Subgrupo normal

Em álgebra abstrata, uma subgrupo normal (também conhecido como um subgrupo invariável ou subgrupo auto-conjugado) é um subgrupo que é invariante sob conjugação por membros do grupo do qual é uma parte. Em outras palavras, um subgrupo NNão. do grupo GNão. G. é normal GNão. G. se e somente se gng- Sim. - Sim. 1∈ ∈ N{displaystyle gng^{-1}in N} para todos g∈ ∈ G- Não. e n∈ ∈ N.{displaystyle nin N.} A notação usual para esta relação é N◃ ◃ G.Não. Ntriangleleft G.

Os subgrupos normais são importantes porque (e só eles) podem ser usados para construir grupos quocientes do grupo dado. Além disso, os subgrupos normais de GNão. G. são precisamente os núcleos de homomorfismos de grupo com domínio G,Não. G, o que significa que eles podem ser usados para classificar internamente esses homomorfismos.

Évariste Galois foi o primeiro a perceber a importância da existência de subgrupos normais.

Definições

Um subgrupo NNão. de um grupo GNão. G. é chamado de subgrupo normal de GNão. G. se é invariante sob conjugação; isto é, a conjugação de um elemento de NNão. por um elemento de GNão. G. está sempre dentro N.Não. Não. A notação usual para esta relação é N◃ ◃ G.Não. Ntriangleleft G.

Condições equivalentes

Para qualquer subgrupo NNão. de G,Não. G, as seguintes condições são equivalentes a NNão. ser um subgrupo normal de G.Não. G. Portanto, qualquer um deles pode ser tomado como a definição.

• A imagem da conjugação de NNão. por qualquer elemento de GNão. G. é um subconjunto de N,Não. Não. Ou seja, gNg- Sim. - Sim. 1? ? N{displaystyle gNg^{-1}subset] Não. para todos g∈ ∈ G- Não.
• A imagem da conjugação de NNão. por qualquer elemento de GNão. G. é igual a N,Não. Não. Ou seja, gNg- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =N- Sim. para todos g∈ ∈ G- Não..
• Para todos g∈ ∈ G,{displaystyle gin G,} os cosets esquerdo e direito gNNão. e NgNão. Não. são iguais.
• Os conjuntos de conjuntos esquerdo e direito de NNão. em GNão. G. coincide.
• Multiplicação em GNão. G. preserva a relação de equivalência "está no mesmo coset esquerdo como". Isto é, para cada g,g?,h,h?∈ ∈ G- Sim. satisfazendo gN= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g?NNão. e hN= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h?NNão.nós temos (gh)N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(g?h?)N.Não.
• Existe um grupo no conjunto de conjuntos esquerdos de NNão. onde a multiplicação de quaisquer dois cosets esquerdos gNNão. e hNNão. produz o coset esquerdo (gh)N(g)N}. (Este grupo é chamado de grupo quotidiano de GNão. G. Modulo NNão., denotado G/NNão. G/N.)
• NNão. é uma união de classes conjugadas de G.Não. G.
• NNão. é preservado pelos automorfismos internos de G.Não. G.
• Há algum homomorfismo de grupo G→ → H. H. H.Não. Gto H. cujo kernel é N.Não. Não.
• Existe um homomorfismo de grupo φ φ :G→ → H. H. H.{displaystyle phi:Gto H} cujas fibras formam um grupo onde o elemento de identidade é NNão. e multiplicação de quaisquer duas fibras φ φ - Sim. - Sim. 1(h1)(h_{1})} e φ φ - Sim. - Sim. 1(h2)(h_{2})} produz a fibra φ φ - Sim. - Sim. 1(h1h2)(h_{1}h_{2})}. (Este grupo é o mesmo grupo G/NNão. G/N mencionado acima.)
• Há alguma relação de congruência em GNão. G. para a qual a classe de equivalência do elemento de identidade é NNão..
• Para todos n∈ ∈ NNão. e g∈ ∈ G,{displaystyle gin G,} o comutador Não.n,g]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n- Sim. - Sim. 1g- Sim. - Sim. 1ng- Sim. em N.Não. Não.
• Qualquer dois elementos comutar modulo a relação de associação subgrupo normal. Isso é, para todos g,h∈ ∈ G,{displaystyle g,hin G,} gh∈ ∈ NNão. se e somente se hg∈ ∈ N.{displaystyle hgin N.}

