Velocidade do grupo

Dispersão de frequência em grupos de ondas de gravidade na superfície da água profunda. O movimentos quadrados vermelhos com a velocidade de fase, e o círculos verdes se propagam com a velocidade do grupo. Neste caso de águas profundas, a velocidade da fase é duas vezes a velocidade do grupo. O quadrado vermelho supera dois círculos verdes ao mover-se da esquerda para a direita da figura.

Novas ondas parecem emergir na parte de trás de um grupo de ondas, crescer em amplitude até que estejam no centro do grupo, e desaparecer na frente do grupo de ondas.

Para ondas de gravidade superficial, as velocidades de partículas de água são muito menores do que a velocidade de fase, na maioria dos casos.

Propagação de um pacote de onda demonstrando uma velocidade de fase maior do que a velocidade do grupo sem dispersão.

Isso mostra uma onda com a velocidade do grupo e velocidade de fase indo em direções diferentes. A velocidade do grupo é positiva (ou seja, o envelope da onda move-se para a direita), enquanto a velocidade da fase é negativa (ou seja, os picos e as massas movem-se para a esquerda).

A velocidade de grupo de uma onda é a velocidade com a qual a forma geral do envelope das amplitudes da onda—conhecida como modulação ou envelope da onda — se propaga pelo espaço.

Por exemplo, se uma pedra é jogada no meio de um lago muito calmo, um padrão circular de ondas com um centro quiescente aparece na água, também conhecido como onda capilar. O anel de ondas em expansão é o grupo de ondas, dentro do qual é possível discernir ondas individuais que viajam mais rápido do que o grupo como um todo. As amplitudes das ondas individuais crescem à medida que emergem da borda de fuga do grupo e diminuem à medida que se aproximam da borda de ataque do grupo.

Definição e interpretação

Definição

Um pacote de ondas.

O envelope do pacote de onda. O envelope se move na velocidade do grupo.

A velocidade de grupo v_g é definida pela equação:

vg)) ∂ ∂ ω ω ∂ ∂ k{displaystyle v_{rm {g}} equiv {frac {partial omega }{partial k}},}

onde ω é a frequência angular da onda (geralmente expressa em radianos por segundo) e k é o número de onda angular (geralmente expresso em radianos por metro). A velocidade de fase é: v_p = ω/k.

A função ω(k), que fornece ω como uma função de k, é conhecida como relação de dispersão.

• Se ω é diretamente proporcional a k, então a velocidade do grupo é exatamente igual à velocidade da fase. Uma onda de qualquer forma viajará sem distorções nesta velocidade.
• Se ω é uma função linear de k, mas não directamente proporcional (ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Ak + b)), então a velocidade do grupo e a velocidade da fase são diferentes. O envelope de um pacote de onda (veja a figura à direita) viajará à velocidade do grupo, enquanto os picos individuais e as calhas dentro do envelope se moverão à velocidade da fase.
• Se ω não é uma função linear de k, o envelope de um pacote de onda se tornará distorcido à medida que viaja. Uma vez que um pacote de onda contém uma gama de frequências diferentes (e, portanto, diferentes valores de k), a velocidade do grupo ∂ω/∂k será diferente para diferentes valores de k. Portanto, o envelope não se move em uma única velocidade, mas seus componentes de número de onda (k) mover-se em velocidades diferentes, distorcer o envelope. Se o pacote de ondas tem uma gama estreita de frequências, e ω(k) é aproximadamente linear sobre essa faixa estreita, a distorção de pulso será pequena, em relação à pequena não linearidade. Veja mais discussão abaixo. Por exemplo, para ondas profundas da gravidade da água, ω ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =gk- Sim.e daí v_g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = v_p /2.
  Isto depende do Padrão de veludo de Kelvin para a onda do arco de todos os navios e objetos de natação. Independentemente de quão rápido eles estão se movendo, desde que sua velocidade seja constante, em cada lado o velório forma um ângulo de 19,47° = arcsin(1/3) com a linha de viagem.

Derivação

Uma derivação da fórmula para velocidade de grupo é a seguinte.

Considere um pacote de ondas em função da posição x e do tempo t: α(x,t).

Seja A(k) sua transformada de Fourier no tempo t = 0,

α α (x,0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ DkA(k)eEu...kx.{displaystyle alpha (x,0)=int _{-infty }^{infty }dk, A(k)e^{ikx}.}

Pelo princípio da superposição, o pacote de ondas a qualquer momento t é

α α (x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ DkA(k)eEu...(kx- Sim. - Sim. ω ω )),{displaystyle alpha (x,t)=int _{-infty }^{infty }dk, A(k)e^{i(kx-omega t)},}

onde ω é implicitamente uma função de k.

