Produto (matemática)

Em matemática, produto é o resultado da multiplicação, ou uma expressão que identifica objetos (números ou variáveis) a serem multiplicados, chamados fatores. Por exemplo, 21 é o produto de 3 e 7 (o resultado da multiplicação), e x)) (2+x){displaystyle xcdot (2+x)} é o produto de xNão. e (2+x)(2+x)} (indicando que os dois fatores devem ser multiplicados juntos).

A ordem em que os números reais ou complexos são multiplicados não tem relação com o produto; isso é conhecido como a lei comutativa da multiplicação. Quando matrizes ou membros de várias outras álgebras associativas são multiplicados, o produto geralmente depende da ordem dos fatores. A multiplicação de matrizes, por exemplo, não é comutativa, assim como a multiplicação em outras álgebras em geral.

Existem muitos tipos diferentes de produtos em matemática: além de poder multiplicar apenas números, polinômios ou matrizes, pode-se também definir produtos em muitas estruturas algébricas diferentes.

Produto de dois números

Produto de uma sequência

O operador do produto para o produto de uma sequência é denotado pela letra maiúscula grega pi D (em analogia com o uso da capital Sigma Σ como símbolo de soma). Por exemplo, a expressão ? ? Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =16Eu...2{displaystyle textstyle prod _{i=1}^{6}i^{2}}é outra maneira de escrever 1)) 4)) 9)) 16.)) 25)) 36{displaystyle 1cdot 4cdot 9cdot 16cdot 25cdot 36}.

O produto de uma sequência que consiste em apenas um número é apenas o próprio número; o produto de nenhum fator é conhecido como produto vazio e é igual a 1.

Anéis comutativos

Os anéis comutativos têm uma operação de produto.

Classes de resíduos de números inteiros

Aulas de estudo nos anéis Z./NZ.{displaystyle mathbb {Z} /Nmathbb {Z} } pode ser adicionado:

(um+NZ.)+(b)+NZ.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um+b)+NZ.(a+Nmathbb {Z})+(b+Nmathbb {Z})=a+b+Nmathbb Não.

e multiplicou:

(um+NZ.))) (b)+NZ.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um)) b)+NZ.(a+Nmathbb {Z})cdot (b+Nmathbb {Z})=acdot b+Nmathbb Não.

Convolução

A convolução da onda quadrada com si mesmo dá a função triangular

Duas funções dos reais para si mesmo podem ser multiplicadas de outra maneira, chamada de convolução.

Se

<math alttext="{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ |f())|D)<∞ ∞ e∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ |g())|D)<∞ ∞ ,{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty |g(t)|mathrm {d} t<infty}<img alt="{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t

então a integral

(f∗ ∗ g)())?∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ f(? ? ))) g()- Sim. - Sim. ? ? )D? ? (f*g)(t);:=int limits _{-infty }^{infty }f(tau)cdot g(t-tau),mathrm {d} tau }

está bem definido e é chamado de convolução.

Sob a transformada de Fourier, a convolução torna-se uma multiplicação de funções ponto a ponto.

Anéis polinomiais

O produto de dois polinômios é dado por:

(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0numEu...XEu...))) (Gerenciamento Gerenciamento JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0mb)JJXJJ)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0n+mckXk{displaystyle left(sum) _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}right)=sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

com

ck= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...+JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =kumEu...)) b)JJNão. c_{k}=sum _{i+j=k}a_{i}cdot b_{j}}

Produtos em álgebra linear

Existem muitos tipos diferentes de produtos em álgebra linear. Alguns deles têm nomes semelhantes (produto externo, produto externo) com significados muito diferentes, enquanto outros têm nomes muito diferentes (produto externo, produto tensor, produto Kronecker) e ainda transmitem essencialmente a mesma ideia. Uma breve visão geral deles é fornecida nas seções a seguir.

Multiplicação escalar

Pela própria definição de um espaço vetorial, pode-se formar o produto de qualquer escalar com qualquer vetor, dando um mapa R× × V→ → V{displaystyle mathbb {R} times Vrightarrow V}.

Produto escalar

Um produto escalar é um mapa bilinear:

)) :V× × V→ → R{displaystyle cdot:Vtimes Vrightarrow mathbb Não.

com as seguintes condições, que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">v)) v>0{displaystyle vcdot v>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9840a937a5b6c93d024b94c2018e51025a20ecf8" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.195ex; height:2.176ex;"/> para todos 0≠v∈ ∈ V{displaystyle 0not =vin V}.

Do produto escalar, pode-se definir uma norma deixando ‖ ‖ v‖ ‖ ?v)) v{displaystyle |v|={sqrt {vcdot v}}}.

