Regra da cadeia

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Para derivados de funções compostas

Em cálculo, o regra da cadeia é uma fórmula que expressa o derivado da composição de duas funções diferentes $f$ e $g$ em termos dos derivados de $f$ e $g$ . Mais precisamente, se ${displaystyle h=fcirc g}$ é a função tal que ${displaystyle h(x)=f(g(x))}$ para todos $x$ , então a regra da cadeia é, na notação de Lagrange,

{displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).}

ou, equivalentemente,

{displaystyle h'=(fcirc g)'=(f'circ g)cdot g'.}

A regra da cadeia também pode ser expressa na notação de Leibniz. Se uma variável $z$ depende da variável $y$ , que depende da variável $x$ (isto é, $y$ e $z$ são variáveis dependentes), então $z$ também depende de $x$ , através do variável intermediária $y$ . Neste caso, a regra da cadeia é expressa como

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {dz}{dy}}cdot {frac {dy}{dx}},}

{displaystyle left.{frac {dz}{dx}}right|_{x}=left.{frac {dz}{dy}}right|_{y(x)}cdot left.{frac {dy}{dx}}right|_{x},}

para indicar em que pontos as derivadas devem ser avaliadas.

Na integração, a contrapartida da regra da cadeia é a regra de substituição.

Explicação intuitiva

Intuitivamente, a regra da cadeia afirma que conhecer a taxa instantânea de variação de $z$ em relação a $y$ e o de $y$ em relação a $x$ permite calcular a taxa instantânea de variação de $z$ em relação a $x$ como o produto das duas taxas de variação.

Como colocado por George F. Simmons: "se um carro viaja duas vezes mais rápido que uma bicicleta e a bicicleta é quatro vezes mais rápida que um homem andando, então o carro viaja 2 × 4 = 8 vezes mais rápido como o homem."

A relação entre este exemplo e a regra da cadeia é a seguinte. Vamos. $zangão.$ , $Sim.$ e $x$ ser as posições (variáveis) do carro, a bicicleta, e o homem andando, respectivamente. A taxa de mudança de posições relativas do carro e da bicicleta é ${textstyle {frac {dz}{dy}}=2.}$ Da mesma forma, ${textstyle {frac {dy}{dx}}=4.}$ Assim, a taxa de mudança das posições relativas do carro e o homem andando é

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {dz}{dy}}cdot {frac {dy}{dx}}=2cdot 4=8.}

A taxa de mudança de posições é a razão entre as velocidades, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; aquilo é,

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {frac {dz}{dt}}{frac {dx}{dt}}},}

ou, equivalentemente,

{displaystyle {frac {dz}{dt}}={frac {dz}{dx}}cdot {frac {dx}{dt}},}

que também é uma aplicação da regra da cadeia.

História

A regra da cadeia parece ter sido usada pela primeira vez por Gottfried Wilhelm Leibniz. Ele usou-o para calcular o derivado de $sqrt{a + bz + cz^2}$ como o composto da função raiz quadrada e da função ${displaystyle a+bz+cz^{2}!}$ . Ele primeiro mencionou isso em uma memória de 1676 (com um erro de sinal no cálculo). A notação comum da regra da cadeia deve-se a Leibniz. Guillaume de l'Hôpital usou a regra da cadeia implicitamente em seu Analisar petits infiniment. A regra da cadeia não aparece em nenhum dos livros de análise de Leonhard Euler, embora eles foram escritos mais de cem anos após a descoberta de Leibniz.. Acredita-se que a primeira versão "moderna" da regra da cadeia aparece em 1797 de Lagrange Técnicas de análise; também aparece em 1823 de Cauchy Résumé des Leçons donées a L’École Royale Polytechnique sur Le Calcul Infinitesimal.

Declaração

A forma mais simples da regra da cadeia é para funções reais de uma variável real. Diz que se $g$ é uma função que é diferenciada em um ponto $c$ (i.e. o derivado $g "(c)$ existe) e $f$ é uma função que é diferenciada $g (c)$ , então a função composta $fcirc g$ é diferente em $c$ , e o derivado é

(fcirc g)'(c) = f'(g(c))cdot g'(c).

