Quadrilateral cíclico

Na geometria euclidiana, a quadrilateral cíclico ou quadrilateral inscrito é um quadrilateral cujos vértices estão todos em um único círculo. Este círculo é chamado de círculo circunving ou , e os vértices são considerados Concyclic . O centro do círculo e seu raio são chamados de circuncenter e o circunradius respectivamente. Outros nomes para esses quadriláteros são quadrilateral concíclico e acordal quadrilateral , o último, já que os lados do quadrilátero são acordes do circunving. Geralmente, o quadrilátero é assumido como convexo, mas também existem quadriláteros cíclicos cruzados. As fórmulas e propriedades fornecidas abaixo são válidas no caso convexo.

A palavra cyclic é do grego antigo κύκλος ( kuklos ), o que significa "círculo " OR " roda ".

Todos os triângulos têm um circunceiro, mas nem todos os quadriláteros. Um exemplo de um quadrilátero que não pode ser cíclico é um Rhombus não quadrado. As caracterizações da seção abaixo afirmam o que as condições necessárias e suficientes um quadrilateral deve satisfazer para ter um circunceiro.

Qualquer trapezóide quadrado, retângulo, isósceles ou antiparalelograma é cíclico. Uma pipa é cíclica se e somente se tiver dois ângulos retos - uma pipa direita. Um quadrilátero bicêncio é um quadrilátero cíclico que também é tangencial e um quadrilateral exicêntrico é um quadrilátero cíclico que também é ex-tangencial. Um quadrilateral harmônico é um quadrilateral cíclico no qual o produto dos comprimentos dos lados opostos é igual.

Um quadrilátero convexo é cíclico se e somente se os quatro bissetores perpendiculares nos lados forem concorrentes. Este ponto comum é o circuncenter.

um quadrilateral convexo abcd é cíclico se e somente se seus ângulos opostos forem suplementares, isto é

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).}$

O teorema direto foi a Proposição 22 no livro 3 dos elementos de Euclides. Equivalentemente, um quadrilátero convexo é cíclico se e somente se cada ângulo externo for igual ao ângulo interno oposto.

Em 1836 Duncan Gregory generalizou este resultado da seguinte forma: Dada qualquer cíclica convexa 2n-gon, então as duas somas de alternativa ângulos interiores são todos iguais a (n-1)$- Sim.$. Este resultado pode ser mais generalizado da seguinte forma: A1A2... A2n (n > 1) é qualquer cíclica 2n-gon em que vértice Ai... Ai! (vertex) Ai! está unido a Ai!), então as duas somas de ângulos interiores alternativos são iguais a m$- Sim.$ (onde) m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n—k e k = 1, 2, 3,... é o giro total).

Tomando a projeção estereográfica (tangente de meio ângulo) de cada ângulo, isso pode ser reexpressa,

$O que é isso? - Sim. }{2}}}{1-\tan frac {\alpha }{2}}\tan frac Não. }{2}}={\frac {\displaystyle {\frac} ,beta }{2}}+\tan }{2}}}{1-\tan {\displaystyle {\beta }{2}}\tan {\frac {\displaystyle {\beta }{2}}\tan {\frac {\displaystyle {\beta } }{2}}\tan {\frac {\displaystyle {\beta } }}}\tan {\frac {\displaystyle {\beta } } }}}{1-\tan }{2}}=\infty.}$

que implica que

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac }{2}}\tan {\frac {\frac {\displaystyle }{2}}\tan {\frac {\frac {\displaystyle {\beta }{2}}\tan {\frac {\ }{2}}}{2}}=\tan {\frac {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle } }{2}} } } } } } , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }{2}} Não. - Sim.$

um quadrilateral convexo abcd é cíclico se e somente se um ângulo entre um lado e uma diagonal for igual ao ângulo entre o lado oposto e a outra diagonal. Isto é, por exemplo,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

Outras condições necessárias e suficientes para um quadrilátero convexo ABCD para ser cíclica são: deixe E ser o ponto de interseção das diagonais, deixe F ser o ponto de interseção das extensões dos lados ANÚNCIO e A.C., let $- Sim.$ ser um círculo cujo diâmetro é o segmento, EFe deixar P e Q ser pontos de Pascal em lados AB e CD-ROM formado pelo círculo $- Sim.$.
(1) ABCD é um quadrilateral cíclico se e somente se pontos P e Q são collinear com o centro O, de círculo $- Sim.$.
(2) ABCD é um quadrilateral cíclico se e somente se pontos P e Q são os pontos médios dos lados AB e CD-ROM.

