Teorema do valor médio

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Sobre a existência de um tangente a um arco paralelo à linha através de seus endpoints

Para qualquer função que seja contínua

[a,b]

e diferencial sobre

(a,b)

existe algum

c

no intervalo

(a,b)

tal que o secante juntando os pontos finais do intervalo

[a,b]

é paralelo ao tangente em

c

Na matemática, o teorema do valor médio (ou teorema de Lagrange) afirma, grosso modo, que para um determinado arco planar entre dois pontos finais, há pelo menos um ponto em qual a tangente ao arco é paralela à secante através de seus pontos finais. É um dos resultados mais importantes na análise real. Este teorema é usado para provar afirmações sobre uma função em um intervalo a partir de hipóteses locais sobre derivadas em pontos do intervalo.

Mais precisamente, o teorema afirma que se $f$ é uma função contínua no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ , então existe um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que o tangente em $c$ é paralelo à linha secante através dos terminais ${displaystyle {big (}a,f(a){big)}}$ e ${displaystyle {big (}b,f(b){big)}}$ , isto é,

{displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

História

Um caso especial deste teorema para interpolação inversa do seno foi descrito pela primeira vez por Parameshvara (1380–1460), da Escola de Astronomia e Matemática de Kerala na Índia, em seus comentários sobre Govindasvāmi e Bhāskara II. Uma forma restrita do teorema foi provada por Michel Rolle em 1691; o resultado foi o que hoje é conhecido como teorema de Rolle, e foi provado apenas para polinômios, sem as técnicas de cálculo. O teorema do valor médio em sua forma moderna foi declarado e provado por Augustin Louis Cauchy em 1823. Muitas variações desse teorema foram provadas desde então.

Declaração formal

A função

f

atinge a inclinação do secante entre

a

b

como o derivado no ponto

{displaystyle xi in (a,b)}

Também é possível que haja vários tangentes paralelos ao secante.

Vamos. ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$ ser uma função contínua no intervalo fechado $[a,b]$ , e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ , Onde? $<math alttext="{displaystyle a um<b)- Sim. <img alt="a$ . Então existe algum $c$ em $(a,b)$ tal que

${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

O teorema do valor médio é uma generalização do teorema de Rolle, que assume ${displaystyle f(a)=f(b)}$ , de modo que o lado direito acima é zero.

O teorema de valor médio ainda é válido em um ambiente ligeiramente mais geral. Um só precisa assumir que ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$ é contínuo em $[a,b]$ , e que para cada $x$ em $(a,b)$ o limite

$lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

existe como um número finito ou igual $infty$ ou $-infty$ . Se finito, esse limite é igual $f'(x)$ . Um exemplo onde esta versão do teorema se aplica é dado pelo mapeamento de função raiz de cubo real ${displaystyle xmapsto x^{1/3}}$ , cujo derivado tende a infinito na origem.

Note que o teorema, como afirmado, é falso se uma função diferencial é complexa-valorizada em vez de real-valorizada. Por exemplo, definir ${displaystyle f(x)=e^{xi}}$ para todos real $x$ . Então...

${displaystyle f(2pi)-f(0)=0=0(2pi -0)}$

enquanto ${displaystyle f'(x)neq 0}$ para qualquer real $x$ .

Essas declarações formais também são conhecidas como Teorema do valor médio de Lagrange.

Prova

A expressão ${textstyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ dá a inclinação da linha juntando os pontos $(a,f(a))$ e ${displaystyle (b,f(b))}$ , que é um acorde do grafo de $f$ , enquanto $f'(x)$ dá a inclinação do tangente à curva no ponto $(x,f(x))$ . Assim, o teorema do valor médio diz que dada qualquer acorde de uma curva lisa, podemos encontrar um ponto na curva deitada entre os pontos finais do acorde tal que o tangente da curva nesse ponto é paralelo ao acorde. A seguinte prova ilustra esta ideia.

Definir ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ , onde $r$ é uma constante. Desde então $f$ é contínuo em $[a,b]$ e diferencial sobre $(a,b)$ , o mesmo é verdadeiro para $g$ . Agora queremos escolher $r$ assim $g$ satisfaz as condições do teorema de Rolle. Nomeadamente

${displaystyle {begin{aligned}g(a)=g(b)&iff f(a)-ra=f(b)-rb\&iff r(b-a)=f(b)-f(a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.end{aligned}}}$

Pelo teorema de Rolle, desde $g$ é diferente e ${displaystyle g(a)=g(b)}$ , há alguns $c$ em $(a,b)$ para os quais ${displaystyle g'(c)=0}$ e segue da igualdade ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ Que...

