Ábaco

El ábaco, también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que se ha utilizado desde la antigüedad. Se usó en el antiguo Cercano Oriente, Europa, China y Rusia, siglos antes de la adopción del sistema numérico hindú-árabe. El origen exacto del ábaco aún no ha trascendido. Consiste en filas de cuentas móviles u objetos similares, ensartados en un alambre. Representan dígitos. Se configura uno de los dos números y se manipulan las cuentas para realizar una operación como la suma, o incluso una raíz cuadrada o cúbica.

En sus primeros diseños, las filas de cuentas podían estar sueltas sobre una superficie plana o deslizarse en surcos. Más tarde, las cuentas se deslizaron sobre varillas y se incorporaron a un marco, lo que permitió una manipulación más rápida. Todavía se fabrican ábacos, a menudo como un marco de bambú con cuentas que se deslizan sobre alambres. En el mundo antiguo, particularmente antes de la introducción de la notación posicional, los ábacos eran una herramienta práctica de cálculo. El ábaco todavía se usa para enseñar los fundamentos de las matemáticas a algunos niños, por ejemplo, en Rusia.

Se han utilizado diseños como el soroban japonés para cálculos prácticos de números de hasta varios dígitos. Cualquier diseño de ábaco en particular admite múltiples métodos para realizar cálculos, incluidas sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas y cúbicas. Algunos de estos métodos funcionan con números no naturales (números como 1,5 y ³ ⁄ ₄).

Aunque las calculadoras y las computadoras se usan comúnmente hoy en día en lugar de los ábacos, los ábacos siguen siendo de uso diario en algunos países. Los comerciantes, comerciantes y empleados en algunas partes de Europa del Este, Rusia, China y África usan ábacos. El ábaco sigue siendo de uso común como sistema de puntuación en juegos de mesa no electrónicos. Otros pueden usar un ábaco debido a una discapacidad visual que impide el uso de una calculadora.

Etimología

La palabra ábaco data de al menos 1387 d. C., cuando una obra del inglés medio tomó prestada la palabra del latín que describía un ábaco de sandboard. La palabra latina se deriva del griego antiguo ἄβαξ (abax) que significa algo sin base, y coloquialmente, cualquier pieza de material rectangular. Alternativamente, sin referencia a textos antiguos sobre etimología, se ha sugerido que significa "una tablilla cuadrada cubierta de polvo", o "tablero de dibujo cubierto de polvo (para el uso de las matemáticas)" (la forma exacta del latín quizás refleja la forma genitiva de la palabra griega, ἄβακoς (abakos). Si bien la definición de la tabla llena de polvo es popular, algunos argumentan que la evidencia es insuficiente para llegar a esa conclusión. El griego ἄβαξ probablemente se tomó prestado de un idioma semítico del noroeste como el fenicio, evidenciado por un cognado con la palabra hebrea ʾābāq (אבק), o "polvo" (en el sentido posbíblico "arena utilizada como superficie para escribir").

Tanto los ábacos como los abaci ("c" suaves o duros) se usan como plurales. El usuario de un ábaco se llama abacista.

Historia

Mesopotamia

El ábaco sumerio apareció entre 2700 y 2300 a. Contenía una tabla de columnas sucesivas que delimitaban los sucesivos órdenes de magnitud de su sistema numérico sexagesimal (base 60).

Algunos eruditos apuntan a un carácter en la escritura cuneiforme babilónica que puede haberse derivado de una representación del ábaco. Los eruditos de la antigua Babilonia, como Ettore Carruccio, creen que los antiguos babilonios "parecen haber usado el ábaco para las operaciones de suma y resta; sin embargo, este dispositivo primitivo resultó difícil de usar para cálculos más complejos".

Egipto

El historiador griego Heródoto mencionó el ábaco en el Antiguo Egipto. Escribió que los egipcios manipulaban los guijarros de derecha a izquierda, en dirección opuesta al método griego de izquierda a derecha. Los arqueólogos han encontrado discos antiguos de varios tamaños que se cree que se usaron como contadores. Sin embargo, aún no se han descubierto representaciones murales de este instrumento.

