Principia Mathematica

PM' são usados de maneira semelhante aos parênteses. Cada ponto (ou ponto múltiplo) representa um parêntese esquerdo ou direito ou o símbolo lógico ∧. Mais de um ponto indica a "profundidade" dos parênteses, por exemplo, ".", ":" ou ":.", "::". No entanto, a posição do parêntese direito ou esquerdo correspondente não é indicada explicitamente na notação, mas deve ser deduzida de algumas regras que são complexas e às vezes ambíguas. Além disso, quando os pontos representam um símbolo lógico ∧, seus operandos esquerdo e direito devem ser deduzidos usando regras semelhantes. Primeiro, é preciso decidir com base no contexto se os pontos representam um parêntese esquerdo ou direito ou um símbolo lógico. Então, deve-se decidir até que ponto está o outro parêntese correspondente: aqui, continua-se até encontrar um número maior de pontos ou o mesmo número de pontos a seguir que tenham "força" fim da linha. Os pontos próximos aos sinais ⊃, ≡,∨, =Df têm maior força do que os pontos próximos a (x), (∃x) e assim por diante, que têm maior força do que pontos indicando um produto lógico ∧.

Exemplo 1. A linha

✸3.4. : p . q . ⊃ . ⊃

corresponde a

(p ∧ q)). (p). q)).

Os dois pontos juntos imediatamente após o sinal de afirmação indicam que o que é afirmado é a linha inteira: uma vez que são dois, seu alcance é maior do que qualquer um dos pontos individuais à sua direita. Eles são substituídos por um parêntese esquerdo onde estão os pontos e um parêntese direito no final da fórmula, assim:

(em inglês) . q . ⊃ . p). q).

(Na prática, esses parênteses externos, que encerram uma fórmula inteira, geralmente são suprimidos.) O primeiro dos pontos simples, posicionado entre duas variáveis proposicionais, representa a conjunção. Pertence ao terceiro grupo e tem o escopo mais restrito. Aqui é substituído pelo símbolo moderno para conjunção "∧", assim

∧ (p ∧ q . ⊃ . p). q).

Os dois pontos únicos restantes escolhem o conectivo principal de toda a fórmula. Eles ilustram a utilidade da notação de ponto em escolher os conectivos que são relativamente mais importantes do que os que os cercam. Aquele à esquerda do "⊃" é substituído por um par de parênteses, o da direita vai onde está o ponto e o da esquerda vai o mais para a esquerda que pode sem cruzar um grupo de pontos de maior força, neste caso os dois pontos que seguem a afirmação- assinar, assim

(p ∧ q) ⊢ . P) q)

O ponto à direita do "⊃" é substituído por um parêntese esquerdo que vai onde está o ponto e um parêntese direito que vai o mais à direita possível sem ultrapassar o escopo já estabelecido por um grupo de pontos de maior força (neste caso os dois pontos que seguiram o sinal-afirmação). Assim, o parêntese direito que substitui o ponto à direita do "⊃" é colocado na frente do parêntese direito que substituiu os dois pontos após o sinal de afirmação, assim

(p ∧ q)). (p). q)).

Exemplo 2, com pontos duplos, triplos e quádruplos:

✸9.521⊢ ⊢ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃: ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃: ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃

significa

(((((∃x)(φx)))) ∃ (q)))))) ((((((∃x) (φx)))) v (r))))) (q v r))))))))))

Exemplo 3, com um ponto duplo indicando um símbolo lógico (do volume 1, página 10):

p⊃q:q⊃R...p⊃R

significa

(p⊃q(q⊃R) (p⊃R)

onde o ponto duplo representa o símbolo lógico ∧ e pode ser visto como tendo a prioridade mais alta como um ponto único não lógico.

Mais adiante na seção ✸14, colchetes "[ ]" aparecem, e nas seções ✸20 e seguintes, colchetes "{ }" aparecer. Se esses símbolos têm significados específicos ou são apenas para esclarecimento visual, não está claro. Infelizmente, o único ponto (mas também ":", ":.", "::", etc.) também é usado para simbolizar "produto lógico" (E lógico contemporâneo frequentemente simbolizado por "&" ou "∧").