Se duas linhas, um segmento contendo ac e o outro contendo segmento bd , cruzando em e , então os quatro pontos a < /span>, b , c , d são concíclicos se e somente se

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

A interseção e pode ser interna ou externa ao círculo. No primeiro caso, o quadrilateral cíclico é abcd e, no último caso, o quadrilateral cíclico é Abdc . Quando a interseção é interna, a igualdade afirma que o produto dos comprimentos do segmento nos quais e divide uma diagonal é igual a da outra diagonal. Isso é conhecido como o teorema dos acordes que se cruzam, já que as diagonais do quadrilátero cíclico são acordes do circunving.

PTOLEMY O teorema expressa o produto dos comprimentos dos dois diagonais e e f de um quadrilátero cíclico igual à soma dos produtos de lados opostos:

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

onde a , b , c , d são os comprimentos laterais em ordem. O inverso também é verdadeiro. Ou seja, se essa equação for satisfeita em um quadrilátero convexo, é formado um quadrilátero cíclico.

Em um quadrilateral convexo ABCD, let EFG ser o triângulo diagonal de ABCD e deixar $- Sim.$ ser o círculo de nove pontos de EFG. ABCD é cíclico se e somente se o ponto de interseção dos bimedianos de ABCD pertence ao círculo de nove pontos $- Sim.$.

A área k de um quadrilateral cíclico com lados a , b , c , d é dado pela fórmula de Brahmagupta;

$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

onde s , o semiperímetro, é s = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( a + b + c + d ) . Este é um corolário da fórmula de Bretschneider para o quadrilateral geral, uma vez que os ângulos opostos são suplementares no caso cíclico. Se também d = 0 , o quadrilateral cíclico se torna um triângulo e a fórmula é reduzida à fórmula de Heron#39;

O quadrilateral cíclico possui área máxima entre todos os quadrilásteros com os mesmos comprimentos laterais (independentemente da sequência). Este é outro corolário da fórmula de Bretschneider. Também pode ser comprovado usando cálculo.

Quatro comprimentos desiguais, cada um menor que a soma dos outros três, são os lados de cada um dos três quadriláteros cíclicos não-conosco, que, por fórmula de Brahmagupta, todos têm a mesma área. Especificamente, para lados a , b , c e d , lado a pode ser oposto a qualquer lado b , lado c , ou lado d .

A área de um quadrilateral cíclico com lados sucessivos a , b < /span>, c , d , ângulo a entre lados a e d e ângulo b entre lados a e b podem ser expressos como

$- Sim. {1}{2}} (ab+cd)\sin {B}}$

ou

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

ou

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta )$

onde θ é um ângulo entre as diagonais. Fornecido a não é um ângulo reto, a área também pode ser expressa como

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Outra fórmula é

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

Onde? R é o raio da circuncisão. Como consequência direta,

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

onde há igualdade se e somente se o quadrilateral é um quadrado.

Em um quadrilateral cíclico com vértices sucessivos a , b , c , d e lados a = ab , b = bc , c = cd e d = da , os comprimentos dos diagonais p = ac e q = bd pode ser expresso em termos dos lados como

$(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$ e ${\displaystyle q={\sqrt {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

Então, mostrando o teorema de Ptolomeu

$- Sim.$

De acordo com o segundo teorema de Ptolemy, ,

$Não. - Não. (ad+bcc)$

Usando as mesmas notações acima.

Para a soma das diagonais, temos a desigualdade

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt Não.$

A igualdade é mantida se e somente se as diagonais tiverem comprimento igual, que pode ser provado usando a desigualdade de AM-GM.

