Variedade simplética

Em geometria diferencial, um assunto de matemática, um Manifold simplente é um coletor suave, $Não.$, equipado com um diferencial nondegenerado fechado de 2 formas $- Sim.$, chamado de forma sipática. O estudo dos coletores simpleticos é chamado de geometria simplectica ou topologia simplectica. Manifolds Symplectic surgem naturalmente em formulações abstratas da mecânica clássica e mecânica analítica como os feixes cotangentes de coletores. Por exemplo, na formulação Hamiltoniana da mecânica clássica, que fornece uma das principais motivações para o campo, o conjunto de todas as configurações possíveis de um sistema é modelado como um coletor, e o conjunto cotangente deste coletor descreve o espaço de fase do sistema.

Motivação

Symplectic manifolds arise from classical mechanics; in particular, they are a generalization of the phase space of a closed system. In the same way the Hamilton equations allow one to derive the time evolution of a system from a set of differential equations, the symplectic form should allow one to obtain a vector field describing the flow of the system from the differential ${displaystyle dH}$ of a Hamiltonian function ${displaystyle H}$. So we require a linear map ${displaystyle TMrightarrow T^{*}M}$ from the tangent manifold ${displaystyle TM}$ to the cotangent manifold ${displaystyle T^{*}M}$, or equivalently, an element of ${displaystyle T^{*}Motimes T^{*}M}$. Letting ${displaystyle omega }$ denote a section of ${displaystyle T^{*}Motimes T^{*}M}$, the requirement that ${displaystyle omega }$ be non-degenerate ensures that for every differential ${displaystyle dH}$ there is a unique corresponding vector field ${displaystyle V_{H}}$ such that ${displaystyle dH=omega (V_{H},cdot)}$. Since one desires the Hamiltonian to be constant along flow lines, one should have ${displaystyle omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$, which implies that ${displaystyle omega }$ is alternating and hence a 2-form. Finally, one makes the requirement that ${displaystyle omega }$ should not change under flow lines, i.e. that the Lie derivative of ${displaystyle omega }$ along ${displaystyle V_{H}}$ vanishes. Applying Cartan's formula, this amounts to (here ${displaystyle iota _{X}}$ is the interior product):

${displaystyle {mathcal {L}}_{V_{H}}(omega)=0;Leftrightarrow ;mathrm {d} (iota) _{V_{H}}omega)+iota _{V_{H}}mathrm {d} omega =mathrm {d} (mathrm {d} ,H)+mathrm {d} omega (V_{H})=mathrm {d} omega (V_{H})=0}$

assim que, ao repetir este argumento para diferentes funções lisas $Não. H.$ tal que o correspondente $Não. V_{H}}$ abranger o espaço tangente em cada ponto o argumento é aplicado em, vemos que a exigência para o derivado de Lie desaparecendo ao longo dos fluxos de $Não. V_{H}}$ correspondente a arbitrário liso $Não. H.$ é equivalente à exigência de que ω deve estar fechado.

Definição

A forma simplente em uma coleira lisa $Não.$ é um diferencial não degenerado fechado de 2 formas $- Sim.$. Aqui, não degenerado significa que para cada ponto ${displaystyle pin M}$, o emparelhamento skew-symmetric no espaço tangente $Não. T_{p}M}$ definido por $- Sim.$ não é degenerado. Ou seja, se existe um $Não. Xin T_{p}M}$ tal que $(X,Y)=0}$ para todos $Não. Yin T_{p}M}$, então $- Sim.$. Uma vez que em dimensões ímpares, matrizes simétricas são sempre singulares, a exigência de que $- Sim.$ ser nondegenerate implica que $Não.$ tem uma dimensão uniforme. A condição fechada significa que o derivado exterior de $- Sim.$ desaparece. A Manifold simplente é um par $(M,omega)}$ Onde? $Não.$ é um coletor suave e $- Sim.$ é uma forma simpática. Atribuir uma forma simpática $Não.$ é referido como dando $Não.$ um estrutura simplente.

Exemplos

Espaços vetoriais simpléticos

Vamos. ${displaystyle {v_{1},ldotsv_{2n}}}$ ser uma base para ${displaystyle mathbb {R} ^{2n}.}$ Nós definimos nossa forma simplectica ω nesta base da seguinte forma:

$(v_{i},v_{j})={begin{cases}1&j-i=n{text{ with }}1leqslant ileqslant n-1&i-j=n{text{ with }}1leqslant jleqslant n$