque su cuerpo fue trasladado más tarde. Sin embargo, se ha cuestionado la afirmación de que él predijo su propia muerte por no haber sido documentada en ninguna parte en el momento de su ocurrencia.

Probabilidad

De Moivre fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica y la teoría de la probabilidad al expandir el trabajo de sus predecesores, particularmente Christiaan Huygens y varios miembros de la familia Bernoulli. También produjo el segundo libro de texto sobre teoría de la probabilidad, La doctrina de las posibilidades: un método para calcular las probabilidades de los eventos en juego. (El primer libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae (Sobre tirar el dado), fue escrito por Girolamo Cardano en la década de 1560, pero no se publicó hasta 1663..) Este libro salió en cuatro ediciones, 1711 en latín y en inglés en 1718, 1738 y 1756. En las ediciones posteriores de su libro, de Moivre incluyó su resultado inédito de 1733, que es la primera declaración de una aproximación a la distribución binomial en términos de lo que ahora llamamos la función normal o Gaussiana. Este fue el primer método para encontrar la probabilidad de ocurrencia de un error de un tamaño dado cuando ese error se expresa en términos de la variabilidad de la distribución como una unidad, y la primera identificación del cálculo del error probable. Además, aplicó estas teorías a problemas de juego y tablas actuariales.

¡Una expresión que se encuentra comúnmente en la probabilidad es n! ¡pero antes de los días de las calculadoras calculando n! para un n grande consumía mucho tiempo. En 1733 de Moivre propuso la fórmula para estimar un factorial como n! = cn^(n+1/2)e⁻ⁿ . Obtuvo una expresión aproximada para la constante c pero fue James Stirling quien encontró que c era √2π.

De Moivre también publicó un artículo titulado "Anualidades sobre vidas" en el que reveló la distribución normal de la tasa de mortalidad a lo largo de la edad de una persona. A partir de esto, produjo una fórmula simple para aproximar los ingresos producidos por los pagos anuales en función de la edad de una persona. Esto es similar a los tipos de fórmulas que utilizan las compañías de seguros en la actualidad.

Prioridad respecto a la distribución de Poisson

Algunos resultados sobre la distribución de Poisson fueron introducidos por primera vez por de Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus en Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. Como resultado, algunos autores han argumentado que la distribución de Poisson debería llevar el nombre de de Moivre.

Fórmula de De Moivre

En 1707, de Moivre derivó una ecuación de la que se puede deducir:

#⁡ ⁡ x=12()#⁡ ⁡ ()nx)+ipecado⁡ ⁡ ()nx))1/n+12()#⁡ ⁡ ()nx)− − ipecado⁡ ⁡ ()nx))1/n{displaystyle cos x={tfrac {1} {2} {cos(nx)+isin(nx)^{1/n}+{tfrac {1} {2}(cos(nx)-isin(nx)}^{1/n}}}}}} {cos(cos(nx)

que pudo probar para todos los enteros positivos n. En 1722, presentó ecuaciones de las que se puede deducir la forma más conocida de la fórmula de De Moivre:

()#⁡ ⁡ x+ipecado⁡ ⁡ x)n=#⁡ ⁡ ()nx)+ipecado⁡ ⁡ ()nx).{displaystyle (cos x+isin x)^{n}=cos(nx)+isin(nx).,}

En 1749, Euler demostró esta fórmula para cualquier n real usando la fórmula de Euler, lo que hace que la prueba sea bastante sencilla. Esta fórmula es importante porque relaciona números complejos y trigonometría. Además, esta fórmula permite derivar expresiones útiles para cos(nx) y sin(nx) en términos de cos(x) y sin (x).

Aproximación de Stirling

De Moivre había estado estudiando probabilidad y sus investigaciones requerían que calculara coeficientes binomiales, lo que a su vez requería que calculara factoriales. En 1730 de Moivre publicó su libro Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Miscelánea analítica de series e integrales], que incluía tablas de log (n!). Para valores grandes de n, de Moivre aproxima los coeficientes de los términos en una expansión binomial. Específicamente, dado un entero positivo n, donde n es par y grande, entonces el coeficiente del término medio de (1 + 1)ⁿ se aproxima mediante la ecuación:

()nn/2)=n!()()n2)!)2.. 2n221125()n− − 1)n− − 12nn{displaystyle {n choose n/2}={frac {n}{ {frac {n}{2}}}}}}}approx {2}{n}{frac {2}{frac {frac {21}{125}}{n-1)}}{n-{frac {} {}} {}} {}} {}} {}}} {}}}} {}}} {}}} {}} {}}} {}}}}} {}}}}} {}}} {}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}} {} {}}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {} {} {} {} {} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

El 19 de junio de 1729, James Stirling envió una carta a de Moivre, que ilustraba cómo calculó el coeficiente del término medio de una expansión binomial (a + b)ⁿ para valores grandes de norte. En 1730, Stirling publicó su libro Methodus Differentialis [El método diferencial], en el que incluía su serie para log (n!):

log10⁡ ⁡ ()n+12)!.. log10⁡ ⁡ 2π π +nlog10⁡ ⁡ n− − nIn⁡ ⁡ 10{displaystyle log _{10}(n+{frac {1}{2}})approx log _{10}{sqrt {2ccH00} - ¿Qué? 10}},

así que grande n{displaystyle n}, n!.. 2π π ()ne)n{displaystyle n!approx {2pi}left({frac {n}}right)} {n}}} {n}}}}}.

El 12 de noviembre de 1733, de Moivre publicó y distribuyó de forma privada un folleto: Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b)ⁿ in Seriem expansi [Aproximación de la Suma de los términos del binomio (a + b)ⁿ expandido en una serie], en el que reconoció la carta de Stirling y propuso una expresión alternativa para el término central de una expansión binomial.

Celebraciones

El 25 de noviembre de 2017, el Dr. Conor Maguire organizó un coloquio en Saumur, con el patrocinio de la Comisión Nacional Francesa de la UNESCO, para celebrar el 350 aniversario del nacimiento de de Moivre y el hecho de que estudió durante dos años. en la Academia de Saumur. El coloquio se tituló Abraham de Moivre: le Mathématicien, sa vie et son œuvre y cubrió las importantes contribuciones de De Moivre al desarrollo de los números complejos, consulte la fórmula de De Moivre y a la teoría de la probabilidad, véase el teorema de De Moivre-Laplace. El coloquio trazó la vida de De Moivre y su exilio en Londres, donde se convirtió en un amigo muy respetado de Isaac Newton. No obstante, vivía con medios modestos que generó en parte por sus sesiones asesorando a los jugadores en el Old Slaughter's Coffee House sobre las probabilidades asociadas con sus esfuerzos. El 27 de noviembre de 2016, el profesor Christian Genest de la Universidad McGill (Montreal) conmemoró el 262.º aniversario de la muerte de De Moivre con un coloquio en Limoges titulado Abraham de Moivre: Génie en exil en el que se discutió la famosa aproximación de De Moivre a la ley binomial que inspiró el teorema del límite central.