Riemann Integral

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Integral básica no cálculo elementar

No ramo da matemática conhecida como análise real, a riemann integral , criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa da integral de uma função em um intervalo. Foi apresentado ao corpo docente da Universidade de Göttingen em 1854, mas não publicado em uma revista até 1868. Para muitas funções e aplicações práticas, a integral de Riemann pode ser avaliada pelo teorema fundamental do cálculo ou aproximado por integração numérica, ou simulado Usando a integração de Monte Carlo.

Visão geral

Let $f$ seja uma função não negativa no valor real no intervalo $[< a, b]$ , e deixe $s$ seja o Região do plano sob o gráfico da função $f$ e acima do intervalo $[A, b]$ . Veja a figura no canto superior direito. Esta região pode ser expressa na notação do construtor de conjuntos como

<math alttext="{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,,0<yS= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((x,Sim.):um\leq \leq x\leq \leq b),0<Sim.<f(x)?.{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,0<y<f(x)right}.} <img alt="{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,,0<y

Estamos interessados em medir a área de $S$ . Depois de medi-la, denotaremos a área da maneira usual por

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx.}

A idéia básica da integral de Riemann é usar aproximações muito simples para a área de $s$ . Ao tirar aproximações cada vez melhores, podemos dizer isso " no limite " Obtemos exatamente a área de $s$ sob a curva.

Quando $f (x)$ pode levar valores negativos, a integral é igual à área assinada entre o gráfico de $f$ e o $x$ -Axis: isto é, a área acima da $x$ -xis menos a área abaixo da x -xis.

Definição

Partições de um intervalo

Did you mean:

A partition of an interval [a, b] is a finite sequence of numbers of the form

<math alttext="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{i}<dots um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x0<x1<x2<⋯ ⋯ <xEu...<⋯ ⋯ <xn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b){displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{i}<dots <x_{n}=b}<img alt="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{i}<dots

Cada $[x i, x i + 1]$ é chamado de subintervalo da partição. A malha ou norma de uma partição é definida como o comprimento do subintervalo mais longo, ou seja,

{displaystyle max left(x_{i+1}-x_{i}right),quad iin [0,n-1].}

Uma partição marcada $P (x, t)$ de um intervalo $[a, b]$ é uma partição junto com a escolha de um ponto de amostra dentro de cada sub -intervalo: isto é, números $t 0,..., t n - 1$ com $t i \in [x i, x i + 1]$ para cada estilo $i$ . A malha de uma partição marcada é a mesma de uma partição comum.

Suponha que duas partições $P (x, t)$ e $Q (y, s)$ são ambas partições do intervalo $[a, b]$ . Dizemos que $Q (y, s)$ é um refinamento de $P (x, t)$ se para cada número inteiro $i$ , com $i \in [0, n]$ , existe um número inteiro $r (i)$ tal que $x i = y r (i)$ e tal que $t i = s j$ para alguns $j$ com $j \in [r (i), r (i + 1)]$ . Ou seja, uma partição marcada quebra alguns dos subintervalos e adiciona pontos de amostra quando necessário, "refinando" a precisão da partição.

Podemos transformar o conjunto de todas as partições marcadas em um conjunto direcionado, dizendo que uma partição marcada é maior ou igual a outra se a primeira for um refinamento da última.

Soma de Riemann

Seja $f$ uma função com valor real definida no intervalo $[a, b]$ . A soma de Riemann de $f$ em relação à partição marcada $x 0,..., x n$ junto com $t 0,..., t n - 1$ é

{displaystyle sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})left(x_{i+1}-x_{i}right).}

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um determinado ponto e a duração de um intervalo. Consequentemente, cada termo representa a área (sinalizada) de um retângulo com altura $f (t i)$ e largura $x i + 1 - x i</sub$ . A soma de Riemann é a área (sinalizada) de todos os retângulos.

Conceitos intimamente relacionados são as somas inferior e superior de Darboux. São semelhantes às somas de Riemann, mas as tags são substituídas pelo ínfimo e pelo supremo (respectivamente) de $f$ em cada subintervalo:

{displaystyle {begin{aligned}L(f,P)&=sum _{i=0}^{n-1}inf _{tin [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\U(f,P)&=sum _{i=0}^{n-1}sup _{tin [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).end{aligned}}}

se $f$ é contínuo, então as somas inferiores e superiores de darboux para uma partição não marcada são iguais à soma de Riemann para que Partição, onde as tags são escolhidas para ser o mínimo ou o máximo (respectivamente) de $f$ em cada subinterval. (Quando $f$ é descontínuo em um subinterval, pode não haver uma tag que alcance o infimum ou o supremo naquele subinterval.) Darboux Integral, que é semelhante à integral de Riemann, mas com base em somas de darboux, é equivalente à integral de Riemann.

