Teoria M

teoria-M é uma teoria da física que unifica todas as versões consistentes da teoria das supercordas. Edward Witten conjecturou pela primeira vez a existência de tal teoria em uma conferência sobre teoria das cordas na University of Southern California em 1995 (M-Theory - Edward Witten (1995)). O anúncio de Witten iniciou uma enxurrada de atividades de pesquisa conhecida como a segunda revolução das supercordas. Antes do anúncio de Witten, os teóricos das cordas identificaram cinco versões da teoria das supercordas. Embora essas teorias inicialmente parecessem muito diferentes, o trabalho de muitos físicos mostrou que as teorias estavam relacionadas de maneiras intrincadas e não triviais. Os físicos descobriram que teorias aparentemente distintas poderiam ser unificadas por transformações matemáticas chamadas S-dualidade e T-dualidade. A conjectura de Witten foi baseada em parte na existência dessas dualidades e em parte na relação das teorias das cordas com uma teoria de campo chamada supergravidade de onze dimensões.

Embora uma formulação completa da teoria M não seja conhecida, tal formulação deve descrever objetos bidimensionais e pentadimensionais chamados branas e deve ser aproximada pela supergravidade de onze dimensões em baixas energias. As tentativas modernas de formular a teoria M são tipicamente baseadas na teoria da matriz ou na correspondência AdS/CFT. De acordo com Witten, M deveria significar "magia", "mistério" ou "membrana" de acordo com o gosto, e o verdadeiro significado do título deve ser decidido quando uma formulação mais fundamental da teoria for conhecida.

Investigações da estrutura matemática da teoria M geraram importantes resultados teóricos em física e matemática. Mais especulativamente, a teoria M pode fornecer uma estrutura para o desenvolvimento de uma teoria unificada de todas as forças fundamentais da natureza. As tentativas de conectar a teoria M ao experimento normalmente se concentram na compactação de suas dimensões extras para construir modelos candidatos do mundo quadridimensional, embora até agora nenhum tenha sido verificado para dar origem à física, conforme observado em experimentos de física de alta energia.

Fundo

Gravidade quântica e cordas

Os objetos fundamentais da teoria das cordas são strings abertas e fechadas.

Um dos problemas mais profundos da física moderna é o problema da gravidade quântica. A compreensão atual da gravidade é baseada na teoria geral da relatividade de Albert Einstein, que é formulada dentro da estrutura da física clássica. No entanto, as forças não gravitacionais são descritas dentro da estrutura da mecânica quântica, um formalismo radicalmente diferente para descrever fenômenos físicos com base na probabilidade. Uma teoria quântica da gravidade é necessária para reconciliar a relatividade geral com os princípios da mecânica quântica, mas surgem dificuldades quando se tenta aplicar as prescrições usuais da teoria quântica à força da gravidade.

A teoria das cordas é uma estrutura teórica que tenta conciliar a gravidade e a mecânica quântica. Na teoria das cordas, as partículas pontuais da física de partículas são substituídas por objetos unidimensionais chamados cordas. A teoria das cordas descreve como as cordas se propagam pelo espaço e interagem umas com as outras. Em uma determinada versão da teoria das cordas, existe apenas um tipo de corda, que pode parecer um pequeno loop ou segmento de corda comum, e pode vibrar de maneiras diferentes. Em escalas de distância maiores que a escala da corda, uma corda se parecerá com uma partícula comum, com sua massa, carga e outras propriedades determinadas pelo estado vibratório da corda. Desta forma, todas as diferentes partículas elementares podem ser vistas como cordas vibrantes. Um dos estados vibracionais de uma corda dá origem ao gráviton, uma partícula da mecânica quântica que carrega força gravitacional.

Existem várias versões da teoria das cordas: tipo I, tipo IIA, tipo IIB e dois tipos de teoria das cordas heteróticas (SO(32) e E8×E8). As diferentes teorias permitem diferentes tipos de cordas, e as partículas que surgem em baixas energias exibem diferentes simetrias. Por exemplo, a teoria do tipo I inclui strings abertas (que são segmentos com extremidades) e strings fechadas (que formam loops fechados), enquanto os tipos IIA e IIB incluem apenas strings fechadas. Cada uma dessas cinco teorias de cordas surge como um caso limite especial da teoria-M. Essa teoria, como suas predecessoras da teoria das cordas, é um exemplo de teoria quântica da gravidade. Ele descreve uma força como a familiar força gravitacional sujeita às regras da mecânica quântica.

Número de dimensões

Um exemplo de compactação: Em grandes distâncias, uma superfície bidimensional com uma dimensão circular parece unidimensional.

Na vida cotidiana, existem três dimensões familiares de espaço: altura, largura e profundidade. A teoria geral da relatividade de Einstein trata o tempo como uma dimensão equivalente às três dimensões espaciais; na relatividade geral, o espaço e o tempo não são modelados como entidades separadas, mas unificados em um espaço-tempo quadridimensional, três dimensões espaciais e uma dimensão temporal. Nesta estrutura, o fenômeno da gravidade é visto como uma consequência da geometria do espaço-tempo.

