4 politopos

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Objeto geométrico de cuatro dimensiones con lados planos

Gráficos de los seis convexos regulares 4-polytopes
{3,3}	{3,4}	{4,3,3}
5 celdas Pentatope 4-simplex	16 celdas Ortoplex 4-orthoplex	8 celdas Tesseract 4-cube
{3,4,3}	{3,5}	{5,3,3}
24 horas Octaplex	600 celdas Tetraplex	120 celdas Dodecaplex

En geometría, un 4-politopo (a veces también llamado policrono, policélula o poliedroide) es un politopo de cuatro dimensiones. Es una figura conectada y cerrada, compuesta por elementos politopales de menor dimensión: vértices, aristas, caras (polígonos) y celdas (poliedros). Cada cara es compartida por exactamente dos celdas. Los 4 politopos fueron descubiertos por el matemático suizo Ludwig Schläfli antes de 1853.

El análogo bidimensional de un politopo de 4 es un polígono, y el análogo tridimensional es un poliedro.

Topológicamente, los 4 politopos están estrechamente relacionados con los panales uniformes, como el panal cúbico, que se teselan en 3 espacios; De manera similar, el cubo 3D está relacionado con el mosaico cuadrado 2D infinito. Los 4 politopos convexos se pueden cortar y desplegar como redes en 3 espacios.

Definición

Un 4-politopo es una figura cerrada de cuatro dimensiones. Comprende vértices (puntos de esquina), aristas, caras y celdas. Una celda es el análogo tridimensional de una cara y, por lo tanto, es un poliedro. Cada cara debe unir exactamente dos celdas, de forma análoga a la forma en que cada arista de un poliedro une solo dos caras. Como cualquier politopo, los elementos de un politopo 4 no se pueden subdividir en dos o más conjuntos que también son politopos 4, es decir, no es un compuesto.

Geometría

Los 4 politopos regulares convexos son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos. El 4-politopo más familiar es el teseracto o hipercubo, el análogo 4D del cubo.

Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden.

Convexo regular 4-polytopes
Grupo de Symmetry	A4	B4		F4	H4
Nombre	5 celdas Hyper-tetrahedron 5 puntos	16 celdas Hyper-octahedron 8 puntos	8 celdas Hyper-cube 16 puntos	24 horas 24 puntos	600 celdas Hyper-icosahedron 120 puntos	120 celdas Hyper-dodecahedron 600 puntos
Símbolo Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos de hachater
Mirror dihedrals	π/3 π/3 π/3 π/2 π/2 π/2	π/3 π/3 π/4 π/2 π/2 π/2	π/4 π/3 π/3 π/2 π/2 π/2	π/3 π/4 π/3 π/2 π/2 π/2	π/3 π/3 π/5 π/2 π/2 π/2	π/5 π/3 π/3 π/2 π/2 π/2
Gráfico
Vertices	5 tetraedral	8 octadral	16 tetraedral	24 cúbicos	120 icosahedral	600 tetraedral
Edges	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 plazas	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Celdas	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubos	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4-cubo	4 6-octaedron	20 30-tetraedro	12 10-dodecahedron
Inscritos	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 16 celdas	3 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 π/2 cuadrados x 3	4 π/2 rectángulos x 3	4 π/3 hexágonos x 4	12 π/5 decagones x 6	50 π/15 dodecagons x 4
Petrie poligons	1 pentágono	1 octágono	2 octágonos	2 dodecagones	4 30-gones	20 30-gones
radio largo	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Longitud del borde	${displaystyle {sqrt {tfrac {5}{2}}}approx 1.581}$	$sqrt{2} approx 1.414$	$1$	$1$	${displaystyle {tfrac {1}{phi }}approx 0.618}$	${displaystyle {tfrac {1}{phi ^{2}{sqrt {2}}}}approx 0.270}$
Breus corto	$tfrac{1}{4}$	${tfrac {1}{2}}$	${tfrac {1}{2}}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {1}{2}}}approx 0.707}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$
Zona	${displaystyle 10left({tfrac {5{sqrt {3}}}{8}}right)approx 10.825}$	${displaystyle 32left({sqrt {tfrac {3}{4}}}right)approx 27.713}$	$24$	${displaystyle 96left({sqrt {tfrac {3}{16}}}right)approx 41.569}$	${displaystyle 1200left({tfrac {sqrt {3}}{4phi ^{2}}}right)approx 198.48}$	${displaystyle 720left({tfrac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{8phi ^{4}}}right)approx 90.366}$
Volumen	${displaystyle 5left({tfrac {5{sqrt {5}}}{24}}right)approx 2.329}$	${displaystyle 16left({tfrac {1}{3}}right)approx 5.333}$	$8$	${displaystyle 24left({tfrac {sqrt {2}}{3}}right)approx 11.314}$	${displaystyle 600left({tfrac {sqrt {2}}{12phi ^{3}}}right)approx 16.693}$	${displaystyle 120left({tfrac {15+7{sqrt {5}}}{4phi ^{6}{sqrt {8}}}}right)approx 18.118}$
4-Content	${displaystyle {tfrac {sqrt {5}}{24}}left({tfrac {sqrt {5}}{2}}right)^{4}approx 0.146}$	${displaystyle {tfrac {2}{3}}approx 0.667}$	$1$	$2$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 3.863}$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 4.193}$

