Permissividade

No eletromagnetismo, a permissividade absoluta, muitas vezes chamada simplesmente de permissividade e denotada pela letra grega ε (épsilon), é uma medida de a polarizabilidade elétrica de um dielétrico. Um material com alta permissividade polariza mais em resposta a um campo elétrico aplicado do que um material com baixa permissividade, armazenando assim mais energia no material. Na eletrostática, a permissividade desempenha um papel importante na determinação da capacitância de um capacitor.

No caso mais simples, o campo de deslocamento elétrico D resultante de um campo elétrico aplicado E é

${displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E}}.}$

De forma mais geral, a permissividade é uma função termodinâmica do estado. Pode depender da frequência, magnitude e direção do campo aplicado. A unidade SI para permissividade é farad por metro (F/m).

A permissividade é frequentemente representada pela permissividade relativa ε_r que é a razão entre a permissividade absoluta ε e a permissividade do vácuo ε₀

${displaystyle kappa =varepsilon - Sim. ? Não. _{0}}$.

Essa quantidade adimensional também é frequentemente e ambiguamente chamada de permissividade. Outro termo comum encontrado para permissividade absoluta e relativa é a constante dielétrica, que foi obsoleta na física e na engenharia, bem como na química.

Por definição, um vácuo perfeito tem uma permissividade relativa de exatamente 1, enquanto que à temperatura e pressão padrão, o ar tem uma permissividade relativa de κ_ar ≈ 1,0006.

A permissividade relativa está diretamente relacionada à suscetibilidade elétrica (χ) por

${displaystyle chi =kappa -1$

caso contrário escrito como

${displaystyle varepsilon =varepsilon - Sim. }varepsilon _{0}=(1+chi)varepsilon _{0}}$

O termo "permissividade" foi introduzido na década de 1880 por Oliver Heaviside para complementar a "permeabilidade"de Thomson (1872). Anteriormente escrito como p, a designação com ε tem sido de uso comum desde a década de 1950.

Unidades

A unidade SI para permissividade é farad por metro (F/m ou F·m⁻¹).

${displaystyle {frac {text{F}}{text{m}}}={frac {text{C}}{{text{V}}{cdot }{text{m}}={frac {{text{C}}^{2}}{{text{N}}{cdot }{text{m}}^{2}}}={frac ({text{C}}^{2} }{text{s}}^{2}}{{text{kg}}{cdot }{text{m}}^{3}}}={frac {{text{A}}^{2}{cdot }{text{s}}^{4}}{{text{kg}}{cdot }{text{m}}^{3}}}}$

Explicação

No eletromagnetismo, o campo de deslocamento elétrico D representa a distribuição de cargas elétricas em um determinado meio resultante da presença de um campo elétrico E. Esta distribuição inclui migração de carga e reorientação dipolo elétrica. Sua relação com a permissividade no caso muito simples de materiais lineares, homogêneos, isotrópicos com propriedades "instantâneas" resposta às mudanças no campo elétrico é:

${displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf Não.$

onde a permissividade ε é um escalar. Se o meio for anisotrópico, a permissividade é um tensor de segunda ordem.

Em geral, a permissividade não é uma constante, pois pode variar com a posição no meio, a frequência do campo aplicado, a umidade, a temperatura e outros parâmetros. Num meio não linear, a permissividade pode depender da intensidade do campo elétrico. A permissividade em função da frequência pode assumir valores reais ou complexos.

Em unidades SI, a permissividade é medida em farads por metro (F/m ou A²·s⁴·kg⁻¹· m⁻³). O campo de deslocamento D é medido em unidades de coulombs por metro quadrado (C/m²), enquanto o campo elétrico E é medido em volts por metro (V/m). D e E descrevem a interação entre objetos carregados. D está relacionado às densidades de carga associadas a esta interação, enquanto E está relacionado às forças e às diferenças potenciais.