${displaystyle {begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\&g'(c)=0\&g'(c)=f'(c)-r=0\&Rightarrow f'(c)=r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}end{aligned}}}$

Implicações

Teorema 1: Assuma que f é uma função contínua de valor real, definida em um intervalo arbitrário I da reta real. Se a derivada de f em cada ponto interior do intervalo I existe e é zero, então f é constante no interior.

Prova: Assuma que a derivada de f em cada ponto interior do intervalo I existe e é zero. Seja (a, b) um intervalo aberto arbitrário em I. Pelo teorema do valor médio, existe um ponto c em (a, b) tal que

${displaystyle 0=f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Isto implica que f(a) = f(b). Assim, f é constante no interior de I e portanto é constante em I por continuidade. (Veja abaixo uma versão multivariável deste resultado.)

Observações:

Apenas continuidade f, não diferenciabilidade, é necessário nos pontos finais do intervalo Eu.... Nenhuma hipótese de continuidade precisa ser declarada se Eu... é um intervalo aberto, uma vez que a existência de um derivado em um ponto implica a continuidade neste ponto. (Veja a continuidade da seção e a diferenciação do derivado do artigo.)
A diferenciação f pode ser relaxado para diferenciação unilateral, uma prova dada no artigo sobre semi-diferenciabilidade.

Teorema 2: Se f' (x) = g' (x) para todo x em um intervalo (a, b) do domínio de essas funções, então f - g é constante, ou seja, f = g + c onde c é uma constante em (a, b).

Prova: Seja F = f − g, então F' = f' − g' = 0 no intervalo (a, b), então o teorema 1 acima diz que F = f − g é um constante c ou f = g + c.

Teorema 3: Se F é uma antiderivada de f em um intervalo I, então o mais geral antiderivada de f em I é F(x) + c onde c é uma constante.

Prova: Segue diretamente do teorema 2 acima.

Teorema do valor médio de Cauchy

Teorema de valor médio de Cauchy, também conhecido como o teorema de valor médio estendido, é uma generalização do teorema do valor médio. Ele afirma: se as funções $f$ e $g$ são ambos contínuos no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ , então existe alguns $cin (a,b)$ , tal que

Significado geométrico do teorema de Cauchy

${displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Claro, se ${displaystyle g(a)neq g(b)}$ e ${displaystyle g'(c)neq 0}$ , isto é equivalente a:

${displaystyle {frac {f'(c)}{g'(c)}}={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Geometricamente, isso significa que existe alguma tangente ao gráfico da curva

${displaystyle {begin{cases}[a,b]to mathbb {R} ^{2}\tmapsto (f(t),g(t))end{cases}}}$

que é paralela à linha definida pelos pontos ${displaystyle (f(a),g(a))}$ e ${displaystyle (f(b),g(b))}$ . No entanto, o teorema de Cauchy não reivindica a existência de tal tangente em todos os casos em que ${displaystyle (f(a),g(a))}$ e ${displaystyle (f(b),g(b))}$ são pontos distintos, uma vez que pode ser satisfeito apenas por algum valor $c$ com ${displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$ , em outras palavras um valor para o qual a curva mencionada é estacionária; em tais pontos nenhum tangente à curva é provável ser definido em tudo. Um exemplo desta situação é a curva dada por

${displaystyle tmapsto left(t^{3},1-t^{2}right),}$

que no intervalo $[-1,1]$ vai do ponto ${displaystyle (-1,0)}$ para $(1,0)$ , mas nunca tem um tangente horizontal; contudo tem um ponto estacionário (na verdade um cusp) em $t=0$ .

O teorema de valor médio de Cauchy pode ser usado para provar a regra de L'Hôpital. O teorema do valor médio é o caso especial do teorema do valor médio de Cauchy quando ${displaystyle g(t)=t}$ .

Prova do teorema do valor médio de Cauchy

A prova do teorema do valor médio de Cauchy é baseada na mesma ideia da prova do teorema do valor médio.

