3 esferas

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Objeto matemático

Proyección estereográfica de los paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a que esta proyección es conformal, las curvas se intersectan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que intersectan,0,0,1 tronco tienen un radio infinito (= línea recta). En esta imagen, todo el espacio 3D mapa los superficie de la hipersfera, mientras que en la imagen anterior el espacio 3D contenía el sombra de la hipersfera a granel.

Proyección directa 3-sphere en espacio 3D y cubierto con rejilla superficial, mostrando estructura como pila de esferas 3D (2-spheres)

En matemáticas, una 3 esferas es un análogo de dimensión superior de una esfera. Puede estar incrustado en el espacio euclidiano de 4 dimensiones como el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo. De manera análoga a cómo el límite de una pelota en tres dimensiones es una esfera ordinaria (o 2 esferas, una superficie bidimensional), el límite de una pelota en cuatro dimensiones es una 3 esferas (un objeto con tres dimensiones). Una 3-esfera es un ejemplo de una 3-variedad y una n-esfera.

Definición

En coordenadas, una esfera de 3 con centro $(C 0, C 1, C 2, C 3)$ y radio $r$ es el conjunto de todos los puntos $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ en un espacio real de 4 dimensiones ( $R 4$ ) tal que

sum _{{i=0}}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

La 3-esfera centrada en el origen con radio 1 se denomina unidad 3-esfera y generalmente se denota $S 3$ :

S^{3}=left{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})in {mathbb {R}}^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1right}.

A menudo es conveniente considerar $R 4$ como el espacio con 2 dimensiones complejas ( $C 2$ ) o los cuaterniones ( $H$ ). La unidad 3-esfera entonces viene dada por

S^{3}=left{(z_{1},z_{2})in {mathbb {C}}^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1right}

{displaystyle S^{3}=left{qin mathbb {H}:|q|=1right}.}

Esta descripción como los cuaterniones de la norma uno identifica las 3 esferas con los versores en el anillo de división de cuaterniones. Así como el círculo unitario es importante para las coordenadas polares planas, la esfera de 3 es importante en la vista polar del espacio de 4 involucrado en la multiplicación de cuaterniones. Consulte la descomposición polar de un cuaternión para obtener detalles de este desarrollo de las tres esferas. Esta visión de las 3 esferas es la base para el estudio del espacio elíptico desarrollado por Georges Lemaître.

Propiedades

Propiedades elementales

El volumen de superficie tridimensional de una esfera de 3 radios $r$ es

{displaystyle SV=2pi ^{2}r^{3},}

mientras que el hipervolumen de 4 dimensiones (el contenido de la región de 4 dimensiones limitada por la esfera de 3) es

{displaystyle H={frac {1}{2}}pi ^{2}r^{4}.}

Toda intersección no vacía de una 3 esferas con un hiperplano tridimensional es una 2 esferas (a menos que el hiperplano sea tangente a la 3 esferas, en cuyo caso la intersección es un único punto). A medida que una esfera tridimensional se mueve a través de un hiperplano tridimensional dado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una esfera creciente que alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano atraviesa el 'ecuador'. de las 3 esferas. Luego, la esfera 2 se encoge nuevamente hasta un solo punto cuando la esfera 3 abandona el hiperplano.

En un hiperplano tridimensional dado, una esfera tridimensional puede girar alrededor de un "plano ecuatorial" (análogo a una esfera de 2 que gira alrededor de un eje central), en cuyo caso parece ser una esfera de 2 cuyo tamaño es constante.

Propiedades topológicas

Una esfera tridimensional es una variedad tridimensional compacta y conectada sin límite. También está simplemente conectado. Lo que esto significa, en un sentido amplio, es que cualquier bucle o trayectoria circular en la 3 esfera puede reducirse continuamente hasta un punto sin salir de la 3 esfera. La conjetura de Poincaré, demostrada en 2003 por Grigori Perelman, establece que la 3-esfera es la única variedad tridimensional (hasta el homeomorfismo) con estas propiedades.

La 3-esfera es homeomorfa a la compactación de un punto de $R 3$ . En general, cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la 3-esfera se denomina 3-esfera topológica.

Los grupos de homología de las 3 esferas son los siguientes: $H 0 (S 3, Z)$ y $H 3 (S 3, Z)$ son ambos cíclicos infinitos, mientras que $H i (S 3, Z) = {}$ para todos los demás índices $i$ . Cualquier espacio topológico con estos grupos de homología se conoce como 3 esferas de homología. Inicialmente, Poincaré conjeturó que todas las 3 esferas de homología son homeomorfas a $S 3$ , pero luego él mismo construyó una no homeomorfa uno, ahora conocido como la esfera de homología de Poincaré. Ahora se sabe que existen infinitas esferas de homología. Por ejemplo, un relleno de Dehn con pendiente $1 / n$ en cualquier nudo en la 3-esfera da una esfera de homología; por lo general, estos no son homeomorfos a las 3 esferas.

