2 21 politopo

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Proyecciones ortogonales en E₆ Coxeter avión
2₂₁	Rectificado 2₂₁	Truncado 2₂₁
(122)	Birectified 2₂₁ (Rectificado 122)

En geometría hexadimensional, el politopo 2₂₁ es un 6-politopo uniforme, construido dentro de la simetría del grupo E6. Fue descubierto por Thorold Gosset, publicado en su artículo de 1900. Lo denominó figura semirregular 6-ica. También se le conoce como politopo de Schläfli.Su símbolo de Coxeter es 2₂₁, que describe su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin, con un solo anillo al final de una de las secuencias de dos nodos. También estudió su conexión con las 27 líneas de la superficie cúbica, que se corresponden naturalmente con los vértices de 2₂₁.El 221 rectificado se construye con puntos en los bordes medios del 221. El 221 birectificado se construye con puntos en los centros de las caras triangulares del 221 y es igual al 122 rectificado.

Estos politopes forman parte de la familia de 39 politopes uniformes convexos en 6-dimensiones, hechos de facetas uniformes de 5-polytope y figuras de vértice, definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin: .

221 politopo

2₂₁ politopo
Tipo	Uniforme 6-polytope
Familia	k21 politope
Símbolo Schläfli	{3,3}^2,1}
Signo de hachater	2₂₁
Coxeter-Dynkin diagrama	o
5 caras	99 total: 27 211 72 {34}
4 caras	648: 432 {33} 216 {33}
Celdas	1080 {3,3}
Caras	720 {3}
Edges	216
Vertices	27
Vertex figure	1₂₁ (5-demicube)
Petrie poligon	Dodecagon
Coxeter group	E6, [3]^2,1Orden 51840
Propiedades	convex

El 221 tiene 27 vértices y 99 facetas: 27 5-ortoplexos y 72 5-símplices. Su figura de vértice es un 5-demicubo.Para su visualización, este politopo de seis dimensiones suele mostrarse en una proyección ortográfica sesgada especial que encaja sus 27 vértices dentro de un polígono regular de doce gonales (llamado polígono de Petrie). Sus 216 aristas se dibujan entre dos anillos de 12 vértices y tres vértices se proyectan hacia el centro. Los elementos superiores (caras, celdas, etc.) también se pueden extraer y dibujar en esta proyección.El grafo de Schläfli es el 1-esqueleto de este politopo.

Nombres alternativos

E. L. Elte lo nombró V₂₇ (por sus 27 vértices) en su listado de politópicos semiregulares de 1912.
Icosihepta-heptacontadi-peton - Polipetón facetado 27-72 (Acrónimo: jak) (Jonathan Bowers)

Coordinaciones

Los 27 vértices se pueden expresar en el espacio de 8 como una figura de arista del politopo 421:

(-2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
(0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
(0, 0,-2, 0,-2, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 0,-2,-2, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 0,-2, 0, 0,-2),
(0, 0, 0, 0, 0,-2,-2, 0)

(2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0),
(0, 2, 0, 0,-2, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 2, 0,-2, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 2,-2, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 2)

(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),
(-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),
(-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),
(-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),
(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),
(-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),
(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),
(1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),
(1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),
(1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),
(1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),
(-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
(1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
(1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),
(1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),
(1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1)

Construcción

Su construcción se basa en el grupo E6. La información faceta se puede extraer de su diagrama Coxeter-Dynkin, . Eliminar el nodo en la rama corta deja el 5-simplex, . La eliminación del nodo en el extremo de la rama de 2 longitud deja el 5-orthoplex en su forma alternada: (2₁₁), . Cada faceta sencilla toca una faceta de 5 ortoplex, mientras que las facetas alternas del tacto ortoplex o un simplex u otro ortoplex.

La figura del vértice se determina mediante la eliminación del nodo anillado y el anillo del nodo vecino. Esto hace 5-demicube (1₂₁ politopo), . La figura del borde es la figura del vértice de la figura del vértice, un rectificado de 5 celdas, (0₂₁ politopo), .

Vistos en una matriz de configuración, los recuentos de elementos pueden derivarse de los órdenes del grupo de Coxeter.

