Teoria de conjuntos

Teoria dos conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que podem ser descritos informalmente como coleções de objetos. Embora objetos de qualquer tipo possam ser agrupados em um conjunto, a teoria dos conjuntos, como um ramo da matemática, preocupa-se principalmente com aqueles que são relevantes para a matemática como um todo.

O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado pelos matemáticos alemães Richard Dedekind e Georg Cantor na década de 1870. Em particular, Georg Cantor é comumente considerado o fundador da teoria dos conjuntos. Os sistemas não formalizados investigados durante esta fase inicial são chamados de teoria ingênua dos conjuntos. Após a descoberta de paradoxos dentro da teoria ingênua dos conjuntos (como o paradoxo de Russell, o paradoxo de Cantor e o paradoxo de Burali-Forti), vários sistemas axiomáticos foram propostos no início do século XX, dos quais o conjunto de Zermelo-Fraenkel a teoria (com ou sem o axioma da escolha) ainda é a mais conhecida e estudada.

A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema fundamental para toda a matemática, particularmente na forma da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além do seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos também fornece a estrutura para desenvolver uma teoria matemática do infinito e tem várias aplicações na ciência da computação (como na teoria da álgebra relacional), na filosofia e na semântica formal. O seu apelo fundamental, juntamente com os seus paradoxos, as suas implicações para o conceito de infinito e as suas múltiplas aplicações, fizeram da teoria dos conjuntos uma área de grande interesse para lógicos e filósofos da matemática. A pesquisa contemporânea em teoria dos conjuntos cobre uma vasta gama de tópicos, que vão desde a estrutura da reta numérica real até o estudo da consistência de grandes cardeais.

Histórico

Tópicos matemáticos normalmente surgem e evoluem por meio de interações entre muitos pesquisadores. A teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais".

Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no Ocidente e os primeiros matemáticos indianos no Oriente, os matemáticos lutaram com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do infinito começou em 1870-1874 e foi motivada pelo trabalho de Cantor em análise real. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de 1874 de Cantor.

O trabalho de Cantor inicialmente polarizou os matemáticos de sua época. Embora Karl Weierstrass e Dedekind apoiassem Cantor, Leopold Kronecker, agora visto como um fundador do construtivismo matemático, não o fez. A teoria dos conjuntos cantorianos eventualmente se tornou difundida, devido à utilidade dos conceitos cantorianos, como a correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que existem mais números reais do que inteiros, e a "infinidade dos infinitos" ("paraíso de Cantor") resultante da operação do conjunto de energia. Esta utilidade da teoria dos conjuntos levou ao artigo "Mengenlehre", contribuído em 1898 por Arthur Schoenflies para a enciclopédia de Klein.

A próxima onda de entusiasmo na teoria dos conjuntos ocorreu por volta de 1900, quando se descobriu que algumas interpretações da teoria dos conjuntos cantoriana deram origem a diversas contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram independentemente o paradoxo mais simples e mais conhecido, agora chamado de paradoxo de Russell: considere “o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos”, o que leva a uma contradição, uma vez que deve ser membro de si mesmo e não membro de si mesmo. Em 1899, o próprio Cantor colocou a questão “Qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?”, e obteve um paradoxo relacionado. Russell usou seu paradoxo como tema em sua revisão de 1903 da matemática continental em seu Os Princípios da Matemática. Em vez do termo conjunto, Russell usou o termo classe, que posteriormente foi usado de forma mais técnica.

Em 1906, o termo conjunto apareceu no livro Teoria dos Conjuntos de Pontos do marido e da mulher William Henry Young e Grace Chisholm Young, publicado pela Cambridge University Press.

O impulso da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não levou ao seu abandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e o trabalho de Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem em 1922 resultaram no conjunto de axiomas ZFC, que se tornou o conjunto de axiomas mais comumente usado para a teoria dos conjuntos. O trabalho de analistas, como o de Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos, que desde então se tornou parte integrante da estrutura da matemática moderna. A teoria dos conjuntos é comumente usada como um sistema fundamental, embora em algumas áreas - como geometria algébrica e topologia algébrica - a teoria das categorias seja considerada uma base preferida.

Conceitos básicos e notação

A teoria dos conjuntos começa com uma relação binária fundamental entre um objeto o e um conjunto A. Se o for um membro (ou elemento) de A, a notação o ∈ A é usada. Um conjunto é descrito listando elementos separados por vírgulas, ou por uma propriedade que caracteriza seus elementos, entre colchetes { }. Como os conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos.

Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação de subconjunto, também chamada de inclusão de conjunto. Se todos os membros do conjunto A também são membros do conjunto B, então A é um subconjunto de B , denotado A ⊆ B. Por exemplo, {1, 2} é um subconjunto de {1, 2, 3}, assim como {2} mas {1, 4} não é. Como está implícito nesta definição, um conjunto é um subconjunto de si mesmo. Para os casos em que esta possibilidade é inadequada ou faria sentido ser rejeitada, o termo subconjunto próprio é definido. A é chamado de subconjunto próprio de B< /span> se e somente se A for um subconjunto de B, mas A não é igual a B. Além disso, 1, 2 e 3 são membros (elementos) do conjunto {1, 2, 3}, mas não são subconjuntos dele; e por sua vez, os subconjuntos, como {1}, não são membros do conjunto {1, 2, 3}.

Assim como a aritmética apresenta operações binárias em números, a teoria dos conjuntos apresenta operações binárias em conjuntos. A seguir está uma lista parcial deles:

• União dos conjuntos A e B, denotado A Telecomunicações B, é o conjunto de todos os objetos que são um membro de Aou Bou ambos. Por exemplo, a união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.
• Intersecção dos conjuntos A e B, denotado A ─ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. Por exemplo, a interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto (2, 3).
• Diferença de conjunto de U e A, denotado U A, é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença definida {1, 2, 3} {2, 3, 4} o Não., enquanto inversamente, o conjunto diferença {2, 3, 4} {1, 2, 3} o (4). Quando A é um subconjunto de U, a diferença definida U A é também chamado de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é claro a partir do contexto, a notação A^c é às vezes usado em vez de U A, especialmente se U é um conjunto universal como no estudo de diagramas de Venn.
• Diferença simétrica de conjuntos A e B, denotado A ? B ou A ⊖ B, é o conjunto de todos os objetos que são um membro de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4}, o conjunto de diferença simétrica é {1, 4}. É a diferença definida da união e da interseção, (A Telecomunicações B) (A ─ B) ou (A B) Telecomunicações (B A).
• Produto cartesiano de A e B, denotado A × B, é o conjunto cujos membros são todos possíveis pares ordenados (um, b)), onde um é um membro de A e b) é um membro de B. Por exemplo, o produto cartesiano de {1, 2} e {vermelho, branco} é {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}.
• Conjunto de energia de um conjunto A, denotado ${displaystyle {mathcal {P}}(A)}$, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto de energia de {1, 2} o {}.

Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números reais e o conjunto vazio – o conjunto único que não contém elementos. O conjunto vazio também é ocasionalmente chamado de conjunto nulo, embora esse nome seja ambíguo e possa levar a diversas interpretações.

Ontologia

Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto puro vazio. Na teoria moderna dos conjuntos, é comum restringir a atenção à universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas de teoria dos conjuntos axiomáticos são projetados para axiomatizar os conjuntos puros apenas. Há muitas vantagens técnicas para esta restrição, e pouca generalidade é perdida, porque essencialmente todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base no quão profundamente seus membros, membros de membros, etc. são aninhados. Cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal $- Sim.$, conhecido como seu rank. A classificação de um conjunto puro $- Sim.$ é definido como o menos ordinal que é estritamente maior do que o grau de qualquer um de seus elementos. Por exemplo, o conjunto vazio é atribuído rank 0, enquanto o conjunto Não. contendo apenas o conjunto vazio é atribuído rank 1. Para cada ordinal $- Sim.$, o conjunto ${displaystyle V_{alpha }}$ é definido para consistir em todos os conjuntos puros com classificação inferior a $- Sim.$. Todo o universo von Neumann é denotado$Não.$.

Teoria dos conjuntos formalizada

A teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de forma informal e intuitiva e, portanto, pode ser ensinada nas escolas primárias usando diagramas de Venn. A abordagem intuitiva assume tacitamente que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfazem qualquer condição de definição particular. Esta suposição dá origem a paradoxos, dos quais os mais simples e mais conhecidos são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.

Os sistemas de teoria axiomática dos conjuntos mais amplamente estudados implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste em:

• Conjuntos sozinho. Isso inclui a teoria dos conjuntos axiomáticos mais comum, a teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC). Fragmentos de ZFC incluir:
  • Teoria do conjunto de Zermelo, que substitui o esquema do axioma da substituição com o da separação;
  • Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos Zermelo suficiente para os axiomas de Peano e conjuntos finitos;
  • Kripke-Platek define a teoria, que omite os axiomas de infinito, powerset e escolha, e enfraquece o esquema de axioma de separação e substituição.
• Conjuntos e classes adequadas. Estes incluem a teoria dos conjuntos Von Neumann-Bernays-Gödel, que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntos sozinhos, e Morse-Kelley definir teoria e Tarski-Grothendieck definir teoria, ambos mais fortes do que ZFC.