Persia

Alrededor del 600 a. C., los persas comenzaron a usar el ábaco por primera vez, durante el Imperio Aqueménida. Bajo los imperios parto, sasánida e iraní, los eruditos se concentraron en intercambiar conocimientos e invenciones con los países que los rodeaban (India, China y el Imperio Romano), que es como se pudo haber exportado el ábaco a otros países.

Grecia

La evidencia arqueológica más antigua del uso del ábaco griego data del siglo V a. Demóstenes (384 a. C.-322 a. C.) se quejó de que la necesidad de usar guijarros para los cálculos era demasiado difícil. Una obra de Alexis del siglo IV a. C. menciona un ábaco y guijarros para la contabilidad, y tanto Diógenes como Polibio usan el ábaco como metáfora del comportamiento humano, afirmando que "los hombres que a veces representaban más y otras menos" como los guijarros en un ábaco. El ábaco griego era una mesa de madera o mármol, preestablecida con pequeños contadores de madera o metal para cálculos matemáticos. Este ábaco griego se utilizó en la Persia aqueménida, la civilización etrusca, la antigua Roma y el mundo cristiano occidental hasta la Revolución Francesa.

Una tablilla encontrada en la isla griega de Salamina en 1846 d. C. (la tablilla de Salamina) data del 300 a. C., lo que la convierte en la tabla de conteo más antigua descubierta hasta el momento. Es una losa de mármol blanco de 149 cm (59 pulgadas) de largo, 75 cm (30 pulgadas) de ancho y 4,5 cm (2 pulgadas) de espesor, en la que hay 5 grupos de marcas. En el centro de la tablilla hay un conjunto de 5 líneas paralelas divididas equitativamente por una línea vertical, rematadas con un semicírculo en la intersección de la línea horizontal más inferior y la única línea vertical. Debajo de estas líneas hay un amplio espacio con una grieta horizontal que lo divide. Debajo de esta grieta hay otro grupo de once líneas paralelas, nuevamente divididas en dos secciones por una línea perpendicular a ellas, pero con el semicírculo en la parte superior de la intersección; la tercera, sexta y novena de estas líneas están marcadas con una cruz donde se cruzan con la línea vertical.También de este período de tiempo, el jarrón Darius fue desenterrado en 1851. Estaba cubierto de imágenes, incluido un "tesorero" que sostenía una tableta de cera en una mano mientras manipulaba los contadores en una mesa con la otra.

Roma

El método normal de cálculo en la antigua Roma, como en Grecia, era moviendo fichas sobre una mesa lisa. Originalmente se utilizaron guijarros (cálculos). Posteriormente, y en la Europa medieval, se fabricaron jetones. Las líneas marcadas indicaban unidades, cincos, decenas, etc. como en el sistema numérico romano. Este sistema de 'contrafundición' continuó en el Imperio Romano tardío y en la Europa medieval y persistió en un uso limitado hasta el siglo XIX. Debido a la reintroducción del ábaco con modificaciones por parte del Papa Silvestre II, volvió a ser ampliamente utilizado en Europa durante el siglo XI. movido.

Escribiendo en el siglo I a. C., Horacio se refiere al ábaco de cera, un tablero cubierto con una fina capa de cera negra en el que se inscribían columnas y figuras con un lápiz óptico.

Un ejemplo de evidencia arqueológica del ábaco romano, que se muestra cerca en la reconstrucción, data del siglo I d.C. Tiene ocho surcos largos que contienen hasta cinco cuentas en cada uno y ocho surcos más cortos que tienen una o ninguna cuenta en cada uno. El surco marcado I indica unidades, X decenas, y así sucesivamente hasta millones. Las cuentas en los surcos más cortos denotan cincos: cinco unidades, cinco decenas, etc., esencialmente en un sistema decimal codificado biquinario, relacionado con los números romanos. Las ranuras cortas de la derecha pueden haber sido utilizadas para marcar "onzas" romanas (es decir, fracciones).

Porcelana

La documentación escrita más antigua conocida del ábaco chino data del siglo II a.