En cuanto a los grupos de homotopía, tenemos $π 1 (S 3) = π 2 (S 3) = {}$ y $π 3 (S 3)$ es cíclico infinito. Los grupos de homotopía superior ( $k \geq 4$ ) son todos abelianos finitos, pero por lo demás no siguen un patrón perceptible. Para más discusión ver grupos homotópicos de esferas.

Grupos de Homotopy $S 3$
$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$π k () S 3)$	0	0	0	$Z$	$Z 2$	$Z 2$	$Z 12$	$Z 2$	$Z 2$	$Z 3$	$Z 15$	$Z 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$Z 12 \oplus Z 2$	$Z 84 \oplus Z 2 \oplus Z 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$Z 6$

Propiedades geométricas

La 3-esfera es naturalmente una variedad suave, de hecho, una subvariedad incrustada cerrada de $R 4$ . La métrica euclidiana en $R 4$ induce una métrica en las 3 esferas dándole la estructura de una variedad riemanniana. Al igual que con todas las esferas, la esfera 3 tiene una curvatura de sección positiva constante igual a $1 / r 2$ donde $r$ es el radio.

Gran parte de la interesante geometría de las 3 esferas proviene del hecho de que las 3 esferas tienen una estructura de grupo de Lie natural dada por la multiplicación de cuaterniones (consulte la sección siguiente sobre estructura de grupo). Las únicas otras esferas con tal estructura son la esfera 0 y la esfera 1 (ver grupo circular).

A diferencia de las 2 esferas, las 3 esferas admiten campos vectoriales no nulos (secciones de su haz tangente). Incluso se pueden encontrar tres campos vectoriales linealmente independientes y no nulos. Estos pueden tomarse como cualquier campo vectorial invariante a la izquierda que forma una base para el álgebra de Lie de las 3 esferas. Esto implica que la 3 esfera es paralelizable. De ello se deduce que el fibrado tangente de las 3 esferas es trivial. Para obtener una discusión general sobre la cantidad de campos vectoriales independientes lineales en una esfera $n$ , consulte el artículo Campos vectoriales en esferas.

Hay una acción interesante del grupo circular $T$ en $S 3$ dando a las 3 esferas la estructura de un haz circular principal conocido como el haz de Hopf. Si uno piensa en $S 3$ como un subconjunto de $C 2$ , la acción viene dada por

(z_{1},z_{2})cdot lambda =(z_{1}lambdaz_{2}lambda)quad forall lambda in {mathbb T}

El espacio de la órbita de esta acción es homeomorfo a la $S 2$ de dos esferas. Dado que $S 3$ no es homeomorfo a $S 2 \times S 1$ , el paquete de Hopf no es trivial.

Construcción topológica

Hay varias construcciones conocidas de las tres esferas. Aquí describimos el pegado de un par de bolas de tres y luego la compactación de un punto.

Pegado

Una 3 esferas se puede construir topológicamente "pegando" juntos los límites de un par de 3 bolas. El límite de una bola de 3 es una esfera de 2, y estas dos esferas de 2 deben identificarse. Es decir, imagine un par de 3 bolas del mismo tamaño, luego superpóngalas para que sus límites de 2 esféricas coincidan y deje que los pares de puntos coincidentes en el par de 2 esferas sean idénticamente equivalentes entre sí. En analogía con el caso de las 2 esferas (ver más abajo), la superficie de pegado se llama esfera ecuatorial.

Tenga en cuenta que los interiores de las 3 bolas no están pegados entre sí. Una forma de pensar en la cuarta dimensión es como una función continua de valor real de las coordenadas tridimensionales de la bola 3, quizás considerada como 'temperatura'. Tomamos la "temperatura" sea cero a lo largo de la 2 esfera de pegado y deje que una de las 3 bolas esté "caliente" y deja que la otra bola 3 sea 'fría'. El "caliente" La bola 3 podría considerarse como el "hemisferio superior" y el "frío" La bola 3 podría considerarse como el "hemisferio inferior". La temperatura es más alta/más baja en los centros de las dos bolas de 3.

Esta construcción es análoga a una construcción de 2 esferas, realizada pegando los límites de un par de discos. Un disco es una bola de 2, y el límite de un disco es un círculo (una esfera de 1). Sean dos discos del mismo diámetro. Superpóngalos y pegue los puntos correspondientes en sus límites. Una vez más, uno puede pensar en la tercera dimensión como temperatura. Del mismo modo, podemos inflar las 2 esferas, moviendo el par de discos para convertirse en los hemisferios norte y sur.

