Sistema de coordenadas

Em geometria, um sistema de coordenadas é um sistema que usa um ou mais números, ou coordenadas, para determinar exclusivamente a posição dos pontos ou outros elementos geométricos em um variedade como o espaço euclidiano. A ordem das coordenadas é significativa e às vezes elas são identificadas por sua posição em uma tupla ordenada e às vezes por uma letra, como em "a coordenada x". As coordenadas são consideradas números reais na matemática elementar, mas podem ser números complexos ou elementos de um sistema mais abstrato, como um anel comutativo. O uso de um sistema de coordenadas permite que problemas de geometria sejam traduzidos em problemas de números e vice-versa; esta é a base da geometria analítica.

Sistemas de coordenadas comuns

Reta numérica

O exemplo mais simples de sistema de coordenadas é a identificação de pontos em uma reta com números reais usando a reta numérica. Neste sistema, um ponto arbitrário O (a origem) é escolhido em uma determinada linha. A coordenada de um ponto P é definida como a distância sinalizada de O a P, onde a distância sinalizada é a distância considerada positiva ou negativa dependendo de qual lado da linha P está. Cada ponto recebe uma coordenada única e cada número real é a coordenada de um ponto único.

Sistema de coordenadas cartesianas

O exemplo prototípico de um sistema de coordenadas é o sistema de coordenadas cartesianas. No plano, duas retas perpendiculares são escolhidas e as coordenadas de um ponto são consideradas as distâncias sinalizadas às retas.

Em três dimensões, três planos mutuamente ortogonais são escolhidos e as três coordenadas de um ponto são as distâncias sinalizadas para cada um dos planos. Isso pode ser generalizado para criar coordenadas n para qualquer ponto no espaço euclidiano n-dimensional.

Dependendo da direção e da ordem dos eixos coordenados, o sistema tridimensional pode ser um sistema destro ou canhoto.

Sistema de coordenadas polares

Outro sistema de coordenadas comum para o plano é o sistema de coordenadas polares. Um ponto é escolhido como o pólo e um raio deste ponto é considerado o eixo polar. Para um determinado ângulo θ, existe uma única linha que passa pelo pólo cujo ângulo com o eixo polar é θ (medido no sentido anti-horário do eixo até a linha). Então há um ponto único nesta linha cuja distância sinalizada da origem é r para um determinado número r. Para um determinado par de coordenadas (r, θ) existe um único ponto, mas qualquer ponto é representado por muitos pares de coordenadas. Por exemplo, (r, θ), (r, θ+2π) e (−r, θ+π) são todas coordenadas polares para o mesmo ponto. O pólo é representado por (0, θ) para qualquer valor de θ.

Sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas

Existem dois métodos comuns para estender o sistema de coordenadas polares para três dimensões. No sistema de coordenadas cilíndricas, uma coordenada z com o mesmo significado que nas coordenadas cartesianas é adicionada ao r e θ coordenadas polares fornecendo um triplo (r, θ, z). As coordenadas esféricas vão um passo além, convertendo o par de coordenadas cilíndricas (r, z) em coordenadas polares (ρ, φ ) fornecendo um triplo (ρ, θ, φ).

Sistema de coordenadas homogêneo

Um ponto no plano pode ser representado em coordenadas homogêneas por um triplo (x, y, z) onde x/z e y/z são as coordenadas cartesianas do ponto. Isso introduz um recurso "extra" coordenadas, pois apenas duas são necessárias para especificar um ponto no plano, mas este sistema é útil porque representa qualquer ponto no plano projetivo sem o uso do infinito. Em geral, um sistema de coordenadas homogêneo é aquele em que apenas as proporções das coordenadas são significativas e não os valores reais.

