Paralelepípedo
| Paralelamente | |
|---|---|
 | |
| Tipo | Prisma Plesiohedron |
| Caras | 6 paralelogramas |
| Bordas | 12 |
| Versículos | 8 |
| Grupo de simetria | Ci, [2+,2+], (×), ordem 2 |
| Propriedades | Convex, zonohedron |
Na geometria, um paralelepípedo é uma figura tridimensional formada por seis paralelogramos (o termo romboide também é usado às vezes com esse significado). Por analogia, ele se relaciona com um paralelogramo assim como um cubo se relaciona com um quadrado. Na geometria euclidiana, os quatro conceitos—paralelepípedo e cubo em três dimensões, paralelogramo e quadrado em duas dimensões— são definidos, mas no contexto de uma geometria afim mais geral, em que os ângulos não são diferenciados, existem apenas paralelogramos e paralelepípedos. Três definições equivalentes de paralelepípedo são
- um poliedro com seis faces (hexahedron), cada um dos quais é um paralelogramo,
- um hexahedron com três pares de faces paralelas, e
- um prisma do qual a base é um paralelogramo.
O paralelepípedo retangular (seis faces retangulares), o cubo (seis faces quadradas) e o romboedro (seis faces losangos) são casos específicos de paralelepípedos.
"Paralelepípedo" agora é geralmente pronunciado ou; tradicionalmente era PARR-ə-lel-EP-ih-ped de acordo com sua etimologia em grego παραλληλεπίπεδον paralelepípedo, um corpo "com planos paralelos".
Os paralelepípedos são uma subclasse dos prismatóides.
Propriedades
Qualquer um dos três pares de faces paralelas pode ser visto como os planos de base do prisma. Um paralelepípedo tem três conjuntos de quatro arestas paralelas; as arestas dentro de cada conjunto são de comprimento igual.
Os paralelepípedos resultam de transformações lineares de um cubo (para os casos não degenerados: as transformações lineares bijetivas).
Como cada face tem simetria pontual, um paralelepípedo é um zonoedro. Além disso, todo o paralelepípedo tem simetria pontual Ci (ver também triclínica). Cada face é, vista de fora, a imagem espelhada da face oposta. As faces são em geral quirais, mas o paralelepípedo não.
Um mosaico de preenchimento de espaço é possível com cópias congruentes de qualquer paralelepípedo.
Volume
Um paraleloepiped pode ser considerado como um prisma oblíquo com um paralelogramo como base. Daí o volume VNão. de um paraleloepiped é o produto da área base BNão. e a altura hNão. (ver diagrama). Com
- B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|um|)) |b)|)) pecado γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|um× × b)|{displaystyle B=left|mathbf {a} right|cdot left|mathbf {b} right|cdot sin gamma =left|mathbf {a} times mathbf {b} right|} (onde) γ γ - Sim. é o ângulo entre vetores um{displaystyle mathbf {a} } } e b)(b)), e
- h= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|c|)) |e θ θ |Não. h=left|mathbf {c} right|cdot left|cos theta right|} (onde) θ θ - Sim. é o ângulo entre o vetor c- Sim. e o normal para a base), um recebe:
V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|- Não.Não.um1b)1c1um2b)2c2um3b)3c3]|.{displaystyle V=left|det {begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}\a_{3}&b_{3}&c_{3}end{bmatrix}}right|.} | (V1) |
Outra maneira de provar (V1) é usar o componente escalar na direção de um× × b){displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} } de vetor c- Sim.:
Uma representação alternativa do volume usa apenas propriedades geométricas (ângulos e comprimentos de borda):
V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umb)c1+2e (α α )e (β β )e (γ γ )- Sim. - Sim. e2 (α α )- Sim. - Sim. e2 (β β )- Sim. - Sim. e2 (γ γ ),{displaystyle V=abc{sqrt {1+2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos ^{2}(alpha)-cos ^{2}(beta)-cos ^{2}(gamma)}},} | (V2) |
Onde? α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (b),c){displaystyle alpha =angle (mathbf {b}mathbf {c})}, β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (um,c){displaystyle beta =angle (mathbf {a}mathbf {c})}, γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (um,b)){displaystyle gamma =angle (mathbf {a}mathbf {b})}e um,b),c- Não. são os comprimentos de borda.