El ábaco chino, también conocido como suanpan (算盤/算盘, literalmente "bandeja de cálculo"), mide típicamente 20 cm (8 pulgadas) de alto y viene en varios anchos, según el operador. Suele tener más de siete varillas. Hay dos cuentas en cada barra en la cubierta superior y cinco cuentas en cada una de las inferiores. Las cuentas suelen ser redondeadas y están hechas de madera dura. Las cuentas se cuentan moviéndolas hacia arriba o hacia abajo hacia la viga; las cuentas que se mueven hacia la viga se cuentan, mientras que las que se alejan no. Una de las cuentas superiores es 5, mientras que una de las cuentas inferiores es 1. Cada varilla tiene un número debajo, que muestra el valor posicional. el suanpanse puede restablecer a la posición inicial instantáneamente con un movimiento rápido a lo largo del eje horizontal para hacer girar todas las cuentas alejándolas del haz horizontal en el centro.

El prototipo del ábaco chino apareció durante la dinastía Han y las cuentas son ovaladas. La dinastía Song y antes usaban el tipo 1: 4 o ábaco de cuatro cuentas similar al ábaco moderno, incluida la forma de las cuentas comúnmente conocida como ábaco de estilo japonés.

A principios de la dinastía Ming, el ábaco comenzó a aparecer en una proporción de 1:5. La cubierta superior tenía una cuenta y la inferior tenía cinco cuentas. A finales de la dinastía Ming, los estilos de ábaco aparecieron en una proporción de 2:5. La cubierta superior tenía dos cuentas y la inferior cinco.

Se idearon varias técnicas de cálculo para Suanpan que permiten cálculos eficientes. Algunas escuelas enseñan a los estudiantes cómo usarlo.

En el pergamino largo A lo largo del río durante el Festival Qingming, pintado por Zhang Zeduan durante la dinastía Song (960–1297), se ve claramente un suanpan junto a un libro de cuentas y recetas médicas en el mostrador de una botica (Feibao).

La similitud del ábaco romano con el chino sugiere que uno podría haber inspirado al otro, dada la evidencia de una relación comercial entre el Imperio Romano y China. Sin embargo, no se ha demostrado una conexión directa, y la similitud de los ábacos puede ser una coincidencia, ya que ambos surgen en última instancia de contar con cinco dedos por mano. Donde el modelo romano (como la mayoría de los coreanos y japoneses modernos) tiene 4 más 1 cuenta por lugar decimal, el suanpan estándar tiene 5 más 2. Por cierto, esto permite el uso con un sistema numérico hexadecimal (o cualquier base hasta 18) que puede tener Se ha utilizado para las medidas de peso tradicionales chinas. (En lugar de funcionar con cables como en los modelos chino, coreano y japonés, el modelo romano usaba ranuras, lo que presumiblemente hacía que los cálculos aritméticos fueran mucho más lentos).

Otra posible fuente del suanpan son las varillas de conteo chinas, que operaban con un sistema decimal pero carecían del concepto de cero como marcador de posición. El cero probablemente se introdujo a los chinos en la dinastía Tang (618–907) cuando los viajes por el Océano Índico y el Medio Oriente habrían proporcionado contacto directo con la India, lo que les permitió adquirir el concepto del cero y el punto decimal de los comerciantes indios. y matemáticos.

India

El Abhidharmakośabhāṣya de Vasubandhu (316-396), una obra en sánscrito sobre la filosofía budista, dice que el filósofo del siglo II EC Vasumitra dijo que "colocar una mecha (sánscrito vartikā) en el número uno (ekāṅka) significa que es un uno mientras se coloca la mecha en el número cien significa que se llama cien, y en el número mil significa que es mil". No está claro exactamente cuál pudo haber sido este arreglo. Alrededor del siglo V, los empleados indios ya estaban encontrando nuevas formas de registrar el contenido del ábaco. Los textos hindúes usaban el término śūnya (cero) para indicar la columna vacía del ábaco.

Japón

En Japón, el ábaco se llama soroban (算盤, そろばん, literalmente, "bandeja de conteo"). Fue importado de China en el siglo XIV. Probablemente estuvo en uso por la clase trabajadora un siglo o más antes de que la clase dominante lo adoptara, ya que la estructura de clases obstruyó tales cambios. El ábaco 1:4, que elimina la segunda y la quinta cuenta que rara vez se usan, se hizo popular en la década de 1940.