A implicação lógica é representada pela expressão "Ɔ" simplificada para "⊃", a negação lógica é simbolizada por um til alongado, ou seja, "~" (contemporâneo "~" ou "¬"), o OU lógico por "v". O símbolo "=" juntamente com "Df" é usado para indicar "é definido como", enquanto nas seções ✸13 e seguintes, "=" é definido como (matematicamente) "idêntico a", ou seja, a "igualdade" (cf. discussão na seção ✸13). A equivalência lógica é representada por "≡" (contemporânea "se e somente se"); "elementar" as funções proposicionais são escritas da maneira usual, por exemplo, "f(p)", mas depois o sinal da função aparece diretamente antes da variável sem parênteses por exemplo, "φx", "χx", etc.

Exemplo, PM apresenta a definição de "produto lógico" do seguinte modo:

.3.01. p . q .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =. #p Vq) Df.

Onde "p . q" é o produto lógico de p e q.

.3.02. p ⊃ q ⊃ R .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =. p ⊃ q . q ⊃ R Df.

Esta definição serve apenas para abreviar provas.

Tradução das fórmulas em símbolos contemporâneos: Vários autores usam símbolos alternativos, portanto, nenhuma tradução definitiva pode ser fornecida. No entanto, por causa de críticas como a de Kurt Gödel abaixo, os melhores tratamentos contemporâneos serão muito precisos no que diz respeito às "regras de formação" (a sintaxe) das fórmulas.

A primeira fórmula pode ser convertida em simbolismo moderno da seguinte forma:

(p > q) =_Df (~)p Vq)

alternadamente

(p > q) =_Df Não.p V.q)

alternadamente

(p ∧ q) =_Df Não.p V.q)

etc.

A segunda fórmula pode ser convertida da seguinte forma:

(p → q → R) =_Df (p → q)q → R)

Mas note que isso não é (logicamente) equivalente a (p → (q → r)) nem a ((p → q) → r), e esses dois também não são logicamente equivalentes.

Uma introdução à notação da "Seção B Teoria das Variáveis Aparentes" (fórmulas ✸8–✸14.34)

Essas seções dizem respeito ao que agora é conhecido como lógica de predicados e lógica de predicados com identidade (igualdade).

• NB: Como resultado de críticas e avanços, a segunda edição de PM (1927) substitui 9 com um novo 8 (Anexo A). Esta nova seção elimina a distinção da primeira edição entre variáveis reais e aparentes, e elimina "a ideia primitiva "a avaliação de uma função proposicional". Acrescentar à complexidade do tratamento, 8 introduz a noção de substituir uma "matriz", e o traço Sheffer:

• Matriz: No uso contemporâneo, PM'S matriz de matriz é (pelo menos para funções proposicionais), uma tabela de verdade, ou seja, Todos valores de verdade de uma função proposicional ou predicado.
• Ataque de Sheffer: É o NAND lógico contemporâneo (NOT-AND), ou seja, "incompatibilidade", que significa:

"Dado duas proposições p e qEntão, p | q significa "proposição" p é incompatível com a proposição q", ou seja, se ambas as proposições p e q avaliar como verdadeiro, então e só então p | q avalia como falso." Após a seção 8 o curso Sheffer não vê nenhum uso.

Seção ✸10: Os "operadores" existenciais e universais: PM acrescenta "(x) " para representar o simbolismo contemporâneo "para todo x " ou seja, " ∀x", e usa um E serifado ao contrário para representar "existe um x", ou seja, "(Ǝx)", ou seja, o "∃x" contemporâneo. A notação típica seria semelhante à seguinte:

"x) . φx" significa "para todos os valores da variável x, função φ avalia a verdade"

"x) . φx" significa "para algum valor da variável x, função φ avalia a verdade"

Seções ✸10, ✸11, ✸12: Propriedades de uma variável estendidas a todos os indivíduos: a seção ✸10 apresenta a noção de "uma propriedade&# 34; de uma "variável". PM dá o exemplo: φ é uma função que indica "é um grego", e ψ indica "é um homem", e χ indica " é um mortal" essas funções então se aplicam a uma variável x. PM agora pode escrever e avaliar:

(x) . ?x

A notação acima significa "para todo x, x é um homem". Dada uma coleção de indivíduos, pode-se avaliar a fórmula acima para veracidade ou falsidade. Por exemplo, dada a coleção restrita de indivíduos { Sócrates, Platão, Russell, Zeus } o acima é avaliado como "verdadeiro" se permitirmos que Zeus seja um homem. Mas falha para:

(x) . φx

porque Russell não é grego. E falha por

(x) . χx

porque Zeus não é mortal.