Compactificación en un punto

Después de eliminar un solo punto de la esfera de 2, lo que queda es homeomorfo al plano euclidiano. De la misma manera, eliminar un solo punto de la esfera tridimensional produce un espacio tridimensional. Una forma extremadamente útil de ver esto es a través de la proyección estereográfica. Primero describimos la versión de menor dimensión.

Descanse el polo sur de una esfera de unidad 2 en el plano $xy$ en tres espacios. Mapeamos un punto $P$ de la esfera (menos el polo norte $N$ ) al plano enviando $P$ hasta la intersección de la línea $NP$ con el plano. La proyección estereográfica de 3 esferas (nuevamente eliminando el polo norte) se asigna a tres espacios de la misma manera. (Observe que, dado que la proyección estereográfica es conforme, las esferas redondas se envían a esferas redondas o a planos).

Una forma algo diferente de pensar en la compactación de un punto es a través del mapa exponencial. Volviendo a nuestra imagen de la unidad de dos esferas asentada en el plano euclidiano: Considere una geodésica en el plano, basada en el origen, y asigne esto a una geodésica en las dos esferas de la misma longitud, basada en el polo sur. Debajo de este mapa, todos los puntos del círculo de radio $π$ se envían al polo norte. Dado que el disco unitario abierto es homeomorfo al plano euclidiano, nuevamente se trata de una compactación de un punto.

El mapa exponencial para 3 esferas se construye de manera similar; también se puede discutir utilizando el hecho de que la 3-esfera es el grupo de Lie de cuaterniones unitarios.

Sistemas de coordenadas en las 3 esferas

Las cuatro coordenadas euclidianas para $S 3$ son redundantes ya que están sujetas a la condición de que $x 02 + x 12 + x 22 + x 32 = 1$ . Como una variedad tridimensional, uno debería poder parametrizar $S 3$ mediante tres coordenadas, tal como se puede parametrizar el 2 esferas utilizando dos coordenadas (como latitud y longitud). Debido a la topología no trivial de $S 3$ , es imposible encontrar un solo conjunto de coordenadas que cubra todo el espacio. Al igual que en 2 esferas, se deben usar al menos dos tablas de coordenadas. Algunas opciones diferentes de coordenadas se dan a continuación.

Coordenadas hiperesféricas

Es conveniente tener algún tipo de coordenadas hiperesféricas en $S 3$ en analogía con las coordenadas esféricas habituales en $S 2$ . Una de esas opciones, de ninguna manera única, es usar $(ψ, θ, φ), donde$

{displaystyle {begin{aligned}x_{0}&=rcos psi \x_{1}&=rsin psi cos theta \x_{2}&=rsin psi sin theta cos varphi \x_{3}&=rsin psi sin theta sin varphi end{aligned}}}

donde $ψ$ y $θ$ se ejecuta en el rango de 0 a $π$ , y $φ$ va de 0 a 2 $π$ . Tenga en cuenta que, para cualquier valor fijo de $ψ$ , $θ$ y $φ$ parametrizan una esfera de 2 radios $r sin ψ$ , excepto en los casos degenerados, cuando $ψ$ es igual a 0 o $π$ , en cuyo caso describen un punto.

La métrica redonda en la 3 esfera en estas coordenadas viene dada por

{displaystyle ds^{2}=r^{2}left[dpsi ^{2}+sin ^{2}psi left(dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2}right)right]}

y la forma de volumen por

{displaystyle dV=r^{3}left(sin ^{2}psi ,sin theta right),dpsi wedge dtheta wedge dvarphi.}

Estas coordenadas tienen una elegante descripción en términos de cuaterniones. Cualquier unidad de cuaternión $q$ se puede escribir como un versor:

{displaystyle q=e^{tau psi }=cos psi +tau sin psi }

donde $τ$ es un cuaternión imaginario unitario; es decir, un cuaternión que satisface $τ 2 = -1$ . Este es el análogo cuaterniónico de la fórmula de Euler. Ahora, todos los cuaterniones imaginarios de la unidad se encuentran en la esfera de la unidad 2 en $Im H$ , por lo que cualquier $τ$ se puede escribir:

{displaystyle tau =(cos theta)i+(sin theta cos varphi)j+(sin theta sin varphi)k}

Con $τ$ de esta forma, la unidad cuaternión $q$ viene dada por

{displaystyle q=e^{tau psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}

donde $x 0,1,2,3$ son como arriba.

