Teorema do ponto fixo de Brouwer

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Teorema em topologia

Teorema de ponto fixo de Brouwer é um teorema de ponto fixo em topologia, nomeado após L. E. J. (Bertus) Brouwer. Ele afirma que para qualquer função contínua $f$ mapear um conjunto de convexo compacto para si mesmo há um ponto $x_{0}$ tal que ${displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ . As formas mais simples do teorema de Brouwer são para funções contínuas $f$ de um intervalo fechado $I$ nos números reais para si mesmo ou de um disco fechado $D$ para si mesmo. Uma forma mais geral do que a última é para funções contínuas de um subconjunto compacto convexo ${displaystyle K}$ do espaço euclidiano para si mesmo.

Entre centenas de teoremas de ponto fixo, o de Brouwer é particularmente conhecido, em parte devido ao seu uso em vários campos da matemática. Em seu campo original, este resultado é um dos principais teoremas que caracterizam a topologia dos espaços euclidianos, junto com o teorema da curva de Jordan, o teorema da bola cabeluda, a invariância da dimensão e o teorema de Borsuk-Ulam. Isso lhe dá um lugar entre os teoremas fundamentais da topologia. O teorema também é usado para provar resultados profundos sobre equações diferenciais e é abordado na maioria dos cursos introdutórios de geometria diferencial. Aparece em campos improváveis, como a teoria dos jogos. Na economia, o teorema do ponto fixo de Brouwer e sua extensão, o teorema do ponto fixo de Kakutani, desempenham um papel central na prova da existência do equilíbrio geral nas economias de mercado, conforme desenvolvido na década de 1950 pelos ganhadores do prêmio Nobel de economia Kenneth Arrow e Gérard Debreu.

O teorema foi estudado pela primeira vez em vista do trabalho em equações diferenciais pelos matemáticos franceses em torno de Henri Poincaré e Charles Émile Picard. Provar resultados como o teorema de Poincaré–Bendixson requer o uso de métodos topológicos. Este trabalho no final do século 19 abriu várias versões sucessivas do teorema. O caso de mapeamentos diferenciáveis da bola fechada $n$ foi provado pela primeira vez em 1910 por Jacques Hadamard e o caso geral para mapeamentos contínuos por Brouwer em 1911.

Declaração

O teorema tem várias formulações, dependendo do contexto em que é utilizado e do seu grau de generalização. O mais simples às vezes é dado da seguinte forma:

No avião: Cada função contínua de um disco fechado para si tem pelo menos um ponto fixo.

Isso pode ser generalizado para uma dimensão finita arbitrária:

No espaço euclidiano: Cada função contínua de uma bola fechada de um espaço euclidiano em si tem um ponto fixo.

Uma versão um pouco mais geral é a seguinte:

Conjunto compacto Convex: Cada função contínua de um subconjunto compacto convexo KK de um espaço euclidiano KK tem um ponto fixo.

Uma forma ainda mais geral é mais conhecida por um nome diferente:

Teorema de ponto fixo Schauder: Cada função contínua de um subconjunto compacto convexo KK de um espaço de Banach para KK tem um ponto fixo.

Importância das pré-condições

O teorema vale apenas para funções que são endomorfismos (funções que têm o mesmo conjunto que o domínio e contradomínio) e para conjuntos que são compactos (portanto, em particular, limitado e fechado) e convexo (ou homeomorfo para convexo). Os exemplos a seguir mostram por que as pré-condições são importantes.

A função f como um endomorfismo

Considere a função

f(x)=x+1

com domínio [-1,1]. O intervalo da função é [0,2]. Assim, f não é um endomorfismo.

Delimitação

Considere a função

{displaystyle f(x)=x+1,}

que é uma função contínua de $mathbb {R}$ para si mesmo. Como muda cada ponto para a direita, não pode ter um ponto fixo. O espaço $mathbb {R}$ é convexo e fechado, mas não limitado.

Fechamento

Considere a função

{displaystyle f(x)={frac {x+1}{2}},}

que é uma função contínua do intervalo aberto (−1,1) para si mesmo. Como x = 1 não faz parte do intervalo, não há um ponto fixo de f(x) = x. O espaço (−1,1) é convexo e limitado, mas não fechado. Por outro lado, a função f tem um ponto fixo para o intervalo fechado [−1,1], ou seja, f(1) = 1.

Convexidade

A convexidade não é estritamente necessária para o BFPT. Como as propriedades envolvidas (continuidade, sendo um ponto fixo) são invariantes sob homeomorfismos, o BFPT é equivalente a formas em que o domínio é obrigado a ser uma bola de unidade fechada $D^{n}$ . Pela mesma razão que detém para cada conjunto que é homeomorphic a uma bola fechada (e, portanto, também fechado, limitado, conectado, sem furos, etc.).

O exemplo a seguir mostra que o BFPT não funciona para domínios com furos. Considere a função ${displaystyle f(x)=-x}$ , que é uma função contínua do círculo da unidade para si mesmo. Desde então - x ≠x detém para qualquer ponto do círculo da unidade, f não tem ponto fixo. O exemplo analógico funciona para o nesfera -dimensional (ou qualquer domínio simétrico que não contenham a origem). O círculo da unidade é fechado e limitado, mas tem um buraco (e assim não é convexo). A função f faz tem um ponto fixo para o disco da unidade, uma vez que leva a origem a si mesmo.

Uma generalização formal do BFPT para "sem buracos" domínios podem ser derivados do teorema do ponto fixo de Lefschetz.

Notas

A função contínua neste teorema não precisa ser bijetiva ou mesmo sobrejetiva.

Ilustrações

O teorema tem vários elementos do "mundo real" ilustrações. Aqui estão alguns exemplos.