Assuma que o pacote de ondas α é quase monocromático, de modo que A (k) tem um pico agudo em torno de um número de onda central k₀.

Então, a linearização dá

ω ω (k)? ? ω ω 0+(k- Sim. - Sim. k0)ω ω 0?{displaystyle omega (k)approx omega _{0}+left(k-k_{0}right)omega '_{0}}

onde

ω ω 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω (k0){displaystyle omega _{0}=omega (k_{0})} e ω ω 0?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ω ω (k)∂ ∂ k|k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =k0{displaystyle omega '_{0}=left.{frac {partial omega (k)}{partial k}}right|_{k=k_{0}}}

(veja a próxima seção para discussão desta etapa). Então, depois de alguma álgebra,

α α (x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eEu...(k0x- Sim. - Sim. ω ω 0))∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ DkA(k)eEu...(k- Sim. - Sim. k0)(x- Sim. - Sim. ω ω 0?)).{displaystyle alpha (x,t)=e^{ileft(k_{0}x-omega _{0}tright)}int _{-infty }^{infty }dk, A(k)e^{i(k-k_{0})left(x-omega '_{0}tright)}.}

Há dois fatores nesta expressão. O primeiro fator, eEu...(k0x- Sim. - Sim. ω ω 0)){displaystyle e^{ileft(k_{0}x-omega _{0}tright)}}, descreve uma onda monocromática perfeita com Wavevector k₀, com picos e troughs movendo-se na velocidade de fase ω ω 0/k0{displaystyle omega _{0}/k_{0}} dentro do envelope do pacote de ondas.

O outro fator,

∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ DkA(k)eEu...(k- Sim. - Sim. k0)(x- Sim. - Sim. ω ω 0?)){displaystyle int _{-infty }^{infty }dk, A(k)e^{i(k-k_{0})left(x-omega '_{0}tright)}},

dá o envelope do pacote de ondas. Esta função de envelope depende da posição e do tempo apenas através da combinação (x- Sim. - Sim. ω ω 0?))(x-omega '_{0}t)}.

Portanto, o envelope do pacote de ondas viaja com velocidade

ω ω 0?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Dω ω Dk|k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =k0,{displaystyle omega '_{0}=left.{frac Não. }{dk}}right|_{k=k_{0}}~,}

que explica a fórmula da velocidade do grupo.

Termos de ordem superior em dispersão

Distorção de grupos de onda por efeitos de dispersão de ordem superior, para ondas de gravidade superficial em águas profundas (com v_g 1⁄2v_p).

Isso mostra a superposição de três componentes de onda - com respectivamente 22, 25 e 29 comprimentos de onda se encaixando em um domínio horizontal periódico de 2 km de comprimento. As amplitudes de onda dos componentes são respectivamente 1, 2 e 1 metro.

Parte da derivação anterior é a aproximação da série de Taylor que:

ω ω (k)? ? ω ω 0+(k- Sim. - Sim. k0)ω ω 0?(k0){displaystyle omega (k)approx omega _{0}+(k-k_{0})omega '_{0}(k_{0})}

Se o pacote de ondas tiver uma propagação de frequência relativamente grande ou se a dispersão ω(k) tiver variações acentuadas (como devido a uma ressonância), ou se o pacote viaja por distâncias muito longas, essa suposição não é válida e os termos de ordem superior na expansão de Taylor tornam-se importantes.

Como resultado, o envelope do pacote de ondas não apenas se move, mas também distorce de uma maneira que pode ser descrita pela dispersão da velocidade de grupo do material. Falando vagamente, diferentes componentes de frequência do pacote de ondas viajam em velocidades diferentes, com os componentes mais rápidos se movendo para a frente do pacote de ondas e os mais lentos se movendo para trás. Eventualmente, o pacote de ondas é esticado. Este é um efeito importante na propagação de sinais através de fibras ópticas e no projeto de lasers de pulso curto e alta potência.

História

A ideia de uma velocidade de grupo distinta da velocidade de fase de uma onda foi proposta pela primeira vez por W.R. Hamilton em 1839, e o primeiro tratamento completo foi feito por Rayleigh em sua "Teoria do Som" em 1877.