Além disso,

$(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

Em qualquer quadrilátero convexo, os dois diagonais juntos partem o quadrilateral em quatro triângulos; Em um quadrilátero cíclico, pares opostos desses quatro triângulos são semelhantes um ao outro.

se abcd é um quadrilateral cíclico onde ac atende bd em e , então

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}}}$

Um conjunto de lados que pode formar um quadrilateral cíclico pode ser organizado em qualquer uma das três seqüências distintas, cada uma das quais pode formar um quadrilásteral cíclico da mesma área no mesmo circunceiro (as áreas são as mesmas de acordo com Brahmagupta ' s fórmula da área). Quaisquer dois desses quadriláteros cíclicos têm um comprimento diagonal em comum.

Para um quadrilateral cíclico com lados sucessivos a , b , c , d , semiperímetro s e ângulo a entre lados a e d , as funções trigonométricas de a são dados por

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}}}$

${\displaystyle \tan } frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}}}}$

O ângulo θ entre os diagonais que são lados opostos a e c satisfaz

$? }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}}}$

Se as extensões de lados opostos a e c Intersect em um ângulo φ , então

${\displaystyle \cos {\frac} }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

onde s é o semiperímetro.

Vamos. $Não.$ denote o ângulo entre os lados $Não.$ e $Não.$, $Não. C.$ o ângulo entre $Não.$ e $Não.$e $Não.$ o ângulo entre $Não.$ e $Não.$Então...

$- Sim. {a+c}{b+d}}&={\frac Não. {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac - Sim. {1}{2}}(A+B)}{\sin {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta.\end{aligned}}}$

Um quadrilateral cíclico com lados sucessivos a , b , c , d e semiperímetro s tem o circunradius (o raio do circunceiro) dado por

$Não. {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}$

Isso foi derivado pelo matemático indiano Vatasseri Parameshvara no século XV. (Observe que o raio é invariante sob o intercâmbio de qualquer comprimento lateral.)

Usando a fórmula de Brahmagupta, a fórmula de Parameshvara pode ser reafirmada como

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

onde k é a área do quadrilateral cíclico.

quatro segmentos de linha, cada um perpendicular a um lado de um quadrilátero cíclico e passando pelo lado oposto do ponto médio do lado oposto, são concomitantes. Esses segmentos de linha são chamados de Maltitudes , que é uma abreviação para a altitude do ponto médio. O ponto comum deles é chamado de anticenter . Tem a propriedade de ser o reflexo do circuncenter no centroide do vértice " Assim, em um quadrilateral cíclico, o circuncente, o centróide de vértice ", e o anticentro são colineares.

Se as diagonais de um quadrilateral cíclico se cruzarem em p , e os pontos médios dos diagonais são M e n , então o anticenter do quadrilateral é o ortocentro de triângulo mnp .

O anticenter de um quadrilátero cíclico é o ponto de ponecelet de seus vértices.

• Em um quadrilateral cíclico ABCD, os incentros M₁, M₂, M₃, M₄ (veja a figura à direita) em triângulos DAB, ABC, BCDe CDA são os vértices de um retângulo. Este é um dos teoremas conhecidos como teoremas japoneses. Os ortocentros dos mesmos quatro triângulos são os vértices de um congruente quadrilateral a ABCD, e os centroídeos nesses quatro triângulos são vértices de outro quadrilátero cíclico.
• Em um quadrilateral cíclico ABCD com circuncentro O, let P ser o ponto onde as diagonais ACÇÃO e BD Intersect. Então ângulo APB é a média aritmética dos ângulos AOB e COD. Esta é uma consequência direta do teorema de ângulo inscrito e do teorema de ângulo exterior.
• Não há quadriláteros cíclicos com área racional e com lados racionais desiguais em progressão aritmética ou geométrica.