Exemplos

Para qualquer grupo G,Não. G, o subgrupo trivial (e?{displaystyle {e}} consistindo apenas no elemento de identidade de GNão. G. é sempre um subgrupo normal de G.Não. G. Igualmente. GNão. G. é sempre um subgrupo normal de G.Não. G. (Se estes são os únicos subgrupos normais, então GNão. G. é dito ser simples.) Outros subgrupos normais nomeados de um grupo arbitrário incluem o centro do grupo (o conjunto de elementos que comutam com todos os outros elementos) e o subgrupo comutador Não.G,G].[G,G].} Mais geralmente, uma vez que a conjugação é um isomorfismo, qualquer subgrupo característico é um subgrupo normal.

Se GNão. G. é um grupo abeliano, então cada subgrupo NNão. de GNão. G. é normal, porque gN= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(gn?n∈ ∈ N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ng?n∈ ∈ N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Ng.Não. gN={gn}_{nin N}={ng}_{nin Não. Mais geralmente, para qualquer grupo GNão. G., cada subgrupo do centro Z.(G)(G)} de GNão. G. é normal GNão. G.. (No caso especial que GNão. G. é abeliano, o centro é tudo GNão. G., daí o fato de que todos os subgrupos de um grupo abeliano são normais.) Um grupo que não é abeliano, mas para o qual cada subgrupo é normal é chamado de grupo Hamiltoniano.

Um exemplo concreto de um subgrupo normal é o subgrupo N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((1),(123),(132)?{displaystyle N={(1),(123),(132)}} do grupo simétrico S3,Não. S_{3}, consistindo da identidade e ambos os três ciclos. Em particular, pode-se verificar que cada conjunto de NNão. é igual a NNão. ou é igual a (12)N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((12),(23),(13)?.(23),(13)} Por outro lado, o subgrupo H. H. H.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((1),(12)?Não. H={(1),(12)}} não é normal S3Não. S_{3}} desde então (123)H. H. H.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((123),(13)?≠ ≠ ((123),(23)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =H. H. H.(123).{displaystyle (123)H={(123),(13)}neq {(123),(23)}=H(123).} Isso ilustra o fato geral de que qualquer subgrupo H. H. H.≤ ≤ GNão. Hleq G} do índice dois é normal.

Como exemplo de um subgrupo normal dentro de um grupo matriz, considere o grupo linear geral GLn(R){displaystyle mathrm {GL} _{n}(mathbf {R})} de todos invertíveis n× × n{displaystyle ntimes n} matrizes com entradas reais sob o funcionamento da multiplicação da matriz e seu subgrupo SLn(R){displaystyle mathrm {SL} _{n}(mathbf {R})} de todos n× × n{displaystyle ntimes n} matrizes de determinante 1 (o grupo linear especial). Para ver por que o subgrupo SLn(R){displaystyle mathrm {SL} _{n}(mathbf {R})} é normal GLn(R){displaystyle mathrm {GL} _{n}(mathbf {R})}, considerar qualquer matriz X- Sim. em SLn(R){displaystyle mathrm {SL} _{n}(mathbf {R})} e qualquer matriz invertível ANão. A.. Então usando as duas identidades importantes - Não.(AB)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Não.(A)- Não.(B){displaystyle det(AB)=det(A)det(B)} e - Não.(A- Sim. - Sim. 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Não.(A)- Sim. - Sim. 1{displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1}}, um tem isso - Não.(AXA- Sim. - Sim. 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Não.(A)- Não.(X)- Não.(A)- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Não.(X)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle det(AXA^{-1})=det(A)det(X)det(A)^{-1}=det(X)=1}, e assim AXA- Sim. - Sim. 1∈ ∈ SLn(R){displaystyle AXA^{-1}in mathrm {SL} _{n}(mathbf {R})} também. Isto significa: SLn(R){displaystyle mathrm {SL} _{n}(mathbf {R})} é fechado sob conjugação em GLn(R){displaystyle mathrm {GL} _{n}(mathbf {R})}, então é um subgrupo normal.