Riemann integral

Falando vagamente, a integral de Riemann é o limite das somas de uma função de Riemann, à medida que as partições ficam mais finas. Se o limite existir, a função é considerada integrável (ou mais especificamente riemann-integrable ). A soma de Riemann pode ser feita o mais próximo possível da integral de Riemann, tornando a partição fina o suficiente.

Um requisito importante é que a malha das partições se torne cada vez menor, de modo que, no limite, seja zero. Se não fosse assim, não estaríamos recebendo uma boa aproximação à função em certos subintervalos. De fato, isso é suficiente para definir uma integral. Para ser específico, dizemos que a integral de Riemann de $f$ é igual a $s$ se a seguinte condição for mantida:

Para todos $ε > 0$ , existe $δ > 0$ tal que para qualquer partição marcada $x 0, x n$ e $) 0,) n - 1$ cuja malha é inferior a $δ$ nós temos
$<math alttext="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright||(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0n- Sim. - Sim. 1f()Eu...)(xEu...+1- Sim. - Sim. xEu...))- Sim. - Sim. S|<ε ε .{displaystyle left|left(sum) _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|<varepsilon.}<img alt="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|$

Infelizmente, essa definição é muito difícil de usar. Ajudaria a desenvolver uma definição equivalente da integral Riemann, mais fácil de trabalhar. Desenvolvemos essa definição agora, com uma prova de equivalência a seguir. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de $f$ equals $s$ se a seguinte condição for mantida:

Para todos $ε > 0$ , existe uma partição marcada $Sim. 0, Sim. m$ e $R 0, R m - 1$ tal que para qualquer partição marcada $x 0, x n$ e $) 0,) n - 1$ que é um refinamento de $Sim. 0, Sim. m$ e $R 0, R m - 1$ nós temos
$<math alttext="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright||(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0n- Sim. - Sim. 1f()Eu...)(xEu...+1- Sim. - Sim. xEu...))- Sim. - Sim. S|<ε ε .{displaystyle left|left(sum) _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|<varepsilon.}<img alt="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|$

Ambos significam que, eventualmente, a soma de Riemann de $f$ com relação a qualquer partição é presa perto de s . Como isso é verdade, não importa o quão próximo exigimos que as somas estejam presas, dizemos que as somas de Riemann convergem para $s$ . Essas definições são na verdade um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.

Como afirmamos anteriormente, essas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, $s$ funciona na primeira definição se e somente se $s$ funciona na segunda definição. Para mostrar que a primeira definição implica a segunda, comece com um $ε$ e escolha um estilo $Δ$ que satisfaz a condição. Escolha qualquer partição marcada cuja malha é menor que $Δ$ . Sua soma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ , e qualquer refinamento desta partição também terá malha menor que $Δ$ , então a soma do refinamento de Riemann irá também esteja dentro de $ε$ de $s .$

Mostrar que a segunda definição implica a primeira, é mais fácil usar a integral Darboux. Primeiro, um mostra que a segunda definição é equivalente à definição da integral de Darboux; Para isso, veja o artigo integral de Darboux. Agora, mostraremos que uma função integrável de Darboux satisfaz a primeira definição. FIX $ε$ e escolha uma partição $y 0 ,..., y M$ de modo que as somas inferiores e superiores do Darboux em relação a esta partição estejam dentro de $ε /2$ do valor s da integral de darboux. Deixar

{displaystyle r=2sup _{xin [a,b]}|f(x)|.}

Se $r = 0$ , então $f$ é a função zero, que é claramente integrável tanto por Darboux quanto por Riemann com zero integral. Portanto, assumiremos que $r > 0$ . Se $m > 1$ , então escolhemos $δ$ tal que

<math alttext="{displaystyle delta δ δ <min(ε ε 2R(m- Sim. - Sim. 1),(Sim.1- Sim. - Sim. Sim.0),(Sim.2- Sim. - Sim. Sim.1),⋯ ⋯ ,(Sim.m- Sim. - Sim. Sim.m- Sim. - Sim. 1)?{displaystyle delta <min left{{frac {varepsilon }{2r(m-1)}},left(y_{1}-y_{0}right),left(y_{2}-y_{1}right),cdotsleft(y_{m}-y_{m-1}right)right}}<img alt="{displaystyle delta

Se $m = 1$ , então escolhemos $δ$ para ser menor que um. Escolha uma partição marcada como $x 0,..., x n$ e $t 0,..., t n - 1$ com malha menor que $δ$ . Devemos mostrar que a soma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ .

Para ver isso, escolha um intervalo $[x i, x eu + 1]$ . Se este intervalo estiver contido em algum $[y j, y j + 1]$ , então

<math alttext="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})mJJ<f()Eu...)<MJJNão. m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}<img alt="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})

m JJ

M JJ

Não. Sim. JJ, Sim. JJ + 1]

S

m = 1

Portanto, podemos assumir que $m & gt; 1$ . Nesse caso, é possível que um dos $[x i, x i + 1$ não está contido em nenhum $[y j, y j + 1 ]$ . Em vez disso, pode se estender por dois dos intervalos determinados por $y /sub>$ . (Ele não pode atender a três intervalos porque $Δ$ é assumido como menor que o comprimento de qualquer intervalo.) Nos símbolos, pode acontecer isso

<math alttext="{displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}Sim.JJ<xEu...<Sim.JJ+1<xEu...+1<Sim.JJ+2.Não. y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}<img alt="{displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}

(Podemos assumir que todas as desigualdades são estritas porque, caso contrário, estaremos no caso anterior pela nossa suposição sobre o comprimento de $δ$ .) Isso pode acontecer no máximo $m - 1$ vezes.

Para lidar com este caso, estimaremos a diferença entre a soma de Riemann e a soma de Darboux subdividindo a partição $x 0,..., x n$ em $y j + 1$ . O termo $f (t i)(x i + 1 - x i)$ na soma de Riemann se divide em dois termos:

{displaystyle fleft(t_{i}right)left(x_{i+1}-x_{i}right)=fleft(t_{i}right)left(x_{i+1}-y_{j+1}right)+fleft(t_{i}right)left(y_{j+1}-x_{i}right).}

Did you mean:

Suppose, without loss of generality, that t_i ∈ [y_j, y_{j + 1}]. Then

<math alttext="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})mJJ<f()Eu...)<MJJ,Não. m_{j}<f(t_{i})<M_{j},}<img alt="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})

Sim. JJ

<math alttext="{displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<delta xEu...+1- Sim. - Sim. Sim.JJ+1<δ δ <ε ε 2R(m- Sim. - Sim. 1),Não. x_{i+1}-y_{j+1}<delta <{frac {varepsilon }{2r(m-1)}}, ?<img alt="{displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<delta

Segue-se que, para alguns (na verdade qualquer) $t * i \in [y j + 1, x i + 1]$ ,

<math alttext="{displaystyle left|fleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right|left(x_{i+1}-y_{j+1}right)|f()Eu...)- Sim. - Sim. f()Eu...∗ ∗ )|(xEu...+1- Sim. - Sim. Sim.JJ+1)<ε ε 2(m- Sim. - Sim. 1).{displaystyle left|fleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right|right(x_{i+1}-y_{j+1}right)<{frac {varepsilon }{2(m-1)}}}<img alt="{displaystyle left|fleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right|left(x_{i+1}-y_{j+1}right)

Como isso acontece no máximo $m - 1$ vezes, a distância entre a soma de Riemann e a soma de Darboux é no máximo $ε /2$ . Portanto, a distância entre a soma de Riemann e $s$ é no máximo $ε$ .

Exemplos

Vamos. ${displaystyle f:[0,1]to mathbb {R} }$ ser a função que leva o valor 1 em cada ponto. Qualquer soma de Riemann $f$ sobre $[0, 1]$ terá o valor 1, portanto a integral de Riemann $f$ sobre $[0, 1]$ é 1.

Vamos. ${displaystyle I_{mathbb {Q} }:[0,1]to mathbb {R} }$ ser a função indicadora dos números racionais em $[0, 1]$ ; isto é, ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ leva o valor 1 em números racionais e 0 em números irracionais. Esta função não tem uma integral de Riemann. Para provar isso, vamos mostrar como construir partições marcadas cujas somas de Riemann ficam arbitrariamente perto de zero e um.