Apesar do fato de que o universo é bem descrito pelo espaço-tempo quadridimensional, existem várias razões pelas quais os físicos consideram teorias em outras dimensões. Em alguns casos, ao modelar o espaço-tempo em um número diferente de dimensões, uma teoria torna-se mais tratável matematicamente e pode-se realizar cálculos e obter percepções gerais com mais facilidade. Existem também situações em que teorias em duas ou três dimensões do espaço-tempo são úteis para descrever fenômenos na física da matéria condensada. Finalmente, existem cenários em que poderia haver mais de quatro dimensões do espaço-tempo que, no entanto, conseguiram escapar da detecção.

Uma característica notável da teoria das cordas e da teoria M é que essas teorias requerem dimensões extras de espaço-tempo para sua consistência matemática. Na teoria das cordas, o espaço-tempo é dezdimensional (nove dimensões espaciais e uma dimensão temporal), enquanto em M- teoria é onze-dimensional (dez dimensões espaciais e uma dimensão temporal). Para descrever fenômenos físicos reais usando essas teorias, deve-se, portanto, imaginar cenários em que essas dimensões extras não sejam observadas em experimentos.

A compactação é uma forma de modificar o número de dimensões em uma teoria física. Na compactação, algumas das dimensões extras são consideradas "fechadas" sobre si mesmos para formar círculos. No limite onde essas dimensões recurvadas se tornam muito pequenas, obtém-se uma teoria em que o espaço-tempo tem efetivamente um número menor de dimensões. Uma analogia padrão para isso é considerar um objeto multidimensional, como uma mangueira de jardim. Se a mangueira for vista de uma distância suficiente, ela parece ter apenas uma dimensão, seu comprimento. Porém, ao se aproximar da mangueira, descobre-se que ela contém uma segunda dimensão, sua circunferência. Assim, uma formiga rastejando na superfície da mangueira se moveria em duas dimensões.

Dualidades

Um diagrama de dualidades da teoria das cordas. Setas amarelas indicam S-dualidade. As setas azuis indicam T-dualidade. Essas dualidades podem ser combinadas para obter equivalências de qualquer uma das cinco teorias com teoria M.

As teorias que surgem como diferentes limites da teoria M acabam sendo relacionadas de maneiras altamente não triviais. Uma das relações que podem existir entre essas diferentes teorias físicas é chamada S-dualidade. Esta é uma relação que diz que uma coleção de partículas de interação forte em uma teoria pode, em alguns casos, ser vista como uma coleção de partículas de interação fraca em uma teoria completamente diferente. Grosso modo, diz-se que uma coleção de partículas está interagindo fortemente se elas se combinam e decaem com frequência e interagindo fracamente se o fazem com pouca frequência. A teoria das cordas tipo I acaba por ser equivalente por S-dualidade à teoria heterótica SO(32) das cordas. Da mesma forma, a teoria das cordas do tipo IIB está relacionada a si mesma de maneira não trivial pela S-dualidade.

Outra relação entre diferentes teorias de cordas é a T-dualidade. Aqui consideramos cordas se propagando em torno de uma dimensão extra circular. T-duality afirma que uma string se propagando ao redor de um círculo de raio R é equivalente a uma string se propagando ao redor de um círculo de raio 1/R no sentido de que todas as quantidades observáveis em uma descrição são identificadas com as quantidades na descrição dual. Por exemplo, uma corda tem momento à medida que se propaga em um círculo e também pode girar em torno do círculo uma ou mais vezes. O número de vezes que o barbante dá voltas em um círculo é chamado de número do enrolamento. Se uma corda tiver momento p e número de enrolamento n em um descrição, ele terá momento n e número de enrolamento p em a descrição dupla. Por exemplo, a teoria das cordas do tipo IIA é equivalente à teoria das cordas do tipo IIB via T-dualidade, e as duas versões da teoria heterótica das cordas também estão relacionadas pela T-dualidade.

Em geral, o termo dualidade refere-se a uma situação em que dois sistemas físicos aparentemente diferentes se tornam equivalentes de maneira não trivial. Se duas teorias estão relacionadas por uma dualidade, isso significa que uma teoria pode ser transformada de alguma forma para que acabe se parecendo com a outra teoria. As duas teorias são então consideradas duplas entre si sob a transformação. Em outras palavras, as duas teorias são descrições matematicamente diferentes dos mesmos fenômenos.