Os sistemas acima podem ser modificados para permitir urelements, objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são conjuntos e não possuem nenhum membro.

Os sistemas Novas Fundações de NFU (permitindo urelementos) e NF (sem eles), associados a Willard Van Orman Quine, não são com base em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um “conjunto de tudo”, em relação ao qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas, nossos elementos são importantes, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não é válido. Apesar da ontologia da NF não refletir a hierarquia cumulativa tradicional e violar a fundamentação, Thomas Forster argumentou que ela reflete uma concepção iterativa de conjunto.

Sistemas de teoria construtiva de conjuntos, como CST, CZF e IZF, incorporam seus axiomas de conjuntos na lógica intuicionista em vez da lógica clássica. No entanto, outros sistemas aceitam a lógica clássica, mas apresentam uma relação de adesão não padronizada. Estas incluem a teoria dos conjuntos aproximados e a teoria dos conjuntos difusos, nas quais o valor de uma fórmula atômica que incorpora a relação de pertinência não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os modelos de valor booleano do ZFC são um assunto relacionado.

Um enriquecimento do ZFC chamado teoria dos conjuntos internos foi proposto por Edward Nelson em 1977.

Aplicativos

Muitos conceitos matemáticos podem ser definidos com precisão usando apenas conceitos teóricos de conjuntos. Por exemplo, estruturas matemáticas tão diversas como gráficos, variedades, anéis, espaços vetoriais e álgebras relacionais podem ser definidas como conjuntos que satisfazem várias propriedades (axiomáticas). As relações de equivalência e ordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações matemáticas pode ser descrita na teoria dos conjuntos.

A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental promissor para grande parte da matemática. Desde a publicação do primeiro volume de Principia Mathematica, tem sido afirmado que a maioria (ou mesmo todos) os teoremas matemáticos podem ser derivados usando um conjunto de axiomas apropriadamente concebido para a teoria dos conjuntos, aumentado com muitas definições, usando lógica de primeira ou segunda ordem. Por exemplo, as propriedades dos números naturais e reais podem ser derivadas dentro da teoria dos conjuntos, pois cada sistema numérico pode ser identificado com um conjunto de classes de equivalência sob uma relação de equivalência adequada cujo campo é algum conjunto infinito.

A teoria dos conjuntos como base para análise matemática, topologia, álgebra abstrata e matemática discreta também é incontroversa; os matemáticos aceitam (em princípio) que os teoremas nessas áreas podem ser derivados das definições relevantes e dos axiomas da teoria dos conjuntos. No entanto, permanece que poucas derivações completas de teoremas matemáticos complexos da teoria dos conjuntos foram formalmente verificadas, uma vez que tais derivações formais são frequentemente muito mais longas do que as provas de linguagem natural que os matemáticos normalmente apresentam. Um projeto de verificação, Metamath, inclui derivações escritas por humanos e verificadas por computador de mais de 12.000 teoremas, começando pela teoria dos conjuntos ZFC, lógica de primeira ordem e lógica proposicional.

Áreas de estudo

A teoria dos conjuntos é uma importante área de pesquisa em matemática, com muitos subcampos inter-relacionados.

Teoria dos conjuntos combinatórios

A Teoria dos conjuntos combinatórios diz respeito a extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isso inclui o estudo da aritmética cardinal e o estudo de extensões do teorema de Ramsey, como o teorema de Erdős-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos

Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da linha real e, mais geralmente, subconjuntos de espaços poloneses. Começa com o estudo de classes de pontos na hierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades de conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, mas provar que essas propriedades são válidas para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados à determinação e grandes cardeais.

O campo da teoria descritiva eficaz dos conjuntos está entre a teoria dos conjuntos e a teoria da recursão. Inclui o estudo de classes de pontos lightface e está intimamente relacionado à teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoria descritiva clássica dos conjuntos têm versões eficazes; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando primeiro a versão efetiva e depois estendendo-a ('relativizando') para torná-la mais amplamente aplicável.

Uma área recente de pesquisa diz respeito às relações de equivalência de Borel e às relações de equivalência definíveis mais complicadas. Isto tem aplicações importantes para o estudo de invariantes em muitos campos da matemática.

