Teorema do valor intermediário

Teorema de valor intermediário: Vamos. fNão. ser uma função contínua definida em Não.um,b)]Não. e deixar SNão. ser um número com <math alttext="{displaystyle f(a)<sf(um)<S<f(b)){displaystyle f(a)<f(b)}<img alt="{displaystyle f(a)<s. Então existe algum xNão. entre umNão. e b)Não. tal que f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =S(x)=s}.

Em análise matemática, o teorema do valor intermediário afirma que se fNão. é uma função contínua cujo domínio contém o intervalo Não.um, b)], então assume qualquer valor entre f(um)(A)} e f(b))(b)} em algum ponto dentro do intervalo.

Isso tem dois corolários importantes:

1. Se uma função contínua tem valores de sinal oposto dentro de um intervalo, então tem uma raiz nesse intervalo (O teorema de Bolzano).
2. A imagem de uma função contínua e não constante sobre um intervalo é em si um intervalo.

Motivação

O teorema do valor intermediário

Isso capta uma propriedade intuitiva de funções contínuas sobre os números reais: dado fNão. contínuo em Não.1,2][editar _ editar código-fonte] com os valores conhecidos f(1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3Não. e f(2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =5Não., então o gráfico de Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x)(x)} deve passar através da linha horizontal Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4- Sim. enquanto xNão. movimentos de 1Não. 1 para 2Não. 2. Representa a ideia de que o gráfico de uma função contínua em um intervalo fechado pode ser desenhado sem levantar um lápis do papel.

Teorema

O teorema do valor intermediário afirma o seguinte:

Considere um intervalo Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.um,b)]Não. Eu... de números reais R{displaystyle mathbb {R} } } e uma função contínua f:: Eu...→ → R{displaystyle fcolon Ito mathbb Não.. Então...

• Versão I. se uNão. é um número entre f(um)(A)} e f(b))(b)}, isto é,
  <math alttext="{displaystyle min(f(a),f(b))<umin(f(um),f(b)))<u<máx.(f(um),f(b))),{displaystyle min(f(a),f(b))<u<max(f(a),f(b)),}

  <img alt="{displaystyle min(f(a),f(b))<u
  então há um c∈ ∈ (um,b))(a,b)} tal que f(c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uNão..
• Versão II. o conjunto de imagem f(Eu...)(I)} é também um intervalo, e contém Não.min(f(um),f(b))),máx.(f(um),f(b)))]{displaystyle {bigl [}min(f(a),f(b)),max(f(a),f(b)){bigr ]}},

Observação: Versão II afirma que o conjunto de valores de função não tem lacuna. Para quaisquer dois valores de função c,D∈ ∈ f(Eu...)(I)} com <math alttext="{displaystyle cc<D- Sim.<img alt="c , mesmo que estejam fora do intervalo entre f(um)(A)} e f(b))(b)}, todos os pontos no intervalo Não.c,D]- Sim. são também valores de função,

Não.c,D]⊆ ⊆ f(Eu...).{displaystyle {bigl [}c,d{bigr ]}subseteq f(I).}

Relação com a integridade

O teorema depende, e é equivalente a, a plenitude dos números reais. O teorema do valor intermediário não se aplica aos números racionais Q porque existem lacunas entre números racionais; números irracionais preenchem essas lacunas. Por exemplo, a função f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x2- Sim. - Sim. 2{displaystyle f(x)=x^{2}-2} para x∈ ∈ Q{displaystyle xin mathbb Não. satisfaz f(0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 2(0)=-2} e f(2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não.. No entanto, não há número racional xNão. tal que f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x)=0}, porque 2(2}}} é um número irracional.

Prova

O teorema pode ser provado como consequência da propriedade de completude dos números reais como segue:

Vamos provar o primeiro caso, <math alttext="{displaystyle f(a)<uf(um)<u<f(b)){displaystyle f(a)<u<f(b)}<img alt="{displaystyle f(a)<u. O segundo caso é semelhante.

Vamos. SNão. S. ser o conjunto de todos x∈ ∈ Não.um,b)]{displaystyle xin [a,b]} tal que f(x)≤ ≤ u{displaystyle f(x)leq u}. Então... SNão. S. não é vazio desde umNão. é um elemento de SNão. S.. Desde então SNão. S. é não vazio e limitado acima por b)Não., por completo, o supremum c= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Vamos.SNão. existe. Isso é, cNão. é o menor número que é maior ou igual a cada membro de SNão. S.. Nós reivindicamos que f(c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uNão..

