142857

El número 142.857 es un número de Kaprekar.

142857, los seis dígitos repetidos de 1/7 (0.142857), es el número cíclico más conocido en base 10. Si se multiplica por 2, 3, 4, 5 o 6, la respuesta será una permutación cíclica de sí mismo y corresponderá a los dígitos repetidos de 2/7< /span>, 3/7, 4/7, 5/7, o < abarcan class="num">6/7 respectivamente.

Cálculo

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571,428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999,999

Si se multiplica por un número entero mayor que 7, existe un proceso sencillo para llegar a una permutación cíclica de 142857. Sumando los seis dígitos situados más a la derecha (de las unidades a las centenas de millar) a los dígitos restantes y repitiendo este proceso hasta que solo queden seis dígitos. quedan, resultará en una permutación cíclica de 142857:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Multiplicar por un múltiplo de 7 dará como resultado 999999 mediante este proceso:

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Si elevas al cuadrado los últimos tres dígitos y restas el cuadrado de los primeros tres dígitos, también obtienes una permutación cíclica del número.

857² = 734449

142² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Es la parte repetida en la expansión decimal del número racional 1/7 = 0.142857. Por lo tanto, múltiplos de 1/7 son simplemente copias repetidas de los múltiplos correspondientes de 142857:

${displaystyle {begin{aligned}{tfrac {1}{7} {=0.{overline {142857}ldots \[3pt]{tfrac {2}{7} {=0.{overline {285714}ldots \[3pt]{tfrac]{tfrac {3}{7}=0.{overline {428571}ldots \[3pt]{tfrac {4}{7} {=0.{overline {571428}ldots \[3pt]{tfrac {5}{7} {$