Supersimetria

Outra ideia teórica importante que desempenha um papel na teoria M é a supersimetria. Esta é uma relação matemática que existe em certas teorias físicas entre uma classe de partículas chamadas bósons e uma classe de partículas chamadas férmions. Grosso modo, os férmions são os constituintes da matéria, enquanto os bósons medeiam as interações entre as partículas. Nas teorias com supersimetria, cada bóson tem uma contraparte que é um férmion, e vice-versa. Quando a supersimetria é imposta como uma simetria local, obtém-se automaticamente uma teoria da mecânica quântica que inclui a gravidade. Tal teoria é chamada de teoria da supergravidade.

Uma teoria de cordas que incorpora a ideia de supersimetria é chamada de teoria de supercordas. Existem várias versões diferentes da teoria das supercordas, todas incluídas na estrutura da teoria-M. Em baixas energias, as teorias das supercordas são aproximadas pela supergravidade em dez dimensões do espaço-tempo. Da mesma forma, a teoria M é aproximada em baixas energias por supergravidade em onze dimensões.

Branas

Na teoria das cordas e teorias relacionadas, como as teorias da supergravidade, uma brana é um objeto físico que generaliza a noção de uma partícula pontual para dimensões superiores. Por exemplo, uma partícula pontual pode ser vista como uma brana de dimensão zero, enquanto uma corda pode ser vista como uma brana de dimensão um. Também é possível considerar branas de dimensões superiores. Na dimensão p, eles são chamados de p-branas. As branas são objetos dinâmicos que podem se propagar pelo espaço-tempo de acordo com as regras da mecânica quântica. Eles podem ter massa e outros atributos, como carga. Uma p-brana varre uma (p + 1) -volume dimensional no espaço-tempo chamado de volume mundial. Os físicos freqüentemente estudam campos análogos ao campo eletromagnético que vivem no volume mundial de uma brana. A palavra brana vem da palavra "membrana" que se refere a uma brana bidimensional.

Na teoria das cordas, os objetos fundamentais que dão origem às partículas elementares são as cordas unidimensionais. Embora os fenômenos físicos descritos pela teoria M ainda sejam pouco compreendidos, os físicos sabem que a teoria descreve membranas bi e pentadimensionais. Grande parte da pesquisa atual em teoria M tenta entender melhor as propriedades dessas membranas.

História e desenvolvimento

Teoria de Kaluza-Klein

No início do século 20, físicos e matemáticos, incluindo Albert Einstein e Hermann Minkowski, foram os pioneiros no uso da geometria quadridimensional para descrever o mundo físico. Esses esforços culminaram na formulação da teoria geral da relatividade de Einstein, que relaciona a gravidade com a geometria do espaço-tempo quadridimensional.

O sucesso da relatividade geral levou a esforços para aplicar geometria dimensional superior para explicar outras forças. Em 1919, o trabalho de Theodor Kaluza mostrou que, passando para o espaço-tempo de cinco dimensões, pode-se unificar a gravidade e o eletromagnetismo em uma única força. Essa ideia foi aprimorada pelo físico Oskar Klein, que sugeriu que a dimensão adicional proposta por Kaluza poderia assumir a forma de um círculo com raio em torno de 10⁻³⁰ cm.

A teoria de Kaluza-Klein e as tentativas subsequentes de Einstein de desenvolver a teoria do campo unificado nunca foram completamente bem-sucedidas. Em parte, isso ocorreu porque a teoria de Kaluza-Klein previu uma partícula (o radion), cuja existência nunca foi comprovada, e em parte porque foi incapaz de prever corretamente a proporção entre a massa de um elétron e sua carga. Além disso, essas teorias estavam sendo desenvolvidas no momento em que outros físicos começavam a descobrir a mecânica quântica, que acabaria por revelar-se bem-sucedida na descrição de forças conhecidas, como o eletromagnetismo, bem como novas forças nucleares que estavam sendo descobertas em meados do século. Assim, levaria quase cinquenta anos para que a ideia de novas dimensões fosse levada a sério novamente.

Primeiros trabalhos em supergravidade

Na década de 1980, Edward Witten contribuiu para a compreensão das teorias da supergravidade. Em 1995, ele introduziu a teoria M, provocando a segunda revolução superstring.

Novos conceitos e ferramentas matemáticas forneceram novos insights sobre a relatividade geral, dando origem a um período entre as décadas de 1960 e 1970 agora conhecido como a idade de ouro da relatividade geral. Em meados da década de 1970, os físicos começaram a estudar as teorias de dimensões superiores combinando a relatividade geral com a supersimetria, as chamadas teorias da supergravidade.

A relatividade geral não coloca nenhum limite nas possíveis dimensões do espaço-tempo. Embora a teoria seja tipicamente formulada em quatro dimensões, pode-se escrever as mesmas equações para o campo gravitacional em qualquer número de dimensões. A supergravidade é mais restritiva porque coloca um limite superior no número de dimensões. Em 1978, o trabalho de Werner Nahm mostrou que a dimensão máxima do espaço-tempo em que se pode formular uma teoria supersimétrica consistente é onze. No mesmo ano, Eugène Cremmer, Bernard Julia e Joël Scherk da École Normale Supérieure mostraram que a supergravidade não apenas permite até onze dimensões, mas é de fato mais elegante neste número máximo de dimensões.