Tome duas folhas de papel grafo de tamanho igual com sistemas de coordenadas sobre eles, coloque um apartamento na mesa e esmague (sem rasgar ou rasgar) o outro e coloque-o, de qualquer forma, em cima do primeiro para que o papel desfiado não chegue fora do plano. Em seguida, haverá pelo menos um ponto da folha bruta que está diretamente acima de seu ponto correspondente (ou seja, o ponto com as mesmas coordenadas) da folha plana. Esta é uma consequência da n = 2 caso do teorema de Brouwer aplicado ao mapa contínuo que atribui às coordenadas de cada ponto da folha bruta as coordenadas do ponto da folha plana imediatamente abaixo dela.
Pegue um mapa comum de um país, e suponha que esse mapa é estabelecido em uma tabela dentro desse país. Haverá sempre um ponto "Você está Aqui" no mapa que representa esse mesmo ponto no país.
Em três dimensões, uma consequência do teorema de ponto fixo de Brouwer é que, não importa o quanto você mexa um delicioso coquetel em um copo (ou pense sobre o batido de leite), quando o líquido chegou a descansar, algum ponto no líquido vai acabar exatamente no mesmo lugar no vidro como antes de tomar qualquer ação, assumindo que a posição final de cada ponto é uma função contínua de sua posição original, que o líquido após a agitação é contido dentro do espaço originalmente tomado. Encomendando um coquetel abalado, não agitado derrota a condição de convexa ("shaking" sendo definida como uma série dinâmica de estados de contenção inerciais não convexos no espaço de cabeça vazio sob uma tampa). Nesse caso, o teorema não se aplicaria, e assim todos os pontos da disposição líquida são potencialmente deslocados do estado original.

Abordagem intuitiva

Explicações atribuídas a Brouwer

Supõe-se que o teorema se originou da observação de Brouwer sobre uma xícara de café gourmet. Se alguém mexer para dissolver um torrão de açúcar, parece que há sempre um ponto sem movimento. Ele chegou à conclusão de que, a qualquer momento, há um ponto na superfície que não está se movendo. O ponto fixo não é necessariamente o ponto que parece estar imóvel, pois o centro da turbulência se move um pouco. O resultado não é intuitivo, pois o ponto fixo original pode se tornar móvel quando outro ponto fixo aparecer.

Diz-se que Brouwer acrescentou: "Posso formular este esplêndido resultado diferente, pego uma folha horizontal e outra idêntica que amasso, aliso e coloco na outra. Em seguida, uma ponta da folha amassada fica no mesmo lugar da outra folha." Brouwer "achata" sua folha como com uma chapinha, sem remover as dobras e rugas. Ao contrário do exemplo da xícara de café, o exemplo do papel amassado também demonstra que pode existir mais de um ponto fixo. Isso distingue o resultado de Brouwer de outros teoremas de ponto fixo, como o de Stefan Banach, que garante a unicidade.

Caso unidimensional

Em uma dimensão, o resultado é intuitivo e fácil de comprovar. A função contínua f é definida em um intervalo fechado [a, b] e assume valores no mesmo intervalo. Dizer que esta função tem um ponto fixo equivale a dizer que seu gráfico (verde escuro na figura à direita) intercepta o da função definida no mesmo intervalo [a, b] que mapeia x para x (verde claro).

Intuitivamente, qualquer linha contínua da borda esquerda do quadrado à borda direita deve necessariamente cruzar a diagonal verde. Para provar isso, considere a função g que mapeia x para f(x) − x. É ≥ 0 em a e ≤ 0 em b. Pelo teorema do valor intermediário, g tem um zero em [a, b]; este zero é um ponto fixo.

Diz-se que Brouwer expressou isso da seguinte forma: "Em vez de examinar uma superfície, provaremos o teorema sobre um pedaço de barbante. Vamos começar com o barbante em um estado desdobrado e, em seguida, dobrá-lo novamente. Vamos achatar a corda redobrada. Novamente, um ponto do barbante não mudou sua posição em relação à sua posição original no barbante desdobrado."

História

O teorema do ponto fixo de Brouwer foi uma das primeiras conquistas da topologia algébrica e é a base de teoremas de ponto fixo mais gerais que são importantes na análise funcional. O caso n = 3 foi provado pela primeira vez por Piers Bohl em 1904 (publicado no Journal für die reine und angewandte Mathematik). Mais tarde, foi provado por L. E. J. Brouwer em 1909. Jacques Hadamard provou o caso geral em 1910 e Brouwer encontrou uma prova diferente no mesmo ano. Como essas primeiras provas eram todas provas indiretas não construtivas, elas eram contrárias aos ideais intuicionistas de Brouwer. Embora a existência de um ponto fixo não seja construtiva no sentido do construtivismo em matemática, métodos para aproximar pontos fixos garantidos pelo teorema de Brouwer são agora conhecidos.

Pré-história

Para fluxos em uma área não coberta, ou em uma área com um "buraco", o teorema não é aplicável.

O teorema aplica-se a qualquer área em forma de disco, onde garante a existência de um ponto fixo.

Para entender a pré-história do teorema do ponto fixo de Brouwer é preciso passar por equações diferenciais. No final do século XIX, o velho problema da estabilidade do sistema solar voltou ao foco da comunidade matemática. Sua solução exigia novos métodos. Como observou Henri Poincaré, que trabalhou no problema dos três corpos, não há esperança de encontrar uma solução exata: "Nada é mais adequado para nos dar uma ideia da dificuldade do problema dos três corpos e, geralmente, de todos os problemas de Dinâmica onde não há integral uniforme e as séries de Bohlin divergem." Ele também notou que a busca por uma solução aproximada não é mais eficiente: "quanto mais buscamos obter aproximações precisas, mais o resultado divergirá para uma imprecisão crescente".

Ele estudou uma questão análoga à do movimento da superfície em uma xícara de café. O que podemos dizer, em geral, sobre as trajetórias em uma superfície animada por um fluxo constante? Poincaré descobriu que a resposta pode ser encontrada no que hoje chamamos de propriedades topológicas na área que contém a trajetória. Se essa área for compacta, ou seja, fechada e limitada, a trajetória torna-se estacionária ou se aproxima de um ciclo limite. Poincaré foi mais longe; se a área for do mesmo tipo de um disco, como é o caso da xícara de café, deve haver necessariamente um ponto fixo. Este ponto fixo é invariante em todas as funções que associam a cada ponto da superfície original sua posição após um curto intervalo de tempo t. Se a área for uma faixa circular, ou se não for fechada, isso não é necessariamente o caso.

Para entender melhor as equações diferenciais, nasceu um novo ramo da matemática. Poincaré o chamou de situs de análise. A Encyclopædia Universalis francesa o define como o ramo que "trata as propriedades de um objeto que são invariantes se ele for deformado de qualquer forma contínua, sem rasgar". Em 1886, Poincaré provou um resultado equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer, embora a conexão com o assunto deste artigo ainda não fosse aparente. Um pouco mais tarde, desenvolveu uma das ferramentas fundamentais para melhor compreender o situs de análise, hoje conhecido como grupo fundamental ou às vezes grupo de Poincaré. Este método pode ser usado para uma prova muito compacta do teorema em discussão.

