Teorema de mapeamento de Riemann

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Em análise complexa, Teorema de mapeamento de Riemann afirma que se $U$ é um subconjunto aberto não vazio simplesmente conectado do plano de número complexo $mathbb {C}$ que não é tudo $mathbb {C}$ , então existe um mapeamento biholomorfo $f$ (ou seja, um mapeamento holomorfoco bijetivo cujo inverso também é holomorfo) de $U$ no disco da unidade aberta

<math alttext="{displaystyle D={zin mathbb {C}:|z|D= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(zangão.\in \in C:|zangão.|<1?.{displaystyle D={zin mathbb {C}:|z|<1}.} <img alt="{displaystyle D={zin mathbb {C}:|z|

Esse mapeamento é conhecido como mapeamento de Riemann.

Intuitivamente, a condição que $U$ ser simplesmente conectado significa que $U$ não contém nenhum “buracos”. O fato de que $f$ é biholomorfo implica que é um mapa conformado e, portanto, conservação angular. Tal mapa pode ser interpretado como preservando a forma de qualquer figura suficientemente pequena, enquanto possivelmente girando e escalando (mas não refletindo) ele.

Henri Poincaré provou que o mapa $f$ é único até rotação e recentering: se $z_{0}$ é um elemento de $U$ e $phi$ é um ângulo arbitrário, então existe precisamente um f como acima tal que $f(z_{0})=0$ e tal que o argumento do derivado de $f$ no ponto $z_{0}$ é igual a $phi$ . Esta é uma consequência fácil do lema de Schwarz.

Como corolário do teorema, quaisquer dois subconjuntos abertos simplesmente conectados da esfera de Riemann, que não possuem pelo menos dois pontos da esfera, podem ser mapeados conformemente um no outro.

Histórico

O teorema foi declarado (sob a suposição de que o limite de $U$ é leve) por Bernhard Riemann em 1851 em sua tese de doutorado. Lars Ahlfors escreveu uma vez, sobre a formulação original do teorema, que foi “ultimamente formulado em termos que desafiaria qualquer tentativa de prova, mesmo com métodos modernos”. A prova falhada de Riemann dependia do princípio Dirichlet (que foi nomeado pelo próprio Riemann), que foi considerado som na época. No entanto, Karl Weierstrass descobriu que este princípio não era universalmente válido. Mais tarde, David Hilbert foi capaz de provar que, em grande parte, o princípio de Dirichlet é válido sob a hipótese de que Riemann estava trabalhando com. No entanto, para ser válido, o princípio de Dirichlet precisa de certas hipóteses relativas ao limite de $U$ que não são válidos para domínios simplesmente conectados em geral.

A primeira prova rigorosa do teorema foi dada por William Fogg Osgood em 1900. Ele provou a existência da função de Green em domínios simplesmente conectados arbitrários além de $mathbb {C}$ em si; isto estabeleceu o teorema de mapeamento de Riemann.

Constantin Carathéodory deu outra prova do teorema em 1912, que foi o primeiro a confiar puramente nos métodos da teoria das funções, em vez da teoria do potencial. Sua prova usou o conceito de famílias normais de Montel, que se tornou o método padrão de prova nos livros didáticos. Carathéodory continuou em 1913, resolvendo a questão adicional de se o mapeamento de Riemann entre os domínios pode ser estendido a um homeomorfismo das fronteiras (ver teorema de Carathéodory).

A prova de Carathéodory usou superfícies de Riemann e foi simplificada por Paul Koebe dois anos depois de uma forma que não as exigia. Outra prova, devida a Lipót Fejér e a Frigyes Riesz, foi publicada em 1922 e era bem mais curta que as anteriores. Nesta prova, assim como na prova de Riemann, o mapeamento desejado foi obtido como solução de um problema extremo. A prova de Fejér-Riesz foi ainda mais simplificada por Alexander Ostrowski e por Carathéodory.

Importância

Os pontos a seguir detalham a singularidade e o poder do teorema de mapeamento de Riemann:

Mesmo mapeamentos Riemann relativamente simples (por exemplo, um mapa do interior de um círculo para o interior de um quadrado) não têm fórmula explícita usando apenas funções elementares.
Conjuntos abertos simplesmente conectados no plano podem ser altamente complicados, por exemplo, o limite pode ser uma curva fractal nada-diferenciável de comprimento infinito, mesmo que o próprio conjunto seja limitado. Um exemplo é a curva Koch. O fato de que tal conjunto pode ser mapeado em um conservação angular maneira para o disco unidade agradável e regular parece contra-intuitivo.
O análogo do teorema de mapeamento de Riemann para domínios mais complicados não é verdade. O próximo caso mais simples é de domínios duplamente conectados (domínios com um único buraco). Qualquer domínio duplamente conectado, exceto para o disco perfurado e o plano perfurado é conformamente equivalente a algum annulus $<math alttext="{displaystyle {z:r<|z|(zangão.:R<|zangão.|<1?{displaystyle {z:r<|z|<1}} <img alt="{displaystyle {z:r<|z|$ com $<math alttext="{displaystyle 0<r0<R<1Não. <img alt="0<r$ , no entanto, não há mapas conformais entre annuli exceto inversão e multiplicação por constantes assim o annulus $<math alttext="{displaystyle {z:1<|z|(zangão.:1<|zangão.|<2?{displaystyle {z:1<|z|<2}} <img alt="{displaystyle {z:1<|z|$ não é conformamente equivalente ao annulus $<math alttext="{displaystyle {z:1<|z|(zangão.:1<|zangão.|<4?{displaystyle {z:1<|z|<4}} <img alt="{displaystyle {z:1<|z|$ (como pode ser provado usando comprimento extremal).
A analogia do teorema de mapeamento de Riemann em três ou mais dimensões reais não é verdadeira. A família de mapas conformados em três dimensões é muito pobre, e essencialmente contém apenas transformações de Möbius (veja o teorema de Liouville).
Mesmo que homeomorfismos arbitrários em dimensões mais altas sejam permitidos, colectores contratáveis podem ser encontrados que não são homeomorfos para a bola (por exemplo, o continuum Whitehead).
O análogo do teorema de mapeamento de Riemann em várias variáveis complexas também não é verdade. Em $mathbb {C} ^{n}$ ( $ngeq 2$ ), a bola e o polidisk são simplesmente conectados, mas não há mapa biholomorfo entre eles.

Prova através de famílias normais

Conectividade simples

Theorem. Para um domínio aberto $Gsubset {mathbb {C}}$ as seguintes condições são equivalentes:

$G$ é simplesmente conectado;
a integral de cada função holomórfica $f$ em torno de uma curva lisa em partes fechadas $G$ desaparece;
cada função holomórfica em $G$ é o derivado de uma função holomórfica;
cada função holomorfoca de nada $f$ sobre $G$ tem um logaritmo holomórfico;
cada função holomorfoca de nada $g$ sobre $G$ tem uma raiz quadrada holomórfica;
para qualquer ${displaystyle wnotin G}$ , o número de enrolamento de $w$ para qualquer curva fechada suave em peça $G$ o ${displaystyle 0}$ ;
o complemento $G$ no plano complexo estendido $mathbb {C} cup {infty }$ está ligado.

(1) ⇒ (2) porque qualquer curva fechada contínua, com ponto de base $ain G$ , pode ser continuamente deformado para a curva constante $a$ . Então a linha integral de ${displaystyle f,mathrm {d} z}$ sobre a curva é ${displaystyle 0}$ .

(2) ⇒ (3) porque a integral sobre qualquer trajeto liso $gamma$ a partir de $a$ para $z$ pode ser usado para definir um primitivo.

(3) ⇒ (4) pela integração ${displaystyle f^{-1},mathrm {d} f/mathrm {d} z}$ por aí. $gamma$ a partir de $a$ para $x$ dar um ramo do logaritmo.

(4) ⇒ (5) tomando a raiz quadrada como ${displaystyle g(z)=exp(f(x)/2)}$ Onde? $f$ é uma escolha holomórfica de logaritmo.

(5) ⇒ (6) porque se $gamma$ é uma curva fechada em peça e $f_{n}$ são sucessivas raízes quadradas de ${displaystyle z-w}$ para $w$ fora $G$ , então o número de enrolamento de ${displaystyle f_{n}circ gamma }$ sobre $w$ o $2^{n}$ vezes o número de enrolamento de $gamma$ sobre ${displaystyle 0}$ . Daí o número de enrolamento de $gamma$ sobre $w$ deve ser divisível por $2^{n}$ para todos $n$ , por isso deve ser igual ${displaystyle 0}$ .

(6) ⇒ (7) para o caso contrário o plano estendido ${displaystyle mathbb {C} cup {infty }setminus G}$ pode ser escrito como a união disjunta de dois conjuntos abertos e fechados $A$ e $B$ com ${displaystyle infty in B}$ e $A$ limitado. Vamos. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ ser a distância mais curta Euclidiana entre $A$ e $B$ e construir uma grade quadrada em $mathbb {C}$ com comprimento ${displaystyle delta /4}$ com um ponto $a$ de $A$ no centro de uma praça. Vamos. $C$ ser o conjunto compacto da união de todos os quadrados com distância ${displaystyle leq delta /4}$ a partir de $A$ . Então... ${displaystyle Ccap B=varnothing }$ e $partial C$ não se encontra $A$ ou $B$ : consiste em finitamente muitos segmentos horizontais e verticais em $G$ formando um número finito de caminhos retangulares fechados ${displaystyle gamma _{j}in G}$ . Tomar $C_{i}$ para ser todos os quadrados cobrindo $A$ , então ${displaystyle {frac {1}{2pi }}int _{partial C}mathrm {d} mathrm {arg} (z-a)}$ igual a soma dos números de enrolamento de $C_{i}$ sobre $a$ , assim dando $1$ . Por outro lado, a soma dos números de enrolamento de $gamma_j$ sobre $a$ iguais $1$ . Daí o número de enrolamento de pelo menos um dos $gamma_j$ sobre $a$ não é zero.