Visualización

Exposiciones de ejemplo de un 24 celdas
Sección		Cifras netas

Proyecciones
Schlegel	2D ortogonal	3D ortogonal

Los 4 politopos no se pueden ver en el espacio tridimensional debido a su dimensión extra. Se utilizan varias técnicas para ayudar a visualizarlos.

Proyección ortogonal

Las proyecciones ortogonales se pueden usar para mostrar varias orientaciones de simetría de un politopo de 4. Se pueden dibujar en 2D como gráficos de borde de vértice y se pueden mostrar en 3D con caras sólidas como envolventes proyectivas visibles.

Proyección prospectiva

Al igual que una forma 3D se puede proyectar en una hoja plana, una forma 4D se puede proyectar en 3 espacios o incluso en una hoja plana. Una proyección común es un diagrama de Schlegel que utiliza la proyección estereográfica de puntos en la superficie de una esfera tridimensional en tres dimensiones, conectados por bordes rectos, caras y celdas dibujadas en un espacio tridimensional.

Sección

Así como un corte a través de un poliedro revela una superficie cortada, un corte a través de un politopo de 4 revela una "hipersuperficie" cortada. en tres dimensiones. Se puede utilizar una secuencia de tales secciones para desarrollar una comprensión de la forma general. La dimensión adicional se puede equiparar con el tiempo para producir una animación uniforme de estas secciones transversales.

Cifras netas

Una red de un politopo de 4 está compuesta por celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus bordes y todas ocupan el mismo avión.

Características topológicas

El tesseract como un diagrama de Schlegel

La topología de cualquier politopo de 4 dados se define por sus números de Betti y sus coeficientes de torsión.

El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 4 politopos, independientemente de su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados.

Del mismo modo, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los 4 politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión.

Clasificación

Criterios

Como todos los politopos, los 4 politopos se pueden clasificar según propiedades como "convexidad" y "simetría".