O método de Poincaré era análogo ao de Émile Picard, um matemático contemporâneo que generalizou o teorema de Cauchy-Lipschitz. A abordagem de Picard é baseada em um resultado que mais tarde seria formalizado por outro teorema do ponto fixo, batizado em homenagem a Banach. Em vez das propriedades topológicas do domínio, este teorema usa o fato de que a função em questão é uma contração.

Primeiras provas

Jacques Hadamard ajudou Brouwer para formalizar suas ideias.

No alvorecer do século XX, o interesse pela análise situs não passou despercebido. No entanto, ainda não ficou evidente a necessidade de um teorema equivalente ao discutido neste artigo. Piers Bohl, um matemático letão, aplicou métodos topológicos ao estudo de equações diferenciais. Em 1904 ele provou o caso tridimensional de nosso teorema, mas sua publicação não foi notada.

Foi Brouwer, finalmente, quem deu ao teorema sua primeira patente de nobreza. Seus objetivos eram diferentes dos de Poincaré. Este matemático foi inspirado pelos fundamentos da matemática, especialmente lógica matemática e topologia. Seu interesse inicial estava na tentativa de resolver o quinto problema de Hilbert. Em 1909, durante uma viagem a Paris, conheceu Henri Poincaré, Jacques Hadamard e Émile Borel. As discussões que se seguiram convenceram Brouwer da importância de uma melhor compreensão dos espaços euclidianos e foram a origem de uma frutífera troca de cartas com Hadamard. Nos quatro anos seguintes, ele se concentrou na prova de certos grandes teoremas sobre essa questão. Em 1912, ele provou o teorema da bola cabeluda para a esfera bidimensional, bem como o fato de que todo mapa contínuo da bola bidimensional para si mesmo tem um ponto fixo. Esses dois resultados em si não eram realmente novos. Como observou Hadamard, Poincaré havia mostrado um teorema equivalente ao teorema da bola cabeluda. O aspecto revolucionário da abordagem de Brouwer foi seu uso sistemático de ferramentas recentemente desenvolvidas, como a homotopia, o conceito subjacente do grupo de Poincaré. No ano seguinte, Hadamard generalizou o teorema em discussão para uma dimensão finita arbitrária, mas empregou métodos diferentes. Hans Freudenthal comenta sobre os respectivos papéis da seguinte forma: "Comparados aos métodos revolucionários de Brouwer, os de Hadamard eram muito tradicionais, mas a participação de Hadamard no nascimento das ideias de Brouwer se assemelha àquela de uma parteira mais do que de um mero espectador."

A abordagem de Brouwer rendeu seus frutos e, em 1910, ele também encontrou uma prova válida para qualquer dimensão finita, bem como outros teoremas importantes, como a invariância da dimensão. No contexto deste trabalho, Brouwer também generalizou o teorema da curva de Jordan para dimensão arbitrária e estabeleceu as propriedades relacionadas com o grau de uma aplicação contínua. Este ramo da matemática, originalmente concebido por Poincaré e desenvolvido por Brouwer, mudou de nome. Na década de 1930, a análise situs tornou-se topologia algébrica.

Recepção

John Nash usou o teorema na teoria do jogo para provar a existência de um perfil de estratégia de equilíbrio.

O teorema provou seu valor em mais de uma maneira. Durante o século 20, numerosos teoremas de ponto fixo foram desenvolvidos e até mesmo um ramo da matemática chamado teoria do ponto fixo. O teorema de Brouwer é provavelmente o mais importante. Também está entre os teoremas fundamentais sobre a topologia de variedades topológicas e é freqüentemente usado para provar outros resultados importantes, como o teorema da curva de Jordan.

Além dos teoremas de ponto fixo para funções de mais ou menos contração, existem muitos que surgiram direta ou indiretamente do resultado em discussão. Um mapa contínuo de uma bola fechada do espaço euclidiano até seu limite não pode ser a identidade no limite. Da mesma forma, o teorema Borsuk-Ulam diz que um mapa contínuo da esfera n-dimensional para Rⁿ tem um par de pontos antípodas que são mapeado para o mesmo ponto. No caso de dimensão finita, o teorema do ponto fixo de Lefschetz desde 1926 forneceu um método para contar pontos fixos. Em 1930, o teorema do ponto fixo de Brouwer foi generalizado para espaços de Banach. Essa generalização é conhecida como teorema do ponto fixo de Schauder, um resultado generalizado posteriormente por S. Kakutani para funções de valor definido. Encontra-se também o teorema e suas variantes fora da topologia. Pode ser usado para provar o teorema de Hartman-Grobman, que descreve o comportamento qualitativo de certas equações diferenciais perto de certos equilíbrios. Da mesma forma, o teorema de Brouwer é usado para a prova do Teorema Central do Limite. O teorema também pode ser encontrado em provas de existência para as soluções de certas equações diferenciais parciais.

Outras áreas também são tocadas. Na teoria dos jogos, John Nash usou o teorema para provar que no jogo de Hex existe uma estratégia vencedora para o branco. Em economia, P. Bich explica que certas generalizações do teorema mostram que seu uso é útil para certos problemas clássicos da teoria dos jogos e geralmente para equilíbrios (lei de Hotelling), equilíbrios financeiros e mercados incompletos.

A celebridade de Brouwer não é exclusivamente devido ao seu trabalho topológico. As provas de seus grandes teoremas topológicos não são construtivas, e a insatisfação de Brouwer com isso é em parte o que o levou a articular a ideia de construtividade. Tornou-se o originador e defensor zeloso de uma maneira de formalizar a matemática que é conhecida como intuitionism, que na época fez uma posição contra a teoria dos conjuntos. Brouwer desconfiou sua prova original do teorema de ponto fixo. O primeiro algoritmo a aproximar um ponto fixo foi proposto por Herbert Scarf. Um aspecto sutil do algoritmo de Scarf é que ele encontra um ponto que é quase fixo por uma função f, mas em geral não pode encontrar um ponto que está perto de um ponto fixo real. Em linguagem matemática, se $ε$ é escolhido para ser muito pequeno, algoritmo de Scarf pode ser usado para encontrar um ponto x tal que f(x) está muito perto de x, i.e., $<math alttext="{displaystyle d(f(x),x)D(f(x),x)<ε ε {displaystyle d(f(x),x)<varepsilon } <img alt="{displaystyle d(f(x),x)$ . Mas o algoritmo de Scarf não pode ser usado para encontrar um ponto x tal que x está muito perto de um ponto fixo: não podemos garantir $<math alttext="{displaystyle d(x,y)D(x,Sim.)<ε ε ,{displaystyle d(x,y)<varepsilon} <img alt="{displaystyle d(x,y)$ Onde? ${displaystyle f(y)=y.}$ Muitas vezes esta última condição é o que se entende pela frase informal "aproximando um ponto fixo".