Suponha ${displaystyle g(a)neq g(b)}$ . Definir ${displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ , onde $r$ é fixado de tal forma que ${displaystyle h(a)=h(b)}$ ,
${displaystyle {begin{aligned}h(a)=h(b)&iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\&iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.end{aligned}}}$
Desde então $f$ e $g$ são contínuos em $[a,b]$ e diferencial sobre $(a,b)$ , o mesmo é verdadeiro para $h$ . Tudo em tudo, $h$ satisfaz as condições do teorema de Rolle: consequentemente, há alguns $c$ em $(a,b)$ para os quais ${displaystyle h'(c)=0}$ . Agora usando a definição de $h$ nós temos:
${displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-left({frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}right)g'(c).}$
Portanto:
${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$
que implica o resultado.
Se ${displaystyle g(a)=g(b)}$ , então, aplicando o teorema de Rolle $g$ , segue-se que existe $c$ em $(a,b)$ para os quais ${displaystyle g'(c)=0}$ . Usando esta escolha de $c$ , teorema de valor médio de Cauchy (trivialmente) detém.

Generalização para determinantes

Assuma que ${displaystyle f,g,}$ e $h$ são funções diferenciadas em $(a,b)$ que são contínuos em $[a,b]$ . Definir

O teorema de valor médio exibido em uma ponte em Pequim

${displaystyle D(x)={begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b)&g(b)&h(b)end{vmatrix}}}$

Existe $cin (a,b)$ tal que $D'(c)=0$ .

Observe que

${displaystyle D'(x)={begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b)&g(b)&h(b)end{vmatrix}}}$

e se colocarmos $h(x)=1$ , nós temos Teorema de valor médio de Cauchy. Se colocarmos $h(x)=1$ e $g(x)=x$ nós temos Teorema de valor médio de Lagrange.

A prova da generalização é bastante simples: cada um $D(a)$ e $D(b)$ são determinantes com duas linhas idênticas, daí $D(a)=D(b)=0$ . O teorema de Rolle implica que existe $cin (a,b)$ tal que $D'(c)=0$ .

Teorema do valor médio em várias variáveis

O teorema do valor médio é generalizado para funções reais de múltiplas variáveis. O truque é usar a parametrização para criar uma função real de uma variável e, em seguida, aplicar o teorema de uma variável.

Vamos. $G$ ser um subconjunto aberto de $mathbb {R} ^{n}$ e deixar ${displaystyle f:Gto mathbb {R} }$ ser uma função diferente. Pontos de fixação $x,yin G$ tal que o segmento de linha entre $x,y$ mentiras $G$ e definir ${displaystyle g(t)=f{big (}(1-t)x+ty{big)}}$ . Desde então $g$ é uma função diferencial em uma variável, o teorema do valor médio dá:

${displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

para alguns $c$ entre 0 e 1. Desde então. ${displaystyle g(1)=f(y)}$ e ${displaystyle g(0)=f(x)}$ , computação ${displaystyle g'(c)}$ explicitamente temos:

${displaystyle f(y)-f(x)=nabla f{big (}(1-c)x+cy{big)}cdot (y-x)}$

Onde? $nabla$ denota um gradiente e $cdot$ um produto de ponto. Note que este é um análogo exato do teorema em uma variável (no caso $n=1$ Isto é o seguinte. o o teorema em uma variável). Pela desigualdade Cauchy-Schwarz, a equação dá a estimativa:

${displaystyle {Bigl |}f(y)-f(x){Bigr |}leq {Bigl |}nabla f{big (}(1-c)x+cy{big)}{Bigr |} {Bigl |}y-x{Bigr |}.}$

Em particular, quando os derivados parciais de $f$ são limitados, $f$ é Lipschitz contínuo (e, portanto, uniformemente contínuo).

Como uma aplicação do acima, provamos que $f$ é constante se o subconjunto aberto $G$ é conectado e cada derivado parcial de $f$ é 0. Escolha um ponto ${displaystyle x_{0}in G}$ e deixar ${displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ . Queremos mostrar $g(x)=0$ para todos $xin G$ . Para isso, deixe ${displaystyle E={xin G:g(x)=0}}$ . Então... E está fechado e nada. Também está aberto: para cada $xin E$

${displaystyle {Big |}g(y){Big |}={Big |}g(y)-g(x){Big |}leq (0){Big |}y-x{Big |}=0}$

para todos $y$ em algum bairro de $x$ . (Aqui, é crucial que $x$ e $y$ são suficientemente próximos uns dos outros.) Desde então $G$ está ligado, concluímos ${displaystyle E=G}$ .

