65537-gon

En geometría, un 65537-gono es un polígono con 65.537 (2¹⁶ + 1) lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 65537-gono que no se intersecte consigo mismo es 11796300°.

El área de un gono regular de 65537 es (con t = longitud del borde)

${\displaystyle A={\frac {65537} {4}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}}}$

Un 65537-gono regular completo no se puede distinguir visualmente de un círculo, y su perímetro difiere del del círculo circunscrito en aproximadamente 15 partes por mil millones.

El regular 65537-gon (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es de interés por ser un polígono constructible: es decir, se puede construir utilizando una brújula y una recta sin marcar. Esto es porque 65,537 es una prima de Fermat, siendo de la forma 2²ⁿ + 1 (en este caso n = 4). Así, los valores ${\displaystyle \cos {\frac}{65537}}$ y ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi}{65537}}$ son números algebraicos de 32768 grados, y como cualquier número constructible, se pueden escribir en términos de raíces cuadradas y no raíces de orden superior.

Aunque Gauss ya sabía en 1801 que el 65537-gono regular era construible, la primera construcción explícita de un 65537-gono regular fue dada por Johann Gustav Hermes (1894). La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas. Otro método implica el uso de un máximo de 1332 círculos de Carlyle, y las primeras etapas de este método se muestran a continuación. Este método enfrenta problemas prácticos, ya que uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación cuadrática x² + x − 16384 = 0 (siendo 16384 2¹⁴).

El gono regular 65537 tiene simetría D65537, orden 131074. Como 65537 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diedral: D₁, y dos simetrías de grupo cíclicas: Z₆₅₅₃₇ y Z₁.

Un 65537-gram es un polígono estrella de 65.537 caras. Como 65,537 es primo, hay 32,767 formas regulares generadas por símbolos Schläfli {65537/nPara todos los enteros 2 ≤ n ≤ 32768 como ${\displaystyle \left\lfloor {65537}{2}\right\rfloor =32768}$.

• Circle
• triángulo equilátero
• Pentagon
• Heptadecagon (17-sides)
• 257-gon

• Weisstein, Eric W. "65537-gon". MathWorld.
• Robert Dixon Mathographics. Nueva York: Dover, pág. 53, 1991.
• Benjamin Bold, Problemas famosos de la geometría y cómo resolverlos Nueva York: Dover, pág. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
• H. S. M. Coxeter Introducción a la geometría, 2a edición. Nueva York: Wiley, 1969.
• Leonard Eugene Dickson Construcciones con Regla y Compases; Poligones regulares Ch. 8 en Monografías sobre Temas de Matemática Moderna
• Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). Nueva York: Dover, págs. 352 a 386, 1955.

• 65537-gon mathematik-olympiaden.de (alemán), con imágenes de la documentación HERMES; recuperada el 9 de julio de 2018
• Wikibooks 65537-Eck (alemán) Construcción aproximada del primer lado en dos pasos principales
• 65537-gon, construcción exacta para el primer lado, utilizando el Quadratrix de Hippias y GeoGebra como ayudas adicionales, con breve descripción (alemán)