Para começar, seja $x 0,..., x n$ e $t 0,..., t n - 1$ ser uma partição marcada (cada $t i$ está entre $x i$ e $x i + 1$ ). Escolha $ε > 0$ . Os $t i$ já foram escolhidos e não podemos alterar o valor de $f$ nesses pontos. Mas se cortarmos a partição em pequenos pedaços ao redor de cada $t i$ , podemos minimizar o efeito de o $t i$ . Então, escolhendo cuidadosamente as novas tags, podemos fazer com que o valor da soma de Riemann fique dentro de $ε$ de zero ou um.

Nosso primeiro passo é cortar a partição. Existem $n$ do $t i$ , e queremos que seu efeito total seja menor que $ε$ . Se confinarmos cada um deles a um intervalo de comprimento menor que $ε / n$ , então a contribuição de cada $t i$ para a soma de Riemann será pelo menos $0 \cdot ε / n$ e no máximo $1 \cdot ε / n$ . Isso faz com que a soma total seja pelo menos zero e no máximo $ε$ . Portanto, seja $δ$ um número positivo menor que $ε / n$ . Se acontecer de dois dos $t i$ estarem dentro do estilo $δ$ um do outro, escolha $δ$ menor. Se acontecer de algum $t i$ estar dentro de $δ$ de alguns $x j$ , e $t i$ não é igual a $x j$ , escolha $δ$ menor. Como existem apenas um número finito de $t i$ e $x j$ , sempre podemos escolher $δ$ suficientemente pequeno.

Agora adicionamos dois cortes à partição para cada $t i$ . Um dos cortes será em $t i - δ /2$ , e o outro estará em $t i + δ /2$ . Se um deles sair do intervalo [0, 1], então o deixamos de fora. $t i$ será a tag correspondente ao subintervalo

{displaystyle left[t_{i}-{frac {delta }{2}},t_{i}+{frac {delta }{2}}right].}

Se $t i$ estiver diretamente em cima de um dos $x j$ , então deixamos $t i$ seja a tag para ambos os intervalos:

{displaystyle left[t_{i}-{frac {delta }{2}},x_{j}right],quad {text{and}}quad left[x_{j},t_{i}+{frac {delta }{2}}right].}

Ainda temos que escolher tags para os outros subintervalos. Iremos escolhê-los de duas maneiras diferentes. A primeira forma é escolher sempre um ponto racional, para que a soma de Riemann seja a maior possível. Isso fará com que o valor da soma de Riemann seja pelo menos $1 - ε$ . A segunda forma é escolher sempre um ponto irracional, de modo que a soma de Riemann seja a menor possível. Isso fará com que o valor da soma de Riemann seja no máximo $ε$ .

Como começamos a partir de uma partição arbitrária e terminamos tão perto quanto queríamos de zero ou de um, é falso dizer que eventualmente ficaremos presos perto de algum número $s$ , portanto esta função não é integrável por Riemann. No entanto, é integrável por Lebesgue. No sentido de Lebesgue sua integral é zero, já que a função é zero em quase todos os lugares. Mas este é um facto que está fora do alcance da integral de Riemann.

Há exemplos ainda piores. ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ é equivalente (isto é, quase em todos os lugares) a uma função integral de Riemann, mas há funções limitadas integrais não-Riemann que não são equivalentes a qualquer função integrada de Riemann. Por exemplo, deixe $C$ ser o conjunto Smith-Volterra-Cantor, e deixar $Eu... C$ ser a sua função indicadora. Porque... $C$ não é Jordan mensurável, $Eu... C$ não é integrador de Riemann. Além disso, nenhuma função $g$ equivalente a $Eu... C$ é integrador de Riemann: $g$ Como $Eu... C$ , deve ser zero em um conjunto denso, assim como no exemplo anterior, qualquer soma de Riemann $g$ tem um refinamento que está dentro $ε$ de 0 para qualquer número positivo $ε$ . Mas se a integral de Riemann $g$ existe, então deve igualar a integral de Lebesgue de $Eu... C$ , que é $1/2-2001$ . Portanto, $g$ não é integrador de Riemann.

Conceitos semelhantes

É comum definir a integral de Riemann como integral de Darboux. Isso ocorre porque a integral de Darboux é tecnicamente mais simples e porque uma função é integrável por Riemann se e somente se for integrável por Darboux.

