Teorema da raiz racional

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Relação entre as raízes racionais de um polinomial e seus coeficientes extremos

Em álgebra, o teorema da raiz racional (ou teste da raiz racional, teorema do zero racional, teste do zero racional > ou $p / q$ teorema) estabelece uma restrição para soluções racionais de uma equação polinomial

{displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{0}=0}

com coeficientes inteiros ${displaystyle a_{i}in mathbb {Z} }$ e ${displaystyle a_{0},a_{n}neq 0}$ . As soluções da equação também são chamadas raízes ou zeros do polinômio no lado esquerdo.

O teorema afirma que cada solução racional $x = p ⁄ q </i$ , escrito em termos mais baixos, de modo que $p$ e $q$ são relativamente primos, satisfazem:

$p$ é um fator inteiro do termo constante $um 0$ e

$q$ é um fator inteiro do coeficiente líder $um n$ .

O teorema da raiz racional é um caso especial (para um único fator linear) do lema de Gauss sobre a fatoração de polinômios. O teorema da raiz integral é o caso especial do teorema da raiz racional quando o coeficiente líder é $a n = 1$ .

Aplicativo

O teorema é usado para encontrar todas as raízes racionais de um polinômio, se houver. Fornece um número finito de frações possíveis que podem ser verificadas para ver se são raízes. Se uma raiz racional $x = r$ for encontrada, um polinômio linear $(x - r)$ pode ser fatorado do polinômio usando a divisão longa do polinômio, resultando em um polinômio de grau inferior cujas raízes também são raízes do polinômio original.

Equação cúbica

A equação cúbica geral

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

com coeficientes inteiros tem três soluções no plano complexo. Se o teste da raiz racional não encontrar soluções racionais, então a única maneira de expressar as soluções algebricamente usa raízes cúbicas. Mas se o teste encontrar uma solução racional $r$ , então fatorar $(x - r)$ deixa um polinômio quadrático cujas duas raízes, encontradas com a fórmula quadrática, são as duas raízes restantes da cúbica, evitando raízes cúbicas.

Provas

Prova elementar

Vamos. ${displaystyle P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}$ com ${displaystyle a_{0},ldots a_{n}in mathbb {Z}.}$

Suponha que $P (p / q) = 0$ para algum coprime $p, q \in ℤ$ :

${displaystyle Pleft({tfrac {p}{q}}right)=a_{n}left({tfrac {p}{q}}right)^{n}+a_{n-1}left({tfrac {p}{q}}right)^{n-1}+cdots +a_{1}left({tfrac {p}{q}}right)+a_{0}=0.}$

Para limpar os denominadores, multiplique ambos os lados por $q n$ :

${displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}$

Deslocando o termo $a 0$ para o lado direito e fatorando o estilo $p$ no lado esquerdo produz:

${displaystyle pleft(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+cdots +a_{1}q^{n-1}right)=-a_{0}q^{n}.}$

Assim, $p$ divide $a 0 q n$ . Mas $p$ é primo de $q$ e, portanto, para $q n$ , então pelo lema de Euclides $p$ deve dividir o fator restante $a 0$ .

Por outro lado, deslocando o termo $a n$ para o lado direito e fatorar $q$ no lado esquerdo produz:

${displaystyle qleft(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+cdots +a_{0}q^{n-1}right)=-a_{n}p^{n}.}$

Raciocinando como antes, segue-se que $q$ divide $a n$ .

Did you mean:
Proof using Gauss 's lemma
Se houver um fator não trivial dividindo todos os coeficientes do polinômio, então pode-se dividir pelo máximo divisor comum dos coeficientes de modo a obter um polinômio primitivo no sentido do lema de Gauss; isto não altera o conjunto de raízes racionais e apenas fortalece as condições de divisibilidade. Esse lema diz que se o polinômio fatora em $Q [X]$ , então ele também fatora em $Z [X]$ como produto de polinômios primitivos. Agora, qualquer raiz racional $p / q$ corresponde a um fator de grau 1 em $Q [X]$ do polinômio, e seu representante primitivo é então $qx - p$ , assumindo que $p$ e $q$ são coprimos. Mas qualquer múltiplo em $Z [X]$ de $qx - p$ tem termo inicial divisível por $q$ e termo constante divisível por $q$ e termo constante divisível por $q$ ">p, o que comprova a afirmação. Este argumento mostra que, de maneira mais geral, qualquer fator irredutível de $P$ pode ter coeficientes inteiros e coeficientes iniciais e constantes dividindo os coeficientes correspondentes de $P$ .
Exemplos
Primeiro
No polinômio
${displaystyle 2x^{3}+x-1,}$
qualquer raiz racional totalmente reduzida teria que ter um numerador que se divide uniformemente em 1 e um denominador que se divide uniformemente em 2. Portanto, as únicas raízes racionais possíveis são ±1/2 e ±1; como nenhum deles iguala o polinômio a zero, ele não tem raízes racionais.
Segundo
No polinômio
${displaystyle x^{3}-7x+6}$
as únicas raízes racionais possíveis teriam um numerador que divide 6 e um denominador que divide 1, limitando as possibilidades a ±1, ±2, ±3 e ±6. Destes, 1, 2 e –3 igualam o polinômio a zero e, portanto, são suas raízes racionais. (Na verdade, estas são as suas únicas raízes, uma vez que uma cúbica tem apenas três raízes; em geral, um polinómio pode ter algumas raízes racionais e outras irracionais.)
Terceiro
Toda raiz racional do polinômio
${displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$
deve estar entre os números
${displaystyle pm {tfrac {1,2}{1,3}}=pm left{1,2,{tfrac {1}{3}},{tfrac {2}{3}}right}.}$
Esses 8 candidatos raiz $x = r$ podem ser testados avaliando $P (r)$ , por exemplo usando o método de Horner. Acontece que existe exatamente um com $P (r) = 0$ .
Este processo pode ser feito mais eficiente: se $P (R) \neq 0$ , pode ser usado para encurtar a lista de candidatos restantes. Por exemplo, $x = 1$ não funciona, como $P (1) = 1$ . Substituto $x = 1 +)$ produz um polinômio em $)$ com termo constante $P (1) = 1$ , enquanto o coeficiente de $) 3$ permanece o mesmo que o coeficiente de $x 3$ . Aplicando o teorema da raiz racional produz assim as possíveis raízes $t=pmtfrac{1}{1,3}$ , para que
${displaystyle x=1+t=2,0,{tfrac {4}{3}},{tfrac {2}{3}}.}$
Did you mean:
True roots must occur on both lists, so list of rational root candidates has shrunk to just x = 2 and x = 2/3.
Se $k \geq 1$ raízes racionais forem encontradas, o método de Horner também produzirá um polinômio de grau $n - k$ cujas raízes, juntamente com as raízes racionais, são exatamente as raízes do polinômio original. Se nenhum dos candidatos for uma solução, não poderá haver solução racional.

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