Equipado com esta notação PM pode criar fórmulas para expressar o seguinte: "Se todos os gregos são homens e se todos os homens são mortais, então todos os gregos são mortais". (PM 1962:138)

(x) . φx ψ ?x :(x). ?x χ χx :⊃: (x) . φx χ χx

Outro exemplo: a fórmula:

✸10.01. (em inglês)x). φx . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = . #x) . ~x Df.

significa "Os símbolos que representam a afirmação 'Existe pelo menos um x que satisfaz a função φ' é definido pelos símbolos que representam a afirmação 'Não é verdade que, dados todos os valores de x, não há valores de x que satisfaçam φ&# 39;".

Os simbolismos ⊃_x e "≡_x" aparecem em ✸10.02 e ✸10.03. Ambos são abreviações de universalidade (ou seja, para todos) que vinculam a variável x ao operador lógico. A notação contemporânea teria simplesmente usado parênteses fora do sinal de igualdade ("="):

✸10.02 φx ⊃_x ?x .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =. (x). φx ψ ?x Df

Notação contemporânea: ∀x(x) →x)) (ou uma variante)

✸10.03 φx)_x ?x .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =. (x). φx ≡x Df

Notação contemporânea: ∀x(x↔ ψ ψ ψ ψx)) (ou uma variante)

PM atribui o primeiro simbolismo a Peano.

Seção ✸11 aplica este simbolismo a duas variáveis. Assim, as seguintes notações: ⊃_x, ⊃_y, ⊃_{x, y} podem aparecer em uma única fórmula.

Seção ✸12 reintroduz a noção de "matriz" (tabela verdade contemporânea), a noção de tipos lógicos e, em particular, as noções de funções e proposições de primeira ordem e segunda ordem.

Novo simbolismo "φ ! x" representa qualquer valor de uma função de primeira ordem. Se um circunflexo "＾" é colocado sobre uma variável, então este é um "indivíduo" valor de y, significando que "ŷ" indica "indivíduos" (por exemplo, uma linha em uma tabela verdade); esta distinção é necessária por causa da natureza matricial/extensional das funções proposicionais.

Agora equipado com a noção de matriz, PM pode afirmar seu controverso axioma de redutibilidade: uma função de uma ou duas variáveis (duas sendo suficientes para PM's use) onde todos os seus valores são dados (ou seja, em sua matriz) é (logicamente) equivalente ("≡") a algum "predicativo" função das mesmas variáveis. A definição de uma variável é fornecida abaixo como uma ilustração da notação (PM 1962:166–167):

✸12.1 ⊢: (Ǝ f): φx .≡_x. f ! x Pp;

POP é uma "proposição imitiva" ("Proposições assumidas sem prova") (PM 1962:12, ou seja, "axiomas contemporâneos"), adicionando ao 7 definido na seção 1 (começando com 1.11.1 modus ponens). Estes devem ser distinguidos das "ideias primitivas" que incluem o signo de afirmação "Arão", negação "~", OU lógico "V", as noções de "proposição elementar" e "função proposicional elementar"; estes são tão próximos como PM vem a regras de formação nominal, ou seja, sintaxe.

Isso significa: "Nós afirmamos a verdade do seguinte: Existe uma função f com a propriedade que: dados todos os valores de x, suas avaliações na função φ (isto é, resultando em sua matriz) é logicamente equivalente a algum f avaliado nesses mesmos valores de x. (e vice-versa, daí a equivalência lógica)". Em outras palavras: dada uma matriz determinada pela propriedade φ aplicada à variável x, existe uma função f que, quando aplicada ao x é logicamente equivalente à matriz. Ou: toda matriz φx pode ser representada por uma função f aplicada a x, e vice-versa.