El ábaco japonés actual es un ábaco de cuatro cuentas de tipo 1:4, introducido desde China en la era Muromachi. Adopta la forma de la cubierta superior con una cuenta y la inferior con cuatro cuentas. La cuenta superior en el piso superior era igual a cinco y la inferior es similar al ábaco chino o coreano, y el número decimal se puede expresar, por lo que el ábaco está diseñado como un dispositivo de uno: cuatro. Las cuentas siempre tienen la forma de un diamante. La división del cociente se usa generalmente en lugar del método de división; al mismo tiempo, para hacer que los dígitos de multiplicación y división sean consistentes, use la multiplicación de división. Más tarde, Japón tuvo un ábaco de 3:5 llamado 天三算盤, que ahora se encuentra en la colección Ize Rongji de Shansi Village en la ciudad de Yamagata. Japón también utilizó un ábaco de tipo 2:5.

El ábaco de cuatro cuentas se extendió y se hizo común en todo el mundo. Las mejoras al ábaco japonés surgieron en varios lugares. En China se utilizó un ábaco de cuentas de plástico con marco de aluminio. El archivo está al lado de las cuatro cuentas, y al presionar el botón "borrar" coloque la cuenta superior en la posición superior y la cuenta inferior en la posición inferior.

El ábaco todavía se fabrica en Japón incluso con la proliferación, practicidad y asequibilidad de las calculadoras electrónicas de bolsillo. El uso del soroban todavía se enseña en las escuelas primarias japonesas como parte de las matemáticas, principalmente como ayuda para un cálculo mental más rápido. El uso de imágenes visuales puede completar un cálculo tan rápido como un instrumento físico.

Corea

El ábaco chino emigró de China a Corea alrededor del año 1400 d.C. Los coreanos lo llaman jupan (주판), supan (수판) o jusan (주산). El ábaco de cuatro cuentas (1:4) se introdujo durante la dinastía Goryeo. El ábaco 5:1 se introdujo en Corea desde China durante la dinastía Ming.

América nativa

Algunas fuentes mencionan el uso de un ábaco llamado nepohualtzintzin en la antigua cultura azteca. Este ábaco mesoamericano usaba un sistema base 20 de 5 dígitos. La palabra Nepōhualtzintzin[nepoːwaɬˈt͡sint͡sin] proviene del náhuatl, formado por las raíces; Ne – personal -; pōhual o pōhualli [ˈpoːwalːi] – la cuenta -; y tzintzin [ˈt͡sint͡sin] - pequeños elementos similares. Se tomó su significado completo como: contando con pequeños elementos similares. Su uso fue enseñado en el Calmecac al temalpouhqueh [temaɬˈpoʍkeʔ], que eran estudiantes dedicados a llevar las cuentas de los cielos, desde niños.

El Nepōhualtzintzin estaba dividido en dos partes principales separadas por una barra o cordón intermedio. En la parte izquierda había cuatro cuentas. Las cuentas de la primera fila tienen valores unitarios (1, 2, 3 y 4), y en el lado derecho, tres cuentas tenían valores de 5, 10 y 15, respectivamente. Para saber el valor de las respectivas cuentas de las filas superiores, basta multiplicar por 20 (por cada fila), el valor de la cuenta correspondiente en la primera fila.

El dispositivo presentaba 13 filas con 7 cuentas, 91 en total. Este era un número básico para esta cultura. Tenía una estrecha relación con los fenómenos naturales, el inframundo y los ciclos de los cielos. Un Nepōhualtzintzin (91) representa el número de días que dura una estación del año, dos Nepōhualtzitzin (182) es el número de días del ciclo del maíz, desde su siembra hasta su cosecha, tres Nepōhualtzintzin (273) es el número de días de la gestación de un bebé, y cuatro Nepōhualtzintzin (364) completaron un ciclo y se aproximaron a un año. Cuando se tradujo a la aritmética informática moderna, el Nepōhualtzintzin ascendió al rango de 10 a 18 en punto flotante, que calculaba con precisión cantidades grandes y pequeñas, aunque no se permitía el redondeo.