Outros sistemas comumente usados

Alguns outros sistemas de coordenadas comuns são os seguintes:

• As coordenadas curvas são uma generalização de sistemas de coordenadas em geral; o sistema é baseado na interseção de curvas.
  • Coordenadas ortogonais: superfícies de coordenadas encontram-se em ângulos retos
  • Coordenadas do esqueleto: as superfícies de coordenadas não são ortogonais
• O sistema de coordenadas log-polar representa um ponto no plano pelo logaritmo da distância da origem e um ângulo medido de uma linha de referência que cruza a origem.
• As coordenadas Plücker são uma forma de representar linhas no espaço Euclidiano 3D usando um conjunto de seis números como coordenadas homogêneas.
• Coordenadas generalizadas são usadas no tratamento Lagrangian da mecânica.
• As coordenadas canônicas são usadas no tratamento Hamiltoniano da mecânica.
• Sistema de coordenadas baricêntricas como usado para tramas ternary e mais geralmente na análise de triângulos.
• As coordenadas trilineares são usadas no contexto dos triângulos.

Existem maneiras de descrever curvas sem coordenadas, usando equações intrínsecas que usam quantidades invariantes como curvatura e comprimento de arco. Esses incluem:

• A equação de Whewell relaciona o comprimento do arco e o ângulo tangencial.
• A equação de Cesàro relaciona o comprimento do arco e a curvatura.

Coordenadas de objetos geométricos

Os sistemas de coordenadas são frequentemente usados para especificar a posição de um ponto, mas também podem ser usados para especificar a posição de figuras mais complexas, como linhas, planos, círculos ou esferas. Por exemplo, as coordenadas de Plücker são usadas para determinar a posição de uma linha no espaço. Quando há necessidade, o tipo de figura descrita é usado para distinguir o tipo de sistema de coordenadas, por exemplo o termo coordenadas de linha é usado para qualquer sistema de coordenadas que especifica a posição de uma linha.

Pode acontecer que sistemas de coordenadas para dois conjuntos diferentes de figuras geométricas sejam equivalentes em termos de análise. Um exemplo disso são os sistemas de coordenadas homogêneas para pontos e retas no plano projetivo. Os dois sistemas num caso como este são considerados dualísticos. Os sistemas dualísticos têm a propriedade de que os resultados de um sistema podem ser transferidos para outro, uma vez que esses resultados são apenas interpretações diferentes do mesmo resultado analítico; isso é conhecido como o princípio da dualidade.

Transformações

Há muitas vezes diferentes sistemas de coordenadas possíveis para descrever figuras geométricas. A relação entre diferentes sistemas é descrita por transformações de coordenadas, que fornecem fórmulas para as coordenadas de um sistema em termos das coordenadas de outro sistema. Por exemplo, no plano, se coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ) têm a mesma origem, e o eixo polar é o eixo x positivo, então a transformação das coordenadas polares em coordenadas cartesianas é dada por x = r cosθ e y = r sinθ.

A cada bijeção do espaço para si mesmo duas transformações de coordenadas podem ser associadas:

• Tais que as novas coordenadas da imagem de cada ponto são as mesmas que as coordenadas antigas do ponto original (as fórmulas para o mapeamento são o inverso daqueles para a transformação da coordenada)
• Tais que as coordenadas antigas da imagem de cada ponto são as mesmas que as novas coordenadas do ponto original (as fórmulas para o mapeamento são as mesmas que as para a transformação da coordenada)

Por exemplo, em 1D, se o mapeamento for uma translação de 3 para a direita, o primeiro move a origem de 0 para 3, de modo que a coordenada de cada ponto se torna 3 a menos, enquanto o segundo move a origem de 0 para −3, de modo que a coordenada de cada ponto se torne mais 3.

Coordenar linhas/curvas e planos/superfícies

Dado um sistema de coordenadas, se uma das coordenadas de um ponto varia enquanto as outras coordenadas são mantidas constantes, então a curva resultante é chamada de curva de coordenadas. Se uma curva coordenada for uma linha reta, ela será chamada de linha coordenada. Um sistema de coordenadas para o qual algumas curvas de coordenadas não são retas é chamado de sistema de coordenadas curvilíneas.

Uma linha de coordenadas com todas as coordenadas constantes iguais a zero é chamada de eixo de coordenadas.