Os argumentos acima são feitos de forma livre de coordenadas; portanto, eles se generalizam para o caso quando $G$ é um subconjunto de um espaço Banach.

Teorema do valor médio para funções com valor vetorial

Não existe um análogo exato do teorema do valor médio para funções com valor vetorial (veja abaixo). No entanto, existe uma desigualdade que pode ser aplicada a muitas das mesmas situações às quais o teorema do valor médio é aplicável no caso unidimensional:

Teorem—Para uma função contínua de valor vetorial ${displaystyle mathbf {f}:[a,b]to mathbb {R} ^{k}}$ diferente em $(a,b)$ , existe um número $cin (a,b)$ tal que

${displaystyle |mathbf {f} (b)-mathbf {f} (a)|leq (b-a)left|mathbf {f} '(c)right|}$ .

O teorema segue do teorema do valor médio. Com efeito, tome ${displaystyle varphi (t)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}(t)}$ . Então... $varphi$ é real-valorizado e, portanto, pelo teorema do valor médio,

${displaystyle varphi (b)-varphi (a)=varphi '(c)(b-a)}$

para alguns $cin (a,b)$ . Agora. ${displaystyle varphi (b)-varphi (a)=|{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}}$ e ${displaystyle varphi '(c)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}'(c).}$ Assim, usando a desigualdade Cauchy-Schwarz, da equação acima, nós obtemos:

${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}leq |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)||{textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Se ${displaystyle {textbf {f}}(b)={textbf {f}}(a)}$ , o teorema é trivial (qualquer c obras). Caso contrário, dividindo ambos os lados por ${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|}$ produz o teorema. $square$

Jean Dieudonné em seu tratado clássico Fundamentos da Análise Moderna descarta o teorema do valor médio e o substitui por desigualdade média (que é dada abaixo), pois a prova não é construtiva e não é possível encontrar o valor médio e nas aplicações é necessário apenas a desigualdade média. Serge Lang na Análise I usa o teorema do valor médio, na forma integral, como um reflexo instantâneo, mas esse uso requer a continuidade da derivada. Se alguém usar a integral de Henstock-Kurzweil, pode-se ter o teorema do valor médio na forma integral sem a suposição adicional de que a derivada deve ser contínua, pois toda derivada é integrável de Henstock-Kurzweil.

A razão pela qual não há análogo de igualdade de valor médio é a seguinte: Se $f : U \to R m$ é uma função diferenciável (onde $U \subset R n$ está aberto) e se $x + th$ , $x, h \in R n, t \in [0, 1]$ é o segmento de linha em questão (localizado dentro de $U$ ), então pode-se aplicar o procedimento de parametrização acima para cada uma das funções do componente $f i (i = 1, \dots, m)$ de f (no conjunto de notação acima $y = x + h$ ). Ao fazer isso, encontra-se pontos $x + t i h$ no segmento de linha que satisfazem

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t_{i}h)cdot h.}$

Mas geralmente não haverá um único ponto $x + t * h$ no segmento de linha satisfazendo

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t^{*}h)cdot h.}$

para todos $i$ simultaneamente. Por exemplo, defina:

${displaystyle {begin{cases}f:[0,2pi ]to mathbb {R} ^{2}\f(x)=(cos(x),sin(x))end{cases}}}$

Então... ${displaystyle f(2pi)-f(0)=mathbf {0} in mathbb {R} ^{2}}$ , mas ${displaystyle f_{1}'(x)=-sin(x)}$ e ${displaystyle f_{2}'(x)=cos(x)}$ nunca são simultaneamente zero como $x$ escalas sobre ${displaystyle left[0,2pi right]}$ .

O teorema acima implica o seguinte:

Igualdade de valor médio—Para uma função contínua ${displaystyle {textbf {f}}:[a,b]to mathbb {R} ^{k}}$ , se ${textbf {f}}$ é diferente em $(a,b)$ , então

${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|leq (b-a)sup _{(a,b)}|{textbf {f}}'|}$ .