A regra às vezes é abreviada como

{displaystyle (fcirc g)'=(f'circ g)cdot g'.}

Se $y = f (u)$ e $u = g (x)$ , então esta forma abreviada é escrita na notação de Leibniz como:

{frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}cdot {frac {du}{dx}}.

Os pontos onde as derivadas são avaliadas também podem ser declarados explicitamente:

{displaystyle left.{frac {dy}{dx}}right|_{x=c}=left.{frac {dy}{du}}right|_{u=g(c)}cdot left.{frac {du}{dx}}right|_{x=c}.}

Carregando o mesmo raciocínio além disso, dado $n$ funções ${displaystyle f_{1},ldotsf_{n}!}$ com a função composta ${displaystyle f_{1}circ (f_{2}circ cdots (f_{n-1}circ f_{n}))!}$ , se cada função ${displaystyle f_{i}!}$ é diferenciável em sua entrada imediata, então a função composta também é diferenciada pela aplicação repetida da Regra de Cadeia, onde o derivado é (na notação de Leibniz):

{displaystyle {frac {df_{1}}{dx}}={frac {df_{1}}{df_{2}}}{frac {df_{2}}{df_{3}}}cdots {frac {df_{n}}{dx}}.}

Aplicativos

Compostos de mais de duas funções

A regra da cadeia pode ser aplicada a compostos de mais de duas funções. Para obter a derivada de um composto de mais de duas funções, observe que o composto de $f$ , $g$ e $h$ (nessa ordem) é a composição de $f$ com $g \circ h$ . A regra da cadeia afirma que, para calcular a derivada de $f \circ g \circ h$ , é é suficiente para calcular a derivada de $f$ e a derivada de $g \circ h$ . A derivada de $f$ pode ser calculada diretamente, e a derivada de $g \circ h$ pode ser calculado aplicando a regra da cadeia novamente.

Para ser mais concreto, considere a função

{displaystyle y=e^{sin(x^{2})}.}

Isso pode ser decomposto como a composição de três funções:

{displaystyle {begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\[6pt]u&=g(v)=sin v=sin(x^{2}),\[6pt]v&=h(x)=x^{2}.end{aligned}}}

Seus derivados são:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u}=e^{sin(x^{2})},\[6pt]{frac {du}{dv}}&=g'(v)=cos v=cos(x^{2}),\[6pt]{frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.end{aligned}}}

A regra da cadeia afirma que a derivada de seu composto no ponto $x = a$ é:

{displaystyle {begin{aligned}(fcirc gcirc h)'(a)&=f'((gcirc h)(a))cdot (gcirc h)'(a)\[10pt]&=f'((gcirc h)(a))cdot g'(h(a))cdot h'(a)=(f'circ gcirc h)(a)cdot (g'circ h)(a)cdot h'(a).end{aligned}}}

Na notação de Leibniz, isto é:

frac{dy}{dx} = left.frac{dy}{du}right|_{u=g(h(a))}cdotleft.frac{du}{dv}right|_{v=h(a)}cdotleft.frac{dv}{dx}right|_{x=a},

ou para abreviar,

frac{dy}{dx} = frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dv}cdotfrac{dv}{dx}.

A função derivada é, portanto:

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{sin(x^{2})}cdot cos(x^{2})cdot 2x.}

Outra forma de calcular essa derivada é visualizar a função composta $f \circ g \circ h$ como a composição de $f \circ g$ e h. Aplicando a regra da cadeia desta maneira resultaria:

(f circ g circ h)'(a) = (f circ g)'(h(a))cdot h'(a) = f'(g(h(a)))cdot g'(h(a))cdot h'(a).

Isto é o mesmo que foi calculado acima. Isso deve ser esperado porque $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .

Às vezes, é necessário diferenciar uma composição arbitrariamente longa da forma ${displaystyle f_{1}circ f_{2}circ cdots circ f_{n-1}circ f_{n}!}$ . Neste caso, definir

{displaystyle f_{a,.,.,b}=f_{a}circ f_{a+1}circ cdots circ f_{b-1}circ f_{b}}

Onde? ${displaystyle f_{a,.,.,a}=f_{a}}$ e ${displaystyle f_{a,.,.,b}(x)=x}$ quando $<math alttext="{displaystyle b b)<um- Sim. <img alt="b$ . Então a regra da cadeia toma a forma

{displaystyle Df_{1,.,.,n}=(Df_{1}circ f_{2,.,.,n})(Df_{2}circ f_{3,.,.,n})cdots (Df_{n-1}circ f_{n,.,.,n})Df_{n}=prod _{k=1}^{n}left[Df_{k}circ f_{(k+1),.,.,n}right]}

ou, na notação de Lagrange,

{displaystyle f_{1,.,.,n}'(x)=f_{1}'left(f_{2,.,.,n}(x)right);f_{2}'left(f_{3,.,.,n}(x)right)cdots f_{n-1}'left(f_{n,.,.,n}(x)right);f_{n}'(x)=prod _{k=1}^{n}f_{k}'left(f_{(k+1,.,.,n)}(x)right)}

Regra do quociente

A regra da cadeia pode ser usada para derivar algumas regras de diferenciação bem conhecidas. Por exemplo, a regra do quociente é uma consequência da regra da cadeia e da regra do produto. Para ver isso, escreva a função $f (x)/ g (x)$ como o produto $f (x) \cdot 1/ g (x)$ . Primeiro aplique a regra do produto:

begin{align} frac{d}{dx}left(frac{f(x)}{g(x)}right) &= frac{d}{dx}left(f(x)cdotfrac{1}{g(x)}right) \ &= f'(x)cdotfrac{1}{g(x)} + f(x)cdotfrac{d}{dx}left(frac{1}{g(x)}right). end{align}

Para calcular o derivado de $1 g (x)$ , notar que é o composto de $g$ com a função recíproca, ou seja, a função que envia $x$ para $1 x$ . O derivado da função recíproca é ${displaystyle -1/x^{2}!}$ . Ao aplicar a regra da cadeia, a última expressão torna-se:

f'(x)cdotfrac{1}{g(x)} + f(x)cdotleft(-frac{1}{g(x)^2}cdot g'(x)right) = frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2},

que é a fórmula usual para a regra do quociente.

Derivadas de funções inversas

Suponha que $y = g (x)$ tenha uma função inversa. Chame sua função inversa $f$ para que tenhamos $x = f (y)$ . Existe uma fórmula para a derivada de $f$ em termos da derivada de $g$ . Para ver isso, observe que $f$ e $g$ satisfaça a fórmula

f(g(x)) = x.

E porque as funções $f(g(x))$ e $x$ são iguais, seus derivados devem ser iguais. O derivado de $x$ é a função constante com valor 1, e o derivado de $f(g(x))$ é determinado pela regra da cadeia. Portanto, temos isso:

f'(g(x)) g'(x) = 1.

Expressar $f '$ como função de uma variável independente $Sim.$ , nós substituímos $f(y)$ para $x$ onde quer que apareça. Então podemos resolver para $f '$ .

{displaystyle {begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\[5pt]f'(y)g'(f(y))&=1\[5pt]f'(y)={frac {1}{g'(f(y))}}.end{aligned}}}

Por exemplo, considere a função $g (x) = e x$ . Tem um inverso $f (y) = ln y$ . Porque $g'(x) = e x$ , a fórmula acima diz que

frac{d}{dy}ln y = frac{1}{e^{ln y}} = frac{1}{y}.

Esta fórmula é verdadeira sempre que $g$ for diferenciável e seu inverso $f$ também é diferenciável. Essa fórmula pode falhar quando uma dessas condições não for verdadeira. Por exemplo, considere $g (x) = x 3$ . Seu inverso é $f (y) = y 1/3$ , que não é diferenciável em zero. Se tentarmos usar a fórmula acima para calcular a derivada de $f$ em zero, devemos calcular $1/ g'(f (0))$ . Como $f (0) = 0$ e $g'(0) = 0$ , devemos avaliar 1/0, que é indefinido. Portanto, a fórmula falha neste caso. Isso não é surpreendente porque $f$ não é diferenciável em zero.