Permissividade do vácuo

A permissividade do vácuo ε₀ (também chamada de permissividade do espaço livre ou constante elétrica) é a razão D/E gratuitamente espaço. Também aparece na constante de força de Coulomb,

${displaystyle k_{text{e}}={frac Não. - Sim. _{0}}$

Seu valor é

${displaystyle varepsilon _{0} {displaystyle {mathrm {def} }{=}} {1}{c_{0}^{2}mu _{0}}}approx 8.854,187,8128(13)times 10^{-12}{text{ F/m }}}$

onde

• c₀ é a velocidade da luz no espaço livre,
• μ₀ é a permeabilidade de vácuo.

As constantes c₀ e μ₀ foram ambos definidos em unidades SI para ter valores numéricos exatos até a redefinição de 2019 das unidades base SI. Portanto, até essa data, ε₀ poderia também ser afirmado exatamente como uma fração, $Não. {1}{c_{0}^{2}mu _{0}}}= {1}{35,950,207,149.472,7056pi F/m}}}$mesmo se o resultado foi irracional (porque a fração contida D). Em contraste, o ampere foi uma quantidade medida antes de 2019, mas desde então o ampere agora é exatamente definido e é μ₀ que é uma quantidade experimentalmente medida (com consequente incerteza) e, portanto, é a nova definição de 2019 de ε₀ (c₀ permanece exatamente definido antes e desde 2019).

Permissividade relativa

A permissividade linear de um material homogêneo é geralmente dada em relação à do espaço livre, como uma permissividade relativa ε_r (também chamada de constante dielétrica, embora este termo esteja obsoleto e às vezes se refira apenas à permissividade relativa estática de frequência zero). Em um material anisotrópico, a permissividade relativa pode ser um tensor, causando birrefringência. A permissividade real é então calculada multiplicando a permissividade relativa por ε₀:

${displaystyle varepsilon =varepsilon - Sim. }varepsilon _{0}=(1+chi)varepsilon _{0},}$

onde χ (frequentemente escrito χ _e) é a suscetibilidade elétrica do material.

A suscetibilidade é definida como a constante de proporcionalidade (que pode ser um tensor) relacionando um campo elétrico E à densidade de polarização dielétrica induzida < span class="texhtml">P tal que

${displaystyle mathbf] (P) = varepsilon _{0}chi mathbf {E}}$

onde ε₀ é a permissividade elétrica do espaço livre.

A suscetibilidade de um meio está relacionada à sua permissividade relativa ε_r por

${displaystyle chi =varepsilon _{mathrm {r} }-1.}$

Portanto, no caso de vácuo,

${displaystyle chi =0.}$

A suscetibilidade também está relacionada à polarizabilidade de partículas individuais no meio pela relação Clausius-Mossotti.

O deslocamento elétrico D está relacionado à densidade de polarização P por

${displaystyle mathbf] (D) _{0}mathbf (E) +mathbf {P} =varepsilon _{0}(1+chi)mathbf {E} =varepsilon _{mathrm {r} }varepsilon _{0}mathbf {E}.}$

A permissividade ε e a permeabilidade µ de um meio juntos determinam a velocidade da fase v = c/n< /span> de radiação eletromagnética através desse meio:

${displaystyle varepsilon mu ={frac {1}{v^{2}}}.}$

Aplicações práticas

Determinação da capacitância

A capacitância de um capacitor é baseada em seu design e arquitetura, o que significa que ela não mudará com a carga e a descarga. A fórmula para capacitância em um capacitor de placas paralelas é escrita como

$Não. C = varepsilon ? Não.$

Onde? $Não. A.$ é a área de uma chapa, $Não.$ é a distância entre as placas, e $- Sim.$ é a permissão do meio entre as duas placas. Para um capacitor com permissão relativa $- Sim.$, pode dizer-se que

$Não. Crítica variópsias _{0} Não.$

Lei de Gauss

A permissividade está ligada ao fluxo elétrico (e por extensão ao campo elétrico) através da lei de Gauss. A lei de Gauss afirma que para uma superfície gaussiana fechada, S,

$Não. Phi _{E} = frac (Q_{text{enc}) _{0}}}=oint _{S}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A}}$

Onde? ${displaystyle Phi _{E}}$ é o fluxo elétrico líquido que passa pela superfície, $- Sim.$ é a carga fechada na superfície gaussiana, $- Sim.$ é o vetor de campo elétrico em um determinado ponto na superfície, e ${displaystyle mathrm {d} mathbf Não.$ é um vetor de área diferencial na superfície gaussiana.

