Teorema binomial

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Expansão algébrica de poderes de um binomial

{displaystyle {begin{array}{c}1\1quad 1\1quad 2quad 1\1quad 3quad 3quad 1\1quad 4quad 6quad 4quad 1\1quad 5quad 10quad 10quad 5quad 1\1quad 6quad 15quad 20quad 15quad 6quad 1\1quad 7quad 21quad 35quad 35quad 21quad 7quad 1end{array}}}

O coeficiente binomial

{tbinom {n}{k}}

aparece como

k

a entrada na

n

a linha do triângulo de Pascal (contando começa em

0

). Cada entrada é a soma dos dois acima dele.

Na álgebra elementar, o teorema binomial (ou expansão binomial) descreve a expansão algébrica de potências de um binômio. De acordo com o teorema, é possível expandir o polinômio $(x + y) n$ em uma soma envolvendo termos da forma $ax b y c$ , onde os expoentes $b$ e $c$ são inteiros não negativos com $b + c = n$ , e o coeficiente $a$ de cada termo é um inteiro positivo específico dependendo de $n$ e $b$ . Por exemplo, para $n = 4$ ,

{displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}

O coeficiente $um$ no termo de $Ax b) Sim. c$ é conhecido como coeficiente binomial ${displaystyle {tbinom {n}{b}}}$ ou ${displaystyle {tbinom {n}{c}}}$ (os dois têm o mesmo valor). Estes coeficientes para variar $n$ e $b)$ pode ser arranjado para formar o triângulo de Pascal. Estes números também ocorrem em combinatória, onde ${displaystyle {tbinom {n}{b}}}$ dá o número de diferentes combinações de $b)$ elementos que podem ser escolhidos de um $n$ - Conjunto de elementos. Portanto ${displaystyle {tbinom {n}{b}}}$ é frequentemente pronunciado como " $n$ escolher $b)$ ".

História

Casos especiais do teorema binomial eram conhecidos desde pelo menos o século 4 aC, quando o matemático grego Euclides mencionou o caso especial do teorema binomial para o expoente $2$ . Há evidências de que o teorema binomial para cubos era conhecido no século VI dC na Índia.

Coeficientes binomiais, como quantidades combinatórias expressando o número de maneiras de selecionar $k$ objetos fora de $n$ sem substituição, eram de interesse para os matemáticos indianos antigos. A referência mais antiga conhecida a este problema combinatório é o Chandaḥśāstra pelo letrista indiano Pingala (c. 200 BC), que contém um método para sua solução. O comentarista Halayudha do século X AD explica este método. No século VI d.C., os matemáticos indianos provavelmente sabiam expressar isso como um quociente. ${textstyle {frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ , e uma declaração clara desta regra pode ser encontrada no texto do século XII Lilavas por Bhaskara.

A primeira formulação do teorema binomial e da tabela de coeficientes binomiais, ao nosso conhecimento, pode ser encontrada em um trabalho de Al-Karaji, citado por Al-Samaw'al em seu "al-Bahir& #34;. Al-Karaji descreveu o padrão triangular dos coeficientes binomiais e também forneceu uma prova matemática tanto do teorema binomial quanto do triângulo de Pascal, usando uma forma inicial de indução matemática. O poeta e matemático persa Omar Khayyam provavelmente estava familiarizado com a fórmula para ordens superiores, embora muitos de seus trabalhos matemáticos tenham sido perdidos. As expansões binomiais de pequenos graus eram conhecidas nos trabalhos matemáticos do século XIII de Yang Hui e também de Chu Shih-Chieh. Yang Hui atribui o método a um texto muito anterior do século 11 de Jia Xian, embora esses escritos também estejam perdidos.

Em 1544, Michael Stifel introduziu o termo "coeficiente binomial" e mostrou como usá-los para expressar $(1+a)^{n}$ em termos de $(1+a)^{{n-1}}$ , via "triângulo de Palcal". Blaise Pascal estudou o triângulo homônimo de forma abrangente em seu Traité du triangular arithmétique. No entanto, o padrão de números já era conhecido pelos matemáticos europeus do final do Renascimento, incluindo Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia e Simon Stevin.

