Se e apenas se

Em lógica e campos relacionados, como matemática e filosofia, "se e somente se" (abreviado como "iff") é um conectivo lógico bicondicional entre declarações, onde ambas as declarações são verdadeiras ou ambas são falsas.

O conectivo é bicondicional (uma declaração de equivalência de material) e pode ser comparado ao condicional de material padrão ("somente se", igual a "se... então") combinado com seu reverso ("se"); daí o nome. O resultado é que a verdade de qualquer uma das declarações conectadas requer a verdade da outra (ou seja, ambas as declarações são verdadeiras ou ambas são falsas), embora seja controverso se o conectivo assim definido é adequadamente traduzido pelo inglês &# 34;se e somente se"—com seu significado pré-existente. Por exemplo, P se e somente se Q significa que P é verdadeiro sempre que Q é verdadeiro, e o único caso em que P é verdadeiro se Q também for verdadeiro, enquanto no caso de P se Q, pode haver outros cenários em que P é verdadeiro e Q é falso.

Na escrita, frases comumente usadas como alternativas para P "se e somente se" Q incluem: Q é necessário e suficiente para P, para P é necessário e suficiente que Q, P é equivalente (ou materialmente equivalente) a Q (compare com a implicação material), P precisamente se Q, P precisamente (ou exatamente) quando Q, P exatamente no caso Q, e P apenas no caso de Q. Alguns autores consideram "se" como inadequado na escrita formal; outros o consideram um "caso limítrofe" e tolerar seu uso.

Em fórmulas lógicas, símbolos lógicos, como ↔ ↔ {displaystyle leftrightarrow } e ⇔ ⇔ Não. "Leftrightarrow", são usados em vez dessas frases; veja § Notação abaixo.

Definição

A tabela da verdade P ⇔ ⇔ Não. "Leftrightarrow" Q é o seguinte:

Tabela da Verdade

P	Q	P ⇒ ⇒ Não. #Rightarrow } Q	P ⇐ ⇐ Não. - Não. Q	P⇔ ⇔ Não. "Leftrightarrow" Q
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

É equivalente ao produzido pela porta XNOR e oposto ao produzido pela porta XOR.

Uso

Notação

Os símbolos lógicos correspondentes são "}", "⇔ ⇔ Não. "Leftrightarrow"", e "≡", e às vezes "iff". Estes são geralmente tratados como equivalentes. No entanto, alguns textos de lógica matemática (particularmente aqueles em lógica de primeira ordem, em vez de lógica proposicional) fazem uma distinção entre estes, em que o primeiro, φ, é usado como um símbolo em fórmulas lógicas, enquanto). é usado no raciocínio sobre essas fórmulas lógicas (por exemplo, em metalogic). Na notação polonesa de Łukasiewicz, é o símbolo de prefixo 'E'.

Outro termo para o conectivo lógico, ou seja, o símbolo em fórmulas lógicas, é nem exclusivo.

Em TeX, "se e somente se" é mostrado como uma flecha dupla longa: ⟺ ⟺ - Sim. via comando iff.

Provas

Na maioria dos sistemas lógicos, prova-se uma afirmação da forma "P iff Q" provando "se P, então Q" e "se Q, então P", ou "se P, então Q" e "se não-P, então não-Q". Provar esse par de afirmações às vezes leva a uma prova mais natural, uma vez que não há condições óbvias nas quais alguém inferiria um bicondicional diretamente. Uma alternativa é provar a disjunção "(P e Q) ou (não-P e não-Q)", que pode ser inferida diretamente de qualquer um de seus disjuntos - isto é, porque "se" é verofuncional, "P iff Q" segue se P e Q foram mostrados como verdadeiros ou falsos.

Origem do iff e pronúncia

O uso da abreviatura "iff" apareceu impresso pela primeira vez no livro General Topology de John L. Kelley, de 1955. Sua invenção é frequentemente creditada a Paul Halmos, que escreveu "eu inventei 'iff,' para 'se e somente se'-mas eu nunca pude acreditar que fui realmente seu primeiro inventor."

Não está claro como "iff" era para ser pronunciado. Na prática atual, a única 'palavra' "se" é quase sempre lido como as quatro palavras "se e somente se". No entanto, no prefácio de Topologia geral, Kelley sugere que deve ser lido de forma diferente: "Em alguns casos onde o conteúdo matemático requer 'se e somente se' e a eufonia exige algo menos. Eu uso Halmos'; 'se'". Os autores de um livro de matemática discreta sugerem: "Se você precisar pronunciar iff, realmente segure o 'ff' para que as pessoas ouçam a diferença de 'if'", implicando que "iff" poderia ser pronunciado como [ɪfː].