Cuando $q$ se usa para describir rotaciones espaciales (cf. cuaterniones y rotaciones espaciales), describe una rotación sobre $τ$ a través de un ángulo de $2 ψ$ .

Coordenadas Hopf

La fibra de Hopf se puede visualizar mediante una proyección estereográfica

S 3

R 3

y luego comprime

R 3

a una pelota. Esta imagen muestra puntos en

S 2

y sus fibras correspondientes con el mismo color.

Para la unidad de radio, otra opción de coordenadas hiperesféricas, $(η, ξ 1, ξ 2)$ , hace uso de la incrustación de $S 3$ en $C 2$ . En coordenadas complejas $(z 1, z 2) \in C 2$ escribimos

{displaystyle {begin{aligned}z_{1}&=e^{i,xi _{1}}sin eta \z_{2}&=e^{i,xi _{2}}cos eta.end{aligned}}}

Esto también podría expresarse en $R 4$ como

{displaystyle {begin{aligned}x_{0}&=cos xi _{1}sin eta \x_{1}&=sin xi _{1}sin eta \x_{2}&=cos xi _{2}cos eta \x_{3}&=sin xi _{2}cos eta.end{aligned}}}

Aquí $η$ recorre el rango de 0 a π/2, y $ξ 1$ y ξ₂ puede tomar cualquier valor entre 0 y 2 $π$ . Estas coordenadas son útiles en la descripción de las 3 esferas como el paquete de Hopf

S^{1}to S^{3}to S^{2}.,

Un diagrama que representa el poloideal (

. 1

) dirección, representada por la flecha roja, y el toroidal (

. 2

) dirección, representada por la flecha azul, aunque los términos poloidal y toroidal son arbitrarios en esto torus planas caso.

Para cualquier valor fijo de $η$ entre 0 y π/ 2, las coordenadas $(ξ 1, ξ 2)$ parametrizar un toro bidimensional. Anillos de constante $ξ 1$ y $ξ 2$ anteriores forman cuadrículas ortogonales simples en los toros. Ver imagen a la derecha. En los casos degenerados, cuando $η$ es igual a 0 o π/2, estas coordenadas describen un círculo.

La métrica redonda en la 3 esfera en estas coordenadas viene dada por

ds^{2}=deta ^{2}+sin ^{2}eta ,dxi _{1}^{2}+cos ^{2}eta ,dxi _{2}^{2}

y la forma de volumen por

dV=sin eta cos eta ,deta wedge dxi _{1}wedge dxi _{2}.

Para obtener los círculos entrelazados de la fibración de Hopf, haga una sustitución simple en las ecuaciones anteriores

{displaystyle {begin{aligned}z_{1}&=e^{i,(xi _{1}+xi _{2})}sin eta \z_{2}&=e^{i,(xi _{2}-xi _{1})}cos eta.end{aligned}}}

En este caso $η$ , y $ξ 1$ especifica qué círculo, y $ξ 2$ especifica la posición a lo largo de cada círculo. Un viaje de ida y vuelta (0 a 2 $π$ ) de $ξ 1$ o $ξ 2$ equivale a un viaje de ida y vuelta del toro en el 2 direcciones respectivas.

Coordenadas estereográficas

Se puede obtener otro conjunto conveniente de coordenadas a través de la proyección estereográfica de $S 3$ desde un polo al ecuatorial correspondiente $R 3$ hiperplano. Por ejemplo, si proyectamos desde el punto $(-1, 0, 0, 0)$ podemos escribir un punto $p$ en $S 3$ como

p=left({frac {1-|u|^{2}}{1+|u|^{2}}},{frac {2{mathbf {u}}}{1+|u|^{2}}}right)={frac {1+{mathbf {u}}}{1-{mathbf {u}}}}

donde $u = (u 1, u 2, u 3)$ es un vector en $R 3$ y $|| u || 2 = u 12 + u 22 + u 32$ . En la segunda igualdad anterior, hemos identificado $p$ con un cuaternión unitario y $u = u 1 i + u 2 j + u 3 k$ con un cuaternión puro. (Tenga en cuenta que el numerador y el denominador conmutan aquí aunque la multiplicación cuaterniónica generalmente no es conmutativa). El inverso de este mapa toma $p = (x 0, x 1, x 2, x 3)$ en S³ a

{mathbf {u}}={frac {1}{1+x_{0}}}left(x_{1},x_{2},x_{3}right).