Isaac Newton é geralmente creditado com o teorema binomial generalizado, válido para qualquer expoente racional.

Declaração

De acordo com o teorema, é possível expandir qualquer potência inteira não negativa de $x + y$ em uma soma do formulário

{displaystyle (x+y)^{n}={n choose 0}x^{n}y^{0}+{n choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n choose 2}x^{n-2}y^{2}+cdots +{n choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n choose n}x^{0}y^{n},}

ngeq 0

{tbinom {n}{k}}

{textstyle {binom {n}{0}}x^{n}+cdots }

fórmula binomialidentidade binomial

{displaystyle (x+y)^{n}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}x^{n-k}y^{k}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}x^{k}y^{n-k}.}

x

Sim.

1

Sim.

{displaystyle (1+x)^{n}={n choose 0}x^{0}+{n choose 1}x^{1}+{n choose 2}x^{2}+cdots +{n choose {n-1}}x^{n-1}+{n choose n}x^{n},}

{displaystyle (1+x)^{n}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}x^{k},}

{displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+cdots +nx^{n-1}+x^{n}.}

Exemplos

Aqui estão os primeiros casos do teorema binomial:

{displaystyle {begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.end{aligned}}}

(x + Sim.) n

n

os expoentes de $x$ nos termos $n, n - 1,..., 2, 1, 0$ (o último termo contém implicitamente) $x 0 = 1$ );
os expoentes de $Sim.$ nos termos $0, 1, 2,..., n - 1, n$ (o primeiro termo contém implicitamente) $Sim. 0 = 1$ );
os coeficientes formam o $n$ a linha do triângulo de Pascal;
antes de combinar como termos, há $2 n$ termos $x Eu... Sim. JJ$ na expansão (não mostrado);
depois de combinar como termos, há $n + 1$ termos e seus coeficientes somam a $2 n$ .

Um exemplo ilustrando os dois últimos pontos:

{displaystyle {begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{text{ terms}})\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{text{ terms}})end{aligned}}}

{displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}

Um exemplo simples com um valor positivo específico de $y$ :

{displaystyle {begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.end{aligned}}}

Um exemplo simples com um valor negativo específico de $y$ :

{displaystyle {begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.end{aligned}}}

Explicação geométrica

Visualização da expansão binomial até o 4o poder

Para valores positivos de $a$ e $b$ , o teorema binomial com $n = 2$ é o fato geometricamente evidente de que um quadrado de lado $a + b$ pode ser cortado em um quadrado de lado $a$ , um quadrado de lado $b$ e dois retângulos com lados $a$ e $b$ . Com $n = 3$ , o teorema afirma que um cubo de lado $a + b$ pode ser cortado em um cubo de lado $a$ , um cubo de lado $b$ , três $a \times a \times b$ caixas retangulares e três $a \times b \times b$ caixas retangulares.

Em cálculo, esta imagem também dá uma prova geométrica do derivado $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ se um conjunto $a=x$ e $b=Delta x,$ interpretação $b)$ como uma mudança infinitesimal $um$ , então esta imagem mostra a mudança infinitesimal no volume de um $n$ - hipercubo dimensional, $(x+Delta x)^{n},$ onde o coeficiente do termo linear (em $Delta x$ ) $nx^{n-1},$ a área da $n$ rostos, cada uma de dimensão $n - 1$ :

{displaystyle (x+Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}Delta x+{binom {n}{2}}x^{n-2}(Delta x)^{2}+cdots.}

(Delta x)^{2}

(x^{n})'=nx^{n-1},

"a taxa simples infinita de mudança no volume de uma

n

-cube como o comprimento lateral varia é a área de

n

da sua

(n - 1)

- rostos dimensionais".