7) ⇒ (1) Este é um argumento puramente topológico. Vamos. $gamma$ ser uma curva fechada suave em peça com base em ${displaystyle z_{0}in G}$ . Por aproximação γ está na mesma classe de homotopia como um caminho retangular na grade quadrada de comprimento $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ em $z_{0}$ ; tal caminho retangular é determinado por uma sucessão $N$ lados verticais e horizontais consecutivos. Por indução $N$ , tal caminho pode ser deformado para um caminho constante em um canto da grade. Se o caminho se cruzar em um ponto $z_{1}$ , então ele rompe em dois caminhos retangulares de comprimento $<math alttext="{displaystyle <NNão. <N} <img alt="{displaystyle$ , e assim pode ser deformado para o caminho constante no $z_{1}$ pela hipótese de indução e propriedades elementares do grupo fundamental. O raciocínio segue um "discurso nordeste": no caminho não auto-intersectante haverá um canto $z_{0}$ com maior parte real (leste) e, em seguida, entre aqueles com maior parte imaginária (nortemente). Invertendo a direção, se necessário, o caminho vai de ${displaystyle z_{0}-delta }$ para $z_{0}$ e depois ${displaystyle w_{0}=z_{0}-indelta }$ para $ngeq1$ e depois vai para a esquerda para ${displaystyle w_{0}-delta }$ . Vamos. $R$ ser o retângulo aberto com estes vértices. O número de enrolamento do caminho é ${displaystyle 0}$ para pontos à direita do segmento vertical de $z_{0}$ para $w_{0}$ e $-1$ para pontos à direita; e daí dentro $R$ . Desde que o número de enrolamento é ${displaystyle 0}$ fora $G$ , $R$ mentiras $G$ . Se $z$ é um ponto do caminho, ele deve estar em $G$ ; se $z$ está ligado $partial R$ mas não no caminho, pela continuidade o número de enrolamento do caminho sobre $z$ o $-1$ Então... $z$ também deve mentir $G$ . Daí ${displaystyle Rcup partial Rsubset G}$ . Mas neste caso o caminho pode ser deformado substituindo os três lados do retângulo pelo quarto, resultando em dois lados menos (com auto-interseções permitidas).

Teorema do mapeamento de Riemann

Teorema de convergência de Weierstrass. O limite uniforme em compact de uma sequência de funções holomórficas é holomórfico; similarmente para derivados.

Esta é uma consequência imediata do teorema de Morera para a primeira declaração. A fórmula integral de Cauchy dá uma fórmula para os derivados que podem ser usados para verificar que os derivados também convergem uniformemente em compacta.

O teorema de Hurwitz. Se uma seqüência de funções holomórficas sem destino em um domínio aberto tiver um limite uniforme em compacta, então o limite é idêntico zero ou o limite não é nada-vanishing. Se uma sequência de funções holomórficas univalentes em um domínio aberto tem um limite uniforme em compacta, então o limite é constante ou o limite é univalente.

Se a função limite é não zero, então seus zeros têm de ser isolados. Zeros com multiplicidades podem ser contados pelo número de enrolamento

{displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{C}g^{-1}(z)g'(z)mathrm {d} z}

para uma função holomorfo

g

. Daí os números de enrolamento são contínuos sob limites uniformes, de modo que se cada função na sequência não tem zeros nem pode o limite. Para a segunda declaração supõe que

{displaystyle f(a)=f(b)}

e definir

{displaystyle g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)}

. Estes não estão nada móveis em um disco, mas

{displaystyle g(z)=f(z)-f(a)}

desaparece em

b

Então...

g

deve desaparecer de forma idêntica.

Definições. Uma família ${displaystyle {cal {F}}}$ de funções holomórficas em um domínio aberto é dito ser normal se alguma sequência de funções em ${displaystyle {cal {F}}}$ tem uma subsequência que converge para uma função holomórfica uniformemente em compacta. Uma família ${displaystyle {cal {F}}}$ o compacto se sempre que uma sequência $f_{n}$ mentiras ${displaystyle {cal {F}}}$ e converge uniformemente para $f$ em compacta, então $f$ também está em ${displaystyle {cal {F}}}$ . Uma família ${displaystyle {cal {F}}}$ é dito para ser localmente limitado se suas funções são uniformemente limitadas em cada disco compacto. Diferenciando a fórmula integral Cauchy, segue-se que os derivados de uma família localmente limitada também estão ligados localmente.