Derivados superiores

A fórmula de Faà di Bruno generaliza a regra da cadeia para derivadas superiores. Assumindo que $y = f (u)$ e $u = g (x)$ , então as primeiras derivadas são:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}&={frac {dy}{du}}{frac {du}{dx}}\[4pt]{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={frac {d^{2}y}{du^{2}}}left({frac {du}{dx}}right)^{2}+{frac {dy}{du}}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\[4pt]{frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={frac {d^{3}y}{du^{3}}}left({frac {du}{dx}}right)^{3}+3,{frac {d^{2}y}{du^{2}}}{frac {du}{dx}}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{frac {dy}{du}}{frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\[4pt]{frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={frac {d^{4}y}{du^{4}}}left({frac {du}{dx}}right)^{4}+6,{frac {d^{3}y}{du^{3}}}left({frac {du}{dx}}right)^{2}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{frac {d^{2}y}{du^{2}}}left(4,{frac {du}{dx}}{frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3,left({frac {d^{2}u}{dx^{2}}}right)^{2}right)+{frac {dy}{du}}{frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.end{aligned}}}

Provas

Primeira prova

Uma prova da regra da cadeia começa definindo a derivada da função composta $f \circ g$ , onde tome o limite do quociente de diferença para $f \circ g$ como $x$ se aproxima de $a$ :

(f circ g)'(a) = lim_{x to a} frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}.

Assuma pelo momento em que ${displaystyle g(x)!}$ não igual $g(a)$ para qualquer $x$ perto $a$ . Em seguida, a expressão anterior é igual ao produto de dois fatores:

lim_{x to a} frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} cdot frac{g(x) - g(a)}{x - a}.

Se $g$ oscila perto $um$ , então pode acontecer que não importa o quão perto se consegue $um$ , há sempre um mais perto $x$ tal que $g (x) = g (um)$ . Por exemplo, isso acontece perto $um = 0$ para a função contínua $g$ definido por $g (x) = 0$ para $x = 0$ e $g (x) = x 2 pecado (1 x)$ Caso contrário. Sempre que isso acontece, a expressão acima é indefinida porque envolve divisão por zero. Para trabalhar em torno disso, introduza uma função $Q$ da seguinte forma:

{displaystyle Q(y)={begin{cases}displaystyle {frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&yneq g(a),\f'(g(a)),&y=g(a).end{cases}}}

Vamos mostrar que o quociente de diferença para $f \circ g$ é sempre igual a:

Q(g(x)) cdot frac{g(x) - g(a)}{x - a}.

Sempre que $g (x)$ não for igual a $g (a)$ , isso fica claro porque os fatores de $g (x) - g (a)$ cancelar. Quando $g (x)$ é igual a $g (a)$ , então o quociente de diferença para $f \circ g$ é zero porque $f (g (x))$ é igual a $f (g (a))$ , e o produto acima é zero porque é igual a $f'(g (a))$ vezes zero. Portanto, o produto acima é sempre igual ao quociente de diferença e para mostrar que a derivada de $f \circ g$ em $a$ existe e para determinar seu valor, precisamos apenas mostrar que o limite como $x$ vai para $um$ do produto acima existe e determina seu valor.

Para fazer isso, lembre-se de que o limite de um produto existe se os limites de seus fatores existirem. Quando isso acontecer, o limite do produto desses dois fatores será igual ao produto dos limites dos fatores. Os dois fatores são $Q (g (x))$ e $(g (x) - g (a)) / (x - a)$ . O último é o quociente de diferença para $g$ em $a$ , e porque $g$ é diferenciável em $a$ por suposição, seu limite como $x$ tende a $a$ existe e é igual a $g'(a)$ .

