5040 (número)

5040 es un factorial (¡7!), un número superior altamente compuesto, un número abundante, un número colosalmente abundante y el número de permutaciones de 4 elementos de 10 opciones (10 × 9 × 8 × 7 = 5040). También es uno menos que un cuadrado, lo que hace que (7, 71) sea un par de números marrones.

Filosofía

Platón menciona en sus Leyes que 5040 es un número conveniente para dividir muchas cosas (incluidos tanto los ciudadanos como la tierra de una ciudad-estado o polis) en partes menores, lo que lo convierte en un número ideal para el número de ciudadanos (cabezas de familia) que componen una polis. Observa que este número se puede dividir por todos los números (naturales) del 1 al 12 con la única excepción de 11 (sin embargo, no es el número más pequeño que tiene esta propiedad; 2520 sí lo es). Él rectifica este "defecto" al sugerir que se podrían restar dos familias del cuerpo ciudadano para producir el número 5038, que es divisible por 11. Platón también se dio cuenta del hecho de que 5040 se puede dividir dos veces por 12. De hecho, la repetida insistencia de Platón en el uso de 5040 para diversos propósitos estatales es tan evidente que Benjamin Jowett, en la introducción a su traducción de Leyes, escribió: "Platón, escribiendo bajo influencias pitagóricas, parece haber supuesto realmente que el bienestar de la ciudad dependía casi tanto del número 5040 como de la justicia y la moderación."

Jean-Pierre Kahane ha sugerido que el uso que Platón hizo del número 5040 marca la primera aparición del concepto de un número altamente compuesto, un número con más divisores que cualquier número más pequeño.

Número teórico

Si ${\displaystyle \sigma (n)}$ es la función suma de visores y ${\displaystyle \gamma }$ es la constante Euler-Mascheroni, entonces 5040 es el mayor de 27 números conocidos (secuencia A067698 en el OEIS) por el que esta desigualdad sostiene:

${\displaystyle \sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n}$.

Esto es algo inusual, ya que en el límite tenemos:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\log \log ################################################################################################################################################################################################################################################################ }$

Guy Robin demostró en 1984 que la desigualdad falla para todos los números mayores si y sólo si la hipótesis de Riemann es cierta.

Notas interesantes

• 5040 es el número más pequeño con exactamente 60 divisores, contando a sí mismo y 1.
• 5040 es el factorial más grande (7! = 5040) que es también un número altamente compuesto. Todos los factores menores de 8! = 40320 son altamente compuestos.
• 5040 es la suma de 42 primos consecutivos (23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 53 + 53 + 61 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 173 + 171 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 2239)
• 5040 es el múltiplo común más bajo de los primeros 10 múltiplos de 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20).