Radiano

O radiano, denotado pelo símbolo rad, é a unidade de ângulo no Sistema Internacional de Unidades (SI) e é a unidade padrão de medida angular usada em muitas áreas da matemática. É definido de modo que um radiano é o ângulo subtendido no centro de um círculo por um arco cujo comprimento é igual ao raio. A unidade era anteriormente uma unidade suplementar do SI e atualmente é uma unidade adimensional derivada do SI, definida no SI como 1 rad = 1 e expressa em termos da unidade base do SI metro (m) como rad = m/m. Ângulos sem unidades especificadas explicitamente são geralmente considerados medidos em radianos, especialmente na escrita matemática.

Definição

Um radiano é definido como o ângulo subtendido do centro de um círculo que intercepta um arco igual no comprimento ao raio do círculo. Mais geralmente, a magnitude em radianos de um ângulo subtendido é igual à proporção do comprimento do arco ao raio do círculo; isto é, θ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =SR{displaystyle theta ={frac Não., onde θ é o ângulo subtendido em radianos, S é comprimento de arco, e R é o raio. Um ângulo reto é exatamente D D 2Não. ? radianos.

O ângulo de rotação (360°) correspondente a uma revolução completa é o comprimento da circunferência dividida pelo raio, que é 2D D RR{displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle { ?ou 2D. Assim, 2Dradianos é igual a 360 graus.

A relação 2D rad = 360 ° pode ser derivado usando a fórmula para o comprimento do arco, Eu... Eu... arco= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D R(θ θ 360.∘ ∘ ){textstyle ell _{text{arc}}=2pi rleft({tfrac {theta }{360^{circ }}}right)}. Como radiano é a medida de um ângulo que é subtendido por um arco de um comprimento igual ao raio do círculo, 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D (1Rad360.∘ ∘ ){textstyle 1=2pi left({tfrac {1{text{ rad}}}{360^{circ }}}right)}. Isto pode ser mais simplificado para 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D Rad360.∘ ∘ {textstyle 1={tfrac {2pi {text{ rad}}}{360^{circ Sim.. Multiplicando ambos os lados por 360 ° dá 360° = 2D Rad.

Símbolo da unidade

O Bureau Internacional de Pesos e Medidas e a Organização Internacional de Padronização especificam rad como o símbolo para o radiano. Símbolos alternativos que estavam em uso em 1909 são ^c (a letra c sobrescrita, para "medida circular"), a letra r ou um ^R sobrescrito, mas essas variantes são usadas com pouca frequência, pois podem ser confundidas com um símbolo de grau (°) ou um raio (r). Portanto, um ângulo de 1,2 radianos seria escrito hoje como 1,2 rad; as notações arcaicas podem incluir 1,2 r, 1,2^rad, 1,2^c ou 1,2^R.

Na escrita matemática, o símbolo "rad" muitas vezes é omitido. Ao quantificar um ângulo na ausência de qualquer símbolo, os radianos são assumidos e, quando se trata de graus, o sinal de grau ° é usado.

Análise dimensional

O ângulo plano é definido como θ = s/r, onde θ é o ângulo subtendido em radianos, s é o comprimento do arco e r é o raio. Um radiano corresponde ao ângulo para o qual s = r, portanto 1 radiano = 1 m/m. No entanto, rad deve ser usado apenas para expressar ângulos, não para expressar proporções de comprimentos em geral. Um cálculo semelhante usando a área de um setor circular θ = 2A/r² dá 1 radiano como 1 m²/m². O fato principal é que o radiano é uma unidade adimensional igual a 1. No SI 2019, o radiano é definido de acordo com 1 rad = 1. É uma prática estabelecida há muito tempo na matemática e em todas as áreas da ciência usar rad = 1. Em 1993, o Comitê Métrico da Associação Americana de Professores de Física especificou que o radiano deveria aparecer explicitamente em quantidades apenas quando diferentes valores numéricos fossem obtidos quando outras medidas de ângulo fossem usadas, como nas quantidades de medida de ângulo (rad), velocidade angular (rad /s), aceleração angular (rad/s²) e rigidez torcional (N⋅m/rad), e não nas quantidades de torque (N⋅m) e momento angular (kg⋅m ²/s).