The proof of (V2) uses properties of a determinant and the geometric interpretation of the dot product:
Let be M {displaystyle M} the 3×3-matrix, whose columns are the vectors a , b , c {displaystyle mathbf {a}mathbf {b}mathbf {c} } (see above). Then the following is true:
(The last steps use a ⋅ a = a 2 {displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =a^{2}} ,..., a ⋅ b = a b cos γ {displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =abcos gamma } , a ⋅ c = a c cos β {displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {c} =accos beta } , b ⋅ c = b c cos α {displaystyle mathbf {b} cdot mathbf {c} =bccos alpha } ,...)
- Tetraedron correspondente
O volume de qualquer tetraedro que compartilhe três arestas convergentes de um paralelepípedo é igual a um sexto do volume desse paralelepípedo (veja a prova).
Área de superfície
A área da superfície de um paralelepípedo é a soma das áreas dos paralelogramos delimitadores:
Casos especiais por simetria
 Relações subgrupos de simetria Octahedral com centro de inversão |  Casos especiais do paraleloepiped |
| Formulário | Cubo | Cubo quadrado | Armadilha trigonal | Cubo retangular | Prisma rhombic direita | Prisma paralelograma direito | Oblique rhombic prism |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Restrições | um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c- Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =90∘ ∘ {displaystyle alpha =beta =gamma =90^{circ }} | um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)- Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =90∘ ∘ {displaystyle alpha =beta =gamma =90^{circ }} | um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c- Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ {displaystyle alpha =beta - Sim. | α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =90∘ ∘ {displaystyle alpha =beta =gamma =90^{circ }} | um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)- Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =90∘ ∘ {displaystyle alpha =beta =90^{circ }} | α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =90∘ ∘ {displaystyle alpha =beta =90^{circ }} | um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)- Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β {displaystyle alpha =beta } |
| Simetria | Oh! Ordem 48 | D4h ordem 16 | D3D ordem 12 | D2h ordem 8 | C2h ordem 4 | ||
| Imagem |  |  |  |  |  |  |  |
| Caras | 6 quadrados | 2 quadrados, 4 retângulos | 6 rhombi | 6 retângulos | 4 retângulos, 2 rhombi | 4 retângulos, 2 paralelogramas | 2 rhombi, 4 paralelogramas |
- O paralelo com Oh a simetria é conhecida como Cubo, que tem seis faces quadradas congruentes.
- O paralelo com D4h a simetria é conhecida como cuboide quadrado, que tem duas faces quadradas e quatro faces retangulares congruentes.
- O paralelo com D3D a simetria é conhecida como Armadilha de trigo, que tem seis faces rhombic congruentes (também chamado de Rhombohedron isohedral).
- Para paralelos com D2h simetria, há dois casos:
- Cubo retangular: tem seis faces retangulares (também chamado de paralelo retangular, ou às vezes simplesmente um Cuboid).
- Prisma rhombic direita: tem duas faces rhombic e quatro faces retangulares congruentes.
- Nota: o caso especial totalmente rhombic, com duas faces rhombic e quatro faces quadradas congruentes (um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c)(a=b=c)}, tem o mesmo nome, e o mesmo grupo de simetria (D2h ordem 8).
- Para paralelos com C2h simetria, há dois casos:
- Prisma paralelograma direito: tem quatro faces retangulares e duas faces paralelaogrammicas.
- Oblique rhombic prism: tem dois rostos rhombic, enquanto dos outros rostos, dois adjacentes são iguais e os outros dois também (os dois pares são imagem de espelho uns dos outros).
Paralelepípedo perfeito
Um paralelepípedo perfeito é um paralelepípedo com arestas de comprimento inteiro, diagonais de face e diagonais espaciais. Em 2009, foi demonstrada a existência de dezenas de paralelepípedos perfeitos, respondendo a uma pergunta em aberto de Richard Guy. Um exemplo tem arestas 271, 106 e 103, diagonais de face menor 101, 266 e 255, diagonais de face maior 183, 312 e 323 e diagonais espaciais 374, 300, 278 e 272.
