Relação antisimétrica

Relações binárias transitivas v ) e
Symmetric Antisymmetric Conectado Bem fundada Tem uniões Tem encontros Reflexão Irreflexível Assimétrico Total, Semiconnex Anti- reflexivo Relação de equivalência Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Pré-ordem (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Ordem parcial ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Entidade total ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Ordem total ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Pré-encomendamento ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Ordenamento bem-quasi ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bem-ordenado ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Selecção ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Ordem parcial rigorosa ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Ordem fraca rigorosa ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Ordem total rigorosa ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Conectado Bem fundada Tem uniões Tem encontros Reflexão Irreflexível Assimétrico Definições, para todos um,b)Não. e S≠ ≠ ∅ ∅ :Não. Sneq varnothing:} umRb)⇒ ⇒ b)Rum{displaystyle {begin{aligned}&aRb\\Rightarrow {}&bRaend{aligned}}} umRb)eb)Rum⇒ ⇒ um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b){displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and }}&bRa\Rightarrow a={}&bend{aligned}}} um≠ ≠ b)⇒ ⇒ umRb)oub)Rum{displaystyle {begin{aligned}aneq {}&bRightarrow \aRb{text{ or }}&bRaend{aligned}}}}} minSexiste{displaystyle {begin{aligned}min} S\{text{exists}}end{aligned}}} um∨ ∨ b)existe{displaystyle {begin{aligned}avee b\{text{exists}}end{aligned}}} um∧ ∧ b)existe{displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}}end{aligned}}} umRum- Sim. nãoumRum{displaystyle {text{not }}a Ra. umRb)⇒ ⇒ nãob)Rum- Sim. Direita \{text{not }}b Raend{aligned}}}
Y indica que a propriedade da coluna é sempre verdadeira o termo da linha (à esquerda), enquanto ✗ indica que a propriedade não é garantida em geral (pode, ou não, segure). Por exemplo, que cada relação de equivalência é simétrica, mas não necessariamente antissimétrica, é indicada por Y na coluna "Simétrica" e ✗ na coluna "Antisymmetric", respectivamente. Todas as definições requerem tacitamente a relação homogênea RNão. R. ser transitivo: para todos um,b),c,- Sim. se umRb)Não. ARB e b)Rc- Sim. então umRc.Não. A definição de um termo pode exigir propriedades adicionais que não estão listadas nesta tabela.

Em matemática, uma relação binária RNão. R. em um conjunto X- Sim. o anti-simétrico se não houver par de distinta elementos de X- Sim. cada um dos quais está relacionado por RNão. R. para o outro. Mais formalmente, RNão. R. é antissimétrico precisamente se para todos um,b)∈ ∈ X,- Sim.

seumRb)comum≠ ≠ b)entãob)Rumnão deve segurar,{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ with }},aneq b,{text{ then }},bRa,{text{ must not hold}},}

seumRb)eb)Rumentãoum= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b).{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ e }},bRa,{text{ então }},a=b.}

umRum- Sim.

umNão.

RNão. R.

X- Sim.

umRum- Sim.

um∈ ∈ X- Sim.

umRum- Sim.

um∈ ∈ X- Sim.

Exemplos

A relação de divisibilidade sobre os números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, a antisimetria significa que a única maneira de cada um de dois números pode ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalente, se nNão. e mNão. são distintos e nNão. é um fator de m,- Sim. então mNão. não pode ser um fator de n.Não. Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.

A relação de ordem habitual ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,} nos números reais é antissimétrico: se para dois números reais xNão. e Sim.- Sim. ambas as desigualdades x≤ ≤ Sim.- Sim. e Sim.≤ ≤ x- Sim. Espere, então xNão. e Sim.- Sim. deve ser igual. Da mesma forma, a ordem de subconjunto ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrico: dado dois conjuntos ANão. A. e B,Não. B, se cada elemento dentro ANão. A. também está em BNão. e cada elemento em BNão. também A,Não. A, então ANão. A. e BNão. deve conter todos os mesmos elementos e, portanto, ser igual:

A⊆ ⊆ BeB⊆ ⊆ AimplicaA= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =BNão. Asubseteq B{text{ e }}Bsubseteq A{text{ implica }}A=B}

Propriedades

Relações simétricas e antisimétricas

Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antisimétrica (neste caso, deve ser coreflexiva), e existem relações que não são nem simétricas nem antisimétricas (por exemplo, a relação "preda" sobre espécies biológicas).

A antisimetria é diferente da assimetria: uma relação é assimétrica se e somente se for antisimétrica e irreflexiva.