Inicialmente, muitos físicos esperavam que, ao compactar a supergravidade de onze dimensões, fosse possível construir modelos realistas de nosso mundo quadridimensional. A esperança era que tais modelos fornecessem uma descrição unificada das quatro forças fundamentais da natureza: eletromagnetismo, as forças nucleares fortes e fracas e a gravidade. O interesse pela supergravidade de onze dimensões logo diminuiu quando várias falhas nesse esquema foram descobertas. Um dos problemas era que as leis da física pareciam distinguir entre sentido horário e anti-horário, um fenômeno conhecido como quiralidade. Edward Witten e outros observaram que essa propriedade de quiralidade não pode ser prontamente derivada pela compactação de onze dimensões.

Na primeira revolução das supercordas em 1984, muitos físicos se voltaram para a teoria das cordas como uma teoria unificada da física de partículas e da gravidade quântica. Ao contrário da teoria da supergravidade, a teoria das cordas foi capaz de acomodar a quiralidade do modelo padrão e forneceu uma teoria da gravidade consistente com os efeitos quânticos. Outra característica da teoria das cordas que atraiu muitos físicos nas décadas de 1980 e 1990 foi seu alto grau de singularidade. Nas teorias de partículas ordinárias, pode-se considerar qualquer coleção de partículas elementares cujo comportamento clássico é descrito por um Lagrangeano arbitrário. Na teoria das cordas, as possibilidades são muito mais restritas: na década de 1990, os físicos argumentaram que havia apenas cinco versões supersimétricas consistentes da teoria.

Relações entre teorias de cordas

Embora houvesse apenas um punhado de teorias de supercordas consistentes, permanecia um mistério por que não havia apenas uma formulação consistente. No entanto, quando os físicos começaram a examinar a teoria das cordas mais de perto, eles perceberam que essas teorias estão relacionadas de maneiras intrincadas e não triviais.

No final dos anos 1970, Claus Montonen e David Olive conjecturaram uma propriedade especial de certas teorias físicas. Uma versão aprimorada de sua conjectura diz respeito a uma teoria chamada N = 4 teoria supersimétrica de Yang-Mills, que descreve partículas teóricas formalmente semelhantes aos quarks e glúons que compõem os núcleos atômicos. A força com a qual as partículas dessa teoria interagem é medida por um número chamado constante de acoplamento. O resultado de Montonen e Olive, agora conhecido como dualidade Montonen-Olive, afirma que N = 4 teoria supersimétrica de Yang-Mills com constante de acoplamento g é equivalente à mesma teoria com constante de acoplamento 1/g. Em outras palavras, um sistema de partículas de interação forte (grande constante de acoplamento) tem uma descrição equivalente a um sistema de partículas de interação fraca (constante de acoplamento pequeno) e vice-versa por momento de spin.

Na década de 1990, vários teóricos generalizaram a dualidade Montonen-Olive para a relação S-dualidade, que conecta diferentes teorias de cordas. Ashoke Sen estudou S-dualidade no contexto de cordas heteróticas em quatro dimensões. Chris Hull e Paul Townsend mostraram que a teoria das cordas tipo IIB com uma grande constante de acoplamento é equivalente via S-dualidade à mesma teoria com uma pequena constante de acoplamento. Os teóricos também descobriram que diferentes teorias de cordas podem estar relacionadas pela dualidade-T. Essa dualidade implica que as cordas que se propagam em geometrias de espaço-tempo completamente diferentes podem ser fisicamente equivalentes.

Membranas e cinco membranas

A teoria das cordas estende a física de partículas comum, substituindo partículas pontuais de dimensão zero por objetos unidimensionais chamados cordas. No final dos anos 1980, era natural que os teóricos tentassem formular outras extensões nas quais as partículas fossem substituídas por supermembranas bidimensionais ou por objetos de dimensões superiores chamados branas. Tais objetos foram considerados já em 1962 por Paul Dirac, e foram reconsiderados por um pequeno mas entusiasmado grupo de físicos na década de 1980.

A supersimetria restringe severamente o número possível de dimensões de uma brana. Em 1987, Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin e Paul Townsend mostraram que a supergravidade de onze dimensões inclui branas bidimensionais. Intuitivamente, esses objetos parecem folhas ou membranas se propagando pelo espaço-tempo de onze dimensões. Pouco depois dessa descoberta, Michael Duff, Paul Howe, Takeo Inami e Kellogg Stelle consideraram uma compactação particular da supergravidade de onze dimensões com uma das dimensões enrolada em um círculo. Nesse cenário, pode-se imaginar a membrana envolvendo a dimensão circular. Se o raio do círculo for suficientemente pequeno, essa membrana se parecerá com uma corda no espaço-tempo de dez dimensões. De fato, Duff e seus colaboradores mostraram que essa construção reproduz exatamente as cordas que aparecem na teoria das supercordas tipo IIA.