O teorema de Montel. Cada família localmente limitada de funções holomórficas em um domínio $G$ é normal.

Vamos.

f_{n}

ser uma sequência totalmente limitada e escolheu um subconjunto densa contável

w_m

G

. Por limite local e um "discurso diagonal", uma subsequência pode ser escolhida para que

g_{n}

é convergente em cada ponto

w_m

. Deve ser verificado que esta seqüência de funções holomórficas converge em

G

uniformemente em cada compacto

K

. Toma.

E

aberto com

{displaystyle Ksubset E}

tal que o fechamento de

E

é compacto e contém

G

. Desde a sequência

{displaystyle {g_{n}'}}

é localmente limitado,

{displaystyle |g_{n}'|leq M}

sobre

E

. Por compactação, se

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>

é levado pequeno o suficiente, finitamente muitos discos abertos

D_k

de raio

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>

são obrigados a cobrir

K

enquanto permanece

E

. Desde então

{displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=int _{a}^{b}g_{n}^{prime }(z),dz}

nós temos

{displaystyle |g_{n}(a)-g_{n}(b)|leq M|a-b|leq 2delta M}

. Agora para cada

k

escolher alguns

w_{i}

D_k

Onde?

{displaystyle g_{n}(w_{i})}

converge, tome

n

m

tão grande para estar dentro

delta

do seu limite. Então,

{displaystyle zin D_{k}}

{displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|leq 4Mdelta +2delta.}

Daí a sequência

{displaystyle {g_{n}}}

forma uma sequência Cauchy na norma uniforme em

K

como necessário.

Riemann mapear teorema. Se ${displaystyle Gneq mathbb {C} }$ é um domínio simplesmente conectado e $ain G$ , há um mapeamento conformal único $f$ de $G$ no disco da unidade $D$ normalizado tal que $f(a)=0$ e $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f?(um)>0(a)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fb6ba365b9d4e3c00128962d63f4f334b840f8" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.305ex; height:3.009ex;"/>$ .

A singularidade segue porque se

f

g

satisfazer as mesmas condições,

{displaystyle h=fcirc g^{-1}}

seria um mapa holomórfico univalente do disco unitário com

{displaystyle h(0)=0}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">h?(0)>0(0)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ceaeb46e12313b0d76c29c9d2a7d9ade6ef287" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.256ex; height:3.009ex;"/>

. Mas pelo lemma de Schwarz, os mapas holomórficos univalentes do disco unitário em si são dados pelas transformações de Möbius.

{displaystyle k(z)=e^{itheta }(z-alpha)/(1-{overline {alpha }}z)}

com

<math alttext="{displaystyle |alpha ||α α |<1|alpha |<1} <img alt="{displaystyle |alpha |

. Então...

h

deve ser o mapa de identidade e

f=g

Para provar a existência, tome

{displaystyle {cal {F}}}

ser a família de mapeamentos univalentes holomórficos

f

G

no disco da unidade aberta

D

com

f(a)=0

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f?(um)>0(a)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fb6ba365b9d4e3c00128962d63f4f334b840f8" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.305ex; height:3.009ex;"/>

. É uma família normal pelo teorema de Montel. Pela caracterização da conectividade simples, para

{displaystyle bin mathbb {C} setminus G}

há um ramo holomórfico da raiz quadrada

{displaystyle h(z)={sqrt {z-b}}}

G

. É univalente e

{displaystyle h(z_{1})neq -h(z_{2})}

para

{displaystyle z_{1},z_{2}in G}

. Desde então

{displaystyle h(G)}

deve conter um disco fechado

Delta

com centro

{displaystyle h(a)}

e raio

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>

, sem pontos de

-Delta

pode mentir

{displaystyle h(G)}

. Vamos.

F

ser o único Möbius transformação tomando

{displaystyle mathbb {C} setminus -Delta }

sobre

D

com a normalização

{displaystyle F(h(a))=0}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F?(h(um))>0(a)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e24725899ce24fecf29c4a3496490479237a36" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.948ex; height:3.009ex;"/>

. Por construção

{displaystyle Fcirc h}

{displaystyle {cal {F}}}

, para que

{displaystyle {cal {F}}}

o não vazio. O método de Koebe é usar um Função extrema para produzir um mapeamento conformal resolvendo o problema: nesta situação é muitas vezes chamado de Função de Ahlfors de

G

, depois de Ahlfors. Vamos.