Outras expressões

Para a luz, o índice de refração n, comprimento de onda do vácuo λ₀ e comprimento de onda no meio λ, estão relacionados por

λ λ 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D cω ω ,λ λ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D vpω ω ,n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cvp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =λ λ 0λ λ ,{displaystyle lambda _{0} = (em inglês) c) }},;;lambda ? ? {2pi v_{rm Não. }},;n={frac Não. {p}}={frac _{0}}{lambda }},}

com v_p = ω/k a velocidade de fase.

A velocidade do grupo, portanto, pode ser calculada por qualquer uma das seguintes fórmulas,

vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cn+ω ω ∂ ∂ n∂ ∂ ω ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cn- Sim. - Sim. λ λ 0∂ ∂ n∂ ∂ λ λ 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vp(1+λ λ n∂ ∂ n∂ ∂ λ λ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vp- Sim. - Sim. λ λ ∂ ∂ vp∂ ∂ λ λ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vp+k∂ ∂ vp∂ ∂ k.{displaystyle {begin{aligned}v_{rm {g}}&={frac (c){n+omega {frac} n {displaystyle omega] }}, = frac Não. _{0}{frac {partial n}{partial lambda _{0}}}\&=v_{rm {p}}left(1+{frac {lambda }{n}}{frac {partial n}{partial lambda }}right)=v_{rm {p}}-lambda {frac {partial} v_{rm {p}}} lambda parcial - Sim. {p}}+k{frac {partial v_{rm {p}}}{partial k}}.end{aligned}}}

Relação com velocidade de fase, índice de refração e velocidade de transmissão

Uma superposição de ondas planas de 1D (azul) cada uma viajando a uma velocidade de fase diferente (traçada por pontos azuis) resulta em um pacote de onda gaussiano (vermelho) que se propaga na velocidade do grupo (traçada pela linha vermelha).

A velocidade de grupo de uma coleção de ondas é definida como

vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ω ω ∂ ∂ k.{displaystyle v_{g}={frac {partial omega }{partial k}}.

Quando várias ondas senoidal estão se propagando juntas, a superposição resultante das ondas pode resultar em uma onda "envelope", bem como uma onda "carreira" que está dentro do envelope. Isso geralmente aparece em comunicações sem fio, modulação, uma mudança de amplitude e / ou fase é empregada para enviar dados. Para ganhar alguma intuição para esta definição, consideramos uma superposição de ondas (cosina) f(x, t) com suas respectivas frequências angulares e Wavevectors.

f(x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ (k1x- Sim. - Sim. ω ω 1))+e⁡ ⁡ (k2x- Sim. - Sim. ω ω 2))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2e⁡ ⁡ ((k2- Sim. - Sim. k1)x- Sim. - Sim. (ω ω 2- Sim. - Sim. ω ω 1))2)e⁡ ⁡ ((k2+k1)x- Sim. - Sim. (ω ω 2+ω ω 1))2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2f1(x,))f2(x,)).{displaystyle {begin{aligned}f(x,t)&=cos(k_{1}x-omega _{1}t)+cos(k_{2}x-omega _{2}t)&=2cos left({frac {(k_{2}-k_{1})x-(omega _{2}-omega _{1})t}{2}}right)cos left({frac {(k_{2}+k_{1})x-(omega _{2}+omega _{1})t}{2}}right)&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).end{aligned}}}

Então, temos um produto de duas ondas: uma onda de envelope formada por f₁ e uma onda transportadora formada por f₂ . Chamamos a velocidade da onda do envelope a velocidade do grupo. Vemos que a velocidade de fase de f₁ o

ω ω 2- Sim. - Sim. ω ω 1k2- Sim. - Sim. k1.- Não. _{2}-omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}}.}

No caso diferencial contínuo, isso se torna a definição da velocidade do grupo.

Em três dimensões

Para ondas que viajam através de três dimensões, como ondas de luz, ondas sonoras e ondas de matéria, as fórmulas para velocidade de fase e grupo são generalizadas de maneira direta:

• Uma dimensão: vp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω /k,vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ω ω ∂ ∂ k,Não. {p}}=omega /k,quad v_{rm {g}}={frac {partial omega }{partial k}},,}
• Três dimensões: (vp)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω kEu...,vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? → → kω ω (v_{rm) {p}}}={frac Não. }{{k}_{i}}},quad mathbf {v} _{rm {g}={vec - Sim. }}_{mathbf {k} },omega ,}

onde

? ? → → kω ω - Não. }}_{mathbf {k} },omega }

k- Sim.

k^ ^ Não.)

Se as ondas estiverem se propagando através de um meio anisotrópico (ou seja, não rotacionalmente simétrico), por exemplo, um cristal, então o vetor de velocidade de fase e o vetor de velocidade de grupo podem apontar em direções diferentes.