Resumos de prova

Uma prova usando grau

A prova original de Brouwer de 1911 baseou-se na noção do grau de um mapeamento contínuo, decorrente de ideias em topologia diferencial. Vários relatos modernos da prova podem ser encontrados na literatura, notadamente Milnor (1965).

Vamos. $K={overline {B(0)}}$ denote a bola de unidade fechada em $mathbb {R} ^{n}$ centrado na origem. Suponha para a simplicidade que $f:Kto K$ é continuamente diferenciável. Um valor regular de $f$ é um ponto $pin B(0)$ tal que o Jacobian de $f$ é não-singular em cada ponto da preimagem de $p$ . Em particular, pelo teorema da função inversa, cada ponto da preimagem de $f$ mentiras $B(0)$ (o interior de $K$ ). O grau de $f$ em um valor regular $pin B(0)$ é definido como a soma dos sinais do determinante jaconês de $f$ sobre as preimages de $p$ abaixo $f$ :

{displaystyle operatorname {deg} _{p}(f)=sum _{xin f^{-1}(p)}operatorname {sign} ,det(df_{x}).}

O grau é, grosso modo, o número de "folhas" da pré-imagem f situada sobre um pequeno conjunto aberto em torno de p, com folhas contadas de forma oposta se forem orientadas de forma oposta. Esta é, portanto, uma generalização do número de enrolamento para dimensões superiores.

O grau satisfaz a propriedade de invariância de homotopia: $f$ e $g$ ser duas funções continuamente diferenciadas, e $H_{t}(x)=tf+(1-t)g$ para $0leq tleq 1$ . Suponha que o ponto $p$ é um valor regular de $H_{t}$ para todos ). Então... $deg _{p}f=deg _{p}g$ .

Se não houver nenhum ponto fixo do limite de $K$ , então a função

{displaystyle g(x)={frac {x-f(x)}{sup _{xin K}left|x-f(x)right|}}}

está bem definido e

${displaystyle H(t,x)={frac {x-tf(x)}{sup _{xin K}left|x-tf(x)right|}}}$

define uma homotopia da função de identidade para ela. A função de identidade tem grau um em cada ponto. Em particular, a função de identidade tem grau um na origem, portanto $g$ também tem grau um na origem. Como consequência, a preimagem $g^{{-1}}(0)$ não está vazio. Os elementos de $g^{{-1}}(0)$ são precisamente os pontos fixos da função original f.

Isso requer algum trabalho para tornar totalmente geral. A definição de grau deve ser estendida para valores singulares de f, e então para funções contínuas. O advento mais moderno da teoria da homologia simplifica a construção do grau e, portanto, tornou-se uma prova padrão na literatura.

Uma prova usando o teorema da bola cabeluda

O teorema da bola cabeluda afirma que na esfera unitária $S$ em uma dimensão euclidiana ímpar espaço, não há nenhum campo de vetor tangente contínuo que desaparece em lugar nenhum $w$ em $S$ . (A condição de tangência significa que $w (x) \cdot x$ = 0 para cada vetor unitário $x$ .) Às vezes, o teorema é expresso pela afirmação de que "há sempre um lugar no globo sem vento". Uma prova elementar do teorema da bola cabeluda pode ser encontrada em Milnor (1978).

Na verdade, suponha primeiro que $w$ é continuamente diferenciável. Ao escalar, pode-se supor que $w$ é um vetor tangente unitário continuamente diferenciável em $S$ . Ele pode ser estendido radialmente para uma pequena casca esférica $A$ de $S$ . Para $t$ suficientemente pequeno, um cálculo de rotina mostra que o mapeamento $f t$ ( $x$ ) = $t x$ + $w (x)$ é um mapeamento de contração em $A$ e que o volume de sua imagem é um polinômio em $t$ . Por outro lado, como um mapeamento de contração, $f t$ deve restringir-se a um homeomorfismo de $S$ sobre (1 + $t 2$ )^½ $S$ e $A$ para (1 + $t 2$ )^½ $A$ . Isso dá uma contradição, porque, se a dimensão $n$ do espaço euclidiano for ímpar, (1 + $t 2$ )^{$n$ /2} não é um polinômio.

Se $w$ for apenas um vetor tangente unitário contínuo em $S$ , pelo teorema de aproximação de Weierstrass, pode ser uniformemente aproximado por um mapa polinomial $u$ de $A$ no espaço euclidiano. A projeção ortogonal no espaço tangente é dada por $v$ ( $x$ ) = $u$ ( $x$ ) - estilo $u$ ( $x$ ) ⋅ $x$ . Assim, $v$ é polinomial e não desaparece em nenhum lugar em $A$ ; por construção $v$ /|| $v$ || é um campo vetorial tangente unitário suave em $S$ , uma contradição.