Se se integra esta imagem, que corresponde à aplicação do teorema fundamental do cálculo, obtém-se a fórmula de quadratura de Cavalieri, a integral $textstyle {int x^{n-1},dx={tfrac {1}{n}}x^{n}}$ – veja a prova da fórmula de quadratura de Cavalieri para detalhes.

Coeficientes binomiais

Os coeficientes que aparecem na expansão binomial são chamados coeficientes binomiais. Estes são geralmente escritos ${displaystyle {tbinom {n}{k}},}$ e pronunciado " $n$ escolher $k$ ".

Fórmulas

O coeficiente de $x n - k y k$ é dado pela fórmula

{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n!}{k!;(n-k)!}},}

n!

{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n(n-1)cdots (n-k+1)}{k(k-1)cdots 1}}=prod _{ell =1}^{k}{frac {n-ell +1}{ell }}=prod _{ell =0}^{k-1}{frac {n-ell }{k-ell }}}

k

{tbinom {n}{k}}

Interpretação combinatória

O coeficiente binomial ${tbinom {n}{k}}$ pode ser interpretado como o número de maneiras de escolher $k$ elementos de um $n$ - Conjunto de elementos. Isso está relacionado aos binomiais pela seguinte razão: se escrevermos $(x + Sim.) n$ como um produto

{displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)cdots (x+y),}

x

Sim.

x n

x

x n -2 Sim. 2

Sim.

x n -2 Sim. 2

2

n

Provas

Prova combinatória

Exemplo

O coeficiente de $xy 2$ em

{displaystyle {begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\&=xxx+xxy+xyx+{underline {xyy}}+yxx+{underline {yxy}}+{underline {yyx}}+yyy\&=x^{3}+3x^{2}y+{underline {3xy^{2}}}+y^{3}end{aligned}}}

{tbinom {3}{2}}=3

x, Sim.

Sim.

{displaystyle xyy,;yxy,;yyx,}

{1, 2, 3}

{displaystyle {2,3},;{1,3},;{1,2},}

Sim.

Caso geral

Expandindo $(x + y) n$ produz a soma dos $2 n$ produtos da forma $e 1 e 2 ... e n$ onde cada $e i$ é $x$ ou $y$ . A reorganização dos fatores mostra que cada produto é igual a $x n - k y k$ para alguns $k$ entre $0$ e $n$ . Para um determinado $k$ , os seguintes são provados iguais em sucessão:

o número de cópias de $x n - Sim. k Sim. k$ na expansão
o número de $n$ -Caracter $x, Sim.$ strings tendo $Sim.$ em exatamente $k$ posições
o número de $k$ -subconjuntos de elementos ${1, 2,..., n ?$
${displaystyle {tbinom {n}{k}},}$ ou por definição, ou por um argumento combinatorial curto se um estiver definindo ${tbinom {n}{k}}$ como ${displaystyle {tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Isso prova o teorema binomial.

Prova indutiva

A indução produz outra prova do teorema binomial. Quando $n = 0$ , ambos os lados iguais $1$ , desde $x 0 = 1$ e ${displaystyle {tbinom {0}{0}}=1.}$ Agora suponha que a igualdade detém para um dado $n$ ; nós vamos provar para $n + 1$ . Para $JJ, k \geq 0$ , let $Não. f (x, Sim.) JJ, k$ denota o coeficiente de $x JJ Sim. k$ no polinômio $f (x, Sim.)$ . Pela hipótese indutiva, $(x + Sim.) n$ é um polinômio em $x$ e $Sim.$ tal que $(x + Sim.) n] JJ, k$ o ${tbinom {n}{k}}$ se $JJ + k = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n$ e $0$ caso contrário. A identidade

{displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}

(x + Sim.) n + 1

x

Sim.

{displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}

JJ + k = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n + 1

(JJ - 1) + k = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n

JJ + k - 1) = n

{displaystyle {binom {n}{k}}+{binom {n}{k-1}}={binom {n+1}{k}},}

JJ + k \neq n + 1

(JJ - 1) + k \neq n

JJ + k - 1) \neq n

0 + 0 = 0

{displaystyle (x+y)^{n+1}=sum _{k=0}^{n+1}{binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}

n + 1

n

Generalizações

Teorema binomial generalizado de Newton

Por volta de 1665, Isaac Newton generalizou o teorema binomial para permitir expoentes reais diferentes dos inteiros não negativos. (A mesma generalização também se aplica a expoentes complexos.) Nessa generalização, a soma finita é substituída por uma série infinita. Para fazer isso, é preciso dar significado aos coeficientes binomiais com um índice superior arbitrário, o que não pode ser feito usando a fórmula usual com fatoriais. No entanto, para um número arbitrário $r$ , pode-se definir

{displaystyle {r choose k}={frac {r(r-1)cdots (r-k+1)}{k!}}={frac {(r)_{k}}{k!}},}

(cdot)_{k}

R

x

Sim.

| x | > | Sim. |

R

{displaystyle {begin{aligned}(x+y)^{r}&=sum _{k=0}^{infty }{r choose k}x^{r-k}y^{k}\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+cdots.end{aligned}}}

Quando $r$ é um inteiro não negativo, os coeficientes binomiais para $k > r$ são zero, então esta equação se reduz ao teorema binomial usual, e há no máximo $r + 1$ termos diferentes de zero. Para outros valores de $r$ , a série normalmente tem infinitos termos diferentes de zero.

Por exemplo, $r = 1/2$ fornece a seguinte série para a raiz quadrada:

{displaystyle {sqrt {1+x}}=1+{frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+{frac {7}{256}}x^{5}-cdots.}

Tomando $r = -1$ , a série binomial generalizada fornece a fórmula da série geométrica, válida para $| x | < 1$ :

{displaystyle (1+x)^{-1}={frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+cdots.}

De forma mais geral, com $r = - s$ , temos para $| x | < 1$ :

{displaystyle {frac {1}{(1+x)^{s}}}=sum _{k=0}^{infty }{-s choose k}x^{k}=sum _{k=0}^{infty }{s+k-1 choose k}(-1)^{k}x^{k}.}

Assim, por exemplo, quando $s = 1/2$ ,

{displaystyle {frac {1}{sqrt {1+x}}}=1-{frac {1}{2}}x+{frac {3}{8}}x^{2}-{frac {5}{16}}x^{3}+{frac {35}{128}}x^{4}-{frac {63}{256}}x^{5}+cdots.}

Substituindo $x$ por $-x$ produz:

{displaystyle {frac {1}{(1-x)^{s}}}=sum _{k=0}^{infty }{s+k-1 choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=sum _{k=0}^{infty }{s+k-1 choose k}x^{k}.}

Assim, por exemplo, quando $s = 1/2$ , temos para $| x | < 1$ :

{displaystyle {frac {1}{sqrt {1-x}}}=1+{frac {1}{2}}x+{frac {3}{8}}x^{2}+{frac {5}{16}}x^{3}+{frac {35}{128}}x^{4}+{frac {63}{256}}x^{5}+cdots.}

Mais generalizações

O teorema binomial generalizado pode ser estendido para o caso em que $x$ e $y$ são números complexos. Para esta versão, deve-se assumir novamente $| x | > | y |$ e defina os poderes de $x + y$ e $x$ usando um ramo holomórfico de log definido em um disco aberto de raio $| x |$ centralizado em $x$ . O teorema binomial generalizado é válido também para os elementos $x$ e $y$ de uma álgebra de Banach desde que $xy = yx$ e $x$ é invertível e $|| y / x || < 1$ .