• Se um quadrilateral cíclico tiver comprimentos laterais que formam uma progressão aritmética, o quadrilateral também é ex-bicêntrico.
• Se os lados opostos de um quadrilátero cíclico são estendidos para se encontrar em E e F, então os bissetores de ângulo interno dos ângulos em E e F são perpendiculares.

a Brahmagupta quadrilateral é um quadrilátero cíclico com lados inteiros, diagonais inteiros e área inteira. Todos os quadrilaterais brahmagupta com lados a , b , c , d , diagonais e , f , área k < /span> e circunradius r podem ser obtidos pela limpeza de denominadores das seguintes expressões envolvendo parâmetros racionais t , u e v :

$(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

$(v-t)(1+tv)}$

$(+u^{2})(1+v^{2})}$

$(u-t)(1+tu)}$

$(+t^{2})(1+v^{2})}$

$(+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2}]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}). ?$

Para um quadrilateral cíclico que também é ortodiagonal (possui diagonais perpendiculares), suponha que a interseção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimentos p 1 1 e p 2 e divide a outra diagonal em segmentos de comprimentos q 1 e q /span>. Então (a primeira igualdade é a Proposição 11 em Arquimedes ' Livro de Lemas )

$Não. D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

onde d é o diâmetro do circunceiro. Isso se mantém porque as diagonais são acordes perpendiculares de um círculo. Essas equações sugerem que o circunradius r pode ser expresso como

$- Sim. {1}{2} {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}$

ou, em termos dos lados do quadrilátero, como

$- Sim. {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Também segue isso

$Não. a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Assim, de acordo com o teorema quadrilateral de Euler, o circunradius pode ser expresso em termos dos diagonais p e q e a distância x entre os pontos médios das diagonais como

$Não. R = Sqrt {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Uma fórmula para a área k de um quadrilátero ortodiagonal cíclico em termos de quatro lados é obtido diretamente ao combinar o teorema de Ptolomeu ' e a fórmula para a área de um quadrilátero ortodiagonal. O resultado é

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• Em um quadrilateral ortodiagonal cíclico, o anticentro coincide com o ponto em que as diagonais se cruzam.
• O teorema de Brahmagupta afirma que para um quadrilateral cíclico que também é ortodiagonal, o perpendicular de qualquer lado através do ponto de interseção dos bissetos diagonais do lado oposto.
• Se um quadrilateral cíclico também é ortodiagonal, a distância do circuncentro a qualquer lado equivale a metade do comprimento do lado oposto.
• Em um quadrilateral ortodiagonal cíclico, a distância entre os pontos médios das diagonais é igual à distância entre o circuncentro e o ponto onde as diagonais se cruzam.

Na geometria esférica, um quadrilateral esférico formado a partir de quatro círculos que se cruzam é cíclico se e somente se as sumões dos ângulos opostos forem iguais, isto é, α + γ = β + δ para ângulos consecutivos α, β, γ, δ do quadrilateral. Uma direção desse teorema foi comprovada por Anders Johan Lexell em 1782. Lexell mostrou que em um quadrilátero esférico inscrito em um pequeno círculo de uma esfera, as somas de ângulos opostos são iguais, e que no quadrilateral circunscrito as somas dos lados opostos são iguais . O primeiro desses teoremas é o análogo esférico de um teorema do plano, e o segundo teorema é o seu duplo, ou seja, o resultado de trocar grandes círculos e seus poloneses. Kiper et al. provou um inverso do teorema: se as sumaturas dos lados opostos são iguais em um quadrilátero esférico, existe um círculo de inscrição para este quadrilátero.

• teorema de borboleta
• triângulo Brahmagupta
• Polígono cíclico
• Poder de um ponto
• Tabela de acordes de Ptolemy
• Pentágono de Robbins

• D. Fraivert: Pascal-pontos quadriláteros inscritos em um quadrilátero cíclico

• Derivação da Fórmula para a Área Quadrilateral Cíclica
• Incentros em Quadrilateral Cíclico em ponto de corte
• Quatro Linhas Concorrentes em Quadrilateral Cíclico em ponto de corte
• Weisstein, Eric W. «Cyclic quadrilateral». Matemática.