A versão contínua do teorema da bola cabeluda agora pode ser usada para provar o teorema do ponto fixo de Brouwer. Primeiro suponha que $n$ é ímpar. Se houvesse um automapeamento contínuo livre de pontos fixos $f$ da bola unitária fechada $B$ do $n$ dimensional $V$ , conjunto

{displaystyle {mathbf {w} }({mathbf {x} })=(1-{mathbf {x} }cdot {mathbf {f} }({mathbf {x} })),{mathbf {x} }-(1-{mathbf {x} }cdot {mathbf {x} }),{mathbf {f} }({mathbf {x} }).}

Como $f$ não tem pontos fixos, segue-se que, para $x$ no interior de $B$ , o vetor $w$ ( $x$ ) é diferente de zero; e para $x$ em $S$ , o produto escalar
$x$ ⋅ $w$ ( $x$ ) = 1 – $x$ ⋅ $f$ ( $x$ ) é estritamente positivo. Do espaço original $n$ -dimensional espaço euclidiano $V$ , construa um novo auxiliar
( $n + 1$ )-espaço dimensional $W$ = $V$ x R, com coordenadas $y$ = ( $x$ , $t$ ). Definir

{displaystyle {mathbf {X} }({mathbf {x} },t)=(-t,{mathbf {w} }({mathbf {x} }),{mathbf {x} }cdot {mathbf {w} }({mathbf {x} })).}

Por construção $X$ é um campo vetorial contínuo na esfera unitária de $W$ , satisfazendo a condição de tangência $y$ ⋅ $X$ ( $y$ ) = 0. Além disso, $X$ ( $y$ ) não desaparece em nenhum lugar (porque, se x tem norma 1, então $x$ ⋅ $w$ ( $x$ ) é diferente de zero; enquanto se $x$ tem norma estritamente menor que 1, então $t$ e $w$ ( $x$ ) são ambos diferentes de zero). Essa contradição prova o teorema do ponto fixo quando $n$ é ímpar. Para $n$ par, pode-se aplicar o teorema do ponto fixo à bola unitária fechada $B$ em $n + 1$ dimensões e o mapeamento $F$ ( $x$ , $y$ ) = ( $f$ ( $x$ ),0). A vantagem dessa prova é que ela usa apenas técnicas elementares; resultados mais gerais como o teorema de Borsuk-Ulam requerem ferramentas de topologia algébrica.

Uma prova usando homologia ou cohomologia

A prova usa a observação de que o limite do disco n Dⁿ é Sⁿ⁻¹, a (n − 1)-esfera.

Ilustração da retração F

Suponha, por contradição, que uma função contínua f: Dⁿ → Dⁿ não tem nenhum ponto fixo. Isso significa que, para cada ponto x em Dⁿ, os pontos x e f(x) são distintos. Por serem distintos, para cada ponto x em Dⁿ, podemos construir um raio único a partir de f(x) para x e siga o raio até cruzar o limite Sⁿ⁻¹ (veja a ilustração). Ao chamar esse ponto de interseção de F(x), definimos uma função F: Dⁿ → Sⁿ⁻¹ enviando cada ponto no disco para seu ponto de interseção correspondente no limite. Como um caso especial, sempre que o próprio x estiver no limite, o ponto de interseção F(x) deve ser x.

Consequentemente, F é um tipo especial de função contínua conhecida como retração: cada ponto do contradomínio (neste caso Sⁿ⁻¹) é um ponto fixo de F.

Intuitivamente, parece improvável que possa haver uma retração de Dⁿ para Sⁿ⁻¹, e no caso n = 1, a impossibilidade é mais básica, pois S⁰ (ou seja, os pontos finais do intervalo fechado D¹) nem mesmo está conectado. O caso n = 2 é menos óbvio, mas pode ser provado usando argumentos básicos envolvendo os grupos fundamentais dos respectivos espaços: a retração induziria um homomorfismo de grupo sobrejetivo a partir do grupo fundamental de D ² ao de S¹, mas o último grupo é isomórfico a Z enquanto o primeiro grupo é trivial, então isso é impossível. O caso n = 2 também pode ser provado por contradição baseada em um teorema sobre campos vetoriais não nulos.

Para n > 2, porém, provar a impossibilidade da retração é mais difícil. Uma maneira é fazer uso de grupos de homologia: a homologia H_n−1(Dⁿ) é trivial, enquanto H_n−1(S ⁿ⁻¹) é cíclico infinito. Isso mostra que a retração é impossível, porque novamente a retração induziria um homomorfismo de grupo injetivo do último para o primeiro grupo.

A impossibilidade de uma retração também pode ser mostrada usando a cohomologia de Rham de subconjuntos abertos do espaço euclidiano Eⁿ. Para n ≥ 2, a cohomologia de Rham de U = Eⁿ – (0) é unidimensional em grau 0 e n - 1, e desaparece caso contrário. Se existisse uma retração, então U teria que ser contrátil e sua cohomologia de Rham em grau n - 1 teria que desaparecer, uma contradição.

Uma prova usando Stokes' teorema

Como na prova do teorema do ponto fixo de Brouwer para aplicações contínuas usando homologia, reduz-se a provar que não há retração contínua $F$ da bola $B$ para seu limite ∂ $B$ . Nesse caso, pode-se supor que $F$ é suave, pois pode ser aproximado usando o Weierstrass teorema da aproximação ou por convolução com funções de colisão suave não negativas de suporte suficientemente pequeno e integral (ou seja, amolecimento). Se $ω$ for uma forma de volume no limite, então por Stokes' teorema,

<math alttext="{displaystyle 00<∫ ∫ ∂ ∂ Bω ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ ∂ ∂ BF∗ ∗ (ω ω )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ BDF∗ ∗ (ω ω )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ BF∗ ∗ (Dω ω )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ BF∗ ∗ (0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,{displaystyle 0<int _{partial B}omega =int _{partial B}F^{*}(omega)=int _{B}dF^{*}(omega)=int _{B}F^{*}(domega)=int _{B}F^{*}(0)=0,}<img alt="{displaystyle 0

dando uma contradição.

De modo geral, isso mostra que não há retração suave de qualquer coletor compacto orientado suave não vazio $M$ em seu limite. A prova usando Stokes' teorema está intimamente relacionado com a prova usando homologia, porque a forma $ω$ gera o grupo de cohomologia de Rham $H n -1$ (∂ $M$ ) que é isomórfico ao grupo de homologia $H n -1$ (∂ $M$ ) pelo teorema de Rham.

Uma prova combinatória

O BFPT pode ser provado usando o lema de Sperner. Damos agora um esboço da prova para o caso especial em que f é uma função do padrão n- Simplexo, ${displaystyle Delta ^{n},}$ para si mesmo, onde

{displaystyle Delta ^{n}=left{Pin mathbb {R} ^{n+1}mid sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{text{ and }}P_{i}geq 0{text{ for all }}iright}.}

Para cada ponto ${displaystyle Pin Delta ^{n},}$ também ${displaystyle f(P)in Delta ^{n}.}$ Daí a soma de suas coordenadas é igual:

sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}

Assim, pelo princípio do pombo, para cada ${displaystyle Pin Delta ^{n},}$ deve haver um índice ${displaystyle jin {0,ldotsn}}$ tal que o $j$ a coordenação de $P$ é maior ou igual ao $j$ a coordenada de sua imagem abaixo f:

{displaystyle P_{j}geq f(P)_{j}.}

Além disso, se $P$ mentiras em um k- sub-face dimensional de ${displaystyle Delta ^{n},}$ então pelo mesmo argumento, o índice $j$ pode ser selecionado dentre os k + 1 coordenadas que não são zero neste sub-face.