Teoria dos conjuntos difusos

Na teoria dos conjuntos, conforme definido por Cantor e axiomatizado por Zermelo e Fraenkel, um objeto é membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos difusos esta condição foi relaxada por Lotfi A. Zadeh para que um objeto tenha um grau de pertinência em um conjunto, um número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertencimento de uma pessoa ao conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma simples resposta sim ou não e pode ser um número real como 0,75.

Teoria do modelo interno

Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o universo construtível L desenvolvido por Gödel. Uma razão pela qual o estudo de modelos internos é interessante é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode ser mostrado que independentemente de um modelo V de ZF satisfazer a hipótese do contínuo ou o axioma da escolha, o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satisfazem tanto a hipótese do contínuo generalizado quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF é consistente (tem pelo menos um modelo) implica que ZF juntamente com estes dois princípios é consistente.

O estudo de modelos internos é comum no estudo de determinação e grandes cardeais, especialmente quando se consideram axiomas como o axioma da determinação que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaça o axioma da escolha, é possível que um modelo interno não satisfaça o axioma da escolha. Por exemplo, a existência de cardeais suficientemente grandes implica que existe um modelo interno que satisfaz o axioma da determinação (e, portanto, não satisfaz o axioma da escolha).

Grandes cardeais

Um cardeal grande é um número cardinal com uma propriedade extra. Muitas dessas propriedades são estudadas, incluindo cardeais inacessíveis, cardeais mensuráveis e muito mais. Essas propriedades normalmente implicam que o número cardinal deve ser muito grande, sendo a existência de um cardinal com a propriedade especificada improvável na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Determinação

Determinação refere-se ao fato de que, sob suposições apropriadas, certos jogos de informação perfeita para dois jogadores são determinados desde o início, no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A existência destas estratégias tem consequências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, uma vez que a suposição de que uma classe mais ampla de jogos é determinada implica frequentemente que uma classe mais ampla de conjuntos terá uma propriedade topológica. O axioma da determinação (AD) é um importante objeto de estudo; embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com a propriedade do conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus Wadge têm uma estrutura elegante.

Forçar

Paul Cohen inventou o método de forçar enquanto procurava um modelo de ZFC no qual a hipótese do contínuo falha, ou um modelo de ZF no qual o axioma da escolha falha. Forçar conjuntos adicionais a algum determinado modelo da teoria dos conjuntos, a fim de criar um modelo maior com propriedades determinadas (ou seja, "forçado") pela construção e pelo modelo original. Por exemplo, a construção de Cohen une subconjuntos adicionais dos números naturais sem alterar nenhum dos números cardinais do modelo original. Forçar também é um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitísticos, sendo o outro método modelos com valor booleano.

Invariantes cardinais

Uma invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal. Por exemplo, um invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção de escassos conjuntos de reais cuja união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos isomórficos da teoria dos conjuntos devem fornecer o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados e as relações entre eles são frequentemente complexas e relacionadas aos axiomas da teoria dos conjuntos.

Topologia teórica dos conjuntos

Topologia teórica de conjuntos estuda questões de topologia geral que são de natureza teórica de conjuntos ou que requerem métodos avançados de teoria de conjuntos para sua solução. Muitos destes teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para a sua prova. Um problema famoso é a questão do espaço normal de Moore, uma questão de topologia geral que foi objeto de intensa pesquisa. A resposta à questão do espaço normal de Moore acabou provando ser independente do ZFC.

Objeções à teoria dos conjuntos

Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como base para a matemática: veja Controvérsia sobre a teoria de Cantor. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, expressa por Kronecker nos primeiros anos da teoria dos conjuntos, parte da visão construtivista de que a matemática está vagamente relacionada à computação. Se esta visão for aceita, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua como na axiomática dos conjuntos, introduz na matemática métodos e objetos que não são computáveis nem mesmo em princípio. A viabilidade do construtivismo como uma base substituta para a matemática foi grandemente aumentada pelo influente livro de Errett Bishop, Foundations of Constructive Analysis.

Uma objeção diferente apresentada por Henri Poincaré é que definir conjuntos usando os esquemas de axiomas de especificação e substituição, bem como o axioma do conjunto de potências, introduz impredicatividade, um tipo de circularidade, nas definições de objetos matemáticos. O escopo da matemática fundada predicativamente, embora menor do que o da teoria comumente aceita de Zermelo-Fraenkel, é muito maior do que o da matemática construtiva, a tal ponto que Solomon Feferman disse que “toda a análise cientificamente aplicável pode ser desenvolvida [usando métodos predicativos]".