✸13: O operador de identidade "=" : Esta é uma definição que usa o sinal de duas maneiras diferentes, conforme observado pela citação de PM:

.13.01. x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim. .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =: (φ): φ ! x . ⊃ . φ ! Sim. Df

significa:

"Esta definição afirma que x e Sim. são para ser chamado idêntico quando cada função predicativa satisfeita por x também está satisfeito por Sim.... Note que o segundo sinal de igualdade na definição acima é combinado com "Df", e assim não é realmente o mesmo símbolo que o sinal de igualdade que é definido."

O sinal de não igual "≠" aparece como uma definição em ✸13.02.

✸14: Descrições:

"A" descrição é uma frase do formulário "o termo Sim. que satisfaz φ?, onde φ? é alguma função satisfeita por um e apenas um argumento."

A partir disso PM emprega dois novos símbolos, um "E" e um iota invertido "℩". Aqui está um exemplo:

.14.02. E ! (em inglês)Sim.)Sim.) .= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =: (em inglês)b)):φSim. .)_Sim. . Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) Df.

Isto tem o significado:

"O" Sim. satisfazendo φ? existe," que detém quando, e somente quando φ? está satisfeito por um valor de Sim. e sem outro valor." (PM 1967:173–174)

Introdução à notação da teoria de classes e relações

O texto salta da seção ✸14 diretamente para as seções fundamentais ✸20 TEORIA GERAL DAS CLASSES e ✸21 TEORIA GERAL DAS RELAÇÕES. "Relações" são o que é conhecido na teoria contemporânea dos conjuntos como conjuntos de pares ordenados. As seções ✸20 e ✸22 apresentam muitos dos símbolos ainda em uso contemporâneo. Estes incluem os símbolos "ε", "⊂", "∩", "∪", "–&# 34;, "Λ", e "V": "ε" significa "é um elemento de" (PM 1962:188); "⊂" (✸22.01) significa "está contido em", "é um subconjunto de"; "∩" (✸22.02) significa a interseção (produto lógico) de classes (conjuntos); "∪" (✸22.03) significa a união (soma lógica) de classes (conjuntos); "-" (✸22.03) significa negação de uma classe (conjunto); "Λ" significa a classe nula; e "V" significa a classe universal ou universo do discurso.

Letras gregas minúsculas (exceto "ε", "ι", "π", "φ", "ψ& #34;, "χ" e "θ") representam classes (por exemplo, "α", "β", " γ", "δ", etc.) (PM 1962:188):

x ε α

"O uso de letra única no lugar de símbolos como ẑ(zangão.) ou ẑ(! zangão.) é praticamente quase indispensável, uma vez que a notação rapidamente se torna cumbrous intoleravelmente. Assim, x ε α' significa ' x é um membro da classe α'". (PM 1962:188)

α ∪ –α = V

A união de um conjunto e seu inverso é o conjunto universal (completo).

α lectivo -α = Λ

A interseção de um conjunto e seu inverso é o conjunto nulo (vazio).

Quando aplicado às relações na seção ✸23 CÁLCULO DE RELAÇÕES, os símbolos "⊂", "∩", "∪& #34;, e "–" adquirir um ponto: por exemplo: "⊍", "∸".

A noção e a notação de "uma classe" (conjunto): Na primeira edição PM afirma que não são necessárias novas ideias primitivas para definir o que se entende por "uma classe", e apenas duas novas &# 34;proposições primitivas" chamados de axiomas de redutibilidade para classes e relações, respectivamente (PM 1962:25). Mas antes que esta noção possa ser definida, PM sente que é necessário criar uma notação peculiar "ẑ(φz)" que chama de "objeto fictício". (PM 1962:188)

?: x ε ẑ(zangão.) .). (x)

"i.e.," x é um membro da classe determinada por (φẑ)' é [lógicamente] equivalente a ' x satisfações (φẑ), ou ax) é verdade.'". (PM 1962:25)

Pelo menos PM pode dizer ao leitor como esses objetos fictícios se comportam, porque "Uma classe é totalmente determinada quando sua pertença é conhecida, isto é, não pode haver duas classes diferentes tendo o mesmo mesma assinatura" (PM 1962:26). Isso é simbolizado pela seguinte igualdade (semelhante a ✸13.01 acima:

ẑ(zangão.) = ẑ(em inglês)zangão.) .) : (x): φx .). ?x

"Este último é a característica distintiva das classes, e nos justifica no tratamento ẑ(em inglês)zangão.) como a classe determinada por [a função]ẑ" (PM 1962:188)