Agora usamos este fato para construir uma coloração Sperner. Para cada triangulação de ${displaystyle Delta ^{n},}$ a cor de cada vértice $P$ é um índice $j$ tal que ${displaystyle f(P)_{j}leq P_{j}.}$

Por construção, esta é uma coloração de Sperner. Portanto, pelo lema de Sperner, existe um simplex n dimensional cujos vértices são coloridos com todo o conjunto de n + 1 cores disponíveis.

Porque... f é contínuo, este simplex pode ser feito arbitrariamente pequeno, escolhendo uma triangulação arbitrariamente fina. Portanto, deve haver um ponto $P$ que satisfaz a condição de rotulagem em todas as coordenadas: $f(P)_{j}leq P_{j}$ para todos $j.$

Porque a soma das coordenadas de $P$ e $f(P)$ deve ser igual, todas essas desigualdades devem ser de fato iguais. Mas isso significa que:

{displaystyle f(P)=P.}

Isso é, $P$ é um ponto fixo de $f.$

Uma prova de Hirsch

Também existe uma prova rápida, de Morris Hirsch, baseada na impossibilidade de uma retração diferenciável. A prova indireta começa observando que o mapa f pode ser aproximado por um mapa suave retendo a propriedade de não fixar um ponto; isso pode ser feito usando o teorema de aproximação de Weierstrass ou convoluindo com funções de colisão suave. Então, define-se uma retração como acima, que agora deve ser diferenciável. Tal retração deve ter um valor não singular, pelo teorema de Sard, que também é não singular para a restrição à fronteira (que é apenas a identidade). Assim, a imagem inversa seria uma variedade 1 com limite. O limite teria que conter pelo menos dois pontos finais, ambos os quais teriam que estar no limite da bola original - o que é impossível em uma retração.

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li e James A. Yorke transformaram a prova de Hirsch em uma prova computável observando que a retração é de fato definida em todos os lugares, exceto nos pontos fixos. Para quase qualquer ponto, q, na fronteira, (supondo que não seja um ponto fixo) existe a variedade com fronteira mencionada acima e a única possibilidade é que ela conduza de q para um ponto fixo. É uma tarefa numérica fácil seguir tal caminho de q até o ponto fixo, então o método é essencialmente computável. deu uma versão seguindo caminho conceitualmente semelhante da prova de homotopia que se estende a uma ampla variedade de problemas relacionados.

Uma prova usando área orientada

Uma variação da prova precedente não emprega o teorema de Sard, e vai da seguinte forma. Se ${displaystyle rcolon Bto partial B}$ é uma retração suave, considera-se a deformação suave ${displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$ e a função lisa

{displaystyle varphi (t):=int _{B}det Dg^{t}(x),dx.}

Diferenciando sob o sinal de integral não é difícil verificar que φ′(t) = 0 para todo t, então φ é uma função constante, o que é uma contradição porque φ(0) é o volume ndimensional da bola, enquanto φ(1) é zero. A ideia geométrica é que φ(t) é a área orientada de g^t(B) (ou seja, a medida Lebesgue da imagem da bola via g^t, tomando em conta multiplicidade e orientação), e deve permanecer constante (como fica bem claro no caso unidimensional). Por outro lado, conforme o parâmetro t passa de 0 a 1, o mapa g^t se transforma continuamente a partir do mapa de identidade da bola, para a retração r, o que é uma contradição, pois a área orientada da identidade coincide com o volume da bola, enquanto a área orientada de r é necessariamente 0, pois sua imagem é a fronteira da bola, um conjunto de medida nula.

Uma prova usando o jogo Hex

Uma prova bem diferente dada por David Gale é baseada no jogo Hex. O teorema básico sobre Hex, provado pela primeira vez por John Nash, é que nenhum jogo de Hex pode terminar empatado; o primeiro jogador sempre tem uma estratégia vencedora (embora esse teorema não seja construtivo e estratégias explícitas não tenham sido totalmente desenvolvidas para tamanhos de tabuleiro de dimensões 10 x 10 ou maiores). Isso acaba sendo equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer para dimensão 2. Ao considerar versões ndimensionais de Hex, pode-se provar em geral que o teorema de Brouwer é equivalente à determinação teorema para Hex.

Uma prova usando o teorema do ponto fixo de Lefschetz

O teorema do ponto fixo de Lefschetz diz que se um mapa contínuo f de um complexo simplicial finito B para si mesmo tem apenas pontos fixos isolados, então o número de pontos fixos contado com multiplicidades (que podem ser negativas) é igual ao número de Lefschetz

displaystyle sum _{n}(-1)^{n}operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))

e em particular se o número Lefschetz é nonzero então f deve ter um ponto fixo. Se B é uma bola (ou mais geralmente é contratual) então o número Lefschetz é um porque o único grupo de homologia não-zero simplicial é: $H_{0}(B)$ e f age como a identidade deste grupo, portanto f tem um ponto fixo.

Uma prova em um sistema lógico fraco

Em matemática reversa, o teorema de Brouwer pode ser provado no sistema WKL0, e inversamente sobre o sistema de base RCA0 O teorema de Brouwer para um quadrado implica o lema fraco de König, então isso dá uma descrição precisa da força do teorema de Brouwer.

Generalizações

O teorema do ponto fixo de Brouwer forma o ponto de partida de vários teoremas de ponto fixo mais gerais.

A generalização direta para dimensões infinitas, ou seja, usar a bola unitária de um espaço de Hilbert arbitrário em vez do espaço euclidiano, não é verdadeira. O principal problema aqui é que as bolas unitárias dos espaços de Hilbert de dimensão infinita não são compactas. Por exemplo, no espaço de Hilbert ℓ2 de sequências reais (ou complexas) de soma quadrada, considere o mapa f: ℓ² → ℓ² que envia uma sequência (x_n) da bola unitária fechada de ℓ² para a sequência (y_n) definido por

{displaystyle y_{0}={sqrt {1-|x|_{2}^{2}}}quad {text{ and}}quad y_{n}=x_{n-1}{text{ for }}ngeq 1.}

Não é difícil verificar que este mapa é contínuo, tem sua imagem na esfera unitária de ℓ², mas não tem um ponto fixo.