No grupo Cubo de Rubik, os subgrupos que consistem em operações que afetam apenas as orientações das peças dos cantos ou das arestas são normais.

O grupo de translação é um subgrupo normal do grupo euclidiano em qualquer dimensão. Isso significa: aplicar uma transformação rígida, seguida de uma translação e depois a transformação rígida inversa, tem o mesmo efeito de uma única translação. Em contraste, o subgrupo de todas as rotações em torno da origem não é um subgrupo normal do grupo euclidiano, desde que a dimensão seja pelo menos 2: primeiro translacionando, depois girando em torno da origem e então translacionando back normalmente não fixará a origem e, portanto, não terá o mesmo efeito que uma única rotação em torno da origem.

Propriedades

• Se H. H. H.Não. H. é um subgrupo normal de G,Não. G, e KKNão. é um subgrupo de GNão. G. contendo H. H. H.,Não. H, então H. H. H.Não. H. é um subgrupo normal de KK.Não. K.
• Um subgrupo normal de um subgrupo normal de um grupo não precisa ser normal no grupo. Ou seja, a normalidade não é uma relação transitiva. O menor grupo exibindo este fenômeno é o grupo dihedral de ordem 8. No entanto, um subgrupo característico de um subgrupo normal é normal. Um grupo em que a normalidade é transitiva é chamado de grupo T.
• Os dois grupos GNão. G. e H. H. H.Não. H. são subgrupos normais de seu produto direto G× × H. H. H..Não. Gtimes H.}
• Se o grupo GNão. G. é um produto semidireto G= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =N⋊ ⋊ H. H. H.,{displaystyle G=Nrtimes H, então NNão. é normal G,Não. G, embora H. H. H.Não. H. não precisa ser normal em G.Não. G.
• Se MNão. e NNão. são subgrupos normais de um grupo aditivo GNão. G. tal que G= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =M+NNão. G=M+N e M─ ─ N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0?Não. Mcap N={0}}, então G= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =M⊕ ⊕ N.G=Moplus Não.
• A normalidade é preservada sob homomorfismos surjetivos; isto é, se G→ → H. H. H.Não. Gto H. é um grupo subjetivo homomorfismo e NNão. é normal G,Não. G, então a imagem f(N)(N)} é normal H. H. H..Não. H.
• A normalidade é preservada tomando imagens inversas; isto é, se G→ → H. H. H.Não. Gto H. é um grupo homomorfismo e NNão. é normal H. H. H.,Não. H, então a imagem inversa f- Sim. - Sim. 1(N)(N)} é normal G.Não. G.
• A normalidade é preservada na tomada de produtos diretos; isto é, se N1◃ ◃ G1Não. N_{1}triangleleft G_{1}} e N2◃ ◃ G2,Não. N_{2}triangleleft G_{2}, então N1× × N2◃ ◃ G1× × G2.Não. N_{1}times N_{2};triangleleft ;G_{1}times G_{2}.
• Cada subgrupo do índice 2 é normal. Mais geralmente, um subgrupo, H. H. H.,Não. H, de índice finito, n,Não. em GNão. G. contém um subgrupo, KK,- Sim. normal em GNão. G. e de índice de divisão n!Não! chamado de núcleo normal. Em particular, se pNão. é o menor primo dividindo a ordem de G,Não. G, em seguida, cada subgrupo de índice pNão. é normal.
• O fato de que subgrupos normais de GNão. G. são precisamente os núcleos de homomorfismos de grupo definidos em GNão. G. contas para alguns da importância dos subgrupos normais; eles são uma maneira de classificar internamente todos os homomorfismos definidos em um grupo. Por exemplo, um grupo finito não-identidade é simples se e somente se é isomorfo para todas as suas imagens homomórficas não-identidade, um grupo finito é perfeito se e somente se não tem subgrupos normais de índice primo, e um grupo é imperfeito se e somente se o subgrupo derivado não for complementado por nenhum subgrupo normal adequado.