Em 1990, Andrew Strominger publicou um resultado semelhante que sugeria que cordas de interação forte em dez dimensões podem ter uma descrição equivalente em termos de branas de cinco dimensões de interação fraca. Inicialmente, os físicos não conseguiram provar essa relação por dois motivos importantes. Por um lado, a dualidade Montonen-Olive ainda não foi comprovada e, portanto, a conjectura de Strominger foi ainda mais tênue. Por outro lado, havia muitos problemas técnicos relacionados às propriedades quânticas de branas de cinco dimensões. O primeiro desses problemas foi resolvido em 1993, quando Ashoke Sen estabeleceu que certas teorias físicas requerem a existência de objetos com cargas elétricas e magnéticas que foram previstas pelo trabalho de Montonen e Olive.

Apesar desse progresso, a relação entre cordas e branas de cinco dimensões permaneceu conjectural porque os teóricos não conseguiram quantificar as branas. A partir de 1991, uma equipe de pesquisadores incluindo Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu e Ruben Minasian considerou uma compactação especial da teoria das cordas na qual quatro das dez dimensões se enrolam. Se considerarmos uma brana de cinco dimensões enrolada em torno dessas dimensões extras, a brana se parecerá com uma corda unidimensional. Desta forma, a relação conjecturada entre cordas e branas foi reduzida a uma relação entre cordas e cordas, e esta última pôde ser testada usando técnicas teóricas já estabelecidas.

Segunda revolução das supercordas

Uma ilustração esquemática da relação entre teoria M, as cinco teorias superstring e supergravidade onze-dimensional. A região sombreada representa uma família de diferentes cenários físicos que são possíveis na teoria M. Em certos casos limitantes correspondentes aos cúspides, é natural descrever a física usando uma das seis teorias etiquetadas lá.

Falando na conferência sobre teoria das cordas na Universidade do Sul da Califórnia em 1995, Edward Witten, do Instituto de Estudos Avançados, fez a surpreendente sugestão de que todas as cinco teorias das supercordas eram, na verdade, apenas casos limites diferentes de uma única teoria em onze dimensões do espaço-tempo.. O anúncio de Witten reuniu todos os resultados anteriores sobre a dualidade S e T e o aparecimento de branas bidimensionais e pentadimensionais na teoria das cordas. Nos meses que se seguiram ao anúncio de Witten, centenas de novos artigos apareceram na Internet confirmando que a nova teoria envolvia as membranas de uma maneira importante. Hoje, essa enxurrada de trabalho é conhecida como a segunda revolução das supercordas.

Um dos desenvolvimentos importantes após o anúncio de Witten foi o trabalho de Witten em 1996 com o teórico das cordas Petr Hořava. Witten e Hořava estudaram a teoria M em uma geometria especial do espaço-tempo com dois componentes de contorno de dez dimensões. Seu trabalho esclareceu a estrutura matemática da teoria M e sugeriu possíveis maneiras de conectar a teoria M à física do mundo real.

Origem do termo

Inicialmente, alguns físicos sugeriram que a nova teoria era uma teoria fundamental das membranas, mas Witten era cético quanto ao papel das membranas na teoria. Em um artigo de 1996, Hořava e Witten escreveram

Como foi proposto que a teoria onze-dimensional é uma teoria de supermembrana, mas há algumas razões para duvidar dessa interpretação, nós não-committamente chamá-la de teoria M, deixando ao futuro a relação de M às membranas.

Na ausência de uma compreensão do verdadeiro significado e estrutura da teoria-M, Witten sugeriu que o M deveria significar "magia", "mistério& #34;, ou "membrana" de acordo com o gosto, e o verdadeiro significado do título deve ser decidido quando uma formulação mais fundamental da teoria for conhecida. Anos mais tarde, ele diria: “Achei que meus colegas entenderiam que realmente significava membrana. Infelizmente, isso deixou as pessoas confusas."

Teoria das matrizes

Modelo de matriz BFSS

Em matemática, uma matriz é uma matriz retangular de números ou outros dados. Na física, um modelo matricial é um tipo particular de teoria física cuja formulação matemática envolve a noção de uma matriz de maneira importante. Um modelo de matriz descreve o comportamento de um conjunto de matrizes dentro da estrutura da mecânica quântica.

Um exemplo importante de um modelo de matriz é o modelo de matriz BFSS proposto por Tom Banks, Willy Fischler, Stephen Shenker e Leonard Susskind em 1997. Esta teoria descreve o comportamento de um conjunto de nove grandes matrizes. Em seu artigo original, esses autores mostraram, entre outras coisas, que o limite de baixa energia desse modelo de matriz é descrito pela supergravidade de onze dimensões. Esses cálculos os levaram a propor que o modelo de matriz BFSS é exatamente equivalente à teoria-M. O modelo de matriz BFSS pode, portanto, ser usado como um protótipo para uma formulação correta da teoria M e uma ferramenta para investigar as propriedades da teoria M em um ambiente relativamente simples.