As generalizações do teorema do ponto fixo de Brouwer para espaços dimensionais infinitos, portanto, incluem uma suposição de compacidade de algum tipo e também frequentemente uma suposição de convexidade. Veja teoremas de ponto fixo em espaços de dimensão infinita para uma discussão desses teoremas.

Há também generalização finito-dimensional para uma classe maior de espaços: Se $X$ é um produto de continuação finitamente muitos chainable, então cada função contínua $f:Xrightarrow X$ tem um ponto fixo, onde um continuum chainable é um (geralmente, mas neste caso não necessariamente métrico) espaço Hausdorff compacto do qual cada cobertura aberta tem um refinamento aberto finito ${U_{1},ldotsU_{m}}$ , tal que $U_{i}cap U_{j}neq emptyset$ se e somente se $|i-j|leq 1$ . Exemplos de continuação em cadeia incluem espaços compactos conectados linearmente ordenados e, em particular, intervalos fechados de números reais.

O teorema do ponto fixo de Kakutani generaliza o teorema do ponto fixo de Brouwer em uma direção diferente: fica em Rⁿ, mas considera funções semi-contínuas de valor definido (funções que atribuem a cada ponto do conjunto um subconjunto do conjunto). Também requer compacidade e convexidade do conjunto.

O teorema do ponto fixo de Lefschetz aplica-se a espaços topológicos compactos (quase) arbitrários, e dá uma condição em termos de homologia singular que garante a existência de pontos fixos; esta condição é trivialmente satisfeita para qualquer mapa no caso de Dⁿ.

Resultados equivalentes

Existem vários teoremas de ponto fixo que vêm em três variantes equivalentes: uma variante de topologia algébrica, uma variante combinatória e uma variante de cobertura de conjunto. Cada variante pode ser provada separadamente usando argumentos totalmente diferentes, mas cada variante também pode ser reduzida às outras variantes em sua linha. Além disso, cada resultado em a linha superior pode ser deduzida daquela abaixo dela na mesma coluna.

Topologia algébrica	Combinação	Conjunto de coberturas
Teorema de ponto fixo	Lemma de Sperner	Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma
Teorema de Borsuk–Ulam	A lemma de Tucker	Lusternik–Schnirelmann teorema