<math alttext="{displaystyle 00<M\leq \leq \infty \infty Não. 0<Mleq infty } <img alt="{displaystyle 0

ser o supremum de

f'(a)

para

{displaystyle fin {cal {F}}}

. Escolha

{displaystyle f_{n}in {cal {F}}}

com

{displaystyle f_{n}'(a)}

tendendo a

M

. Pelo teorema de Montel, passando para uma subsequência, se necessário,

f_{n}

tende a uma função holomorfo

f

uniformemente em compacta. Pelo teorema de Hurwitz,

f

é univalente ou constante. Mas...

f

ele tem

f(a)=0

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f?(um)>0(a)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fb6ba365b9d4e3c00128962d63f4f334b840f8" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.305ex; height:3.009ex;"/>

. Então...

M

é finito, igual a

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f?(um)>0(a)>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fb6ba365b9d4e3c00128962d63f4f334b840f8" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.305ex; height:3.009ex;"/>

{displaystyle {fin {cal {F}}}}

. Continua a verificar se o mapeamento em conformidade

f

Toma.

G

sobre

D

. Se não, tome

{displaystyle cneq 0}

{displaystyle Dsetminus f(G)}

e deixar

H

ser uma raiz quadrada holomórfica de

{displaystyle (f(z)-c)/(1-{overline {c}}f(z))}

sobre

G

. A função

H

é univalente e mapas

G

para dentro

D

. Vamos.

{displaystyle F(z)={frac {e^{itheta }(H(z)-H(a))}{1-{overline {H(a)}}H(z)}},}

Onde?

{displaystyle H'(a)/|H'(a)|=e^{-itheta }}

. Então...

{displaystyle Fin {cal {F}}}

e uma computação de rotina mostra que

f'(a)=M.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F?(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =H. H. H.?(um)/(1- Sim. - Sim. |H. H. H.(um)|2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f?(um)(|c|+|c|- Sim. - Sim. 1)/2>f?(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =M.(a)=H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)left({sqrt {|c|}}+{sqrt {|c|^{-1}}}right)/2>f'(a)=M.}f'(a)=M.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a51f78c4088fb7a5ccce568ded93d6832e7d0ee" style="vertical-align: -2.505ex; width:72.305ex; height:6.176ex;"/>

Isso contradiz a máxima

M

, para que

f

deve tomar todos os valores em

D

Observação. Como consequência do teorema de mapeamento de Riemann, cada domínio simplesmente conectado no avião é homeomorfo no disco da unidade. Se os pontos forem omitidos, isso se segue do teorema. Para todo o plano, o homeomorfismo ${displaystyle phi (x)=z/(1+|z|)}$ dá um homeomorfismo de $mathbb {C}$ sobre $D$ .

Mapeamentos de fenda paralela

Teorema de uniformização de Koebe para famílias normais também generaliza para produzir uniformizadores $f$ para domínios multiply conectados a finitos domínios de fenda paralela, onde as fendas têm ângulo $theta$ ao $x$ -axis. Assim, se $G$ é um domínio em $mathbb {C} cup {infty }$ contendo $infty$ e limitado por finitamente muitos contornos Jordan, há uma função univalente única $f$ sobre $G$ com

{displaystyle f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+cdots }

perto $infty$ , maximizando ${displaystyle mathrm {Re} (e^{-2itheta }a_{1})}$ e tendo imagem ${displaystyle f(G)}$ um domínio de fenda paralelo com ângulo $theta$ ao $x$ -axis.

A primeira prova de que domínios de fenda paralela eram domínios canônicos no caso multiplamente conectado foi dada por David Hilbert em 1909. Jenkins (1958), em seu livro sobre funções univalentes e mapeamentos conformes, deu um tratamento baseado no trabalho de Herbert Grötzsch e René de Possel do início da década de 1930; foi o precursor dos mapeamentos quase conformes e diferenciais quadráticos, posteriormente desenvolvidos como a técnica de métrica extrema devido a Oswald Teichmüller. Menahem Schiffer deu um tratamento baseado em princípios variacionais muito gerais, resumidos em discursos que proferiu no Congresso Internacional de Matemáticos em 1950 e 1958. Num teorema sobre a "variação limite" (para distingui-la da "variação interior"), ele derivou uma equação diferencial e uma desigualdade, que se baseava em uma caracterização teórica da medida de segmentos de linha reta devido a Ughtred Shuttleworth Haslam-Jones de 1936. Haslam-Jones& #39; a prova foi considerada difícil e só recebeu uma prova satisfatória em meados da década de 1970 por Schober e Campbell – Lamoureux.