E₆	k-face	f_k	f₀	f₁	f₂	f₃	f₄		f₅		k-figura	Notas
D₅	()	f₀	27	16	80	160	80	40	16	10	h{4,3,3,3}	E₆/D₅ = 51840/1920 = 27
A₄A₁	{}	f₁	2	216	10	30	20	10	5	5	r{3,3}	E₆/A₄A₁ = 51840/120/2
A₂A₂A₁	{3}	f₂	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}x{}	E₆/A₂A₂A₁ = 51840/6/2
A₃A₁	{3,3}	f₃	4	6	4	1080	2	1	1	2	{}v()	E₆/A₃A₁ = 51840/24/2
A₄	{3,3}	f₄	5	10	10	5	432	*	1	1	{}	E₆/A₄ = 51840/120 = 432
A₄A₁	{3,3}	f₄	5	10	10	5	*	216	0	2	{}	E₆/A₄A₁ = 51840/120/2
A₅	{3,3,3,3}	f₅	6	15	20	15	6	0	72	*	()	E₆/A₅ = 51840/720 = 72
D₅	{3,3,3,4}	f₅	10	40	80	80	16	16	*	27	()	E₆/D₅ = 51840/1920 = 27

Imágenes

Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo. El número de vértices por color se indica entre paréntesis.

Proyecciones ortográficas de avión de Coxeter
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

plegado geométrico

El 2₂₁ se relaciona con el de 24 celdas mediante un plegamiento geométrico de los diagramas de Coxeter-Dynkin E6/F4. Esto se puede observar en las proyecciones del plano de Coxeter. Los 24 vértices del de 24 celdas se proyectan en los mismos dos anillos que se observan en el 2₂₁.

E₆	F₄
2₂₁	24 horas

Este politopo puede tessellate Euclidean 6-espacio, formando el 222 panal con este diagrama Coxeter-Dynkin: .

Polihedra compleja relacionada

El polígono complejo regular ₃{3}₃{3}₃, , dentro $\mathbb {C} {2}$ tiene una representación real como 2₂₁ politopo, , en espacio dimensional. Se llama poliedro hesiano después de Edmund Hess. Tiene 27 vértices, 72 3-edges y 27 3{3}3 caras. Su complejo grupo de reflexión ₃[3]₃[3]₃Orden 648.

Politopes relacionados

El 2₂₁ es el cuarto de una serie dimensional de politopos semirregulares. Cada politopo uniforme progresivo es una figura de vértice construida del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares, incluyendo todos los símplex y ortoplexes.

k21 figuras en dimensiones n
Espacio	Finite						Euclidean	Hiperbólico
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxetergroup	E₃= A₂A₁	E₄= A₄	E₅= D₅	E6	E7	E8	E₉ = ${\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fnK}}} {\fnK}}}}}} {\fn}}}}} {\fnK}}}}}}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeterdiagram
Simmetría	[3]^−1,2,1]	[3]^0,2,1]	[3]^1,2,1]	[3]^2,1]	[3]^3,2,1]	[3]^4,2,1]	[3]^5,2,1]	[3]^6,2,1]
Orden	12	120	1.920	51.840	2,903,040	696.729.600	JUEGO
Gráfico							-	-
Nombre	−121	021	121	221	321	421	521	621

El politopo 2₂₁ es el cuarto en la serie dimensional 2_k2.

2k1 cifras en n dimensiones
Espacio	Finite						Euclidean	Hiperbólico
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxetergroup	E₃= A₂A₁	E₄= A₄	E₅= D₅	E6	E7	E8	E₉ = ${\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fnK}}} {\fnK}}}}}} {\fn}}}}} {\fnK}}}}}}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeterdiagram
Simmetría	[3]^−1,2,1]	[3]^0,2,1]	[[3]^1,2,1]]	[3]^2,1]	[3]^3,2,1]	[3]^4,2,1]	[3]^5,2,1]	[3]^6,2,1]
Orden	12	120	384	51.840	2,903,040	696.729.600	JUEGO
Gráfico							-	-
Nombre	2-1-1	201	211	221	231	241	251	261

El politopo 2₂₁ es el segundo en la serie dimensional 2_2k.

2_2k figuras de n dimensiones
Espacio	Finite			Euclidean	Hiperbólico
n	4	5	6	7	8
Coxetergroup	A₂A₂	A₅	E₆	${\displaystyle {\tilde {\fnK}} {\c}} {\cH00}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fnK}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$ = E₆⁺	E₆⁺⁺
Coxeterdiagram
Gráfico				JUEGO	JUEGO
Nombre	22,-1	220	221	222	223

Rectificado 221 politopeto

Rectificado 2₂₁ politopo
Tipo	Uniforme 6-polytope
Símbolo Schläfli	t₁{3,3}^2,1}
Signo de hachater	t₁(22)₂₁)
Coxeter-Dynkin diagrama	o
5 caras	126 total: 72 t1{34} 27 t1{33,4} 27 t1{3,32,1}
4 caras	1350
Celdas	4320
Caras	5040
Edges	2160
Vertices	216
Vertex figure	prisma rectificado de 5 células
Coxeter group	E6, [3]^2,1Orden 51840
Propiedades	convex

El 221 rectificado tiene 216 vértices y 126 facetas: 72 5-símplices rectificados, 27 5-ortoplexos rectificados y 27 5-demicubos. Su figura de vértice es un prisma rectificado de 5 celdas.