Alguns livros de cálculo não usam partições marcadas em geral, mas se limitam a tipos específicos de partições marcadas. Se o tipo de partição for muito limitado, algumas funções não integráveis poderão parecer integráveis.

Uma restrição popular é o uso da "mão esquerda" e "direita" Somas de Riemann. Em uma soma de Riemann à esquerda, $t i = x i$ para todos os $i$ , e em uma soma de Riemann à direita, $t i = x i + 1$ para todos $i$ . Por si só, esta restrição não impõe um problema: podemos refinar qualquer partição de uma forma que a torne uma soma à esquerda ou à direita, subdividindo-a em cada $t i$ . Em linguagem mais formal, o conjunto de todas as somas de Riemann à esquerda e o conjunto de todas as somas de Riemann à direita é cofinal no conjunto de todas as partições marcadas.

Outra restrição popular é o uso de subdivisões regulares de um intervalo. Por exemplo, a $n$ ésima subdivisão regular de $[0, 1]$ consiste dos intervalos

{displaystyle left[0,{frac {1}{n}}right],left[{frac {1}{n}},{frac {2}{n}}right],ldotsleft[{frac {n-1}{n}},1right].}

Novamente, esta restrição por si só não impõe um problema, mas o raciocínio necessário para ver este facto é mais difícil do que no caso das somas de Riemann à esquerda e à direita.

No entanto, combinar essas restrições, de modo que se usa apenas as somas Riemann de mão esquerda ou direita em intervalos divididos regularmente, é perigoso. Se uma função é conhecida com antecedência para ser integrador de Riemann, então esta técnica dará o valor correto da integral. Mas nestas condições a função indicador ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ parece ser integrador $[0, 1]$ com integral igual a um: Cada ponto final de cada subintervalo será um número racional, então a função será sempre avaliada em números racionais, e, portanto, parecerá sempre igual a uma. O problema com esta definição torna-se aparente quando tentamos dividir a integral em duas partes. A seguinte equação deve segurar:

{displaystyle int _{0}^{{sqrt {2}}-1}I_{mathbb {Q} }(x),dx+int _{{sqrt {2}}-1}^{1}I_{mathbb {Q} }(x),dx=int _{0}^{1}I_{mathbb {Q} }(x),dx.}

Se usarmos subdivisões regulares e somas de Riemann à esquerda ou à direita, então os dois termos à esquerda serão iguais a zero, já que todos os extremos, exceto 0 e 1, serão irracionais, mas como vimos o termo em a direita será igual a 1.

Como definido acima, a integral de Riemann evita este problema recusando-se a integrar-se ${displaystyle I_{mathbb {Q} }.}$ A integral da Lebesgue é definida de tal forma que todas essas integrais são 0.

Propriedades

Linearidade

A integral de Riemann é uma transformação linear; isto é, se $f$ e $g$ são integráveis por Riemann em $[a, b]$ e $α$ e $β$ são constantes, então

{displaystyle int _{a}^{b}(alpha f(x)+beta g(x)),dx=alpha int _{a}^{b}f(x),dx+beta int _{a}^{b}g(x),dx.}

Como a integral de Riemann de uma função é um número, isso torna a integral de Riemann um funcional linear no espaço vetorial de funções integráveis de Riemann.

Integrabilidade

Uma função limitada em um intervalo compacto $[a, b]$ é integrável de Riemann se e somente se for contínuo em quase todos os lugares (o conjunto dos seus pontos de descontinuidade tem medida zero, no sentido da medida de Lebesgue). Esta é a Teorema de Lebesgue-Vitali (de caracterização das funções integráveis de Riemann). Foi provado independentemente por Giuseppe Vitali e por Henri Lebesgue em 1907, e usa a noção de medida zero, mas não faz uso da medida geral ou integral de Lebesgue.

A condição de integrabilidade pode ser comprovada de várias maneiras, uma das quais é descrita abaixo.

Prova

A prova é mais fácil usando a definição integral de integrabilidade de Darboux (formalmente, a condição de Riemann para integrabilidade) – uma função é integrador de Riemann se e somente se as somas superiores e inferiores podem ser feitas arbitrariamente perto escolhendo uma partição apropriada.

