Prova condicional
Uma prova condicional é uma prova que assume a forma de afirmar uma condicional e provar que o antecedente da condicional leva necessariamente ao consequente.
Visão geral
O antecedente presumido de uma prova condicional é chamado de suposição de prova condicional (CPA). Assim, o objetivo de uma prova condicional é demonstrar que, se o CPA for verdadeiro, então a conclusão desejada segue necessariamente. A validade de uma prova condicional não exige que o CPA seja verdadeiro, apenas que se fosse verdadeiro levaria ao consequente.
As provas condicionais são de grande importância em matemática. Existem provas condicionais ligando várias conjecturas não comprovadas, de modo que a prova de uma conjectura pode implicar imediatamente a validade de várias outras. Pode ser muito mais fácil mostrar a verdade de uma proposição decorrente de outra proposição do que prová-la independentemente.
Uma famosa rede de provas condicionais é a classe NP-completa da teoria da complexidade. Existe um grande número de tarefas interessantes (ver Lista de problemas NP-completos), e embora não se saiba se existe uma solução em tempo polinomial para algum deles, sabe-se que se tal solução existe para alguns deles, existe uma para todos eles. Da mesma forma, a hipótese de Riemann tem muitas consequências já comprovadas.
Lógica simbólica
Como exemplo de prova condicional em lógica simbólica, suponha que queremos provar A → C (se A, então C) a partir das duas primeiras premissas abaixo:
| 1. | A → B | ("Se A, então B") |
| 2. | B → C | ("Se B, então C") |
| 3. | A | (assunção de prova condicional, "a condição A é verdadeira") |
| 4. | B | (follows das linhas 1 e 3, modus ponens; "Se A então B; A, portanto B") |
| 5. | C | (follows das linhas 2 e 4, modus ponens; "Se B então C; B, portanto C") |
| 6. | A → C | (follows das linhas 3-5; prova condicional; "Se A, então C") |