Corrigir alguns 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>. Desde então fNão. é contínuo, há um 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tal que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(c)||f(x)- Sim. - Sim. f(c)|<ε ε |f(x)-f(c)|<varepsilon }<img alt="{displaystyle |f(x)-f(c)| sempre <math alttext="{displaystyle |x-c||x- Sim. - Sim. c|<δ δ Não. |x-c|<delta }<img alt="{displaystyle |x-c|. Isso significa que

x∈ ∈ (c- Sim. - Sim. δ δ ,c+δ δ )(c-deltac+delta)}

um∗ ∗ ∈ ∈ (c- Sim. - Sim. δ δ ,c](c-deltac)}

SNão. S.

um∗ ∗ ∗ ∗ ∈ ∈ (c,c+δ δ )(c+delta)}

um∗ ∗ ∗ ∗ ∉S{displaystyle a^{**}not in S}

cNão.

SNão. S.

f(a^{**})-varepsilon >u-varepsilon.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f(c)>f(um∗ ∗ ∗ ∗ )- Sim. - Sim. ε ε >u- Sim. - Sim. ε ε .{displaystyle f(c)>f(a^{**})-varepsilon >u-varepsilon.}

f(a^{**})-varepsilon >u-varepsilon.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f1fd6986f6aa394934dfc2ce88deadfc49ac27" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.891ex; height:2.843ex;"/>

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>f(c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uNão.

Observação: O teorema do valor intermediário também pode ser provado usando os métodos de análise não padronizada, que coloca "intuitivo" argumentos envolvendo infinitesimais em bases rigorosas.

HISTÓRIA

Uma forma do teorema foi postulada no início do século V aC, na obra de Bryson de Heraclea em quadrilha o círculo. Bryson argumentou que, como círculos maiores e menores que um determinado quadrado, ambos existem, deve existir um círculo de área igual. O teorema foi provado pela primeira vez por Bernard Bolzano em 1817. Bolzano usou a seguinte formulação do teorema:

Vamos. f,φ φ {displaystyle f,phi } ser funções contínuas no intervalo entre α α - Sim. e β β - Sim. tal que <math alttext="{displaystyle f(alpha)f(α α )<φ φ (α α ){displaystyle f(alpha)<phi (alpha)}<img alt="{displaystyle f(alpha) e phi (beta)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f(β β )>φ φ (β β ){displaystyle f(beta)>phi (beta)}phi (beta)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ea12a185cf717fa2742f8171ccf06200ed42b3" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.045ex; height:2.843ex;"/>. Então há um xNão. entre α α - Sim. e β β - Sim. tal que f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (x){displaystyle f(x)=phi (x)}.

A equivalência entre esta formulação e a moderna pode ser mostrada pela definição φ φ - Sim. para a função constante apropriada. Augustin-Louis Cauchy forneceu a formulação moderna e uma prova em 1821. Ambos foram inspirados pelo objetivo de formalizar a análise de funções e o trabalho de Joseph-Louis Lagrange. A ideia de que as funções contínuas possuem a propriedade de valor intermediário tem uma origem anterior. Simon Stevin provou o teorema de valor intermediário para polinômios (usando um cúbico como exemplo) fornecendo um algoritmo para a construção da expansão decimal da solução. O algoritmo subdivide iterativamente o intervalo em 10 partes, produzindo um dígito decimal adicional em cada etapa da iteração. Antes da definição formal de continuidade, a propriedade de valor intermediário foi dada como parte da definição de uma função contínua. Os proponentes incluem Louis Arbogast, que assumiu as funções para não ter saltos, satisfazer a propriedade de valor intermediário e ter incrementos cujos tamanhos corresponderam aos tamanhos dos incrementos da variável. Os autores anteriores consideraram o resultado intuitivamente óbvio e não exigindo nenhuma prova. O insight de Bolzano e Cauchy foi definir uma noção geral de continuidade (em termos de infinitesimais no caso de Cauchy e usando desigualdades reais no caso de Bolzano), e fornecer uma prova baseada em tais definições.