O produto escalar também permite definir um ângulo entre dois vetores:

e⁡ ⁡ ? ? (v,O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =v)) O quê?‖ ‖ v‖ ‖ )) ‖ ‖ O quê?‖ ‖ {displaystyle cos angle (v,w)={frac {vcdot w}{|v|cdot |w|}}}

Em nNão.-dimensional Espaço euclidiano, o produto escalar padrão (chamado produto do ponto) é dado por:

(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nα α Eu...eEu...))) (Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nβ β Eu...eEu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nα α Eu...β β Eu...{displaystyle left(sum) _{i=1}^{n}alpha _{i}e_{i}right)cdot left(sum _{i=1}^{n}beta _{i}e_{i}right)=sum _{i=1}^{n}alpha _{i},beta _{i}}

Produto vetorial no espaço tridimensional

O produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é um vetor perpendicular aos dois fatores, com comprimento igual à área do paralelogramo gerado pelos dois fatores.

O produto vetorial também pode ser expresso como o determinante formal:

u× × v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|Eu...JJku1u2u3v1v2v3|{displaystyle mathbf {utimes v} ={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \u_{1}&u_{2}&u_{3}\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}

Composição de mapeamentos lineares

Um mapeamento linear pode ser definido como uma função f entre dois espaços vetoriais V e W com o campo subjacente F, satisfazendo

f()1x1+)2x2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)1f(x1)+)2f(x2),Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas x1,x2∈ ∈ V,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas )1,)2∈ ∈ F.{displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),forall x_{1},x_{2}in V,forall t_{1},t_{2}in mathbb Não.

Se considerarmos apenas espaços vetoriais de dimensão finita, então

f(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(vEu...b)VEu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vEu...f(b)VEu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =fEu...JJvEu...b)WJJ,{displaystyle f(mathbf {v})=fleft(v_{i}mathbf) {b_{V}} ^{i}right)=v_{i}fleft(mathbf) {b_{V}} ^{i}right)={f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j},}

em que b_V e b_W denotam as bases de V e W, e v_i denota o componente de v em b_Vⁱ, e a convenção de soma de Einstein é aplicada.

Agora consideramos a composição de dois mapeamentos lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Deixe o mapeamento linear f mapear V para W, e deixe o mapeamento linear g mapear W para U. Então pode-se obter

g∘ ∘ f(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g(fEu...JJvEu...b)WJJ)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =gJJkfEu...JJvEu...b)Uk.{displaystyle gcirc f(mathbf {v})=gleft({f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j}right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{U}} ^{k}.}

Ou em forma de matriz:

g∘ ∘ f(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =GFv,{displaystyle gcirc f(mathbf {v})=mathbf {G} mathbf {F} mathbf {v}}

em que i-linha, elemento j-coluna de F, denotado por F_ij, é f^j_i e G_ij=g^j_i.

A composição de mais de dois mapeamentos lineares pode ser representada de forma semelhante por uma cadeia de multiplicação de matrizes.

Produto de duas matrizes

Dadas duas matrizes

A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(umEu...,JJ)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... S;JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... R∈ ∈ RS× × R{displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1ldots s;j=1ldots r}in mathbb {R} ^{stimes r}} e B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(b)JJ,k)JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... R;k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... )∈ ∈ RR× × ){displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1ldots r;k=1ldots t}in mathbb {R} ^{rtimes t}}

seu produto é dado por

B)) A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(Gerenciamento Gerenciamento JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1RumEu...,JJ)) b)JJ,k)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... S;k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1...... )∈ ∈ RS× × )Não. Bcdot A=left(sum _{j=1}^{r}a_{i,j}cdot b_{j,k}right)_{i=1ldots s;k=1ldots t};in mathbb {R} ^{stimes t}}

Composição de funções lineares como produto matricial

Há uma relação entre a composição de funções lineares e o produto de duas matrizes. Para ver isso, deixe r = dim(U), s = dim(V) e t = dim(W) ser as dimensões (finito) dos espaços vetoriais U, V e W. Let U= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(u1,...... ,uR?{displaystyle {mathcal {U}}={u_{1},ldotsu_{r}}}}} ser uma base de U, V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(v1,...... ,vS?{displaystyle {mathcal {V}}={v_{1},ldotsv_{s}}}}} ser uma base de V e W= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(O quê?1,...... ,O quê?)?{displaystyle {mathcal {W}}={w_{1},ldotsw_{t}}}}} ser uma base de W. Em termos desta base, deixe A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =MVU(f)∈ ∈ RS× × RNão. A=M_{mathcal {V}}^{mathcal {U}}(f)in mathbb {R} ^{stimes r}}ser a matriz representando f: U → V e B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =MWV(g)∈ ∈ RR× × )Não. B=M_{mathcal {W}}^{mathcal {V}}(g)in mathbb {R} ^{rtimes t}} ser a matriz representando g: V → W. Então

B)) A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =MWU(g∘ ∘ f)∈ ∈ RS× × )Não. Bcdot A=M_{mathcal {W}}^{mathcal {U}}(gcirc f)in mathbb {R} ^{stimes t}}

é a matriz que representa g∘ ∘ f:U→ → W{displaystyle gcirc f:Urightarrow W..