Nombres alternativos

Rectified icosihepta-heptacontadi-peton as a rectified 27-72 facetted polypeton (Acronym: rojak) (Jonathan Bowers)

Construcción

Su construcción se basa en el grupo E6 y la información puede extraerse del diagrama de Coxeter-Dynkin que representa este politopo: . Eliminar el anillo en la rama corta deja el rectificado 5-simplex, . Eliminar el anillo en el extremo de la otra rama de 2 longitud deja el rectificado 5-orthoplex en su forma alternada: t₁(22)₁₁), . Eliminar el anillo al final de la misma rama de 2 longitudes deja el 5-demicube: (1₂₁), .

La figura del vértice se determina mediante la eliminación del anillo anillado y el anillo vecino. Esto hace prisma rectificado de 5 células, t₁{3,3}x{}, .

Imágenes

Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.

Proyecciones ortográficas de avión de Coxeter
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

Truncado 221 politope

Truncado 2₂₁ politopo
Tipo	Uniforme 6-polytope
Símbolo Schläfli	t{3,3,3^2,1}
Signo de hachater	t(2)₂₁)
Coxeter-Dynkin diagrama	o
5 caras	72+27+27
4 caras	432+216+432+270
Celdas	1080+2160+1080
Caras	720+4320
Edges	216+2160
Vertices	432
Vertex figure	() v r{3,3,3}
Coxeter group	E6, [3]^2,1Orden 51840
Propiedades	convex

El 221 truncado tiene 432 vértices, 2376 aristas, 5040 caras, 4320 celdas, 1350 de 4 caras y 126 de 5 caras. Su figura de vértice es una pirámide rectificada de 5 celdas.

Nombres alternativos

Truncated icosihepta-heptacontadi-peton as a truncated 27-72 facetted polypeton (Acronym: tojak)

Imágenes

Los vértices se colorean según su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, morado.

Proyecciones ortográficas de avión de Coxeter
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

Véase también

Lista de poliótopos E6

Notas

^ Gosset, 1900
^ Coxeter, H.S.M. (1940). "El Politopo 2₂₁ Cualesquiera veintisiete vértices corresponden a las líneas de la superficie cúbica general". Amer. J. Math. 62 1): 457 –486. doi:10.2307/2371466. JSTOR 2371466.
^ Elte, 1912
^ Klitzing, (x3o3o3o3o *c3o - jak).
^ Coxeter, Polytopes regulares, 11.8 Cifras de valores en seis, siete y ocho dimensiones, págs. 202 a 203
^ Klitzing, (o3x3o3o3o *c3o - rojak).
^ Klitzing, (x3x3o3o3o *c3o - tojak).

Referencias

T. Gosset: Sobre las Figuras regulares y semi-regulares en el espacio de las dimensiones n, Mensajero de Matemáticas, Macmillan, 1900
Elte, E. L. (1912), Los politopes semiregulares de los hiperespacios, Groningen: Universidad de Groningen
Kaleidoscopios: Escrituras seleccionadas de H.S.M. Coxeter, editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com, ISBN 978-0-471-01003-6
- Coxeter, La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] Véase la figura 1: (pág. 232) (gráfico de politopo de fideos)
Klitzing, Richard. "6D politopes uniformes (polypeta) con siglas". x3o3o3o3o *c3o - jak, o3x3o3o3o3o *c3o - rojak, x3x3o3o3o *c3o - tojak

v t e Convexos fundamentales politopes regulares y uniformes en dimensiones 2–10
Familia	An	Bn	$I 2 p) / Dn$	$E6 / E7 / E8 / F4 / G2$	Hn
Poligono regular	Triángulo	Plaza	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetraedro	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniforme polichoron	Pentachoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 horas	120 celdas • 600 celdas
Uniforme 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniforme 6-polytope	6-simplex	6 orthoplex • 6-cubos	6-demicube	122 • 221
Uniforme 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cubo	7-demicube	132 • 231 • 321
Uniforme 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cubo	8-demicube	142 • 241 • 421
Uniforme 9-polytope	9-simplex	9 orthoplex • 9-cubo	9-demicube
Uniforme 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniforme uniforme n-polytope	n-simplex	n-ortoplex • n- ¡Cabrón!	n-Demicube	1k2 • 2k1 • k21	n- politopetopentagonal
Temas: Familias de politopo • Politopo regular • Lista de politopes y compuestos regulares

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