Geometria não comutativa

Em geometria, muitas vezes é útil introduzir coordenadas. Por exemplo, para estudar a geometria do plano euclidiano, definem-se as coordenadas x e y como as distâncias entre qualquer ponto no plano e um par de eixos. Na geometria comum, as coordenadas de um ponto são números, portanto podem ser multiplicadas, e o produto de duas coordenadas não depende da ordem de multiplicação. Ou seja, xy = yx. Essa propriedade da multiplicação é conhecida como lei comutativa, e essa relação entre a geometria e a álgebra comutativa de coordenadas é o ponto de partida para grande parte da geometria moderna.

A geometria não comutativa é um ramo da matemática que tenta generalizar esta situação. Em vez de trabalhar com números comuns, considera-se alguns objetos semelhantes, como matrizes, cuja multiplicação não satisfaz a lei comutativa (isto é, objetos para os quais xy não é necessariamente igual a yx). Imagina-se que esses objetos não móveis são coordenadas em alguma noção mais geral de "espaço" e prova teoremas sobre esses espaços generalizados explorando a analogia com a geometria comum.

Em um artigo de 1998, Alain Connes, Michael R. Douglas e Albert Schwarz mostraram que alguns aspectos dos modelos matriciais e da teoria M são descritos por uma teoria quântica de campos não comutativos, um tipo especial de teoria física em que as coordenadas no espaço-tempo não satisfazem a propriedade de comutatividade. Isso estabeleceu uma ligação entre os modelos matriciais e a teoria M, por um lado, e a geometria não comutativa, por outro lado. Rapidamente levou à descoberta de outras ligações importantes entre a geometria não comutativa e várias teorias físicas.

Correspondência AdS/CFT

Visão geral

Uma tesselação do plano hiperbólico por triângulos e quadrados

A aplicação da mecânica quântica a objetos físicos, como o campo eletromagnético, que se estendem no espaço e no tempo, é conhecida como teoria quântica de campos. Na física de partículas, as teorias quânticas de campos formam a base para nossa compreensão das partículas elementares, que são modeladas como excitações nos campos fundamentais. As teorias de campos quânticos também são usadas em toda a física da matéria condensada para modelar objetos semelhantes a partículas chamados quasipartículas.

Uma abordagem para formular a teoria M e estudar suas propriedades é fornecida pela correspondência anti-de Sitter/teoria de campo conforme (AdS/CFT). Proposto por Juan Maldacena no final de 1997, a correspondência AdS/CFT é um resultado teórico que implica que a teoria M é, em alguns casos, equivalente a uma teoria quântica de campos. Além de fornecer informações sobre a estrutura matemática das cordas e da teoria M, a correspondência AdS/CFT esclareceu muitos aspectos da teoria quântica de campos em regimes em que as técnicas de cálculo tradicionais são ineficazes.

Na correspondência AdS/CFT, a geometria do espaço-tempo é descrita em termos de uma certa solução de vácuo da equação de Einstein chamada espaço anti-de Sitter. Em termos muito elementares, o espaço anti-de Sitter é um modelo matemático de espaço-tempo no qual a noção de distância entre pontos (a métrica) é diferente da noção de distância na geometria euclidiana comum. Está intimamente relacionado ao espaço hiperbólico, que pode ser visto como um disco conforme ilustrado à esquerda. Esta imagem mostra um mosaico de um disco por triângulos e quadrados. Pode-se definir a distância entre os pontos desse disco de tal forma que todos os triângulos e quadrados sejam do mesmo tamanho e a fronteira externa circular esteja infinitamente distante de qualquer ponto do interior.

Anti-de tridimensional O espaço de Sitter é como uma pilha de discos hiperbólicos, cada um representando o estado do universo em um determinado momento. Pode-se estudar teorias de gravidade quântica, como teoria M no espaço-tempo resultante.

Agora imagine uma pilha de discos hiperbólicos onde cada disco representa o estado do universo em um determinado momento. O objeto geométrico resultante é um espaço anti-de Sitter tridimensional. Parece um cilindro sólido no qual qualquer seção transversal é uma cópia do disco hiperbólico. O tempo corre ao longo da direção vertical nesta imagem. A superfície deste cilindro desempenha um papel importante na correspondência AdS/CFT. Tal como acontece com o plano hiperbólico, o espaço anti-de Sitter é curvo de tal forma que qualquer ponto no interior está, na verdade, infinitamente distante dessa superfície limite.