Em outras palavras: o produto matricial é a descrição em coordenadas da composição de funções lineares.

Produto tensorial de espaços vetoriais

Dados dois espaços vetoriais de dimensão finita V e W, o produto tensorial deles pode ser definido como um (2,0)-tensor satisfazendo:

V⭐ ⭐ W(v,m)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =V(v)W(O quê?),Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas v∈ ∈ V∗ ∗ ,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas O quê?∈ ∈ W∗ ∗ ,{displaystyle Votimes W(v,m)=V(v)W(w),forall vin V^{*},forall win W^{*}, ?

onde V^* e W^* denotam os espaços duplos de V e W.

Para espaços vetoriais de dimensão infinita, também se tem:

• Produto tensor de espaços Hilbert
• Produto tensor topológico.

O produto tensorial, o produto externo e o produto Kronecker transmitem a mesma ideia geral. A diferença entre eles é que o produto de Kronecker é apenas um produto tensorial de matrizes, com relação a uma base previamente fixada, enquanto o produto tensorial costuma ser dado em sua definição intrínseca. O produto externo é simplesmente o produto de Kronecker, limitado a vetores (em vez de matrizes).

A classe de todos os objetos com um produto tensorial

Em geral, sempre que se tem dois objetos matemáticos que podem ser combinados de uma forma que se comporta como um produto tensorial de álgebra linear, então isso pode ser mais geralmente entendido como o produto interno de uma categoria monoidal. Ou seja, a categoria monoidal capta precisamente o significado de um produto tensorial; ele captura exatamente a noção de por que os produtos tensoriais se comportam da maneira que o fazem. Mais precisamente, uma categoria monoidal é a classe de todas as coisas (de um determinado tipo) que possuem um produto tensorial.

Outros produtos em álgebra linear

Outros tipos de produtos em álgebra linear incluem:

• Produto da Hadamard
• Produto de Kronecker
• O produto de tensores:
  • Produto de cunha ou produto exterior
  • Produto interno
  • Produto externo
  • Produto tensor

Produto cartesiano

Na teoria dos conjuntos, um produto cartesiano é uma operação matemática que retorna um conjunto (ou conjunto de produtos) de vários conjuntos. Ou seja, para os conjuntos A e B, o produto cartesiano A × B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)—onde a ∈ A e b ∈ B.

A classe de todas as coisas (de um determinado tipo) que possuem produtos cartesianos é chamada de categoria cartesiana. Muitas delas são categorias cartesianas fechadas. Conjuntos são um exemplo de tais objetos.

Produto vazio

O produto vazio em números e na maioria das estruturas algébricas tem o valor de 1 (o elemento de identidade da multiplicação), assim como a soma vazia tem o valor de 0 (o elemento de identidade da adição). No entanto, o conceito de produto vazio é mais geral e requer tratamento especial em lógica, teoria dos conjuntos, programação de computadores e teoria das categorias.

Produtos sobre outras estruturas algébricas

Produtos sobre outros tipos de estruturas algébricas incluem:

• o produto cartesiano de conjuntos
• o produto direto de grupos, e também o produto semidireto, produto de malha e produto de grinalda
• o produto livre de grupos
• o produto de anéis
• o produto de ideais
• o produto de espaços topológicos
• o produto Wick de variáveis aleatórias
• a tampa, copo, Massey e produto inclinado em topologia algébrica
• o produto de esmagamento e soma de cunha (às vezes chamado de produto de cunha) em homotopia

Alguns dos produtos acima são exemplos da noção geral de um produto interno em uma categoria monoidal; o resto pode ser descrito pela noção geral de um produto na teoria da categoria.

Produtos na teoria da categoria

Todos os exemplos anteriores são casos especiais ou exemplos da noção geral de um produto. Para o tratamento geral do conceito de produto, consulte produto (teoria da categoria), que descreve como combinar dois objetos de algum tipo para criar um objeto, possivelmente de um tipo diferente. Mas também, na teoria das categorias, tem-se:

• o produto de fibra ou pullback,
• a categoria do produto, uma categoria que é o produto de categorias.
• o ultraproduto, na teoria dos modelos.
• o produto interno de uma categoria monoidal, que capta a essência de um produto tensor.

Outros produtos

• Integral de produto de uma função (como um equivalente contínuo ao produto de uma sequência ou como a versão multiplicativa da integral normal/padrão/additiva. A integral do produto também é conhecida como "produto contínuo" ou "multiplical".
• Multiplicação complexa, uma teoria das curvas elípticas.