Rede de subgrupos normais

Dado dois subgrupos normais, NNão. e M,- Sim. de G,Não. G, sua interseção N─ ─ MNão. Ncap M.e seu produto NM= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(nm:n∈ ∈ Nem∈ ∈ M?{displaystyle NM={nm:nin N;{text{ e }};min M}} também são subgrupos normais de G.Não. G.

Os subgrupos normais de GNão. G. formar um treliça sob inclusão subconjunto com menos elemento, (e?,Não. - Sim. e maior elemento, G.Não. G. O encontro de dois subgrupos normais, NNão. e M,- Sim. nesta treliça é a sua interseção e a junção é o seu produto.

A treliça é completa e modular.

Subgrupos normais, grupos quocientes e homomorfismos

Se NNão. é um subgrupo normal, podemos definir uma multiplicação em cosets da seguinte forma:

(um1N)(um2N)?(um1um2)N.{displaystyle left(a_{1}Nright)left(a_{2}Nright):=left(a_{1}a_{2}right)N.}

G/N× × G/N→ → G/N.{displaystyle G/Ntimes G/Nto G/N.}

um1,um2{displaystyle a_{1},a_{2}}

um1?∈ ∈ um1N,um2?∈ ∈ um2N.{displaystyle a_{1}'in a_{1}N,a_{2}'in a_{2}N.}

n1,n2∈ ∈ NNão. n_{1},n_{2}in N}

um1?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1n1,um2?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um2n2.Não. a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}

um1?um2?N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1n1um2n2N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1um2n1?n2N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1um2N,Não. a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N

NNão.

n1?∈ ∈ N{displaystyle n_{1}'in N}

n1um2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um2n1?.Não. n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}

Com esta operação, o conjunto de conjuntos é em si um grupo, chamado grupo quociente e denotado com G/N.Não. Há um homomorfismo natural, f:G→ → G/N,{displaystyle f:Gto G/N,} por f(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umN.- Sim. Este mapa de homomorfismo NNão. no elemento de identidade G/N,Não. G/N, que é o coset eN= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =N,EN=N,} Isso é, ker⁡ ⁡ (f)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =N.{displaystyle ker(f)=N.}

Em geral, um homomorfismo de grupo, f:G→ → H. H. H.{displaystyle f:Gto H} envia subgrupos de GNão. G. para subgrupos de H. H. H..Não. H. Além disso, a preimagem de qualquer subgrupo de H. H. H.Não. H. é um subgrupo de G.Não. G. Chamamos a preimagem do grupo trivial (e?{displaystyle {e}} em H. H. H.Não. H. o kernel do homomorfismo e denota-o por ker⁡ ⁡ f.{displaystyle ker f.} Como acontece, o kernel é sempre normal e a imagem de G,f(G),{displaystyle G,f(G),} é sempre isomorfo G/ker⁡ ⁡ f{displaystyle G/ker f} (o primeiro teorema do isomorfismo). Na verdade, esta correspondência é uma bijeção entre o conjunto de todos os grupos quocientes de G,G/N,{displaystyle G, G/N,} e o conjunto de todas as imagens homomórficas de GNão. G. (até isomorfismo). Também é fácil ver que o kernel do mapa quociente, f:G→ → G/N,{displaystyle f:Gto G/N,} o NNão. em si, de modo que os subgrupos normais são precisamente os núcleos de homomorfismos com domínio G.Não. G.