Em mídia com perdas ou ganhos

A velocidade de grupo é frequentemente considerada como a velocidade na qual a energia ou a informação é transmitida ao longo de uma onda. Na maioria dos casos, isso é preciso e a velocidade do grupo pode ser considerada como a velocidade do sinal da forma de onda. No entanto, se a onda estiver viajando através de um meio de absorção ou ganho, isso nem sempre é válido. Nesses casos, a velocidade do grupo pode não ser uma quantidade bem definida ou pode não ser uma quantidade significativa.

Em seu texto “Propagação de ondas em estruturas periódicas”, Brillouin argumentou que em um meio dissipativo a velocidade de grupo deixa de ter um significado físico claro. Um exemplo sobre a transmissão de ondas eletromagnéticas através de um gás atômico é dado por Loudon. Outro exemplo são as ondas mecânicas na fotosfera solar: as ondas são amortecidas (pelo fluxo de calor radiativo dos picos para os vales) e, em relação a isso, a velocidade da energia geralmente é substancialmente menor do que a velocidade das ondas. velocidade do grupo.

Apesar dessa ambiguidade, uma maneira comum de estender o conceito de velocidade de grupo para meios complexos é considerar soluções de ondas planas amortecidas espacialmente dentro do meio, que são caracterizadas por um vetor de onda com valor complexo. Então, a parte imaginária do vetor de onda é descartada arbitrariamente e a fórmula usual para velocidade de grupo é aplicada à parte real do vetor de onda, ou seja,

vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(∂ ∂ (Repito⁡ ⁡ k)∂ ∂ ω ω )- Sim. - Sim. 1.{displaystyle v_{rm {g}}=left({frac {partial left(operatorname) {Re} kright)}{partial omega }}right)^{-1}.}

Ou, de forma equivalente, em termos da parte real do índice de refração complexo, n = n + iκ, um tem

cvg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n+ω ω ∂ ∂ n∂ ∂ ω ω .Não. {g}}=n+omega {frac {displaystyle parcial} n {displaystyle omega] Sim.

Pode-se mostrar que esta generalização da velocidade de grupo continua a ser relacionada com a velocidade aparente do pico de um pacote de ondas. A definição acima não é universal, no entanto: alternativamente, pode-se considerar o amortecimento temporal de ondas estacionárias (real k, complexo ω), ou permitir que a velocidade do grupo seja uma quantidade de valor complexo. Considerações diferentes produzem velocidades distintas, mas todas as definições concordam para o caso de um meio sem perdas e sem ganhos.

A generalização acima da velocidade do grupo para a mídia complexa pode se comportar estranhamente, e o exemplo da dispersão anômala serve como uma boa ilustração. Nas bordas de uma região de dispersão anômala, vg{displaystyle v_{rm {g}}} torna-se infinito (superando até a velocidade da luz no vácuo), e vg{displaystyle v_{rm {g}}} pode facilmente tornar-se negativo (o seu sinal se opõe a Rek) dentro da banda de dispersão anômala.

Velocidades de grupo superluminais

Desde a década de 1980, vários experimentos verificaram que é possível que a velocidade de grupo (conforme definido acima) dos pulsos de luz do laser enviados através de materiais com perdas, ou materiais com ganhos, exceda significativamente a velocidade da luz no vácuo c. Os picos dos pacotes de onda também se moveram mais rápido que c.

Em todos esses casos, no entanto, não há possibilidade de que os sinais possam ser transportados mais rápido que a velocidade da luz no vácuo, uma vez que o alto valor de v_g não ajuda a acelerar o verdadeiro movimento do sustenido frente de onda que ocorreria no início de qualquer sinal real. Essencialmente, a transmissão aparentemente superluminal é um artefato da aproximação de banda estreita usada acima para definir a velocidade de grupo e ocorre devido a fenômenos de ressonância no meio interveniente. Em uma análise de banda larga, vê-se que a velocidade aparentemente paradoxal de propagação do envelope do sinal é, na verdade, o resultado da interferência local de uma banda mais ampla de frequências ao longo de muitos ciclos, todos os quais se propagam perfeitamente de forma causal e em velocidade de fase. O resultado é semelhante ao fato de que as sombras podem viajar mais rápido que a luz, mesmo que a luz que as causa sempre se propague na velocidade da luz; uma vez que o fenômeno medido está apenas frouxamente conectado com a causalidade, ele não necessariamente respeita as regras de propagação causal, mesmo que em circunstâncias normais o faça e leve a uma intuição comum.