Uso nas definições

Tecnicamente, as definições são "se e somente se" declarações; alguns textos — como a Topologia geral de Kelley — seguem as exigências estritas da lógica e usam "se e somente se" ou iff nas definições de novos termos. No entanto, esse uso logicamente correto de "se e somente se" relativamente incomum e ignora o fato linguístico de que o "se" de uma definição é interpretado como significando "se e somente se". A maioria dos livros didáticos, trabalhos de pesquisa e artigos (incluindo artigos da Wikipedia em inglês) seguem a convenção linguística para interpretar "se" como "se e somente se" sempre que uma definição matemática estiver envolvida (como em "um espaço topológico é compacto se toda cobertura aberta tiver uma subcobertura finita").

Distinção de "se" e "somente se"

• "Madison comerá a fruta se é uma maçã." (equivalente a "Só se Madison vai comer a fruta, pode ser uma maçã" ou "Madison comerá a fruta ← o fruto é uma maçã")

  Isso afirma que Madison vai comer frutas que são maçãs. Não exclui, no entanto, a possibilidade de Madison também comer bananas ou outros tipos de frutas. Tudo o que é conhecido por certo é que ela vai comer qualquer e todas as maçãs que ela acontece. Que a fruta é uma maçã suficiente condição para Madison para comer a fruta.

• "Madison comerá a fruta só se é uma maçã." (equivalente a "Se Madison vai comer a fruta, então é uma maçã" ou "Madison comerá a fruta → o fruto é uma maçã")

  Isso afirma que a única fruta que Madison vai comer é uma maçã. Não exclui, no entanto, a possibilidade de Madison recusar uma maçã se for disponibilizada, em contraste com (1), o que requer Madison para comer qualquer maçã disponível. Neste caso, que um dado fruto é uma maçã é um necessário condição para Madison estar comendo. Não é uma condição suficiente porque Madison pode não comer todas as maçãs que ela é dada.

• "Madison comerá a fruta se e somente se é uma maçã." (equivalente a "Madison comerá a fruta ↔ o fruto é uma maçã")

  Esta declaração deixa claro que Madison vai comer todos e apenas aqueles frutos que são maçãs. Ela não deixará nenhuma maçã descongelada, e ela não comerá nenhum outro tipo de fruta. Que um dado fruto é uma maçã é tanto um necessário e um suficiente condição para Madison para comer a fruta.

A suficiência é o inverso da necessidade. Ou seja, dado P→Q (ou seja, se P então Q), P seria uma condição suficiente para Q, e Q seria uma condição necessária para P. Além disso, dado P→Q, é verdade que ¬Q→¬P (onde ¬ é a negação operador, ou seja, "não"). Isso significa que a relação entre P e Q, estabelecida por P→Q, pode ser expressa da seguinte forma, todas equivalentes, formas:

P é suficiente para Q

Q é necessário para P

Q é suficiente para ¬P

¬P é necessário para Q

Como exemplo, pegue o primeiro exemplo acima, que declara P→Q, onde P é "a fruta em pergunta é uma maçã" e Q é "Madison vai comer a fruta em questão". A seguir estão quatro maneiras equivalentes de expressar essa mesma relação:

Se o fruto em questão é uma maçã, então Madison vai comê-lo.

Só se Madison comerá a fruta em questão, é uma maçã.

Se Madison não comerá a fruta em questão, então não é uma maçã.

Só se o fruto em questão não for uma maçã, Madison não comerá.

Aqui, o segundo exemplo pode ser reformulado na forma de se...então como "Se Madison comer a fruta em questão, então é uma maçã"; considerando isso em conjunto com o primeiro exemplo, descobrimos que o terceiro exemplo pode ser declarado como "Se a fruta em questão for uma maçã, Madison a comerá; e se Madison vai comer a fruta, então é uma maçã".

Em termos de diagramas de Euler

• 

  A é um subconjunto adequado de B. Um número está dentro A só se estiver dentro B; um número está dentro B se estiver dentro A.

• 

  C é um subconjunto, mas não um subconjunto adequado de B. Um número está dentro B se e somente se estiver dentro C, e um número está dentro C se e somente se estiver dentro B.

Os diagramas de Euler mostram relacionamentos lógicos entre eventos, propriedades e assim por diante. "P somente se Q", "se P então Q", e "P→Q" todos significam que P é um subconjunto, próprio ou impróprio, de Q. "P se Q", "se Q então P", e Q→P todos significam que Q é um próprio ou subconjunto impróprio de P. "P se e somente se Q" e "Q se e somente se P" ambos significam que os conjuntos P e Q são idênticos entre si.

Uso mais geral

Iff também é usado fora do campo da lógica. Onde quer que a lógica seja aplicada, especialmente em discussões matemáticas, ela tem o mesmo significado acima: é uma abreviação de se e somente se, indicando que uma afirmação é necessária e suficiente para a outra. Este é um exemplo de jargão matemático (embora, como observado acima, if seja usado com mais frequência do que iff em declarações de definição).

Os elementos de X são todos e apenas os elementos de Y significa: "Para qualquer z no domínio do discurso, z está em X se e somente se z está em Y.& #34;