Schiff (1993) deu uma prova de uniformização para domínios de fenda paralela que foi semelhante ao teorema de mapeamento de Riemann. Para simplificar a notação, serão tomadas fendas horizontais. Em primeiro lugar, pela desigualdade de Bieberbach, qualquer função univalente

{displaystyle g(z)=z+cz^{2}+cdots }

com $z$ no disco da unidade aberta deve satisfazer ${displaystyle |c|leq 2}$ . Como consequência, se

{displaystyle f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+cdots }

é univalente em $R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">|zangão.|>R|z|>R} R" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1df003a0a3ea3279f5f3de1a5a6a0463e703f3b" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.244ex; height:2.843ex;"/>$ , então ${displaystyle |f(z)-a_{0}|leq 2|z|}$ . Para ver isto, tome $R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">S>R- Sim. R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebd6a1fbe8e1c434fa71fdc2dbd49ebbbf09010" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.362ex; height:2.176ex;"/>$ e definir

{displaystyle g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}}

para $z$ no disco da unidade, escolhendo $b$ assim o denominador não é nada-vanishing, e aplicar o lemma Schwarz. Próximo a função ${displaystyle f_{R}(z)=z+R^{2}/z}$ é caracterizada por uma "condição extrema" como a função univalente única em $R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">zangão.>R- Sim. R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1f9c42628678170f6c3cf5513fe1e77b59d7ae" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.951ex; height:2.176ex;"/>$ da forma ${displaystyle z+a_{1}z^{-1}+cdots }$ que maximiza ${displaystyle mathrm {Re} (a_{1})}$ : esta é uma consequência imediata do teorema da área de Grönwall, aplicado à família de funções univalentes ${displaystyle f(zR)/R}$ em $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">zangão.>1- Sim. 1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874f0fee4e100662143d0c05e67cb73dec5b2cd1" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;"/>$ .

Para provar agora que o domínio multiply conectado ${displaystyle Gsubset mathbb {C} cup {infty }}$ pode ser uniformizado por um mapeamento conformal horizontal de fenda paralela

{displaystyle f(z)=z+a_{1}z^{-1}+cdots }

Toma. $R$ grande o suficiente para ${displaystyle partial G}$ está no disco aberto $<math alttext="{displaystyle |z||zangão.|<R|z|<R} <img alt="|z|$ . Para $R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">S>R- Sim. R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebd6a1fbe8e1c434fa71fdc2dbd49ebbbf09010" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.362ex; height:2.176ex;"/>$ , univalency e a estimativa ${displaystyle |f(z)|leq 2|z|}$ insinuar que, se $z$ mentiras $G$ com ${displaystyle |z|leq S}$ , então ${displaystyle |f(z)|leq 2S}$ . Desde a família de univalentes $f$ são localmente limitados em ${displaystyle Gsetminus {infty }}$ , pelo teorema de Montel eles formam uma família normal. Além disso, se $f_{n}$ está na família e tende a $f$ uniformemente em compacta, então $f$ é também na família e cada coeficiente da expansão Laurent em $infty$ da $f_{n}$ tende ao coeficiente correspondente de $f$ . Isto aplica-se, em particular, ao coeficiente: assim por compactação há um univalente $f$ que maximiza ${displaystyle mathrm {Re} (a_{1})}$ . Para verificar isso

{displaystyle f(z)=z+a_{1}+cdots }

é a transformação de fenda paralela necessária, suponha reductio ad absurdum que ${displaystyle f(G)=G_{1}}$ tem um componente compacto e conectado $K$ de seu limite que não é uma fenda horizontal. Então o complemento $G_{2}$ de $K$ em $mathbb {C} cup {infty }$ é simplesmente conectado com ${displaystyle G_{2}supset G_{1}}$ . Pelo teorema de mapeamento de Riemann há um mapeamento conformado

{displaystyle h(w)=w+b_{1}w^{-1}+cdots}

tal que ${displaystyle h(G_{2})}$ o $mathbb {C}$ com uma fenda horizontal removida. Então nós temos isso

{displaystyle h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+cdots}

e assim ${displaystyle mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})leq mathrm {Re} (a_{1})}$ pela extremaidade de $f$ . Portanto, ${displaystyle mathrm {Re} (b_{1})leq 0}$ . Por outro lado pelo teorema de mapeamento de Riemann há um mapeamento conformal

{displaystyle k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+cdots}

mapeamento de $S}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">|O quê?|>SNão. |w|>S} S}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ca7f2d32d96a0b81e05cebebcfed500bc7cee2" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.556ex; height:2.843ex;"/>$ sobre $G_{2}$ . Então...

{displaystyle f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+cdots.}

Pela máxima estrita para o mapeamento de fenda no parágrafo anterior, podemos ver que $<math alttext="{displaystyle mathrm {Re} (c_{1})Re(c1)<Re(b)1+c1)(c_{1})<mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})}<img alt="{displaystyle mathrm {Re} (c_{1})$ , para que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Re(b)1)>0(b_{1})>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bf5698f1647d42fe12d8c5748af44bade9b953" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.865ex; height:2.843ex;"/>$ . As duas desigualdades para ${displaystyle mathrm {Re} (b_{1})}$ são contraditórios.