El redescubrimiento del Nepōhualtzintzin se debió al ingeniero mexicano David Esparza Hidalgo, quien en sus viajes por México encontró diversos grabados y pinturas de este instrumento y reconstruyó varios de ellos en oro, jade, incrustaciones de concha, etc. Se atribuyen Nepōhualtzintzin muy antiguos a la cultura olmeca, y algunas pulseras de origen maya, así como diversidad de formas y materiales en otras culturas.

Sánchez escribió en Arithmetic in Maya que se había encontrado otro ábaco de base 5 y base 4 en la península de Yucatán que también computaba datos de calendario. Este era un ábaco de dedo, por un lado se usaba el 0, 1, 2, 3 y 4; y por otro lado se utilizaron 0, 1, 2 y 3. Tenga en cuenta el uso de cero al principio y al final de los dos ciclos.

El quipu de los incas era un sistema de cuerdas anudadas de colores que se usaba para registrar datos numéricos, como palos de conteo avanzados, pero no se usaba para realizar cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando una yupana (quechua para "herramienta de contar"; ver figura) que todavía estaba en uso después de la conquista de Perú. Se desconoce el principio de funcionamiento de una yupana, pero en 2001 el matemático italiano De Pasquale propuso una explicación. Al comparar la forma de varias yupanas, los investigadores descubrieron que los cálculos se basaban en la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5 y potencias de 10, 20 y 40 como valores posicionales para los diferentes campos del instrumento. El uso de la secuencia de Fibonacci mantendría al mínimo el número de granos dentro de cualquier campo.

Rusia

El ábaco ruso, el schoty (ruso: счёты, plural del ruso: счёт, contando), generalmente tiene una sola baraja inclinada, con diez cuentas en cada alambre (excepto un alambre con cuatro cuentas para fracciones de un cuarto de rublo). Se introdujo alambre de 4 cuentas para cuartos de kopeks, que se acuñaron hasta 1916.El ábaco ruso se usa verticalmente, con cada alambre corriendo horizontalmente. Los alambres generalmente se arquean hacia arriba en el centro, para mantener las cuentas sujetas a ambos lados. Se borra cuando todas las cuentas se mueven hacia la derecha. Durante la manipulación, las cuentas se mueven hacia la izquierda. Para facilitar la visualización, las 2 cuentas del medio en cada cable (las cuentas 5 y 6) generalmente son de un color diferente a las otras ocho. Asimismo, la cuenta izquierda del cable de miles (y el cable de millones, si está presente) puede tener un color diferente.

El ábaco ruso se usaba en tiendas y mercados en toda la antigua Unión Soviética, y su uso se enseñó en la mayoría de las escuelas hasta la década de 1990. Incluso la invención de 1874 de la calculadora mecánica, el aritmómetro de Odhner, no los reemplazó en Rusia; según Yakov Perelman. Se sabía que algunos hombres de negocios que intentaban importar calculadoras al Imperio Ruso se iban desesperados después de ver a un hábil operador de ábaco. Asimismo, la producción en masa de aritmómetros Felix desde 1924 no redujo significativamente el uso del ábaco en la Unión Soviética. El ábaco ruso comenzó a perder popularidad solo después de la producción en masa de microcalculadoras domésticas en 1974.

El ábaco ruso fue traído a Francia alrededor de 1820 por el matemático Jean-Victor Poncelet, que había servido en el ejército de Napoleón y había sido prisionero de guerra en Rusia. El ábaco había dejado de usarse en Europa occidental en el siglo XVI con el auge de la notación decimal y los métodos algorísmicos. Para los contemporáneos franceses de Poncelet, era algo nuevo. Poncelet lo usó, no para ningún propósito aplicado, sino como ayuda para la enseñanza y la demostración. Los turcos y los armenios usaban ábacos similares al schoty ruso. Fue nombrado coulba por los turcos y choreb por los armenios.

ábaco escolar

En todo el mundo, los ábacos se han utilizado en escuelas preescolares y primarias como ayuda para enseñar el sistema numérico y la aritmética.

En los países occidentales, es común un marco de cuentas similar al ábaco ruso pero con alambres rectos y un marco vertical (ver imagen).