Talvez o que foi dito acima possa ficar mais claro com a discussão de classes na Introdução à Segunda Edição, que descarta o Axioma da Redutibilidade e o substitui pela noção: "Todas as funções das funções são extensionais" (PM 1962:xxxix), ou seja,

φx)_x ?x .⊃. (x): φẑ) < < < < <) < <) < <) <) < <) < <) < <) < <) <) <) <) < <) <) < <) < < <) < <) <)) < < < < <)) < < <) <) <))) < <) <))) < < <))))) < < <)) <))))))) <)))))) <)) < <))))) <)) <)) < <)) <))))ẑ)PM 1962:xxxix)

Isso tem o significado razoável de que "SE para todos os valores de x os valores-verdade das funções φ e ψ de x são [logicamente] equivalentes, ENTÃO a função ƒ de um dado φẑ e ƒ de ψẑ são [logicamente] equivalentes." PM afirma que isso é "óbvio":

"Isso é óbvio, uma vez que φ só pode ocorrer em f(φẑ) pela substituição dos valores de φ P, q, r,... em uma função [lógica-], e, se φx ≡x, a substituição de φx para p em uma função [lógica-] dá o mesmo valor da verdade à função da verdade como a substituição de Ψx. Consequentemente, não há mais razão para distinguir entre classes de funções, pois temos, em virtude do acima,

φx)_x ?x .⊃. (x). φẑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = . ?ẑ".

Observe a mudança na igualdade "=" assine à direita. PM continua afirmando que continuará a manter a notação "ẑ(φz)", mas isso é meramente equivalente a φẑ, e isso é uma classe. (todas as citações: PM 1962:xxxix).

Consistência e críticas

De acordo com os "Fundamentos lógicos da matemática" de Carnap, Russell queria uma teoria que pudesse plausivelmente derivar toda a matemática de axiomas puramente lógicos. No entanto, Principia Mathematica exigia, além dos axiomas básicos da teoria dos tipos, três outros axiomas que pareciam não ser verdadeiros como meras questões de lógica, a saber, o axioma do infinito, o axioma da escolha e o axioma da redutibilidade. Como os dois primeiros eram axiomas existenciais, Russell formulou declarações matemáticas dependendo deles como condicionais. Mas a redutibilidade era necessária para garantir que as declarações formais expressassem adequadamente declarações de análise real, de modo que as declarações dependentes dela não pudessem ser reformuladas como condicionais. Frank Ramsey tentou argumentar que a ramificação de Russell da teoria dos tipos era desnecessária, para que a redutibilidade pudesse ser removida, mas esses argumentos pareciam inconclusivos.

Além do status dos axiomas como verdades lógicas, pode-se fazer as seguintes perguntas sobre qualquer sistema como o PM:

• se uma contradição poderia ser derivada dos axiomas (a questão da inconsistência), e
• se existe uma declaração matemática que não poderia nem ser comprovada nem desprovida no sistema (a questão da integridade).

A própria lógica proposicional era conhecida por ser consistente, mas o mesmo não havia sido estabelecido para os axiomas da teoria dos conjuntos Principia'. (Veja o segundo problema de Hilbert.) Russell e Whitehead suspeitaram que o sistema em PM está incompleto: por exemplo, eles apontaram que não parece poderoso o suficiente para mostrar que o cardeal ℵ_ω existe. No entanto, pode-se perguntar se alguma extensão axiomatizável recursivamente é completa e consistente.

Gödel 1930, 1931

Em 1930, o teorema da completude de Gödel mostrou que a própria lógica de predicados de primeira ordem era completa em um sentido muito mais fraco - isto é, qualquer sentença que não seja demonstrável a partir de um determinado conjunto de axiomas deve ser falsa em algum modelo dos axiomas. No entanto, este não é o sentido mais forte de completude desejado para Principia Mathematica, uma vez que um determinado sistema de axiomas (como os de Principia Mathematica) pode ter muitos modelos, em alguns dos quais uma determinada afirmação é verdadeira e em outros dos quais essa afirmação é verdadeira. é falso, de modo que a declaração é deixada indecisa pelos axiomas.

Os teoremas da incompletude de Gödel lançam uma luz inesperada sobre essas duas questões relacionadas.