Esta construção descreve um universo hipotético com apenas duas dimensões espaciais e uma dimensão temporal, mas pode ser generalizado para qualquer número de dimensões. De fato, o espaço hiperbólico pode ter mais de duas dimensões e pode-se "empilhar" cópias do espaço hiperbólico para obter modelos de dimensão superior do espaço anti-de Sitter.

Uma característica importante do espaço anti-de Sitter é seu limite (que se parece com um cilindro no caso do espaço anti-de Sitter tridimensional). Uma propriedade desse limite é que, dentro de uma pequena região na superfície em torno de qualquer ponto, ele se parece com o espaço de Minkowski, o modelo de espaço-tempo usado na física não gravitacional. Pode-se, portanto, considerar uma teoria auxiliar em que o "espaço-tempo" é dado pelo limite do espaço anti-de Sitter. Esta observação é o ponto de partida para a correspondência AdS/CFT, que afirma que o limite do espaço anti-de Sitter pode ser considerado como o "espaço-tempo" para uma teoria quântica de campos. A alegação é que esta teoria quântica de campos é equivalente à teoria gravitacional no espaço anti-de Sitter em massa no sentido de que existe um "dicionário" para traduzir entidades e cálculos em uma teoria em suas contrapartes na outra teoria. Por exemplo, uma única partícula na teoria gravitacional pode corresponder a alguma coleção de partículas na teoria dos limites. Além disso, as previsões nas duas teorias são quantitativamente idênticas, de modo que, se duas partículas têm 40% de chance de colidir na teoria gravitacional, então as coleções correspondentes na teoria dos limites também teriam 40% de chance de colidir.

Teoria de campo superconforme 6D (2,0)

A teoria de seis dimensões (2,0)-teoria tem sido usada para entender os resultados da teoria matemática dos nós.

Uma realização particular da correspondência AdS/CFT afirma que a teoria M no espaço do produto AdS₇×S ⁴ é equivalente à chamada teoria (2,0) no limite de seis dimensões. Aqui "(2,0)" refere-se ao tipo particular de supersimetria que aparece na teoria. Neste exemplo, o espaço-tempo da teoria gravitacional é efetivamente de sete dimensões (daí a notação AdS₇) e existem quatro unidades "compactas" dimensões (codificadas pelo fator S4). No mundo real, o espaço-tempo é quadridimensional, pelo menos macroscopicamente, então esta versão da correspondência não fornece um modelo realista de gravidade. Da mesma forma, a teoria dual não é um modelo viável de nenhum sistema do mundo real, pois descreve um mundo com seis dimensões de espaço-tempo.

No entanto, a teoria (2,0) provou ser importante para estudar as propriedades gerais das teorias quânticas de campos. De fato, esta teoria engloba muitas teorias de campos quânticos efetivos matematicamente interessantes e aponta para novas dualidades relacionadas a essas teorias. Por exemplo, Luis Alday, Davide Gaiotto e Yuji Tachikawa mostraram que compactando essa teoria em uma superfície, obtém-se uma teoria quântica de campos quadridimensionais, e existe uma dualidade conhecida como correspondência AGT que relaciona a física dessa teoria com certos conceitos físicos associados à própria superfície. Mais recentemente, os teóricos estenderam essas ideias para estudar as teorias obtidas pela compactação em três dimensões.

Além de suas aplicações na teoria quântica de campos, a teoria (2,0) gerou resultados importantes em matemática pura. Por exemplo, a existência da teoria (2,0) foi usada por Witten para dar uma explicação "física" explicação para uma relação conjectural em matemática chamada correspondência geométrica de Langlands. Em trabalhos subsequentes, Witten mostrou que a teoria (2,0) poderia ser usada para entender um conceito em matemática chamado homologia de Khovanov. Desenvolvida por Mikhail Khovanov por volta de 2000, a homologia de Khovanov fornece uma ferramenta na teoria dos nós, o ramo da matemática que estuda e classifica as diferentes formas dos nós. Outra aplicação da teoria (2,0) em matemática é o trabalho de Davide Gaiotto, Greg Moore e Andrew Neitzke, que usaram ideias físicas para derivar novos resultados na geometria hyperkähler.

Teoria de campo superconformal ABJM

Outra realização da correspondência AdS/CFT afirma que a teoria M em AdS₄×S ⁷ é equivalente a uma teoria quântica de campos chamada teoria ABJM em três dimensões. Nesta versão da correspondência, sete das dimensões da teoria M são enroladas, deixando quatro dimensões não compactas. Como o espaço-tempo do nosso universo é quadridimensional, esta versão da correspondência fornece uma descrição um tanto mais realista da gravidade.

A teoria ABJM que aparece nesta versão da correspondência também é interessante por vários motivos. Introduzido por Aharony, Bergman, Jafferis e Maldacena, está intimamente relacionado a outra teoria quântica de campos chamada teoria de Chern-Simons. A última teoria foi popularizada por Witten no final dos anos 1980 por causa de suas aplicações na teoria dos nós. Além disso, a teoria ABJM serve como um modelo semi-realista simplificado para resolver problemas que surgem na física da matéria condensada.