Quanto a $Q (g (x))$ , observe que $Q$ é definido onde quer que $f$ é. Além disso, $f$ é diferenciável em $g (a)$ por suposição, então $Q$ é contínuo em $g (a)$ , por definição da derivada. A função $g$ é contínua em $a$ porque é diferenciável em $a$ e, portanto, $Q \circ g$ é contínuo em $a$ . Portanto, seu limite como $x$ vai para $a$ existe e é igual a $Q (g (a))$ , que é $f'(g (a))$ .

Isso mostra que os limites de ambos os fatores existem e são iguais a $f'(g (a))$ e $g'(a)$ , respectivamente. Portanto, a derivada de $f \circ g$ em a existe e é igual a $f'(g (a))$ $g'(a)$ .

Caso multivariável

A generalização da regra da cadeia para funções multivariáveis é bastante técnica. No entanto, é mais simples escrever no caso de funções da forma

${displaystyle f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x)).}$

Como esse caso ocorre frequentemente no estudo de funções de uma única variável, vale a pena descrevê-lo separadamente.

Caso de f(g1(x),... gk(x))

Para escrever a regra da cadeia para uma função da forma

$f (g 1 (x),... g k (x)$ ,

precisamos das derivadas parciais de $f$ em relação ao seu $k$ argumentos. As notações usuais para derivadas parciais envolvem nomes para os argumentos da função. Como esses argumentos não são nomeados na fórmula acima, é mais simples e claro denotar por

${displaystyle D_{i}f}$

a derivada parcial de $f$ em relação ao seu $i$ º argumento, e por

${displaystyle D_{i}f(z)}$

o valor desta derivada em $z$ .

Com esta notação, a regra da cadeia é

${displaystyle {frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x))=sum _{i=1}^{k}left({frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)right)D_{i}f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x)).}$

Exemplo: operações aritméticas

Se a função $f$ for adição, ou seja, se

${displaystyle f(u,v)=u+v,}$

então ${textstyle D_{1}f={frac {partial f}{partial u}}=1}$ e ${textstyle D_{2}f={frac {partial f}{partial v}}=1}$ . Assim, a regra da cadeia dá

${displaystyle {frac {d}{dx}}(g(x)+h(x))=left({frac {d}{dx}}g(x)right)D_{1}f+left({frac {d}{dx}}h(x)right)D_{2}f={frac {d}{dx}}g(x)+{frac {d}{dx}}h(x).}$

Para multiplicação

${displaystyle f(u,v)=uv,}$

as parciais são ${displaystyle D_{1}f=v}$ e ${displaystyle D_{2}f=u}$ . Assim,

${displaystyle {frac {d}{dx}}(g(x)h(x))=h(x){frac {d}{dx}}g(x)+g(x){frac {d}{dx}}h(x).}$

O caso da exponenciação

${displaystyle f(u,v)=u^{v}}$

é um pouco mais complicado, pois

${displaystyle D_{1}f=vu^{v-1},}$

e, como ${displaystyle u^{v}=e^{vln u},}$

${displaystyle D_{2}f=u^{v}ln u.}$

Segue-se que

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(g(x)^{h(x)}right)=h(x)g(x)^{h(x)-1}{frac {d}{dx}}g(x)+g(x)^{h(x)}ln g(x){frac {d}{dx}}h(x).}$

Regra geral

A maneira mais simples de escrever a regra da cadeia no caso geral é usar a derivada total, que é uma transformação linear que captura todas as derivadas direcionais em uma única fórmula. Considere funções diferenciáveis $f : R m \to R k$ e $g : R n \to R m$ e um ponto $a$ em $R n$ . Seja $D a g$ denotando a derivada total de $g$ em $a$ e $D g (a) f$ denotam a derivada total de $f$ em $g (a)$ . Essas duas derivadas são transformações lineares $R n \to R m$ e $R m \to R k$ , respectivamente, para que possam ser compostas. A regra da cadeia para derivadas totais é que seu composto é a derivada total de $f \circ g$ em $a$ :

$D_{mathbf{a}}(f circ g) = D_{g(mathbf{a})}f circ D_{mathbf{a}}g,$

ou para abreviar,

$D(f circ g) = Df circ Dg.$

A regra da cadeia de dimensão superior pode ser provada usando uma técnica semelhante à segunda prova fornecida acima.