Giacomo Prando diz que "o estado atual das coisas leva inevitavelmente a aparições e desaparecimentos fantasmagóricos do radiano na análise dimensional de equações físicas". Por exemplo, um objeto pendurado por um barbante em uma polia subirá ou cairá y = rθ centímetros, onde r é o raio da polia em centímetros e θ é o ângulo que a polia gira em radianos. Ao multiplicar r por θ a unidade de radianos desaparece do resultado. Da mesma forma, na fórmula para a velocidade angular de uma roda rolante, ω = v/r, radianos aparecem nas unidades de ω mas não no lado direito. Anthony French chama esse fenômeno de "um problema perene no ensino da mecânica". Oberhofer diz que o conselho típico de ignorar radianos durante a análise dimensional e adicionar ou remover radianos em unidades de acordo com a convenção e o conhecimento contextual é "pedagogicamente insatisfatório".

Pelo menos uma dúzia de cientistas entre 1936 e 2022 fizeram propostas para tratar o radiano como uma unidade básica de medida que define sua própria dimensão de "ângulo". A revisão de propostas de Quincey descreve duas classes de propostas. A primeira opção altera a unidade de um raio para metros por radiano, mas isso é incompatível com a análise dimensional da área de um círculo, πr². A outra opção é introduzir uma constante dimensional. De acordo com Quincey, esta abordagem é "logicamente rigorosa" comparado ao SI, mas requer "a modificação de muitas equações matemáticas e físicas familiares".

Em particular, Quincey identifica Torrens' proposta para introduzir uma constante η igual a 1 radiano inverso (1 rad⁻¹) de uma forma semelhante à introdução da constante ε0. Com esta alteração, a fórmula para o ângulo subtendido no centro de um círculo, s = rθ, é modificada para se tornar s = ηrθ, e a série de Taylor para o seno de um ângulo θ torna-se:

Sincronização⁡ ⁡ θ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =pecadoRad⁡ ⁡ (? ? θ θ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? θ θ - Sim. - Sim. (? ? θ θ )33!+(? ? θ θ )55!- Sim. - Sim. (? ? θ θ )77!+⋯ ⋯ .{displaystyle operatorname {Sin} theta =sin _{text{rad}}(eta theta)=eta theta -{frac {(eta theta)^{3}}{3!}}+{frac {(eta theta)^{5}}{5!}}-{frac {(eta theta)^{7}}{7!}}+cdots.}

Sincronização{displaystyle operatorname {Sin} }

pecado- Sim.

SI pode ser considerado relativo a esta estrutura como um sistema de unidade natural onde a equação η = 1 é considerada, ou similarmente, 1 rad = 1. Esta convenção de radianos permite a omissão de η em fórmulas matemáticas.

Uma constante dimensional para ângulo é "bastante estranha" e a dificuldade de modificar equações para adicionar a constante dimensional provavelmente impedirá o uso generalizado. Definir radiano como uma unidade básica pode ser útil para software, onde a desvantagem de equações mais longas é mínima. Por exemplo, a biblioteca de unidades Boost define as unidades angulares com uma dimensão plane_angle, e o sistema de unidades do Mathematica também considera os ângulos como tendo uma dimensão angular.

Conversões

Entre graus

Como afirmado, um radiano é igual a 180∘ ∘ /D D {displaystyle {180^{circ { {. Assim, para converter de radianos para graus, multiplicar por 180∘ ∘ /D D {displaystyle {180^{circ { {.

ângulo em graus= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ângulo em radianos)) 180∘ ∘ D D {displaystyle {text{angle em graus}}={text{angle in radians}}cdot {frac {180^{circ)

Por exemplo:

1Rad= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1)) 180∘ ∘ D D ? ? 57.2958∘ ∘ {displaystyle 1{text{ rad}}=1cdot {frac {180^{circ }}{pi }}approx 57.2958^{circ }}

2.5.Rad= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2.5.)) 180∘ ∘ D D ? ? 143.2394∘ ∘ {displaystyle 2.5{text{ rad}}=2.5cdot {frac {180^{circ }}{pi }}approx 143.2394^{circ }}

D D 3Rad= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D 3)) 180∘ ∘ D D = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =60∘ ∘ - Não. }{3}}{text{ rad}}={frac }{3}}cdot {frac {180^{circ }}{pi }}=60^{circ)

Inversamente, para converter de graus para radianos, multiplicar por D D /180∘ ∘ {displaystyle {pi }/{180^{circ).