Uma versão do teorema binomial é válida para a seguinte família de polinômios símbolo-como Pochhammer: para uma dada constante real $c$ , definir ${displaystyle x^{(0)}=1}$ e

{displaystyle x^{(n)}=prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}

0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>0.- Sim. 0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ab13b00b6f8bb19aea0dcfcc78f18a2b6cbffc" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.302ex; height:2.176ex;"/>

{displaystyle (a+b)^{(n)}=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}

c = 0

Mais geralmente, uma sequência ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty }}$ de polinômios é dito ser de tipo binomial se

${displaystyle deg p_{n}=n}$ para todos $n$ ,
${displaystyle p_{0}(0)=1}$ e
${displaystyle p_{n}(x+y)=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$ para todos $x$ , $y$ e $n$ .

Um operador $Q$ no espaço de polinômios é dito ser o operador de base da sequência ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty }}$ se ${displaystyle Qp_{0}=0}$ e ${displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ para todos ${displaystyle ngeqslant 1}$ . Uma sequência ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty }}$ é binomial se e somente se seu operador de base é um operador Delta. Redação ${displaystyle E^{a}}$ para a mudança por $a$ operador, os operadores Delta correspondentes às famílias "Pochhammer" acima de polinômios são a diferença atrasada ${displaystyle I-E^{-c}}$ para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c>0- Sim. 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;"/>$ , o derivado comum para ${displaystyle c=0}$ , e a diferença para a frente ${displaystyle E^{-c}-I}$ para $<math alttext="{displaystyle cc<0Não. <img alt="{displaystyle c$ .

Teorema multinomial

O teorema binomial pode ser generalizado para incluir potências de somas com mais de dois termos. A versão geral é

{displaystyle (x_{1}+x_{2}+cdots +x_{m})^{n}=sum _{k_{1}+k_{2}+cdots +k_{m}=n}{binom {n}{k_{1},k_{2},ldotsk_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}cdots x_{m}^{k_{m}},}

onde a soma é tomada sobre todas as sequências de índices inteiros nonnegativos $k 1$ através de $k m$ tal que a soma de todos $k Eu...$ o $n$ . (Para cada termo na expansão, os expoentes devem adicionar até $n$ ). Os coeficientes ${displaystyle {tbinom {n}{k_{1},cdotsk_{m}}}}$ são conhecidos como coeficientes multinomiais, e podem ser computados pela fórmula

{displaystyle {binom {n}{k_{1},k_{2},ldotsk_{m}}}={frac {n!}{k_{1}!cdot k_{2}!cdots k_{m}!}}.}

Combinado, o coeficiente multinomial ${displaystyle {tbinom {n}{k_{1},cdotsk_{m}}}}$ conta o número de maneiras diferentes de particionar um $n$ -elemento definido em subconjuntos disjuntos de tamanhos $k 1, k m$ .

Teorema multi-binomial

Ao trabalhar em mais dimensões, geralmente é útil lidar com produtos de expressões binomiais. Pelo teorema binomial isso é igual a

{displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}dotsm sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}dotsc {binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}

Isto pode ser escrito de forma mais concisa, por notação multi-índice, como

{displaystyle (x+y)^{alpha }=sum _{nu leq alpha }{binom {alpha }{nu }}x^{nu }y^{alpha -nu }.}

Regra geral de Leibniz

A regra geral de Leibniz fornece a $n$ ésima derivada de um produto de duas funções em uma forma semelhante à do binômio teorema:

{displaystyle (fg)^{(n)}(x)=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}

Aqui, o sobrescrito $(n)$ indica o $enésima derivada de uma função. Se definir f (x) = e ax e g (x) = e bx e, em seguida, cancela o fator comum de e (a + b) x de ambos os lados do resultado, o teorema binomial ordinário é recuperado.$

Aplicativos

Identidades de múltiplos ângulos

Para os números complexos, o teorema binomial pode ser combinado com a fórmula de Moivre para produzir fórmulas de múltiplos ângulos para o seno e o cosseno. De acordo com a fórmula de De Moivre,

{displaystyle cos left(nxright)+isin left(nxright)=left(cos x+isin xright)^{n}.}

Usando o teorema binomial, a expressão à direita pode ser expandida e, em seguida, as partes reais e imaginárias podem ser obtidas para gerar fórmulas para $cos(nx)$ e $sin(nx)$ . Por exemplo, desde