Na verdade, a declaração acima é suficiente para muitas aplicações e pode ser provado diretamente como segue. (Nós vamos escrever $f$ para ${textbf {f}}$ para legibilidade.) Primeiro assuma $f$ é diferente em $a$ também. Se $f'$ está desatado $(a,b)$ Não há nada para provar. Assim, assumir $<math alttext="{displaystyle sup _{(a,b)}|f'|Vamos.(um,b))|f?|<∞ ∞ {displaystyle sup _{(a,b)}|f'|<infty }<img alt="{displaystyle sup _{(a,b)}|f'|$ . Vamos. $sup _{(a,b)}|f'|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M>Vamos.(um,b))|f?|{displaystyle M>sup _{(a,b)}|f'|}sup _{(a,b)}|f'|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354f69b184814408151d37505dcefec221dcb430" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.728ex; height:5.176ex;"/>$ ser um número real. Vamos.

${displaystyle E={0leq tleq 1mid |f(a+t(b-a))-f(a)|leq Mt(b-a)}.}$

Queremos mostrar ${displaystyle 1in E}$ . Por continuidade $f$ , o conjunto $E$ está fechado. Também é nenhummpty como ${displaystyle 0}$ está lá dentro. Assim, o conjunto $E$ tem o maior elemento $s$ . Se $s=1$ , então ${displaystyle 1in E}$ e acabamos. Assim suponham o contrário. Para $t>s}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">1>)>S- Sim. t>s}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba677731ac5ef9d074b12ff73e97eef1545b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.289ex; height:2.176ex;"/>$ ,

${displaystyle {begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\&leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.end{aligned}}}$

Vamos. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>$ ser tal que $sup _{(a,b)}|f'|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M- Sim. - Sim. ε ε >Vamos.(um,b))|f?|{displaystyle M-epsilon >sup _{(a,b)}|f'|}sup _{(a,b)}|f'|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bc1d158660bacfc62e702a72b177f2ce109c7" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.513ex; height:5.176ex;"/>$ . Pela diferenciação de $f$ em ${displaystyle a+s(b-a)}$ (nota $s$ pode ser 0), se $t$ está suficientemente perto de $s$ , o primeiro termo é ${displaystyle leq epsilon (t-s)(b-a)}$ . O segundo mandato é ${displaystyle leq (M-epsilon)(t-s)(b-a)}$ . O terceiro termo é ${displaystyle leq Ms(b-a)}$ . Assim, resumindo as estimativas, temos: ${displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|leq tM|b-a|}$ , uma contradição com a máxima $s$ . Assim, ${displaystyle 1=sin M}$ e isso significa:

${displaystyle |f(b)-f(a)|leq M(b-a).}$

Desde então $M$ é arbitrário, isso implica então a afirmação. Finalmente, se $f$ não é diferente em $a$ , let ${displaystyle a'in (a,b)}$ e aplicar o primeiro caso a $f$ restrito em ${displaystyle [a',b]}$ , dando-nos:

${displaystyle |f(b)-f(a')|leq (b-a')sup _{(a,b)}|f'|}$

desde então ${displaystyle (a',b)subset (a,b)}$ . Deixando ${displaystyle a'to a}$ termina a prova. $square$

Para algumas aplicações de desigualdade de valor médio para estabelecer resultados básicos em cálculo, veja também Cálculo no espaço euclidiano#Noções básicas.

Um certo tipo de generalização do teorema do valor médio para funções com valores vetoriais é obtido da seguinte forma: Seja $f$ uma realidade continuamente diferenciável função valorada definida em um intervalo aberto $I$ , e deixe $x$ assim como $x + h$ serão pontos de $I$ . O teorema do valor médio em uma variável nos diz que existe algum $t *$ entre 0 e 1 tal que

${displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)cdot h.}$

Por outro lado, temos, pelo teorema fundamental do cálculo seguido por uma mudança de variáveis,

${displaystyle f(x+h)-f(x)=int _{x}^{x+h}f'(u),du=left(int _{0}^{1}f'(x+th),dtright)cdot h.}$

Assim, o valor $f' (x + t * h)$ no ponto específico $t *$ foi substituído pelo valor médio