Podríamos haber proyectado desde el punto $(1, 0, 0, 0)$ , en cuyo caso el punto $p$ está dada por

p=left({frac {-1+|v|^{2}}{1+|v|^{2}}},{frac {2{mathbf {v}}}{1+|v|^{2}}}right)={frac {-1+{mathbf {v}}}{1+{mathbf {v}}}}

donde $v = (v 1, v 2, v 3)$ es otro vector en $R 3$ . El inverso de este mapa toma $p$ para

{mathbf {v}}={frac {1}{1-x_{0}}}left(x_{1},x_{2},x_{3}right).

Tenga en cuenta que las coordenadas $u$ están definidas en todas partes excepto $(-1, 0, 0, 0)$ y las coordenadas $v$ en todas partes excepto $(1, 0, 0, 0)$ . Esto define un atlas en $S 3$ que consta de dos gráficos de coordenadas o "parches", que juntos cubrir todo $S 3$ . Tenga en cuenta que la función de transición entre estos dos gráficos en su superposición está dada por

{mathbf {v}}={frac {1}{|u|^{2}}}{mathbf {u}}

y viceversa.

Estructura del grupo

Cuando se considera como el conjunto de cuaterniones unitarios, $S 3$ hereda una estructura importante, a saber, la de la multiplicación cuaterniónica. Debido a que el conjunto de unidades de cuaterniones se cierra bajo la multiplicación, $S 3$ toma la estructura de un grupo. Además, dado que la multiplicación cuaterniónica es suave, $S 3$ puede considerarse como un grupo de Lie real. Es un grupo de Lie compacto, no abeliano, de dimensión 3. Cuando se considera un grupo de Lie, $S 3$ a menudo se denota $Sp(1)$ o $U(1, H)$ .

Resulta que las únicas esferas que admiten una estructura de grupo de Lie son $S1$ , pensada como el conjunto de números complejos unitarios, y $S 3$ , el conjunto de cuaterniones unitarios (El caso degenerado $S 0$ que consta de los números reales 1 y −1 también es un grupo de Lie, aunque de dimensión 0). Uno podría pensar que $S 7$ , el conjunto de octoniones unitarios, formaría un grupo de Lie, pero esto falla ya que octonion la multiplicación no es asociativa. La estructura octoniónica le da a $S 7$ una propiedad importante: paralelizabilidad. Resulta que las únicas esferas que se pueden paralelizar son $S 1$ , $S 3$ y $S 7$ .

Usando una representación matricial de los cuaterniones, $H$ , se obtiene una representación matricial de $S 3$ . Una elección conveniente viene dada por las matrices de Pauli:

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}kmapsto {begin{pmatrix};;,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}end{pmatrix}}.

Este mapa proporciona un homomorfismo de álgebra inyectiva de $H$ al conjunto de matrices complejas de 2 × 2. Tiene la propiedad de que el valor absoluto de un cuaternión $q$ es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz imagen de $q$ .

El conjunto de cuaterniones unitarios viene dado por matrices de la forma anterior con determinante unitario. Este subgrupo de matriz es precisamente el grupo unitario especial $SU(2)$ . Por lo tanto, $S 3$ como grupo de Lie es isomorfo a $SU(2).$

Usando nuestras coordenadas Hopf $(η, ξ 1, ξ 2)$ podemos escribir cualquier elemento de $SU(2)$ en el formulario

{displaystyle {begin{pmatrix}e^{i,xi _{1}}sin eta &e^{i,xi _{2}}cos eta \-e^{-i,xi _{2}}cos eta &e^{-i,xi _{1}}sin eta end{pmatrix}}.}

Otra forma de expresar este resultado es si expresamos la representación matricial de un elemento de $SU(2)$ como una exponencial de una combinación lineal de las matrices de Pauli. Se ve que un elemento arbitrario $U \in SU(2)$ se puede escribir como

{displaystyle U=exp left(sum _{i=1}^{3}alpha _{i}J_{i}right).}

La condición de que el determinante de $U$ sea +1 implica que los coeficientes $α 1$ están obligados a estar en 3 esferas.

En la literatura

En Flatland de Edwin Abbott Abbott, publicado en 1884, y en Sphereland, una secuela de 1965 de Flatland de Dionys Burger, se hace referencia a las 3 esferas a como una superesfera, y una 4-esfera se conoce como una hiperesfera.

Escribiendo en el American Journal of Physics, Mark A. Peterson describe tres formas diferentes de visualizar 3 esferas y señala lenguaje en La Divina Comedia que sugiere que Dante vio el Universo de la misma manera; Carlo Rovelli apoya la misma idea.

En El arte se encuentra con las matemáticas en la cuarta dimensión, Stephen L. Lipscomb desarrolla el concepto de las dimensiones de la hiperesfera en relación con el arte, la arquitectura y las matemáticas.

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