ângulo em radianos= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ângulo em graus)) D D 180∘ ∘ {displaystyle {text{angle in radians}}={text{angle em graus}}cdot {frac {pi }{180^{circ Sim.

Por exemplo:

1∘ ∘ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∘ ∘ )) D D 180∘ ∘ ? ? 0,0175Rad{displaystyle 1^{circ }=1^{circ }cdot {frac {pi }{180^{circ }}}approx 0.0175{text{ rad}}}

23∘ ∘ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =23∘ ∘ )) D D 180∘ ∘ ? ? 0Rad{displaystyle 23^{circ }=23^{circ }cdot {frac {pi }{180^{circ }}}approx 0.4014{text{ rad}}}

Os radianos podem ser convertidos em voltas (uma volta é o ângulo correspondente a uma revolução) dividindo o número de radianos por 2π.

Entre gradianos

2D D - Sim. radianos é igual a um turno, que é por definição 400 gradianos (400 gons ou 400^g). Para converter de radianos para gradianos multiplicar por 200g/D D {displaystyle 200^{text{g}}/pi ?, e converter de gradianos para radianos multiplicar por D D /200g{displaystyle pi /200^{text{g}}}. Por exemplo,

1.2.Rad= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1.2.)) 200gD D ? ? 76.3944g{displaystyle 1.2{text{ rad}}=1.2cdot {frac {200^{text{g}}}{pi }}approx 76.3944^{text{g}}}

50g= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =50g)) D D 200g? ? 0,854Rad{displaystyle 50^{text{g}}=50^{text{g}}cdot {frac {pi }{200^{text{g}}approx 0.7854{text{ rad}}}

Uso

Matemática

Alguns ângulos comuns, medidos em radianos. Todos os grandes polígonos neste diagrama são polígonos regulares.

No cálculo e na maioria dos outros ramos da matemática além da geometria prática, os ângulos são medidos em radianos. Isso porque os radianos possuem uma naturalidade matemática que leva a uma formulação mais elegante de alguns resultados importantes.

Resultados em análises envolvendo funções trigonométricas podem ser expressos de forma elegante quando as funções' argumentos são expressos em radianos. Por exemplo, o uso de radianos leva à fórmula de limite simples

Limpar.h→ → 0pecado⁡ ⁡ hh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,{displaystyle lim _{hrightarrow O quê? - Sim.

que é a base de muitas outras identidades em matemática, incluindo

DDxpecado⁡ ⁡ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ x{displaystyle {frac {d}{dx}}sin x=cos x}

D2Dx2pecado⁡ ⁡ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. pecado⁡ ⁡ x.{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}}}sin x=-sin x}

Devido a essas e outras propriedades, as funções trigonométricas aparecem em soluções para problemas matemáticos que não estão obviamente relacionados aos significados geométricos das funções (por exemplo, as soluções para a equação diferencial D2Sim.Dx2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. Sim.(d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}, a avaliação da integralidade ∫ ∫ Dx1+x2,{displaystyle textstyle int {displaystyle textstyle int {frac {dx}{1+x^{2}}},} e assim por diante). Em todos esses casos, verifica-se que os argumentos para as funções são mais naturalmente escritos na forma que corresponde, em contextos geométricos, à medição radiana de ângulos.

As funções trigonométricas também têm expansões em série simples e elegantes quando são usados radianos. Por exemplo, quando x está em radianos, a série de Taylor para sen x se torna:

pecado⁡ ⁡ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x- Sim. - Sim. x33!+x55!- Sim. - Sim. x77!+⋯ ⋯ .{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots.}

Se x fosse expresso em graus, a série conteria fatores confusos envolvendo potências de π/180: se x é o número de graus, o número de radianos é y = estilo πx / 180, então

pecado⁡ ⁡ xDeg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =pecado⁡ ⁡ Sim.RumD= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D 180x- Sim. - Sim. (D D 180)3x33!+(D D 180)5x55!- Sim. - Sim. (D D 180)7x77!+⋯ ⋯ .{displaystyle sin x_{mathrm} {deg} }=sin y_{mathrm {rad} }={frac {pi }{180}}x-left({frac {pi }{180}}right)^{3} {frac {x^{3}}{3!}}+left({frac {pi }{180}}right)^{5} {x^{7}}{7!}}+cdots.}

Em um espírito semelhante, as relações matematicamente importantes entre as funções seno e cosseno e a função exponencial (ver, por exemplo, a fórmula de Euler) podem ser elegantemente estabelecidas, quando as funções' os argumentos estão em radianos (e confusos de outra forma).