Se a superfície gaussiana envolve uniformemente um arranjo de carga isolado e simétrico, a fórmula pode ser simplificada para

${displaystyle EAcos(theta)={frac (Q_{text{enc}) _{0}}},}$

Onde? $- Sim.$ representa o ângulo entre as linhas de campo elétricas e o normal (perpendicular) a S.

Se todas as linhas de campo elétrico cruzarem a superfície a 90°, a fórmula pode ser ainda mais simplificada para

$- Sim. (Q_{text{enc}) _{0}A}}.}$

Porque a área de superfície de uma esfera é ${displaystyle 4pi r^{2}}$, o campo elétrico uma distância $Não.$ longe de um uniforme, arranjo de carga esférica é

$- Sim. Não. _{0}A}}={frac {Q}{varepsilon _{0}left(4pi r^{2}right)}}={frac {Q}{4pi varepsilon _{0}r^{2}}}.}$

Esta fórmula se aplica ao campo elétrico devido a uma carga pontual, fora de uma esfera ou casca condutora, fora de uma esfera isolante uniformemente carregada ou entre as placas de um capacitor esférico.

Dispersão e causalidade

Em geral, um material não pode polarizar instantaneamente em resposta a um campo aplicado e, portanto, a formulação mais geral em função do tempo é

${displaystyle mathbf {P} (t)=varepsilon _{0}int _{-infty }^{t}chi left(t-t'right)mathbf {E} left(t'right),dt'.}$

Ou seja, a polarização é uma convolução do campo elétrico em tempos anteriores com suscetibilidade dependente do tempo dada por χ(Δt). O limite superior desta integral também pode ser estendido ao infinito se definirmos χ(Δt) = 0 para Δt < 0. Uma resposta instantânea corresponderia a uma suscetibilidade da função delta de Dirac χ(Δt) = χδ(Δ< i>t).

É conveniente tomar a transformada de Fourier em relação ao tempo e escrever esta relação como uma função da frequência. Por causa do teorema da convolução, a integral torna-se um produto simples,

${displaystyle mathbf {P} (omega)=varepsilon) _{0}chi (omega)mathbf {E} (omega). ?$

Essa dependência da frequência da suscetibilidade leva à dependência da frequência da permissividade. A forma da suscetibilidade em relação à frequência caracteriza as propriedades de dispersão do material.

Além disso, o fato de que a polarização só pode depender do campo elétrico em momentos anteriores (ou seja, efetivamente χ(Δt) = 0 para Δt < 0), uma consequência da causalidade, impõe restrições de Kramers–Kronig à suscetibilidade χ(0).

Permissividade complexa

Ao contrário da resposta do vácuo, a resposta dos materiais normais aos campos externos geralmente depende da frequência do campo. Esta dependência da frequência reflete o fato de que a polarização de um material não muda instantaneamente quando um campo elétrico é aplicado. A resposta deve ser sempre causal (surgindo após o campo aplicado), o que pode ser representado por uma diferença de fase. Por esta razão, a permissividade é frequentemente tratada como uma função complexa da frequência (angular) ω do campo aplicado:

${displaystyle varepsilon rightarrow {hat {varepsilon }}(omega)}$

(já que os números complexos permitem a especificação de magnitude e fase). A definição de permissividade torna-se, portanto,

$Não. D_{0}e^{-iomega t}={hat {varepsilon }}(omega)E_{0}e^{-iomega t},}$

onde

• D₀ e E₀ são as amplitudes do deslocamento e campos elétricos, respectivamente,
• Eu... é a unidade imaginária, Eu...² = −1.