Uma direção pode ser comprovada usando a definição de continuidade da oscilação: Para cada positivo $ε$ , Let $X ε$ ser o conjunto de pontos em $Não. um, b)]$ com oscilação de pelo menos $ε$ . Desde cada ponto em que $f$ é descontínuo tem uma oscilação positiva e vice-versa, o conjunto de pontos em $Não. um, b)]$ , onde $f$ é descontinuado é igual à união sobre $(X 1 n$ Para todos os números naturais $n$ .

Se este conjunto não tem nenhuma medida de Lebesgue, então pela aditividade contável da medida há pelo menos um tal $n$ assim $X 1 n$ não tem uma medida zero. Assim, há algum número positivo $c$ tal que cada coleção contável de intervalos abertos cobrindo $X 1 n$ tem um comprimento total de pelo menos $c$ . Em particular, isso também é verdade para cada coleção finita de intervalos. Isto permanece verdadeiro também para $X 1 n$ menos um número finito de pontos (como um número finito de pontos pode sempre ser coberto por uma coleção finita de intervalos com arbitrariamente pequeno comprimento total).

Para cada partição de [a, b], considere o conjunto de intervalos cujos interiores incluem pontos de $X 1 n$ . Estes interiores consistem em uma tampa aberta finita de $X 1 n$ , possivelmente até um número finito de pontos (que podem cair em bordas de intervalo). Assim, esses intervalos têm um comprimento total de pelo menos $c$ . Desde nestes pontos $f$ tem oscilação de pelo menos $1 n$ , o infim e supremum de $f$ em cada um destes intervalos diferem pelo menos $1 n$ . Assim, as somas superiores e inferiores de $f$ diferir pelo menos $c / n$ . Uma vez que isso é verdade para cada partição, $f$ não é integrador de Riemann.

Agora provamos a direção conversa usando os conjuntos $X ε$ definido acima. Para cada $ε$ , $X ε$ é compacto, como é limitado (por $um$ e $b)$ ) e fechado:

Para cada série de pontos em $X ε$ que é convergir $Não. um, b)]$ , o seu limite $X ε$ também. Isso porque cada bairro do ponto limite é também um bairro de algum ponto em $X ε$ e assim $f$ tem uma oscilação de pelo menos $ε$ sobre ele. Assim, o ponto limite está em $X ε$ .

Agora, suponha que $f$ é contínuo quase em todos os lugares. Então para cada $ε$ , $X ε$ tem nenhuma medida de Lebesgue. Portanto, há uma coleção contável de intervalos abertos em $Não. um, b)]$ que é uma capa aberta $X ε$ , tal que a soma sobre todos os seus comprimentos é arbitrariamente pequena. Desde então Xε é compacto, há uma subcobertura finita – uma coleção finita de intervalos abertos em $Não. um, b)]$ com arbitrariamente pequeno comprimento total que juntos contêm todos os pontos em $X ε$ . Denotamos estes intervalos $(Eu... (ε) Eu...$ Para $1 \leq Eu... \leq k$ , para alguns naturais $k$ .

O complemento da união desses intervalos é em si uma união de um número finito de intervalos, que denotamos $(JJ (ε) Eu...$ Não. $1 \leq Eu... \leq k - 1$ e possivelmente para $Eu... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = k, k + 1$ também).

Agora mostramos isso para todos $ε > 0$ , há somas superiores e inferiores cuja diferença é menor do que $ε$ , a partir do qual a integrabilidade de Riemann segue. Para este fim, construímos uma partição de [a, b] da seguinte forma:

Denominação $ε 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ε / 2 (b) - Sim. um)$ e $ε 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ε / 2 (M - Sim. m)$ , onde $m$ e $M$ são o infim e supremum de $f$ sobre $Não. um, b)]$ . Uma vez que podemos escolher intervalos $(Eu... (ε 1) Eu...$ } com comprimento total arbitrariamente pequeno, nós os escolhemos ter comprimento total menor do que $ε 2$ .

Cada um dos intervalos $(JJ (ε 1) Eu...$ } tem uma interseção vazia com $X ε 1$ , então cada ponto nele tem um bairro com oscilação menor do que $ε 1$ . Estes bairros consistem em uma cobertura aberta do intervalo, e uma vez que o intervalo é compacto, há uma cobertura finita deles. Esta subcobertura é uma coleção finita de intervalos abertos, que são subintervalos de $JJ (ε 1) Eu...$ (exceto para aqueles que incluem um ponto de vantagem, para o qual só levamos a sua interseção com $JJ (ε 1) Eu...)$ . Tomamos os pontos de vantagem das subintervalos para todos $JJ (ε 1) Eu... - Sim. S$ , incluindo os pontos de borda dos próprios intervalos, como nossa partição.