Física

O radiano é amplamente utilizado em física quando são necessárias medições angulares. Por exemplo, a velocidade angular é normalmente expressa na unidade radianos por segundo (rad/s). Uma revolução por segundo corresponde a 2π radianos por segundo.

Da mesma forma, a unidade usada para aceleração angular geralmente é radiano por segundo por segundo (rad/s²).

Para fins de análise dimensional, as unidades de velocidade angular e aceleração angular são s⁻¹ e s⁻² respectivamente.

Da mesma forma, a diferença de fase de duas ondas também pode ser expressa usando o radiano como unidade. Por exemplo, se a diferença de fase de duas ondas for (n⋅2π) radianos com n é um número inteiro, elas são consideradas em fase, enquanto se a diferença de fase de duas ondas for (n⋅2π + π) com n um inteiro, eles são considerados em antifase.

Prefixos e variantes

Prefixos métricos para submúltiplos são usados com radianos. Um miliradiano (mrad) é um milésimo de radiano (0,001 rad), ou seja, 1 rad = 10³ mrad. Existem 2π × 1000 miliradianos (≈ 6283,185 mrad) em um círculo. Portanto, um miliradiano está abaixo de 1/6283 do ângulo subtendido por um círculo completo. Esta unidade de medida angular de um círculo é de uso comum por fabricantes de miras telescópicas que usam telêmetros (estadiamétricos) em retículas. A divergência dos feixes de laser também é geralmente medida em milirradianos.

O mil angular é uma aproximação do miliradiano usado pela OTAN e outras organizações militares em artilharia e seleção de alvos. Cada mil angular representa 1/6400 de um círculo e é 15/8% ou 1,875% menor que o miliradiano. Para os pequenos ângulos normalmente encontrados no trabalho de mira, a conveniência de usar o número 6400 no cálculo supera os pequenos erros matemáticos que ele introduz. No passado, outros sistemas de artilharia usaram diferentes aproximações para 1/ 2000π; por exemplo, a Suécia usou a classe 1/6300 streck e a URSS usou 1/6000. Baseando-se no miliradiano, o mil da OTAN subtende aproximadamente 1 m em um alcance de 1000 m (em ângulos tão pequenos, a curvatura é insignificante).

Prefixos menores que mili- são úteis para medir ângulos extremamente pequenos. Microrradianos (μrad, 10⁻⁶ rad) e nanorradianos (nrad, 10⁻⁹ rad) são usados em astronomia e também podem ser usado para medir a qualidade do feixe de lasers com divergência ultrabaixa. Mais comum é o segundo arco, que é π/648.000 rad (cerca de 4,8481 microrradianos).

História

Pré-século 20

A ideia de medir ângulos pelo comprimento do arco foi usada pelos matemáticos bem cedo. Por exemplo, al-Kashi (c. 1400) usou as chamadas partes de diâmetro como unidades, onde uma parte de diâmetro era 1/60 radiano. Eles também usaram subunidades sexagesimais da parte do diâmetro. Newton em 1672 falou da "quantidade angular do movimento circular de um corpo", mas a usou apenas como uma medida relativa para desenvolver um algoritmo astronômico.

O conceito de a medida radiana é normalmente creditado a Roger Cotes, que morreu em 1716. Em 1722, seu primo Robert Smith havia coletado e publicado as obras de Cotes'. escritos matemáticos em um livro, Harmonia mensurarum. Em um capítulo de comentários editoriais, Smith deu o que é provavelmente o primeiro cálculo publicado de um radiano em graus, citando uma nota de Cotes que não sobreviveu. Smith descreveu o radiano em tudo, menos no nome - "Agora, esse número é igual a 180 graus como o raio de um círculo para a semicircunferência, isso é como 1 para 3,141592653589" –, e reconheceu sua naturalidade como unidade de medida angular.