Em um sistema de coordenadas cartesianas, todas as curvas de coordenadas são linhas e, portanto, existem tantos eixos de coordenadas quanto coordenadas. Além disso, os eixos coordenados são ortogonais aos pares.

Um sistema de coordenadas polares é um sistema curvilíneo onde as curvas de coordenadas são linhas ou círculos. No entanto, uma das curvas coordenadas é reduzida a um único ponto, a origem, que muitas vezes é vista como um círculo de raio zero. Da mesma forma, os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas possuem curvas coordenadas que são linhas, círculos ou círculos de raio zero.

Muitas curvas podem ocorrer como curvas coordenadas. Por exemplo, as curvas coordenadas de coordenadas parabólicas são parábolas.

No espaço tridimensional, se uma coordenada for mantida constante e as outras duas puderem variar, então a superfície resultante é chamada de superfície coordenada. Por exemplo, as superfícies coordenadas obtidas mantendo ρ constante no sistema de coordenadas esféricas são as esferas com centro na origem. No espaço tridimensional, a intersecção de duas superfícies coordenadas é uma curva coordenada. No sistema de coordenadas cartesianas podemos falar de planos coordenados.

Da mesma forma, hipersuperfícies coordenadas são os espaços (n − 1)-dimensionais resultantes da fixação de uma única coordenada de um sistema de coordenadas n-dimensional.

Mapas de coordenadas

O conceito de um mapa de coordenadas, ou gráfico de coordenadas é central para a teoria das variedades. Um mapa de coordenadas é essencialmente um sistema de coordenadas para um subconjunto de um determinado espaço com a propriedade de que cada ponto possui exatamente um conjunto de coordenadas. Mais precisamente, um mapa de coordenadas é um homeomorfismo de um subconjunto aberto de um espaço X para um subconjunto aberto de R^{n. Muitas vezes não é possível fornecer um sistema de coordenadas consistente para um espaço inteiro. Neste caso, uma coleção de mapas de coordenadas é reunida para formar um atlas que cobre o espaço. Um espaço equipado com tal atlas é chamado de variedade e uma estrutura adicional pode ser definida em uma variedade se a estrutura for consistente onde os mapas de coordenadas se sobrepõem. Por exemplo, uma variedade diferenciável é uma variedade onde a mudança de coordenadas de um mapa de coordenadas para outro é sempre uma função diferenciável.}

Coordenadas baseadas em orientação

Em geometria e cinemática, os sistemas de coordenadas são usados para descrever a posição (linear) de pontos e a posição angular de eixos, planos e corpos rígidos. Neste último caso, a orientação de um segundo sistema de coordenadas (normalmente referido como "local"), fixado ao nó, é definida com base no primeiro (normalmente referido como "global").; ou sistema de coordenadas "mundo"). Por exemplo, a orientação de um corpo rígido pode ser representada por uma matriz de orientação, que inclui, nas suas três colunas, as coordenadas cartesianas de três pontos. Estes pontos são utilizados para definir a orientação dos eixos do sistema local; são as pontas de três vetores unitários alinhados com esses eixos.

Sistemas geográficos

A Terra como um todo é um dos espaços geométricos mais comuns que requerem a medição precisa da localização e, portanto, dos sistemas de coordenadas. Começando com os gregos do período helenístico, uma variedade de sistemas de coordenadas foram desenvolvidos com base nos tipos acima, incluindo:

• Sistema de coordenadas geográficas, as coordenadas esféricas de latitude e longitude
• Sistemas de coordenadas projetados, incluindo milhares de sistemas de coordenadas cartesianas, cada um com base em uma projeção de mapas para criar uma superfície planar do mundo ou uma região.
• Sistema de coordenadas geocêntricas, um sistema de coordenadas cartesiana tridimensional que modela a terra como objeto, e são mais comumente usados para modelar as órbitas dos satélites, incluindo o Sistema de Posicionamento Global e outros sistemas de navegação por satélite.