Notas

^ Por exemplo, F & V Bayart Théorèmes du point fix em Bibm@th.net Arquivado em 26 de dezembro de 2008, no Wayback Machine
^ Ver página 15 de: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6
^ Mais exatamente, de acordo com Encyclopédie Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fix, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Luizen Brouwer por G. Sabbagh
↑ a b Jacques Hadamard: Nota sobre aplicações de l’indice de Kronecker em Jules Tannery: Introdução à la théorie des fonctions d’une variável (Volume 2), 2a edição, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477 (francês)
↑ a b c Brouwer, L. E. J. (1911). «Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten» (em inglês). Matemática Annalen (em alemão). 71: 97–115. doi:10.1007/BF01456931. S2CID 177796823.
^ D. Violette Aplicações du lemme de Sperner pour les triângulos Bulletin AMQ, V. XLVI N° 4, (2006) p 17. Arquivado em 8 de junho de 2011, no Wayback Machine
^ Página 15 de: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6.
^ Esta versão segue diretamente do anterior porque cada subconjunto compacto convexo de um espaço euclidiano é homeomorfo para uma bola fechada da mesma dimensão que o subconjunto; ver Florenzano, Monique (2003). Análise Geral de Equilíbrio: Propriedades de Existência e Otimidade de Equilíbrio. Springer. p. 7. ISBN 9781402075124. Retrieved 2016-03-08.
^ V. & F. Bayart Correção de pontos, et théorèmes du point fix em Bibmath.net. Arquivado em 26 de dezembro de 2008, no Wayback Machine
^ C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fix et Applications aux Equations Différentielles Arquivado em 2018-04-04-04 na Wayback Machine Universidade de Nice-Sophia Antipolis.
^ Belk, Jim. "Por que a convexidade é uma exigência para Brouwer pontos fixos?". Permutação de óleo. Retrieved 22 de Maio 2015.
^ O interesse desta anedota repousa em seu caráter intuitivo e didático, mas sua precisão é duvidosa. Como a seção de história mostra, a origem do teorema não é obra de Brouwer. Mais de 20 anos antes, Henri Poincaré provou ser um resultado equivalente, e 5 anos antes de Brouwer P. Bohl ter provado o caso tridimensional.
↑ a b c Esta citação vem originalmente de uma transmissão de televisão: Archimède, Arte, 21 septembre 1999
↑ a b Bohl, P. (1904). «Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage» (em inglês). J. Reine Angew. Matemática. 127 (3/4): 179–276.
^ Karamardian, Stephan (1977). Pontos fixos: algoritmos e aplicações. Nova Iorque: Academic Press. ISBN 978-0-12-398050-2.
^ Istrăţescu, Vasile (1981). Teoria do ponto fixo. Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co. ISBN 978-90-277-1224-0.
^ Ver F. Brechenmacher L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes CNRS Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais
^ Henri Poincaré ganhou a competição matemática do Rei da Suécia em 1889 por seu trabalho sobre o problema de três corpos relacionado: Jacques Tits Célébras nacionais 2004 Site du Ministère Cultura e Comunicação
^ Henri Poincaré Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste T Gauthier-Villars, Vol 3 p 389 (1892) nova edição Paris: Blanchard, 1987.
^ Cotação de Henri Poincaré tirada de: P. A. Miquel La catégorie de désordre Arquivado em 2016-03-03 no Wayback Machine, no site de l'Association roumaine des chercheurs francophones en sciences humaines
^ Esta questão foi estudada em: Poincaré, H. (1886). «Sur les courbes définies par les équations différentielles» (em inglês). Jornal de Matemática Puras e Aplicativos. 2 (4): 167–244.
^ Isso segue do teorema de Poincaré–Bendixson.
^ Multiplicação por 1/2 1² não tem ponto fixo.
^ «concerne les propriétés invariantes d'une figure lorsqu'on la déforme de manière continue quelconque, sans déchirure (par exemple, dans le cas de la déformation de la sphère, les propriétés corrélatives des objets tracés sur sa surface». De C. Houzel M. Paty Poincaré, Henri (1854–1912) Arquivado em 2010-10-08 no Wayback Machine Encyclopædia Universalis Albin Michel, Paris, 1999, p. 696–706
^ O teorema de Poincaré é indicado em: V. I. Istratescu Ponto fixo Teoria de uma Introdução Kluwer Academic Publishers (réédition de 2001) p 113 ISBN 1-4020-0301-3
^ Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Teorema de torre", Enciclopédia da Matemática, EMS Press, ISBN 1-4020-0609-8
^ Dieudonné, Jean (1989). A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960 (em inglês). Boston: Birkhäuser. pp. 17–24. ISBN 978-0-8176-3388-2.
^ Veja por exemplo: Picard de Émile Sur l'application des méthodes d'approximations sucessivas à l'étude de surees équations différentielles ordinaires Arquivado em 2011-07-16 no Wayback Machine Jornal de Matemática p 217 (1893)
^ J. J. O'Connor E. F. Robertson Piers Bohl
^ Myskis, A. D.; Rabinovic, I. M. (1955). «Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при нетрерывном отображени шара в себя, данннннотиотиототототототререрота [A primeira prova de um teorema de ponto fixo para um mapeamento contínuo de uma esfera em si mesmo, dada pelo matemático letão P. G. Bohl]. п м м м м м м м м м х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х х (em russo). 10. (3): 188–192.
^ J. J. O'Connor E. F. Robertson Luitzen Egbertus Jan Brouwer
^ Freudenthal, Hans (1975). «The cradle of modern topology, according to Brouwer's inedita» (em inglês). História Matemática. 2 (4): 495–502 [p. 495]. - Sim.10.1016/0315-0860(75)90111-1.
^ Freudenthal, Hans (1975). «The cradle of modern topology, according to Brouwer's inedita» (em inglês). História Matemática. 2 (4): 495–502 [p. 495]. - Sim.10.1016/0315-0860(75)90111-1. ... cette dernière propriété, bien que sous des hypothèses plus grossières, ait été démontré par H. Poincaré
^ Freudenthal, Hans (1975). «The cradle of modern topology, according to Brouwer's inedita» (em inglês). História Matemática. 2 (4): 495–502 [p. 501]. - Sim.10.1016/0315-0860(75)90111-1.
^ Se um subconjunto aberto de um coletor é homeomorfo para um subconjunto aberto de um espaço euclidiano de dimensão ne se p é um inteiro positivo que não n, então o conjunto aberto nunca é homeomorphic a um subconjunto aberto de um espaço euclidiano de dimensão p.
^ J. J. O'Connor E. F. Robertson Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
^ O termo topologia algébrica apareceu pela primeira vez 1931 sob a caneta de David van Dantzig: J. Miller Álgebra topológica no site Usos Mais Conhecidos de Algumas das Palavras de Matemática (2007)
^ V. I. Istratescu Ponto fixo Teoria. Uma Introdução Kluwer Academic Publishers (nova edição 2001) ISBN 1-4020-0301-3.
^ "... O teorema de ponto fixo de Brouwer, talvez o teorema de ponto fixo mais importante." p xiii V. Istratescu Ponto fixo Teoria de uma Introdução Kluwer Academic Publishers (nova edição 2001) ISBN 1-4020-0301-3.
^ Por exemplo: S. Greenwood J. Cao O teorema de ponto fixo de Brouwer e o teorema de curva de Jordan Universidade de Auckland, Nova Zelândia.
^ Schauder, J. (1930). «Der Fixpunktsatz in Funktionsräumen» (em inglês). Studia Mathematica. 2: 171–180.10.4064/sm-2-1-171-180.
^ Kakutani, S. (1941). «A generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem» (em inglês). Duke Mathematical Journal. 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
^ Estes exemplos são retirados: F. Boyer Théorèmes de point fix et applications CMI Université Paul Cézanne (2008–2009) Cópia arquivada em WebCite (1 de agosto de 2010).
^ Para contexto e referências veja o artigo Hex (jogo de bordo).
^ P. Bich Une extensioncontinue du théorème du point fix de Schauder, et quelques applications en économie Arquivado em 11 de junho de 2011, no Wayback Machine Institut Henri Poincaré, Paris (2007)
^ Para uma longa explicação, veja: Dubucs, J. P. (1988). «L. J. E. Brouwer: Topologie et construivisme» (em inglês). Revue d'Histoire des Sciences. 41 (2): 133-155. doi:10.3406/rhs.1988.4094.
^ Mais tarde, seria mostrado que o formalismo que foi combatido por Brouwer também pode servir para formalizar o intuitionism, com algumas modificações. Para mais detalhes, veja a teoria construtiva dos conjuntos.
^ H. Scarf encontrou a primeira prova algorítmica: Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Teorema de torre", Enciclopédia da Matemática, EMS Press, ISBN 1-4020-0609-8.
^ Milnor 1965, pp. 1–19
^ Teschl, Gerald (2019). «10. The Brouwer mapping degree» (em inglês). Tópicos em Análise Funcional Linear e Não Linear (PDF). Pós-graduação em Matemática. American Mathematical Society (em inglês). Arquivado (PDF) do original em 2022-10-09. Retrieved 1 de Fevereiro 2022.
^ Milnor 1978
^ Madsen & Tornehave 1997, pp. 39–48
^ Boothby 1971
^ Boothby 1986
^ Dieudonné 1982
^ Hirsch 1988
^ Kellogg, Li & Yorke 1976.
^ Chow, Mallet-Paret & Yorke 1978.
^ Kulpa 1989
^ David Gale (1979). «The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem» (em inglês). O Matemática Americana Mensal. 86 (10): 818–827. doi:10.2307/2320146. JSTOR 2320146.
^ Hilton & Wylie 1960
^ Spanier 1966
^ Eldon Dyer (1956). «Um teorema de ponto fixo». Proceedings of the American Mathematical Society. 7 (4): 662–672. doi:10.1090/S0002-9939-1956-0078693-4.
^ Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "Um equivalente Borsuk-Ulam que implica diretamente o lema de Sperner", O Matemática Americana Mensal, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127

Contenido relacionado

Más resultados...