Em 1765, Leonhard Euler adotou implicitamente o radiano como unidade de ângulo. Especificamente, Euler definiu a velocidade angular como "A velocidade angular no movimento rotacional é a velocidade daquele ponto, cuja distância do eixo de giração é expressa por um." Euler foi provavelmente o primeiro a adotar esta convenção, conhecida como convenção do radiano, que fornece a fórmula simples para a velocidade angular ω = v /r. Conforme discutido em § Análise dimensional, a convenção de radianos foi amplamente adotada e outras convenções têm a desvantagem de exigir uma constante dimensional, por exemplo ω = v/(ηr).

Antes do termo radiano se tornar difundido, a unidade era comumente chamada de medida circular de um ângulo. O termo radiano apareceu pela primeira vez impresso em 5 de junho de 1873, em questões de exame definidas por James Thomson (irmão de Lord Kelvin) no Queen's College, em Belfast. Ele havia usado o termo já em 1871, enquanto em 1869, Thomas Muir, então da Universidade de St Andrews, vacilou entre os termos rad, radial e radiano. Em 1874, após uma consulta com James Thomson, Muir adotou o radiano. O nome radiano não foi adotado universalmente por algum tempo depois disso. Longmans' A trigonometria escolar ainda chamava o radiano de medida circular quando publicada em 1890.

Como uma unidade SI

Como Paul Quincey et al. escreve, "o status dos ângulos dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI) tem sido uma fonte de controvérsia e confusão." Em 1960, a CGPM estabeleceu o SI e o radiano foi classificado como uma "unidade suplementar" juntamente com o esterradiano. Esta classe especial foi oficialmente considerada "ou como unidades básicas ou como unidades derivadas", já que a CGPM não conseguiu chegar a uma decisão sobre se o radiano era uma unidade básica ou uma unidade derivada. Richard Nelson escreve "Esta ambigüidade [na classificação das unidades suplementares] levou a uma discussão acalorada sobre sua interpretação adequada". Em maio de 1980, o Comitê Consultivo para Unidades (CCU) considerou uma proposta para tornar os radianos uma unidade de base do SI, usando uma constante α₀ = 1 rad, mas recusou para evitar uma reviravolta na prática atual.

Em outubro de 1980, a CGPM decidiu que unidades suplementares eram unidades derivadas adimensionais para as quais a CGPM permitia a liberdade de usá-las ou não em expressões para unidades derivadas do SI, com base no fato de que "[nenhum formalismo] existe que é ao mesmo tempo coerente e conveniente e em que as grandezas ângulo plano e ângulo sólido podem ser consideradas como grandezas de base" e que "[a possibilidade de tratar o radiano e o esterradiano como unidades de base do SI] compromete a coerência interna do SI baseado em apenas sete unidades de base". Em 1995, a CGPM eliminou a classe de unidades suplementares e definiu o radiano e o esterradiano como "unidades derivadas adimensionais, cujos nomes e símbolos podem, mas não precisam, ser usados em expressões para outras unidades derivadas do SI, como é conveniente". Mikhail Kalinin, escrevendo em 2019, criticou a decisão da CGPM de 1980 como "infundada" e diz que a decisão da CGPM de 1995 usou argumentos inconsistentes e introduziu "inúmeras discrepâncias, inconsistências e contradições nas palavras do SI".

Na reunião de 2013 da CCU, Peter Mohr fez uma apresentação sobre supostas inconsistências decorrentes da definição do radiano como uma unidade adimensional em vez de uma unidade básica. O presidente da CCU, Ian M. Mills, declarou que este é um "problema formidável" e o Grupo de Trabalho CCU sobre Ângulos e Quantidades Adimensionais no SI foi estabelecido. O CCU se reuniu mais recentemente em 2021, mas não chegou a um consenso. Um pequeno número de membros argumentou fortemente que o radiano deveria ser uma unidade básica, mas a maioria sentiu que o status quo era aceitável ou que a mudança causaria mais problemas do que resolveria. Um grupo de trabalho foi estabelecido para "revisar o uso histórico de unidades suplementares do SI e considerar se a reintrodução seria benéfica", entre outras atividades.