Converse é falso

Uma função Darboux é uma função de valor real f que possui a propriedade de valor intermediário, " isto é, isso satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário: para quaisquer dois valores a e b no domínio de f e qualquer y entre f ( a ) e f ( b ) , há alguns c entre a e b com f ( c ) = y . O teorema do valor intermediário diz que toda função contínua é uma função Darboux. No entanto, nem toda função Darboux é contínua; isto é, o inverso do teorema do valor intermediário é falso.

Como exemplo, pegue a função f : [0, ∞) → [−1, 1] definido por f ( x ) = sin (1/ x ) para x & gt; 0 e f (0) = 0 . Esta função não é contínua em x = 0 porque o limite de f ( x ) como x tende a 0 não existe; No entanto, a função possui a propriedade de valor intermediário. Outro exemplo mais complicado é dado pela função Conway Base 13.

De fato, o teorema de Darboux afirma que todas as funções que resultam da diferenciação de alguma outra função em algum intervalo têm a propriedade de valor intermediário (mesmo que não precisem ser contínuas).

Historicamente, essa propriedade de valor intermediário foi sugerida como uma definição para a continuidade das funções com valor real; Esta definição não foi adotada.

Generalizações

Espaços multidimensionais

O teorema de Poincaré-Miranda é uma generalização do teorema do valor intermediário de um intervalo (unidimensional) para um retângulo (bidimensional), ou mais geralmente, para um cubo n .

vrahatis apresenta uma generalização semelhante aos triângulos, ou mais geralmente, simplificados positivos. Seja d n um n -dimensional simplex com n +1 vértices denotados por v 0 ,..., V n . Vamos f = ( f 1 ,..., f n ) ser Uma função de d n a r n , que nunca é igual a 0 no limite de d ⁿ . Suponha que f satisfaz as seguintes condições:

• Para todos Eu... em 1,...,n, o sinal de f_Eu...(v_Eu...) é oposto ao sinal de f_Eu...(x) para todos os pontos x no rosto em frente v_Eu...;
• O sign-vetor do f₁,f_n sobre v₀ não é igual ao sinal-vetor de f₁,f_n em todos os pontos no rosto oposto a v₀.

Então há um ponto z no interior de d n em que f ( z ) = (0,..., 0).

É possível normalizar o f i tal que f _i ( v i ) & gt; 0 para todos i ; Então as condições se tornam mais simples:

• Para todos Eu... em 1,...,n, f_Eu...(v_Eu...)>0, e f_Eu...(x)<0 para todos os pontos x no rosto em frente v_Eu.... Em particular, f_Eu...(v₀)
• Para todos os pontos x no rosto em frente v₀, f_Eu...(x)>0 para pelo menos um Eu... em 1,...,n.

O teorema pode ser comprovado com base no lema de Knaster -Kuratowski -Mazurkiewicz. IN pode ser usado para aproximações de pontos fixos e zeros.

Espaços métricos e topológicos gerais

O teorema do valor intermediário está intimamente ligado à noção topológica de conexão e segue das propriedades básicas dos conjuntos conectados em espaços métricos e subconjuntos conectados de r em particular:

• Se X- Sim. e YNão. Sim. são espaços métricos, f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} é um mapa contínuo, e E? ? XNão. Esubset X} é um subconjunto conectado, então f(E)(E)} está ligado. (∗ ∗ )Não.
• Um subconjunto E? ? RNão. Esubset mathbb Não. está ligado se e somente se satisfizer a seguinte propriedade: <math alttext="{displaystyle x,yin E, x<rx,Sim.∈ ∈ E,x<R<Sim.? ? R∈ ∈ E{displaystyle x,yin E, x<r<yimplies rin E}<img alt="{displaystyle x,yin E, x<r. (∗ ∗ ∗ ∗ )(**)}

Na verdade, a conexão é uma propriedade topológica e (∗ ∗ )Não. generaliza-se em espaços topológicos: Se X- Sim. e YNão. Sim. são espaços topológicos, f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} é um mapa contínuo, e X- Sim. é um espaço conectado, então f(X)(X)} está ligado. A preservação da conexão sob mapas contínuos pode ser considerada como uma generalização do teorema de valor intermediário, uma propriedade de funções reais valorizadas de uma variável real, a funções contínuas em espaços gerais.