Como a derivada total é uma transformação linear, as funções que aparecem na fórmula podem ser reescritas como matrizes. A matriz correspondente a uma derivada total é chamada de matriz jacobiana, e o composto de duas derivadas corresponde ao produto de suas matrizes jacobianas. A partir desta perspectiva, a regra da cadeia, portanto, diz:

$J_{{fcirc g}}({mathbf {a}})=J_{{f}}(g({mathbf {a}}))J_{{g}}({mathbf {a}}),$

ou para abreviar,

$J_{{fcirc g}}=(J_{f}circ g)J_{g}.$

Ou seja, o Jacobiano de uma função composta é o produto dos Jacobianos das funções compostas (avaliado nos pontos apropriados).

A regra da cadeia de dimensão superior é uma generalização da regra da cadeia unidimensional. Se k, m e n forem 1, então $f : R \to R$ e $g : R \to R$ , então as matrizes Jacobianas de f e g são $1 \times 1$ . Especificamente, são eles:

${begin{aligned}J_{g}(a)&={begin{pmatrix}g'(a)end{pmatrix}},\J_{{f}}(g(a))&={begin{pmatrix}f'(g(a))end{pmatrix}}.end{aligned}}$

O jacobiano de f ∘ g é o produto dessas matrizes $1 \times 1$ , então é $f'(g (a))\cdot g'(a)$ , como esperado da regra da cadeia unidimensional. Na linguagem das transformações lineares, D_a(g) é a função que dimensiona um vetor por um fator de g′(a) e D_g(a)(f) é a função que dimensiona um vetor por um fator de f′(g(a)). A regra da cadeia diz que a composição dessas duas transformações lineares é a transformação linear $D a (f \circ g)$ , e portanto é a função que dimensiona um vetor por f′(g (a))⋅g′(a).

Outra forma de escrever a regra da cadeia é usada quando f e g são expressos em termos de seus componentes como $y = f (u) = (f 1 (u), \dots, f k (u))$ e $u = g (x) = (g 1 (x), \dots, g m (x))$ . Nesse caso, a regra acima para matrizes jacobianas geralmente é escrita como:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(x_1, ldots, x_n)} = frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(u_1, ldots, u_m)} frac{partial(u_1, ldots, u_m)}{partial(x_1, ldots, x_n)}.$

A regra da cadeia para derivadas totais implica uma regra da cadeia para derivadas parciais. Lembre-se que quando a derivada total existe, a derivada parcial na iésima direção da coordenada é encontrada multiplicando a matriz jacobiana pelo iésimo vetor de base. Fazendo isso com a fórmula acima, encontramos:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial x_i} = frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(u_1, ldots, u_m)} frac{partial(u_1, ldots, u_m)}{partial x_i}.$

Como as entradas da matriz jacobiana são derivadas parciais, podemos simplificar a fórmula acima para obter:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial x_i} = sum_{ell = 1}^m frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial u_ell} frac{partial u_ell}{partial x_i}.$

Mais conceitualmente, esta regra expressa o fato de que uma mudança na direção x_i pode mudar todo o g₁ até g_m, e qualquer uma dessas alterações pode afetar f.

No caso especial em que $k = 1$ , de modo que f seja uma função de valor real, então este fórmula simplifica ainda mais:

$frac{partial y}{partial x_i} = sum_{ell = 1}^m frac{partial y}{partial u_ell} frac{partial u_ell}{partial x_i}.$

Isso pode ser reescrito como um produto escalar. Lembrando que $u = (g 1, \dots, g m)$ , a derivada parcial $\partial u / \partial x i$ também é um vetor, e a regra da cadeia diz que:

${displaystyle {frac {partial y}{partial x_{i}}}=nabla ycdot {frac {partial mathbf {u} }{partial x_{i}}}.}$

Exemplo

Dado $u (x, y) = x 2 + 2 y$ onde $x (r, t) = r sin(t)$ e $y (r, t) = sin 2 (t)$ , determine o valor de $\partial u / \partial r$ e $\partial u / \partial t$ usando a regra da cadeia.