O primeiro teorema da incompletude de Gödel mostrou que nenhuma extensão recursiva de Principia poderia ser consistente e completa para declarações aritméticas. (Como mencionado acima, o próprio Principia já era conhecido por ser incompleto para algumas declarações não aritméticas.) De acordo com o teorema, dentro de todo sistema lógico recursivo suficientemente poderoso (como Principia), existe uma declaração G que basicamente significa, "A afirmação G não pode ser provada." Tal declaração é uma espécie de Catch-22: se G é demonstrável, então é falso e, portanto, o sistema é inconsistente; e se G não for demonstrável, então é verdadeiro e, portanto, o sistema está incompleto.

O segundo teorema da incompletude de Gödel (1931) mostra que nenhum sistema formal que estende a aritmética básica pode ser usado para provar sua própria consistência. Assim, a afirmação "não há contradições no sistema Principia" não pode ser provado no sistema Principia a menos que existam contradições no sistema (caso em que pode ser provado verdadeiro e falso).

Wittgenstein 1919, 1939

Na segunda edição de PM, Russell removeu seu axioma de redutibilidade para um novo axioma (embora ele não o declare como tal). Gödel 1944:126 descreve desta forma:

"Esta mudança está conectada com o novo axioma que funciona pode ocorrer em proposições apenas "através de seus valores", ou seja, extensão... [isto é] bastante inobjetável mesmo do ponto de vista construtivo... desde que os quantificadores sejam sempre restritos a ordens definitivas". Esta mudança de um quasi...intensional uma posição totalmente extensão a posição também restringe a lógica predicada à segunda ordem, ou seja, funções de funções: "Podemos decidir que a matemática é confinar-se a funções de funções que obedecem ao pressuposto acima" (PM 2a edição p. 401, Apêndice C).

Essa nova proposta teve um resultado terrível. Uma "posição extensional" e a restrição a uma lógica de predicados de segunda ordem significa que uma função proposicional estendida a todos os indivíduos, como "Todos 'x' são azuis" agora tem que listar todos os 'x' que satisfazem (são verdadeiros em) a proposição, listando-os em uma conjunção possivelmente infinita: e.g. x₁ ∧ x₂ ∧... ∧ x_n ∧.... Ironicamente, essa mudança surgiu como resultado da crítica de Wittgenstein em seu Tractatus Logico-Philosophicus de 1919. Conforme descrito por Russell na Introdução à Segunda Edição de PM:

"Existe outro curso, recomendado por Wittgenstein" (†Tractatus Logico-Philosophicus, *5.54ff) por razões filosóficas. Isto é assumir que as funções de proposições são sempre funções da verdade, e que uma função só pode ocorrer em uma proposição através de seus valores. [...] [Trabalhar através das consequências] parece que tudo em Vol. Eu permanece verdadeiro (embora muitas vezes novas provas sejam necessárias); a teoria dos cardeais indutivos e ordinais sobrevive; mas parece que a teoria da série dedekindian infinita e bem ordenada desmorona em grande parte, de modo que irracionais e números reais geralmente não podem mais ser tratados adequadamente. Também prova de Cantor que 2ⁿ > n quebra a menos que n é finito." (PM 2a edição reimpressa 1962:xiv, também cf. novo Apêndice C).

Em outras palavras, o fato de que uma lista infinita não pode ser especificada de forma realista significa que o conceito de "número" no sentido infinito (ou seja, o continuum) não pode ser descrito pela nova teoria proposta na PM Second Edition.

Wittgenstein em suas Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939 criticou Principia por vários motivos, como:

• Prevê revelar a base fundamental para a aritmética. No entanto, são as nossas práticas aritméticas diárias, como a contagem que são fundamentais; porque se surgiu uma discrepância persistente entre a contagem e a Principia, isto seria tratado como evidência de um erro em Principia (por exemplo, que Principia não caracterizou números ou adição corretamente), não como evidência de um erro na contagem diária.
• Os métodos de cálculo em Principia só pode ser usado na prática com números muito pequenos. Para calcular o uso de grandes números (por exemplo, bilhões), as fórmulas se tornariam muito longas, e algum método de atalho teria que ser usado, o que, sem dúvida, dependeria de técnicas cotidianas como contar (ou então em métodos não-fundamentais e, portanto, questionáveis como indução). Outra vez. Principia depende de técnicas diárias, não vice-versa.