Lembre -se da primeira versão do teorema do valor intermediário, declarado anteriormente:

teorema de valor intermediário(Versão I)—Considere um intervalo fechado Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.um,b)]Não. Eu... nos números reais R{displaystyle mathbb {R} } } e uma função contínua f:: Eu...→ → R{displaystyle fcolon Ito mathbb Não.. Então, se uNão. é um número real tal que <math alttext="{displaystyle min(f(a),f(b))<umin(f(um),f(b)))<u<máx.(f(um),f(b))){displaystyle min(f(a),f(b))<u<max(f(a),f(b)}<img alt="{displaystyle min(f(a),f(b))<u, existe c∈ ∈ (um,b))(a,b)} tal que f(c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uNão..

O teorema do valor intermediário é uma conseqüência imediata dessas duas propriedades de conexão:

Prova

Por favor. (∗ ∗ ∗ ∗ )(**)}, Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.um,b)]Não. Eu... é um conjunto conectado. Daqui resulta (∗ ∗ )Não. que a imagem, f(Eu...)(I)}, também está ligado. Por conveniência, assuma que <math alttext="{displaystyle f(a)f(um)<f(b)){displaystyle f(a)<f(b)}<img alt="{displaystyle f(a). Então mais uma vez invocando (∗ ∗ ∗ ∗ )(**)}, <math alttext="{displaystyle f(a)<uf(um)<u<f(b)){displaystyle f(a)<u<f(b)}<img alt="{displaystyle f(a)<u implica que u∈ ∈ f(Eu...)(I)}ou f(c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uNão. para alguns c∈ ∈ Eu...Não.. Desde então u≠ ≠ f(um),f(b)){displaystyle uneq f(a),f(b)}, c∈ ∈ (um,b))(a,b)} deve realmente segurar, e a conclusão desejada segue. O mesmo argumento se aplica se <math alttext="{displaystyle f(b)f(b))<f(um){displaystyle f(b)<f(a)}<img alt="{displaystyle f(b), então estamos acabados. Q.E.D.

O teorema do valor intermediário generaliza de forma natural: Suponha que X é um espaço topológico conectado e (Y, <) é um conjunto totalmente ordenado equipado com a topologia de ordem, e deixe f: X → Y seja um mapa contínuo. Se a e b são dois pontos em X e u é um ponto em Y entre f(a) e f(b) em relação a <, então existe c em X tal que f(c) = u. O teorema original é recuperado observando que R é conexo e que sua topologia natural é a topologia de ordem.

O teorema do ponto fixo de Brouwer é um teorema relacionado que, em uma dimensão, fornece um caso especial do teorema do valor intermediário.

Na matemática construtiva

Na matemática construtiva, o teorema do valor intermediário não é verdadeiro. Em vez disso, é preciso enfraquecer a conclusão:

• Vamos. umNão. e b)Não. ser números reais e f:Não.um,b)]→ → R[a,b]to R} ser uma função contínua pontual a partir do intervalo fechado Não.um,b)]Não. para a linha real, e suponha que <math alttext="{displaystyle f(a)f(um)<0(a)<img alt="f(a) e <math alttext="{displaystyle 00<f(b))(b)}<img alt="{displaystyle 0. Então para cada número positivo 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/> existe um ponto xNão. no intervalo de unidade tal que <math alttext="{displaystyle vert f(x)vert |f(x)|<ε ε {displaystyle vert f(x)vert <varepsilon }<img alt="{displaystyle vert f(x)vert .

Aplicações práticas

Um resultado semelhante é o teorema de Borsuk-Ulam, que diz que um mapa contínuo do nNão.-esfera de Euclidean nNão.-space sempre mapeará alguns pontos antipodal para o mesmo lugar.

Prova de caso 1-dimensional

Toma. fNão. para ser qualquer função contínua em um círculo. Desenhe uma linha através do centro do círculo, intersetando-a em dois pontos opostos ANão. A. e BNão.. Definir DNão. para ser f(A)- Sim. - Sim. f(B)(A)-f(B)}. Se a linha for girada 180 graus, o valor - Sim.D será obtido em vez disso. Devido ao teorema de valor intermediário deve haver algum ângulo de rotação intermediário para o qual D = 0, e como consequência f(A) = f(B) neste ângulo.

Em geral, para qualquer função contínua cujo domínio é algum convexo fechado nNão.-dimensional forma e qualquer ponto dentro da forma (não necessariamente seu centro), existem dois pontos antipodal com respeito ao dado ponto cujo valor funcional é o mesmo.

O teorema também sustenta a explicação de por que girar uma tabela vacilante o levará à estabilidade (sujeito a certas restrições facilmente atendidas).