{displaystyle left(cos x+isin xright)^{2}=cos ^{2}x+2icos xsin x-sin ^{2}x,}

{displaystyle cos(2x)=cos ^{2}x-sin ^{2}xquad {text{and}}quad sin(2x)=2cos xsin x,}

{displaystyle left(cos x+isin xright)^{3}=cos ^{3}x+3icos ^{2}xsin x-3cos xsin ^{2}x-isin ^{3}x,}

{displaystyle cos(3x)=cos ^{3}x-3cos xsin ^{2}xquad {text{and}}quad sin(3x)=3cos ^{2}xsin x-sin ^{3}x.}

{displaystyle cos(nx)=sum _{k{text{ even}}}(-1)^{k/2}{n choose k}cos ^{n-k}xsin ^{k}x}

{displaystyle sin(nx)=sum _{k{text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n choose k}cos ^{n-k}xsin ^{k}x.}

Série para e

O número e geralmente é definido pela fórmula

{displaystyle e=lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}.}

Aplicar o teorema binomial a esta expressão produz a série infinita usual para $e$ . Em particular:

{displaystyle left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}=1+{n choose 1}{frac {1}{n}}+{n choose 2}{frac {1}{n^{2}}}+{n choose 3}{frac {1}{n^{3}}}+cdots +{n choose n}{frac {1}{n^{n}}}.}

O $k$ ésimo termo desta soma é

{displaystyle {n choose k}{frac {1}{n^{k}}}={frac {1}{k!}}cdot {frac {n(n-1)(n-2)cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}

Como $n \to \infty$ , a expressão racional à direita se aproxima de $1$ e, portanto,

{displaystyle lim _{nto infty }{n choose k}{frac {1}{n^{k}}}={frac {1}{k!}}.}

Isso indica que $e$ pode ser escrito como uma série:

{displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}={frac {1}{0!}}+{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}+{frac {1}{3!}}+cdots.}

De fato, uma vez que cada termo da expansão binomial é uma função crescente de $n$ , segue-se do teorema da convergência monótona para série que a soma dessa série infinita é igual a $e$ .

Probabilidade

O teorema binomial está intimamente relacionado à função de massa de probabilidade da distribuição binomial negativa. A probabilidade de uma coleção (contável) de ensaios independentes Bernoulli ${displaystyle {X_{t}}_{tin S}}$ com probabilidade de sucesso ${displaystyle pin [0,1]}$ tudo o que não está acontecendo

{displaystyle Pleft(bigcap _{tin S}X_{t}^{C}right)=(1-p)^{|S|}=sum _{n=0}^{|S|}{|S| choose n}(-p)^{n}.}

Um limite superior para esta quantidade é ${displaystyle e^{-p|S|}.}$

Em álgebra abstrata

O teorema binomial é válido de forma mais geral para dois elementos $x$ e $y$ em um anel, ou mesmo um semi-anel, desde que $xy = yx$ . Por exemplo, vale para duas matrizes $n \times n$ , desde que essas matrizes comutem; isso é útil para computar potências de uma matriz.

O teorema binomial pode ser declarado dizendo que a sequência polinomial ${1, x, x 2, x 3,...}$ é do tipo binomial.

Na cultura popular

O teorema binomial é mencionado na canção do Major-General na ópera cômica Os Piratas da Pensilvência.
O professor Moriarty é descrito por Sherlock Holmes como tendo escrito um tratado sobre o teorema binomial.
O poeta português Fernando Pessoa, usando o heteronym Álvaro de Campos, escreveu que "O Binomial de Newton é tão bonito quanto o Vénus de Milo. A verdade é que poucas pessoas percebem isso."
No filme de 2014 O Jogo de Imitação, Alan Turing faz referência ao trabalho de Isaac Newton no teorema binomial durante sua primeira reunião com o Comandante Denniston no Bletchley Park.

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