${frac {partial u}{partial r}}={frac {partial u}{partial x}}{frac {partial x}{partial r}}+{frac {partial u}{partial y}}{frac {partial y}{partial r}}=(2x)(sin(t))+(2)(0)=2rsin ^{2}(t),$

$begin{align}frac{partial u}{partial t} &= frac{partial u}{partial x} frac{partial x}{partial t}+frac{partial u}{partial y} frac{partial y}{partial t} \ &= (2x)(rcos(t)) + (2)(2sin(t)cos(t)) \ &= (2rsin(t))(rcos(t)) + 4sin(t)cos(t) \ &= 2(r^2 + 2) sin(t)cos(t) \ &= (r^2 + 2) sin(2t).end{align}$

Derivadas superiores de funções multivariáveis

A fórmula de Faà di Bruno para derivadas de ordem superior de funções de variável única generaliza para o caso multivariável. Se $y = f (u)$ for uma função de $u = g (x)$ como acima, então a segunda derivada de $f \circ g$ é:

${frac {partial ^{2}y}{partial x_{i}partial x_{j}}}=sum _{k}left({frac {partial y}{partial u_{k}}}{frac {partial ^{2}u_{k}}{partial x_{i}partial x_{j}}}right)+sum _{{k,ell }}left({frac {partial ^{2}y}{partial u_{k}partial u_{ell }}}{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{ell }}{partial x_{j}}}right).$

Mais generalizações

Todas as extensões de cálculo têm uma regra da cadeia. Na maioria deles, a fórmula permanece a mesma, embora o significado dessa fórmula possa ser muito diferente.

Uma generalização é para variedades. Nesta situação, a regra da cadeia representa o fato de que a derivada de $f \circ g$ é a composta da derivada de f e a derivada de g. Este teorema é uma consequência imediata da regra da cadeia dimensional superior dada acima, e tem exatamente a mesma fórmula.

A regra da cadeia também é válida para derivadas de Fréchet em espaços de Banach. A mesma fórmula vale como antes. Este caso e o anterior admitem uma generalização simultânea para variedades de Banach.

Na álgebra diferencial, a derivada é interpretada como um morfismo de módulos de diferenciais de Kähler. Um homomorfismo de anéis comutativos $f : R \to S$ determina um morfismo de diferenciais de Kähler $Df : Ω R \to Ω S$ que envia um elemento dr para d(f(r)), o diferencial exterior de f(r). A fórmula $D (f \circ g) = Df \circ Dg$ vale neste contexto também.

A característica comum desses exemplos é que eles são expressões da ideia de que a derivada faz parte de um funtor. Um functor é uma operação em espaços e funções entre eles. Associa a cada espaço um novo espaço e a cada função entre dois espaços uma nova função entre os novos espaços correspondentes. Em cada um dos casos acima, o functor envia cada espaço para seu fibrado tangente e envia cada função para sua derivada. Por exemplo, no caso do manifold, a derivada envia um C^r-manifold para um C^r−1-variedade (seu fibrado tangente) e uma função C^r para sua derivada total. Há um requisito para que seja um funtor, ou seja, que a derivada de um composto seja a composta das derivadas. Esta é exatamente a fórmula $D (f \circ g) = Df \circ Dg$ .

Também existem regras em cadeia no cálculo estocástico. Um deles, o lema de Itō, expressa a composição de um processo Itō (ou mais geralmente um semimartingale) dX_t com um função duas vezes diferenciável f. No lema de Itō, a derivada da função composta não depende apenas de dX_t e da derivada de f mas também na segunda derivada de f. A dependência da segunda derivada é uma consequência da variação quadrática diferente de zero do processo estocástico, o que significa, em linhas gerais, que o processo pode se mover para cima e para baixo de maneira muito brusca. Esta variante da regra da cadeia não é um exemplo de um functor porque as duas funções que estão sendo compostas são de tipos diferentes.

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