Wittgenstein, no entanto, admitiu que Principia pode, no entanto, tornar mais claros alguns aspectos da aritmética cotidiana.

Gödel 1944

Em sua Lógica matemática de Russell de 1944, Gödel oferece uma "discussão crítica, mas simpática, da ordem logicística das ideias":

"É lamentar-se que esta primeira apresentação abrangente e completa de uma lógica matemática e a derivação da matemática dele [é] tão grandemente carente de precisão formal nas fundações (contido em *1-*21 de Principia) que representa neste sentido um passo considerável para trás em comparação com Frege. O que está faltando, acima de tudo, é uma declaração precisa da sintaxe do formalismo. Considerações sintáticas são omitidas mesmo nos casos em que são necessários para a cogência das provas... A matéria é especialmente duvidosa para a regra da substituição e da substituição de símbolos definidos por seus definindo... é principalmente a regra da substituição que teria de ser provada" (Gödel 1944:124)

Conteúdo

Parte I Lógica matemática. Volume I ✸1 a ✸43

Esta seção descreve o cálculo proposicional e predicado e fornece as propriedades básicas de classes, relações e tipos.

Parte II Prolegômenos da aritmética cardinal. Volume I ✸50 a ✸97

Esta parte cobre várias propriedades de relações, especialmente aquelas necessárias para a aritmética cardinal.

Parte III Aritmética cardinal. Volume II ✸100 a ✸126

Isso abrange a definição e as propriedades básicas dos cardeais. Um cardeal é definido como uma classe de equivalência de classes semelhantes (ao contrário de ZFC, onde um cardeal é um tipo especial de ordinal de von Neumann). Cada tipo tem sua própria coleção de cardeais associados a ele, e há uma quantidade considerável de contabilidade necessária para comparar cardeais de diferentes tipos. PM define adição, multiplicação e exponenciação de cardinais e compara diferentes definições de cardinais finitos e infinitos. ✸120.03 é o Axioma do infinito.

Parte IV Aritmética de relações. Volume II ✸150 a ✸186

Um "número de relação" é uma classe de equivalência de relações isomórficas. PM define análogos de adição, multiplicação e exponenciação para relações arbitrárias. A adição e multiplicação é semelhante à definição usual de adição e multiplicação de ordinais em ZFC, embora a definição de exponenciação de relações em PM não seja equivalente à usual usada em ZFC.

Parte V Série. Volume II ✸200 a ✸234 e volume III ✸250 a ✸276

Isso abrange séries, que é o termo do PM para o que agora é chamado de conjunto totalmente ordenado. Em particular, abrange séries completas, funções contínuas entre séries com a topologia de ordem (embora, é claro, eles não usem essa terminologia), séries bem ordenadas e séries sem "lacunas" (aqueles com um membro estritamente entre quaisquer dois membros).

Parte VI Quantidade. Volume III ✸300 a ✸375

Esta seção constrói o anel de inteiros, os campos de números racionais e reais e "famílias vetoriais", que estão relacionados ao que agora são chamados de torsores sobre grupos abelianos.

Comparação com a teoria dos conjuntos

Esta seção compara o sistema em PM com os fundamentos matemáticos usuais do ZFC. O sistema de PM é comparável em força com a teoria dos conjuntos de Zermelo (ou mais precisamente uma versão dela onde o axioma da separação tem todos os quantificadores limitados).