A resposta de um meio a campos elétricos estáticos é descrita pelo limite de permissividade de baixa frequência, também chamado de permissividade estática ε_s (também ε_DC):

${displaystyle varepsilon _{mathrm {s} }=lim _{omega rightarrow 0}{hat {varepsilon }}(omega). ?$

No limite de alta frequência (ou seja, frequências ópticas), a permissividade complexa é comumente referida como ε_∞ (ou às vezes ε_opt). Na frequência do plasma e abaixo, os dielétricos se comportam como metais ideais, com comportamento de gás de elétrons. A permissividade estática é uma boa aproximação para campos alternados de baixas frequências e, à medida que a frequência aumenta, uma diferença de fase mensurável δ emerge entre < span class="texhtml">D e E. A frequência na qual a mudança de fase se torna perceptível depende da temperatura e dos detalhes do meio. Para intensidade de campo moderada (E₀), D e E permanecem proporcionais e

$- Não. - Sim. {D_{0}}{E_{0}}}=|varepsilon |e^{-idelta }$

Como a resposta dos materiais a campos alternados é caracterizada por uma permissividade complexa, é natural separar suas partes reais e imaginárias, o que é feito por convenção da seguinte maneira:

${displaystyle {hat {varepsilon }}(omega)=varepsilon '(omega)-ivarepsilon '(omega)=left|{frac {D_{0}}{E_{0}}}right|left(cos delta -isin delta right). ?$

onde

• ε? é a parte real da permissão;
• ε" é a parte imaginária da permissão;
• δ é o ângulo de perda.

A escolha do sinal para dependência do tempo, e^−iωt, determina a convenção de sinais para a parte imaginária da permissividade. Os sinais usados aqui correspondem aos comumente usados em física, enquanto que para a convenção de engenharia deve-se inverter todas as quantidades imaginárias.

A permissividade complexa é geralmente uma função complicada de frequência ω, uma vez que é uma descrição sobreposta de fenômenos de dispersão que ocorrem em múltiplos frequências. A função dielétrica ε(ω) deve ter pólos apenas para frequências com partes imaginárias positivas e, portanto, satisfaz o Kramers– Relações Kronig. No entanto, nas estreitas faixas de frequência que são frequentemente estudadas na prática, a permissividade pode ser aproximada como independente da frequência ou por funções de modelo.

Em uma determinada frequência, a parte imaginária, ε″, leva à perda de absorção se for positiva (na convenção de sinal acima) e ganho se for negativo. De forma mais geral, as partes imaginárias dos autovalores do tensor dielétrico anisotrópico devem ser consideradas.

No caso dos sólidos, a função dielétrica complexa está intimamente ligada à estrutura da banda. A grandeza primária que caracteriza a estrutura eletrônica de qualquer material cristalino é a probabilidade de absorção de fótons, que está diretamente relacionada à parte imaginária da função dielétrica óptica ε(< i>ω). A função dielétrica óptica é dada pela expressão fundamental:

${displaystyle varepsilon (omega)=1+{frac {8pi) ^{2}e^{2}}{m^{2}}}sum _{c,v}int W_{c,v}(E){bigl (}varphi (hbar omega -E)-varphi (hbar omega +E){bigr)},dx.}$

Nesta expressão, W_c,v(E) representa o produto da probabilidade de transição média da zona de Brillouin na energia E com a densidade conjunta de estados, J_c,v( E); φ é uma função de ampliação, representando o papel da dispersão na dispersão dos níveis de energia. Em geral, o alargamento é intermediário entre Lorentziano e Gaussiano; para uma liga, é um pouco mais próximo do gaussiano devido à forte dispersão das flutuações estatísticas na composição local em escala nanométrica.

Permissividade tensorial

De acordo com o modelo Drude de plasma magnetizado, uma expressão mais geral que leva em conta a interação dos portadores com um campo elétrico alternado em frequências milimétricas e de micro-ondas em um semicondutor magnetizado axialmente requer a expressão da permissividade como um não- tensor diagonal. (veja também Eletro-giração).

${displaystyle mathbf {D} (omega)={begin{vmatrix}varepsilon) _{1}&-ivarepsilon _{2}&0ivarepsilon _{2}&varepsilon _{1}&0$