Assim, a partição divide $Não. um, b)]$ para dois tipos de intervalos:

Intervalos do último tipo (eles próprios subintervalos de alguns $JJ (ε 1) Eu...$ ). Em cada um deles, $f$ oscila por menos do que $ε 1$ . Uma vez que o comprimento total destes não é maior do que $b) - Sim. um$ , eles juntos contribuem no máximo $ε * 1 (b) - Sim. um) = ε /2$ para a diferença entre as somas superiores e inferiores da partição.
Os intervalos $(Eu... (ε) Eu...$ } Estes têm comprimento total menor do que $ε 2$ e $f$ oscila sobre eles não mais do que $M - Sim. m$ . Assim, juntos, eles contribuem menos do que $ε * 2 (M - Sim. m) = ε /2$ para a diferença entre as somas superiores e inferiores da partição.

No total, a diferença entre as somas superiores e inferiores da partição é menor do que $ε$ , como necessário.

Em particular, qualquer conjunto que seja no máximo contável tem medida de Lebesgue zero e, portanto, uma função limitada (em um intervalo compacto) com apenas um número finito ou contável de descontinuidades é integrável de Riemann. Outro critério suficiente para a integrabilidade de Riemann sobre $[a, b]$ , mas que não envolve o conceito de medida, é a existência de um limite à direita (ou à esquerda) em cada ponto em $[a, b)$ (ou $(a, b]$ ).

Uma função indicadora de um conjunto limitado é integrável por Riemann se e somente se o conjunto for mensurável por Jordan. A integral de Riemann pode ser interpretada teoricamente como a integral em relação à medida de Jordan.

Se uma função com valor real é monótona no intervalo $[a, b]$ ela é integrável de Riemann, já que seu conjunto de descontinuidades é no máximo contável e, portanto, de Lebesgue mede zero. Se uma função com valor real em $[a, b]$ é integrável de Riemann, é integrável de Lebesgue. Ou seja, a integrabilidade de Riemann é uma condição mais forte (ou seja, mais difícil de satisfazer) do que a integrabilidade de Lebesgue. O inverso não é válido; nem todas as funções integráveis de Lebesgue são integráveis de Riemann.

O teorema de Lebesgue-Vitali não implica que todos os tipos de descontinuidades tenham o mesmo peso na obstrução de que uma função limitada com valor real seja integrável de Riemann em $[a, b]$ . Na verdade, certas descontinuidades não têm absolutamente nenhum papel na integrabilidade de Riemann da função – uma consequência da classificação das descontinuidades de uma função.

Se $f n$ é uma sequência uniformemente convergente em $[a, b]$ com limite $f$ , então a integrabilidade de Riemann de todos os $f n$ implica a integrabilidade de Riemann de $f$ , e

{displaystyle int _{a}^{b}f,dx=int _{a}^{b}{lim _{nto infty }{f_{n}},dx}=lim _{nto infty }int _{a}^{b}f_{n},dx.}

No entanto, o teorema da convergência monótona de Lebesgue (em um limite pontual monótono) não é válido para integrais de Riemann. Assim, na integração de Riemann, assumir limites sob o sinal integral é muito mais difícil de justificar logicamente do que na integração de Lebesgue.

Generalizações

É fácil estender a integral Riemann a funções com valores no espaço vetorial Euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ para qualquer $n$ . A integral é definida como componente; em outras palavras, se $f Não. f 1, f n)$ então

{displaystyle int mathbf {f} =left(int f_{1},,dotsint f_{n}right).}

Em particular, como os números complexos são um espaço vetorial real, isso permite a integração de funções com valores complexos.