Ludwig Wittgenstein condenou filosoficamente a teoria dos conjuntos por suas conotações de platonismo matemático. Ele escreveu que a “teoria dos conjuntos está errada”, uma vez que se baseia no “absurdo” da teoria. de simbolismo fictício, tem “expressões idiomáticas perniciosas” e que não faz sentido falar sobre “todos os números”. Wittgenstein identificou a matemática com a dedução humana algorítmica; a necessidade de uma base segura para a matemática parecia-lhe absurda. Além disso, uma vez que o esforço humano é necessariamente finito, a filosofia de Wittgenstein exigia um compromisso ontológico com o construtivismo radical e o finitismo. As afirmações metamatemáticas – que, para Wittgenstein, incluíam qualquer afirmação que quantificasse domínios infinitos e, portanto, quase toda a teoria moderna dos conjuntos – não são matemáticas. Poucos filósofos modernos adotaram os pontos de vista de Wittgenstein depois de um erro espetacular em Remarks on the Foundations of Mathematics: Wittgenstein tentou refutar os teoremas da incompletude de Gödel depois de ter lido apenas o resumo. Como apontaram os revisores Kreisel, Bernays, Dummett e Goodstein, muitas de suas críticas não se aplicaram ao artigo na íntegra. Só recentemente filósofos como Crispin Wright começaram a reabilitar os argumentos de Wittgenstein.

Os teóricos das categorias propuseram a teoria do topos como uma alternativa à tradicional teoria axiomática dos conjuntos. A teoria Topos pode interpretar várias alternativas a essa teoria, como construtivismo, teoria dos conjuntos finitos e teoria dos conjuntos computáveis. Os Topoi também fornecem um cenário natural para forçar e discutir a independência de escolha da ZF, além de fornecer a estrutura para topologias inúteis e espaços Stone.

Uma área ativa de pesquisa são os fundamentos univalentes e relacionados à teoria do tipo homotopia. Dentro da teoria dos tipos de homotopia, um conjunto pode ser considerado como um tipo 0 de homotopia, com propriedades universais de conjuntos decorrentes das propriedades indutivas e recursivas de tipos indutivos superiores. Princípios como o axioma da escolha e a lei do terceiro excluído podem ser formulados de uma maneira que corresponda à formulação clássica da teoria dos conjuntos ou talvez de um espectro de maneiras distintas, exclusivas da teoria dos tipos. Alguns desses princípios podem ser comprovados como consequência de outros princípios. A variedade de formulações destes princípios axiomáticos permite uma análise detalhada das formulações necessárias para derivar vários resultados matemáticos.

Teoria dos conjuntos na educação matemática

À medida que a teoria dos conjuntos ganhou popularidade como base para a matemática moderna, tem havido apoio para a ideia de introduzir os fundamentos da teoria ingênua dos conjuntos no início da educação matemática.

Nos EUA, na década de 1960, a experiência da Nova Matemática tinha como objectivo ensinar a teoria básica dos conjuntos, entre outros conceitos abstractos, a alunos do ensino primário, mas foi recebida com muitas críticas. O programa de matemática nas escolas europeias seguiu esta tendência e atualmente inclui a disciplina em diferentes níveis em todos os anos de escolaridade. Os diagramas de Venn são amplamente empregados para explicar relações básicas da teoria dos conjuntos para alunos do ensino fundamental (embora John Venn os tenha originalmente concebido como parte de um procedimento para avaliar a validade de inferências na lógica de termos).

A teoria dos conjuntos é usada para apresentar aos alunos operadores lógicos (NÃO, E, OU) e descrição semântica ou de regras (definição tecnicamente intensional) de conjuntos (por exemplo, "meses começando com a letra A"), o que pode ser útil no aprendizado de programação de computadores, uma vez que a lógica booleana é usada em diversas linguagens de programação. Da mesma forma, conjuntos e outros objetos semelhantes a coleções, como multisets e listas, são tipos de dados comuns em ciência da computação e programação.

Além disso, os conjuntos são comumente referidos no ensino matemático ao falar de diferentes tipos de números (os conjuntos) ${displaystyle mathbb {N} } }$ de números naturais, ${displaystyle mathbb {Z} } }$ de inteiros, ${displaystyle mathbb {R} } }$ de números reais, etc.), e ao definir uma função matemática como uma relação de um conjunto (o domínio) para outro conjunto (o intervalo).