Fenomenologia

Visão geral

Uma seção transversal de um coletor de Calabi-Yau

Além de ser uma ideia de considerável interesse teórico, a teoria M fornece uma estrutura para a construção de modelos da física do mundo real que combinam a relatividade geral com o modelo padrão da física de partículas. A fenomenologia é o ramo da física teórica em que os físicos constroem modelos realistas da natureza a partir de ideias teóricas mais abstratas. A fenomenologia das cordas é a parte da teoria das cordas que tenta construir modelos realistas da física de partículas com base nas cordas e na teoria-M.

Normalmente, esses modelos são baseados na ideia de compactação. Começando com o espaço-tempo de dez ou onze dimensões da teoria das cordas ou M, os físicos postulam uma forma para as dimensões extras. Ao escolher essa forma apropriadamente, eles podem construir modelos mais ou menos semelhantes ao modelo padrão da física de partículas, juntamente com partículas adicionais não descobertas, geralmente parceiras supersimétricas de análogos de partículas conhecidas. Uma maneira popular de derivar a física realista da teoria das cordas é começar com a teoria heterótica em dez dimensões e assumir que as seis dimensões extras do espaço-tempo têm a forma de uma variedade de Calabi-Yau de seis dimensões. Este é um tipo especial de objeto geométrico com o nome dos matemáticos Eugenio Calabi e Shing-Tung Yau. As variedades de Calabi-Yau oferecem muitas maneiras de extrair física realista da teoria das cordas. Outros métodos semelhantes podem ser usados para construir modelos com física semelhante, até certo ponto, ao nosso mundo quadridimensional baseado na teoria-M.

Em parte por causa de dificuldades teóricas e matemáticas e em parte por causa das energias extremamente altas (além do que é tecnologicamente possível no futuro previsível) necessárias para testar essas teorias experimentalmente, não há até agora nenhuma evidência experimental que aponte inequivocamente para qualquer uma das sendo esses modelos uma descrição fundamental correta da natureza. Isso levou alguns membros da comunidade a criticar essas abordagens para a unificação e questionar o valor da pesquisa contínua sobre esses problemas.

Compactificação em manifolds G2

Em uma abordagem da fenomenologia da teoria M, os teóricos assumem que as sete dimensões extras da teoria M têm a forma de uma variedade G2. Este é um tipo especial de forma de sete dimensões construída pelo matemático Dominic Joyce, da Universidade de Oxford. Essas variedades G₂ ainda são mal compreendidas matematicamente, e esse fato tornou difícil para os físicos desenvolver completamente essa abordagem à fenomenologia.

Por exemplo, físicos e matemáticos geralmente assumem que o espaço tem uma propriedade matemática chamada suavidade, mas essa propriedade não pode ser assumida no caso de um G ₂ múltiplo se alguém deseja recuperar a física do nosso mundo quadridimensional. Outro problema é que as variedades G₂ não são variedades complexas, então os teóricos são incapazes de usar ferramentas do ramo da matemática conhecida como análise complexa. Finalmente, há muitas questões em aberto sobre a existência, unicidade e outras propriedades matemáticas de G₂ variedades e matemáticos carecem de uma maneira sistemática de procurar por essas variedades.

Teoria M Heterótica

Devido às dificuldades com variedades G₂, a maioria tenta construir teorias realistas da física baseadas em M- A teoria adotou uma abordagem mais indireta para compactar o espaço-tempo de onze dimensões. Uma abordagem, iniciada por Witten, Hořava, Burt Ovrut e outros, é conhecida como teoria-M heterótica. Nesta abordagem, imagina-se que uma das onze dimensões da teoria M tem a forma de um círculo. Se esse círculo for muito pequeno, o espaço-tempo torna-se efetivamente dezdimensional. Supõe-se então que seis das dez dimensões formam uma variedade de Calabi-Yau. Se essa variedade de Calabi-Yau também for considerada pequena, resta uma teoria em quatro dimensões.

A teoria M heterótica tem sido usada para construir modelos de cosmologia de branas em que o universo observável é pensado para existir em uma brana em um espaço ambiente dimensional superior. Também gerou teorias alternativas do universo primitivo que não dependem da teoria da inflação cósmica.

Popularização

• BBC Horizon: "Parallel Universes" – 2002 documentário da BBC Horizon, episódio "Parallel Universes" centra-se na história e emergência da teoria M, e cientistas envolvidos
• [1] PBS.org-NOVA: O Universo Elegante] – 2003 Minissérie de três horas, ganha por Emmy, de Nova com Brian Greene, adaptado de sua O Universo Elegante livro (original PBS datas de transmissão: 28 de outubro, 8-10 p.m. e 4 de novembro, 8-9 p.m., 2003)