A prova da singularidade da transformação da fenda paralela conformada é dada em Goluzin (1969) e Grunsky (1978). Aplicando o inverso da transformação de Joukowsky $h$ para o domínio de fenda horizontal, pode-se supor que $G$ é um domínio limitado pelo círculo da unidade $C_{0}$ e contém arcos analíticos $C_{i}$ e pontos isolados (as imagens de outro o inverso da transformação de Joukowsky sob as outras fendas horizontais paralelas). Assim, tomando um fixo $ain G$ , há um mapeamento univalente

{displaystyle F_{0}(w)=hcirc f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+cdots}

com sua imagem um domínio de fenda horizontal. Suponha que ${displaystyle F_{1}(w)}$ é outro uniformizador com

{displaystyle F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+cdots.}

As imagens em $F_{0}$ ou $F_{1}$ de cada $C_{i}$ ter um fixo $Sim.$ -coordenar assim são segmentos horizontais. Por outro lado, ${displaystyle F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)}$ é holomorfo em $G$ . Se é constante, então deve ser idêntico zero desde ${displaystyle F_{2}(a)=0}$ . Suponha $F_{2}$ é não-constante, então por suposição ${displaystyle F_{2}(C_{i})}$ são todas as linhas horizontais. Se $t$ não está em uma dessas linhas, o princípio do argumento de Cauchy mostra que o número de soluções de ${displaystyle F_{2}(w)=t}$ em $G$ é zero (qualquer $t$ será eventualmente cercado por contornos em $G$ perto do $C_{i}$ 's). Isso contradiz o fato de que a função holomorfo não-constante $F_{2}$ é um mapeamento aberto.

Prova de esboço via problema de Dirichlet

Conduzido $U$ e um ponto ${displaystyle z_{0}in U}$ , queremos construir uma função $f$ que mapas $U$ para o disco da unidade e $z_{0}$ para ${displaystyle 0}$ . Para este esboço, vamos supor que U é limitado e seu limite é suave, muito como Riemann fez. Escrever

{displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)},}

Onde? $g=u+iv$ é algum (para ser determinado) função holomorfo com parte real $u$ e parte imaginária $v$ . É então claro que $z_{0}$ é o único zero de $f$ . Nós exigimos $|f(z)|=1$ para ${displaystyle zin partial U}$ , então precisamos

u(z)=-log |z-z_{0}|

no limite. Desde então $u$ é a parte real de uma função holomórfica, sabemos que $u$ é necessariamente uma função harmônica; isto é, satisfaz a equação de Laplace.

A pergunta então se torna: faz uma função harmônica real $u$ existir que é definido em todos os $U$ e tem a condição limite dada? A resposta positiva é fornecida pelo princípio Dirichlet. Uma vez a existência de $u$ foi estabelecido, as equações de Cauchy-Riemann para a função holomorfo $g$ nos permitir encontrar $v$ (este argumento depende do pressuposto de que $U$ ser simplesmente conectado). Uma vez. $u$ e $v$ foram construídos, um tem que verificar que a função resultante $f$ de fato tem todas as propriedades necessárias.

Teorema da uniformização

O teorema de mapeamento de Riemann pode ser generalizado para o contexto das superfícies de Riemann: Se $U$ é um subconjunto aberto não vazio de uma superfície de Riemann, então $U$ é biholomorfo para um dos seguintes: a esfera de Riemann, o plano complexo $mathbb {C}$ , ou o disco da unidade $D$ . Isto é conhecido como teorema de uniformização.

Teorema do mapeamento suave de Riemann

No caso de um domínio limitado simplesmente conectado com fronteira suave, a função de mapeamento de Riemann e todas as suas derivadas estendem-se por continuidade até o fechamento do domínio. Isso pode ser provado usando propriedades de regularidade de soluções do problema de valor limite de Dirichlet, que decorrem da teoria dos espaços de Sobolev para domínios planares ou da teoria clássica do potencial. Outros métodos para provar o teorema do mapeamento suave de Riemann incluem a teoria das funções do kernel ou a equação de Beltrami.

Algoritmos

O mapeamento conformal computacional é destaque em problemas de análise aplicada e física matemática, bem como em disciplinas de engenharia, como processamento de imagens.

No início da década de 1980 foi descoberto um algoritmo elementar para computação em mapas conformais. Pontos ${displaystyle z_{0},ldotsz_{n}}$ no plano, o algoritmo computa um mapa conformal explícito do disco unitário em uma região limitada por uma curva Jordan $gamma$ com ${displaystyle z_{0},ldotsz_{n}in gamma.}$ Este algoritmo converge para as regiões da Jordânia no sentido de limites uniformemente próximos. Existem estimativas uniformes correspondentes na região fechada e no disco fechado para as funções de mapeamento e seus inversos. Estimativas melhoradas são obtidas se os pontos de dados estiverem sobre um $C^{1}$ curva ou uma $KK$ -Quadículo. O algoritmo foi descoberto como um método aproximado para soldagem conformada; no entanto, também pode ser visto como uma discretização da equação diferencial Loewner.