Un 4-polytope es convex si su límite (incluyendo sus células, caras y bordes) no se intersecte y el segmento de línea que une dos puntos del 4-polytope está contenido en el 4-polytope o su interior; de lo contrario, es non-convex. Los 4-polytopes autointersecantes también se conocen como estrella 4-polytopes, de analogía con las formas estrella de los polígonos estrella no-convexa y Kepler-Poinsot polihedra.
Un 4-polytope es ordinario si es transitivo en sus banderas. Esto significa que sus células son todas congruentes poliedros regulares, y de forma similar sus figuras de vértice son congruentes y de otro tipo de poliedro regular.
Un convexo 4-polytope es semiregular si tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes (vertex-transitivo) y sus células son poliedros regulares. Las células pueden ser de dos o más tipos, siempre que tengan el mismo tipo de cara. Sólo hay 3 casos identificados por Thorold Gosset en 1900: el rectificado de 5 celdas, 600 celdas rectificadas y snub 24-cell.
Un 4-polytope es uniforme si tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes, y sus células son poliedros uniformes. Las caras de un 4-polytope uniforme deben ser regulares.
Un 4-polytope es scaliform si es vertex-transitivo, y tiene todos los bordes de longitud iguales. Esto permite células que no son uniformes, como los sólidos convex Johnson de cara regular.
Un 4-polytope regular que también es convex se dice que es un convexo regular 4-polytope.
Un 4-polytope es prismática si es el producto cartesiano de dos o más politópicos de menor dimensión. Un prismático 4-polytope es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de dos plazas, o de un cubo y segmento de línea), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
A azulejos o panal de 3 espacios es la división del espacio euclidiano tridimensional en una rejilla repetitiva de células poliedral. Tales baldosas o tessellations son infinitas y no atan un volumen "4D", y son ejemplos de 4-polytopes infinitos. A nivel uniforme de 3 espacios es uno cuyos vértices son congruentes y relacionados por un grupo espacial y cuyas células son poliedros uniformes.

Clases

A continuación se enumeran las diversas categorías de 4 politopos clasificados según los criterios anteriores:

El truncado de 120 celdas es uno de 47 convexos uniforme no prismático 4-polytopes

Cuatro politopos uniformes (transitivo de vértice):

Convex uniforme 4-polytopes (64, más dos familias infinitas)
- 47 uniforme de convexo no prismático 4-polytope incluyendo:
  - 6 Convex regular 4-polytope
- Uniforme prismático 4-polytopes:
  - {} × {p,q}: 18 hiperprismos polihedral (incluyendo hiperprismo cúbico, el hipercubo regular)
  - Prismos construidos sobre antiprismos (familia infinita)
  - {p} × {q}: duoprismos (familia infinita)
No uniforme 4-polytopes (10 + desconocido)

El gran número de 120 células estelares es el más grande de 10 estrellas regulares 4-polytopes, con 600 vértices.
- 10 politopes Schläfli-Hess
- 57 hiperprismos construidos sobre polihedra uniforme no convexa
- Unknown total number of nonconvex uniform 4-polytopes: Norman Johnson y otros colaboradores han identificado 2189 casos conocidos (convexo y estrella, excluyendo las familias infinitas), todos construidos por figuras de vértice por el software Stella4D.

Otros 4-politopos convexos:

pirámide poliedral
Bipirámide poliedral
Poliedral prism

El panal cúbico regular es el único 4-polytope infinito en el espacio 3-dimensional Euclidean.

4 politopos infinitos uniformes de 3 espacios euclidianos (teselados uniformes de celdas uniformes convexas)

28 convexos uniformes de miel: convexo uniforme poliedral tessellations, incluyendo:
- 1 tessellation regular, cubic honeycomb: {4,4}

4 politopos infinitos uniformes de 3 espacios hiperbólicos (teselados uniformes de celdas uniformes convexas)

76 Wythoffian convex uniform honeycombs in hyperbolic space, including:
- 4 tessellation regular of compact hyperbolic 3-space: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Cuatro politopos uniformes duales (transitivo celular):

41 único convexo doble uniforme 4-polytopes
17 prismas de poliedral uniforme de doble convexo único
familia infinita de duoprismos uniformes convexos duales (células tetraedral irregulares)
27 únicos convexos dobles de miel uniforme, incluyendo:
- Rhombic dodecahedral honeycomb
- Desphenoid tetrahedral honeycomb

Otros:

Weaire-Phelan estructura periódica panal lleno de espacio con células irregulares

El 11-celular es un resumen regular de 4-polytope, existente en el plano proyectivo real, se puede ver presentando sus 11 vértices y células hemi-icosahedral por índice y color.

Cuatro politopos regulares abstractos:

11 celdas
57 celdas

Estas categorías incluyen solo los 4 politopos que exhiben un alto grado de simetría. Son posibles muchos otros 4 politopos, pero no se han estudiado tan extensamente como los incluidos en estas categorías.

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