${displaystyle int _{0}^{1}f'(x+th),dt.}$

Esta última versão pode ser generalizada para funções com valores vetoriais:

Proposição—Vamos. $U ? R n$ estar aberto, $f : U \to R m$ continuamente diferenciável, e $x \in U$ , $h \in R n$ vetores como o segmento de linha $x + O quê?, 0 \leq) \leq 1$ permanece em $U$ . Então temos:

${displaystyle f(x+h)-f(x)=left(int _{0}^{1}Df(x+th),dtright)cdot h,}$

Onde? $Df$ denota a matriz jacobina de $f$ e a integral de uma matriz deve ser entendida como componente.

Prova. Seja f₁, …, f_m denota o componentes de $f$ e defina:

${displaystyle {begin{cases}g_{i}:[0,1]to mathbb {R} \g_{i}(t)=f_{i}(x+th)end{cases}}}$

Então temos

${displaystyle {begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=int _{0}^{1}g_{i}'(t),dt\&=int _{0}^{1}left(sum _{j=1}^{n}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th)h_{j}right)dt=sum _{j=1}^{n}left(int _{0}^{1}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th),dtright)h_{j}.end{aligned}}}$

A reivindicação segue desde $Df$ é a matriz que consiste nos componentes ${displaystyle {tfrac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}}$ . $square$

A desigualdade do valor médio pode então ser obtida como um corolário da proposição acima (embora sob a suposição de que as derivadas sejam contínuas).

Casos em que o teorema não pode ser aplicado

Ambas as condições para o teorema do valor médio são necessárias:

f(x) é diferente em (a,b)
f(x) é contínuo em [a,b]

Onde uma das condições acima não for satisfeita, o teorema do valor médio não é válido em geral e, portanto, não pode ser aplicado.

A função é diferenciável no intervalo aberto a,b

A necessidade da primeira condição pode ser vista pelo contra-exemplo onde a função ${displaystyle f(x)=|x|}$ em [-1,1] não é diferenciável.

A função é contínua no intervalo fechado a,b

A necessidade da segunda condição pode ser vista pelo contra-exemplo onde a função ${displaystyle f(x)={begin{cases}1,&{text{at }}x=0\0,&{text{if }}xin (0,1]end{cases}}}$

$f(x)$ satisfaz os critérios 1 desde ${displaystyle f'(x)=0}$ sobre ${displaystyle (0,1)}$

Mas não critérios 2 ${displaystyle {frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$ e ${displaystyle -1neq 0=f'(x)}$ para todos ${displaystyle xin (0,1)}$ por isso não $c$ existe

Teoremas do valor médio para integrais definidas

Primeiro teorema do valor médio para integrais definidas

Geometricamente: interpretando f(c) como a altura de um retângulo e b)–um como a largura, este retângulo tem a mesma área que a região abaixo da curva de um para b)

Seja f: [a, b] → R uma função contínua. Então existe c em (a, b) tal que

$int _{a}^{b}f(x),dx=f(c)(b-a).$

Como o valor médio de f em [a, b] é definido como

${frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dx,$

podemos interpretar a conclusão como f atinge seu valor médio em algum c in (a, b).

Em geral, se f: [a, b] → R é contínuo e g é uma função integrável que não muda de signo em [a, b], então existe c em (a, b) tal que

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.$

Prova de que existe algum c em [a, b]

Suponha f:um, b)] → R é contínuo e g é uma função integrada nonnegative em [um, b)]. Pelo teorema de valor extremo, existe m e M tal que para cada um x emum, b)] ${displaystyle mleq f(x)leq M}$ e ${displaystyle f[a,b]=[m,M]}$ . Desde então g é nonnegative,

${displaystyle mint _{a}^{b}g(x),dxleq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq Mint _{a}^{b}g(x),dx.}$

Agora vamos

$I=int _{a}^{b}g(x),dx.$

Se $I=0$ , terminamos desde

${displaystyle 0leq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq 0}$

significa

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=0,$

então para qualquer c em (a, b),

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)I=0.}$

Se I ≠ 0, então

${displaystyle mleq {frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq M.}$

Pelo teorema do valor intermediário, f atinge todos os valores do intervalo [m, M], portanto, para algum c em [a, b]

$f(c)={frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dx,$

ou seja,

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.$

Finalmente, se g for negativo em [a, b], então

${displaystyle Mint _{a}^{b}g(x),dxleq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq mint _{a}^{b}g(x),dx,}$

e ainda obtemos o mesmo resultado acima.