• O sistema de lógica proposicional e cálculo predicado em PM é essencialmente o mesmo que usado agora, exceto que a notação e terminologia mudou.
• A diferença mais óbvia entre PM e teoria dos conjuntos é que em PM todos os objetos pertencem a um de um número de tipos disjuntos. Isso significa que tudo é duplicado para cada tipo (infinito): por exemplo, cada tipo tem seus próprios ordenamentos, cardeais, números reais, e assim por diante. Isso resulta em um monte de contabilidade para relacionar os vários tipos uns com os outros.
• Em funções ZFC são normalmente codificados como conjuntos de pares ordenados. Em funções PM são tratadas de forma bastante diferente. Em primeiro lugar, "função" significa "função proposicional", algo tomando valores verdadeiros ou falsos. Em segundo lugar, as funções não são determinadas por seus valores: é possível ter várias funções diferentes todas tomando os mesmos valores (por exemplo, pode-se considerar 2x2 e 2x+1) como funções diferentes com base em que os programas de computador para avaliá-los são diferentes). As funções em ZFC dadas por conjuntos de pares ordenados correspondem ao que o PM chama de "matrices", e as funções mais gerais em PM são codificadas pela quantificação sobre algumas variáveis. Em particular, PM distingue entre funções definidas usando quantificação e funções não definidas usando quantificação, enquanto ZFC não faz essa distinção.
• PM não tem análogo do axioma da substituição, embora isso seja de pouca importância prática como este axioma é usado muito pouco em matemática fora da teoria dos conjuntos.
• PM enfatiza as relações como um conceito fundamental, enquanto na prática matemática moderna é funções em vez de relações que são tratadas como mais fundamentais; por exemplo, a teoria da categoria enfatiza morfismos ou funções em vez de relações. (No entanto, há um análogo de categorias chamadas alegorias que modelam relações em vez de funções, e é bastante semelhante ao tipo de sistema de PM.)
• Em PM, os cardeais são definidos como classes de classes semelhantes, enquanto que nos cardeais ZFC são ordinais especiais. Em PM há uma coleção diferente de cardeais para cada tipo com algumas máquinas complicadas para mover cardeais entre tipos, enquanto em ZFC há apenas 1 tipo de cardeal. Uma vez que o PM não tem qualquer equivalente ao axioma da substituição, não é capaz de provar a existência de cardeais maiores do que א_ω.
• Em ordinais PM são tratados como classes de equivalência de conjuntos bem ordenados, e como com cardeais há uma coleção diferente de ordinais para cada tipo. No ZFC há apenas uma coleção de ordinais, geralmente definidos como ordinais de von Neumann. Um estranho questionário de PM é que eles não têm um ordinal correspondente a 1, o que causa inúmeras complicações desnecessárias em seus teoremas. A definição de exponencial ordinal α^β em PM não é equivalente à definição usual em ZFC e tem algumas propriedades bastante indesejáveis: por exemplo, não é contínua em β e não é bem ordenada (por isso não é mesmo um ordinal).
• As construções dos inteiros, racionais e números reais em ZFC foram simplificadas consideravelmente ao longo do tempo desde as construções em PM.

Diferenças entre edições

Além das correções de erros de impressão, o texto principal do PM permanece inalterado entre a primeira e a segunda edições. O texto principal dos Volumes 1 e 2 foi redefinido, para que ocupe menos páginas em cada um. Na segunda edição, o Volume 3 não foi reposto, sendo reimpresso fotograficamente com a mesma numeração de páginas; correções ainda foram feitas. O número total de páginas (excluindo as guardas) na primeira edição é de 1.996; no segundo, 2.000. Volume 1 tem cinco novas adições:

• Uma introdução de 54 páginas por Russell descrevendo as mudanças que teriam feito se tivessem mais tempo e energia. A principal mudança que ele sugere é a remoção do controverso axioma da redutibilidade, embora admita que não conhece nenhum substituto satisfatório para ele. Ele também parece mais favorável à ideia de que uma função deve ser determinada por seus valores (como é habitual na prática matemática moderna).
• Anexo A, numerado como *8, 15 páginas, sobre o curso Sheffer.
• Apêndice B, numerado como *89, discutindo indução sem o axioma da redutibilidade.
• Apêndice C, 8 páginas, discutindo funções proposicionais.
• Uma lista de 8 páginas de definições no final, dando um índice muito necessário aos 500 ou assim anotações utilizadas.

Em 1962, a Cambridge University Press publicou uma edição resumida em brochura contendo partes da segunda edição do Volume 1: a nova introdução (e a antiga), o texto principal até *56 e os Apêndices A e C.

Edições

• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1910), Principia mathematica, vol. 1 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 41.0083.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1912), Principia mathematica, vol. 2 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 43.0093.03
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1913), Principia mathematica, vol. 3 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 44.0068.01
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1925), Principia mathematica, vol. 1 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica, vol. 2 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica, vol. 3 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1997) [1962], Principia mathematica para *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623585, ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042

A primeira edição foi reimpressa em 2009 pela Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.