A integral de Riemann é definida apenas em intervalos limitados e não se estende bem a intervalos ilimitados. A extensão mais simples possível é definir tal integral como um limite, em outras palavras, como uma integral imprópria:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),dx=lim _{ato -infty atop bto infty }int _{a}^{b}f(x),dx.}

Esta definição traz consigo algumas sutilezas, como o fato de que nem sempre é equivalente calcular o valor principal de Cauchy

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}f(x),dx.}

Por exemplo, considere a função de sinal $f (x) = sgn(x)$ que é 0 em $x = 0$ , 1 para $x > 0$ e −1 para $x < 0$ . Por simetria,

{displaystyle int _{-a}^{a}f(x),dx=0}

um

{displaystyle {begin{aligned}int _{-a}^{2a}f(x),dx&=a,\int _{-2a}^{a}f(x),dx&=-a.end{aligned}}}

Em geral, esta integral imprópria de Riemann é indefinida. Mesmo padronizar uma forma de o intervalo se aproximar da linha real não funciona porque leva a resultados perturbadoramente contra-intuitivos. Se concordarmos (por exemplo) que a integral imprópria deve sempre ser

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}f(x),dx,}

f (x - 1)

\infty - \infty

Infelizmente, a integral imprópria de Riemann não é poderosa o suficiente. O problema mais grave é que não existem teoremas amplamente aplicáveis para comutar integrais impróprias de Riemann com limites de funções. Em aplicações como as séries de Fourier, é importante ser capaz de aproximar a integral de uma função usando integrais de aproximações da função. Para integrais de Riemann adequadas, um teorema padrão afirma que se $f n$ é uma sequência de funções que convergem uniformemente para $f$ em um conjunto compacto $[a, b]$ , então

{displaystyle lim _{nto infty }int _{a}^{b}f_{n}(x),dx=int _{a}^{b}f(x),dx.}

Em intervalos não compactos, como a linha real, isso é falso. Por exemplo, considere $f n (x)$ como $n -1$ em $[0, n]$ e zero em outro lugar. Para todo $n$ temos:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f_{n},dx=1.}

Did you mean:

The sequence (f_n) converges uniformly to the zero function, and clearly the integral of the zero function is zero. Consequently,

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f,dxneq lim _{nto infty }int _{-infty }^{infty }f_{n},dx.}

Isso demonstra que para integrais em intervalos ilimitados, a convergência uniforme de uma função não é forte o suficiente para permitir a passagem de um limite através de um sinal de integral. Isso torna a integral de Riemann impraticável em aplicações (mesmo que a integral de Riemann atribua a ambos os lados o valor correto), porque não há outro critério geral para trocar um limite e uma integral de Riemann, e sem tal critério é difícil aproximar integrais por aproximando seus integrandos.

Um caminho melhor é abandonar a integral de Riemann pela integral de Lebesgue. A definição da integral de Lebesgue não é obviamente uma generalização da integral de Riemann, mas não é difícil provar que toda função integrável de Riemann é integrável de Lebesgue e que os valores das duas integrais concordam sempre que ambas são definidas. Além disso, uma função $f$ definida em um intervalo limitado é integrável por Riemann se e somente se for limitada e o conjunto de pontos onde $f$ é descontínuo e tem medida zero de Lebesgue.

Uma integral que é na verdade uma generalização direta da integral de Riemann é a integral de Henstock-Kurzweil.

Outra forma de generalizar a integral de Riemann é substituir os fatores $x k + 1 - x k$ na definição de uma soma de Riemann por outra coisa; grosso modo, isso dá ao intervalo de integração uma noção diferente de comprimento. Esta é a abordagem adotada pela integral de Riemann-Stieltjes.

Em cálculo multivariável, as integrais Riemann para funções de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ são múltiplas integrais.

Comparação com outras teorias de integração

A integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos. Algumas das deficiências técnicas na integração de Riemann podem ser remediadas com a integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria desaparece com a integral de Lebesgue, embora esta última não tenha um tratamento satisfatório de integrais impróprias. A integral de calibre é uma generalização da integral de Lebesgue que está ao mesmo tempo mais próxima da integral de Riemann. Estas teorias mais gerais permitem a integração de teorias mais "irregulares" ou "altamente oscilante" funções cuja integral de Riemann não existe; mas as teorias dão o mesmo valor que a integral de Riemann quando ela existe.

Em ambientes educacionais, a integral de Darboux oferece uma definição mais simples e mais fácil de trabalhar; pode ser usado para introduzir a integral de Riemann. A integral de Darboux é definida sempre que a integral de Riemann é definida e sempre dá o mesmo resultado. Por outro lado, a integral de calibre é uma generalização simples, mas mais poderosa, da integral de Riemann e levou alguns educadores a defender que ela deveria substituir a integral de Riemann em cursos introdutórios de cálculo.

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