QED

Segundo teorema do valor médio para integrais definidas

Existem vários teoremas ligeiramente diferentes chamados teorema do segundo valor médio para integrais definidas. Uma versão comumente encontrada é a seguinte:

Se G:um, b)] → R é uma função decrescente monotonicamente positiva e φ: Não.um, b)] → R é uma função integrada, então existe um número x em (um, b)Isso mesmo.
$int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt.$

Aqui. $G(a^{+})$ significa ${textstyle {lim _{xto a^{+}}G(x)}}$ , cuja existência se segue das condições. Note que é essencial que o intervalo (um, b)Contém b). Uma variante não ter este requisito é:

Se G:um, b)] → R é uma função monotônica (não necessariamente decrescente e positiva) e φ:um, b)] → R é uma função integrada, então existe um número x em (um, b)) tal que
$int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt+G(b^{-})int _{x}^{b}varphi (t),dt.$

Teorema do valor médio para integração falha para funções com valor vetorial

Se a função $G$ retorna um vetor multidimensional, então o MVT para integração não é verdade, mesmo que o domínio de $G$ é também multidimensional.

Por exemplo, considere a seguinte função 2-dimensional definida em uma $n$ - cubo dimensional:

${displaystyle {begin{cases}G:[0,2pi ]^{n}to mathbb {R} ^{2}\G(x_{1},dotsx_{n})=left(sin(x_{1}+cdots +x_{n}),cos(x_{1}+cdots +x_{n})right)end{cases}}}$

Então, por simetria é fácil ver que o valor médio de $G$ sobre seu domínio é (0,0):

${displaystyle int _{[0,2pi ]^{n}}G(x_{1},dotsx_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=(0,0)}$

No entanto, não há nenhum ponto em que $G=(0,0)$ , porque $|G|=1$ Em todo o lado.

Um análogo probabilístico do teorema do valor médio

Vamos. X e Y ser variáveis aleatórias não negativas tais que E[XEY< ∞ e ${displaystyle Xleq _{st}Y}$ (i.e. X é menor do que Y na ordem estocástica habitual). Então existe uma variável aleatória absolutamente contínua não negativa Z. ter função de densidade de probabilidade

$x)-Pr(X>x) over {rm {E}}[Y]-{rm {E}}[X]},,qquad xgeqslant 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">fZ.(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pr(Y>x)- Sim. - Sim. Pr(X>x)ENão.Y]- Sim. - Sim. ENão.X],x⩾ ⩾ 0.{displaystyle f_{Z}(x)={Pr(Y>x)-Pr(X>x) over {rm {E}}[ Y]-{rm {E}}[X]},qquad xgeqslant O quê?x)-Pr(X>x) over {rm {E}}[Y]-{rm {E}}[X]},,qquad xgeqslant 0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98380bb043d37ca11885348245ab1f1e05019170" style="vertical-align: -2.671ex; width:45.994ex; height:6.509ex;"/>$

Seja g uma função mensurável e diferenciável tal que E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, e seja sua derivada g′ mensurável e integrável por Riemann no intervalo [x, y] para todo y ≥ x ≥ 0. Então, E[g′(Z)] é finito e

${rm {E}}[g(Y)]-{rm {E}}[g(X)]={rm {E}}[g'(Z)],[{rm {E}}(Y)-{rm {E}}(X)].$

Teorema do valor médio em variáveis complexas

Como observado acima, o teorema não é válido para funções diferenciáveis de valores complexos. Em vez disso, uma generalização do teorema é declarada como:

Seja f: Ω → C uma função holomórfica no conjunto convexo aberto Ω, e sejam a e b sejam pontos distintos em Ω. Então existem pontos u, v no interior do segmento de reta de a a b tais que

${displaystyle operatorname {Re} (f'(u))=operatorname {Re} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}right),}$

${displaystyle operatorname {Im} (f'(v))=operatorname {Im} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}right).}$

Onde Re() é a parte real e Im() é a parte imaginária de uma função de valor complexo.

Veja também: índice de Voorhoeve.

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