La estructura alámbrica se puede usar con notación posicional como otros ábacos (por lo tanto, la versión de 10 hilos puede representar números hasta 9,999,999,999), o cada cuenta puede representar una unidad (p. ej., 74 se puede representar cambiando todas las cuentas en 7 hilos y 4 cuentas en el 8º cable, por lo que se pueden representar números hasta el 100). En el marco de cuentas que se muestra, el espacio entre el quinto y el sexto alambre, correspondiente al cambio de color entre la quinta y la sexta cuenta en cada alambre, sugiere el último uso. La enseñanza de la multiplicación, por ejemplo, 6 por 7, se puede representar moviendo 7 cuentas en 6 cables.

El ábaco rojo y blanco se utiliza en las escuelas primarias contemporáneas para una amplia gama de lecciones relacionadas con los números. La versión de veinte cuentas, a la que se hace referencia por su nombre holandés rekenrek ("marco de cálculo"), se usa a menudo, ya sea en una sarta de cuentas o en un marco rígido.

Feynman contra el ábaco

El físico Richard Feynman se destacó por su facilidad en los cálculos matemáticos. Escribió sobre un encuentro en Brasil con un experto japonés en ábaco, quien lo desafió a acelerar concursos entre el lápiz y el papel de Feynman y el ábaco. El ábaco era mucho más rápido para sumar, algo más rápido para multiplicar, pero Feynman era más rápido para dividir. Cuando se usó el ábaco para un desafío realmente difícil, es decir, raíces cúbicas, Feynman ganó fácilmente. Sin embargo, el número elegido al azar estaba cerca de un número que Feynman sabía que era un cubo exacto, lo que le permitió usar métodos aproximados.

Análisis neurológico

Aprender a calcular con el ábaco puede mejorar la capacidad de cálculo mental. El cálculo mental basado en ábaco (AMC), que se derivó del ábaco, es el acto de realizar cálculos, incluidas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, en la mente mediante la manipulación de un ábaco imaginario. Es una habilidad cognitiva de alto nivel que ejecuta cálculos con un algoritmo efectivo. Las personas que realizan entrenamiento AMC a largo plazo muestran una mayor capacidad de memoria numérica y experimentan vías neuronales conectadas de manera más efectiva. Son capaces de recuperar la memoria para hacer frente a procesos complejos. AMC implica el procesamiento visoespacial y visomotor que genera el ábaco visual y mueve las cuentas imaginarias.Dado que solo requiere que se recuerde la posición final de las cuentas, requiere menos memoria y menos tiempo de cálculo.

Ábacos renacentistas

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ábaco binario

El ábaco binario se usa para explicar cómo las computadoras manipulan los números. El ábaco muestra cómo se pueden almacenar números, letras y signos en un sistema binario en una computadora o mediante ASCII. El dispositivo consta de una serie de perlas en alambres paralelos dispuestos en tres filas separadas. Las cuentas representan un interruptor en la computadora en una posición de "encendido" o "apagado".

Usuarios con discapacidad visual

Un ábaco adaptado, inventado por Tim Cranmer y llamado ábaco de Cranmer, es comúnmente utilizado por usuarios con discapacidades visuales. Se coloca un trozo de tela suave o goma detrás de las cuentas, manteniéndolas en su lugar mientras los usuarios las manipulan. Luego, el dispositivo se usa para realizar las funciones matemáticas de multiplicación, división, suma, resta, raíz cuadrada y raíz cúbica.

Aunque los estudiantes ciegos se han beneficiado de las calculadoras parlantes, a menudo se les enseña el ábaco a estos estudiantes en los primeros grados. Los estudiantes ciegos también pueden completar las tareas matemáticas usando un escritor braille y el código Nemeth (un tipo de código braille para matemáticas), pero los problemas de multiplicación y división larga son tediosos. El ábaco les da a estos estudiantes una herramienta para calcular problemas matemáticos que iguala la velocidad y el conocimiento matemático requerido por sus compañeros videntes usando lápiz y papel. Muchas personas ciegas encuentran en esta máquina numérica una herramienta útil durante toda la vida.