O seguinte é conhecido sobre a aproximação numérica do mapeamento conforme entre dois domínios planares.

Resultados positivos:

Há um algoritmo Um que computa o mapa uniformizador no seguinte sentido. Vamos. $Omega$ ser um domínio de conexão simples limitado, e ${displaystyle w_{0}in Omega }$ . $partialOmega$ é fornecido a A por um oráculo representando-o em um sentido pixelado (ou seja, se a tela é dividida em $2^{n}times 2^{n}$ pixels, o oráculo pode dizer se cada pixel pertence ao limite ou não). Então A computa os valores absolutos do mapa uniformizador ${displaystyle phi:(Omegaw_{0})to (D,0)}$ com precisão $2^{-n}$ no espaço limitado por ${displaystyle Cn^{2}}$ e tempo $2^{{O(n)}}$ , onde $C$ depende apenas do diâmetro de $Omega$ e ${displaystyle d(w_{0},partial Omega).}$ Além disso, o algoritmo calcula o valor de $phi(w)$ com precisão $2^{-n}$ enquanto $<math alttext="{displaystyle |phi (w)||φ φ (O quê?)|<1- Sim. - Sim. 2- Sim. - Sim. n.{displaystyle |phi (w)|<1-2^{-n}.}<img alt="{displaystyle |phi (w)|$ Além disso, uma consulta $partialOmega$ com precisão de no máximo ${displaystyle 2^{-O(n)}.}$ Em particular, se $partialOmega$ é o espaço polinomial computável no espaço $n^a$ para alguma constante ${displaystyle ageq 1}$ e tempo $<math alttext="{displaystyle T(n)T(n)<2O(num),{displaystyle T(n)<2^{O(n^{a})},}<img alt="{displaystyle T(n)$ então A pode ser usado para calcular o mapa uniformizador no espaço ${displaystyle Ccdot n^{max(a,2)}}$ e tempo ${displaystyle 2^{O(n^{a})}.}$

Há um algoritmo A′ que computa o mapa uniformizador no seguinte sentido. Vamos. $Omega$ ser um domínio de conexão simples limitado, e ${displaystyle w_{0}in Omega.}$ Suponha que para alguns ${displaystyle n=2^{k},}$ $partialOmega$ é dado a A′ com precisão ${tfrac {1}{n}}$ por $O(n^{2})$ pixels. Então... A′ computa os valores absolutos do mapa uniformizador ${displaystyle phi:(Omegaw_{0})to (D,0)}$ dentro de um erro de $O(1/n)$ em espaço aleatório limitado por $O(k)$ e tempo polinomial em $n=2^k$ (isto é, por um BPL( $n$ )-máquina). Além disso, o algoritmo calcula o valor de $phi(w)$ com precisão ${tfrac {1}{n}}$ enquanto $<math alttext="{displaystyle |phi (w)||φ φ (O quê?)|<1- Sim. - Sim. 1n.|phi (w)|<1-{tfrac {1}{n}}.}<img alt="{displaystyle |phi (w)|$

Resultados negativos:

Suponha que haja um algoritmo Um que deu um domínio simplesmente conectado $Omega$ com um limite computável em tempo linear e um raio interno $1/2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">>1/2Não. 1/2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc77262be924b9984c3ee532829a07ab6672dad" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.941ex; height:2.843ex;"/>$ e um número $n$ computa o primeiro ${displaystyle 20n}$ dígitos do raio conformado ${displaystyle r(Omega0),}$ então podemos usar uma chamada para A para resolver qualquer instância de um #SAT( $n$ ) com uma sobrecarga de tempo linear. Em outras palavras, #P é poli-tempo redutível para computar o raio conformal de um conjunto.

Considere o problema da computação do raio conformado de um domínio simplesmente conectado $Omega,$ onde o limite de $Omega$ é dado com precisão $1/n$ por uma coleção explícita de $O(n^{2})$ pixels. Denota o problema da computação do raio conformado com precisão ${displaystyle 1/n^{c}}$ por ${displaystyle {texttt {CONF}}(n,n^{c}).}$ Então, ${displaystyle {texttt {MAJ}}_{n}}$ é AC0 redutível para ${displaystyle {texttt {CONF}}(n,n^{c})}$ para qualquer $<math alttext="{displaystyle 0<c0<c<12.{displaystyle 0<c< {displaystyle 0} < {displaystyle 0} < {displaystyle 0} < {displaystyle 0} < < {displaystyle 0} < {displaystyle {displaystyle 0} < < {displaystyle {displaystyle 0} < < {displaystyle 0} < {displaystyle 0} < {displaystyle 0} < } } < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < } < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < {1}{2}}.} <img alt="{displaystyle 0<c$

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