Alguns paralelepípedos perfeitos com duas faces retangulares são conhecidos. Mas não se sabe se existe alguma com todas as faces retangulares; tal caso seria chamado de paralelepípedo perfeito.
Paralelotopo
Coxeter chamou a generalização de um paralelepípedo em dimensões superiores de paralelótopo. Na literatura moderna, o termo paralelepípedo também é freqüentemente usado em dimensões superiores (ou finitas arbitrárias).
Especificamente no espaço n-dimensional, é chamado de paralelotopo n-dimensional, ou simplesmente n-parallelotope (ou n-parallelepiped). Assim, um paralelogramo é um 2-paralelotopo e um paralelepípedo é um 3-paralelotopo.
Mais geralmente, um paralelotopo, ou paralelotopo de voronoi, tem facetas opostas paralelas e congruentes. Assim, um 2-paralelotopo é um paralelogono que também pode incluir certos hexágonos, e um 3-paralelotopo é um paraleloedro, incluindo 5 tipos de poliedros.
As diagonais de um n-paralelotopo se cruzam em um ponto e são cortadas ao meio por este ponto. A inversão neste ponto deixa o paralelótopo n inalterado. Veja também pontos fixos de grupos de isometria no espaço euclidiano.
As bordas que irradiam de um vértice de um k-parallelotope formar um k-frame (v1,...... ,vn)(v_{1},ldotsv_{n})} do espaço vetorial, e o paraleloótopo pode ser recuperado desses vetores, tomando combinações lineares dos vetores, com pesos entre 0 e 1.
O n-volume de um n-parallelotope embutido Rm{displaystyle mathbb {R} ^{m}} Onde? m≥ ≥ nNão. pode ser computado por meio do determinante do Gram. Alternativamente, o volume é a norma do produto exterior dos vetores:
Se m = n, isso equivale ao valor absoluto do determinante de n vetores.
Outra fórmula para calcular o volume de um n- Paralelo P em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, cuja n + 1 vértices são V0,V1,...... ,VnNão. V_{0},V_{1},ldotsV_{n}},
![{displaystyle mathrm {Vol} (P)=left|det left(left[V_{0} 1right]^{mathsf {T}},left[V_{1} 1right]^{mathsf {T}},ldotsleft[V_{n} 1right]^{mathsf {T}}right)right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c1e6f94320ae11d0400b05f08f25e1a86e7f1f)
Onde? Não.VEu...1][V_{i} 1]} é o vetor de linha formado pela concatenação de VEu...Não. V_{i}} e 1. De fato, o determinante é inalterado se Não.V01][V_{0} 1]} é subtraído de Não.VEu...1][V_{i} 1]} (Eu... > 0), e colocação Não.V01][V_{0} 1]} na última posição só muda seu sinal.
![{displaystyle [V_{i} 1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2362bea0baa876bb7e76e2c43bbac55d2241798)
![{displaystyle [V_{0} 1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe4ab89b67a521fcf8097b1a2996fdda40fba1e)
Da mesma forma, o volume de qualquer n-simplex que compartilhe n arestas convergentes de um paraleleótopo tem um volume igual a um 1/n! do volume desse paralelepípedo.
Etimologia
O termo paralelepípedo deriva do grego antigo παραλληλεπίπεδον (parallēlepípedon, "corpo com superfícies planas paralelas&# 34;), de paralelo ("paralelo") + epípedon ("superfície plana"), de epí- ("on") + pedon ("chão"). Assim, as faces de um paralelepípedo são planas, com faces opostas sendo paralelas.
Em inglês, o termo parallelipipedon é atestado em uma tradução de 1570 dos Elementos de Euclides por Henry Billingsley. A grafia parallelepipedum é usada na edição de 1644 do Cursus mathematicus de Pierre Hérigone. Em 1663, o paralelepípedo atual é atestado no Chorea gigantum de Walter Charleton.
O Dicionário de Charles Hutton (1795) mostra parallelopiped e parallelopipedon, mostrando a influência da forma combinada parallelo-, como se o segundo elemento fosse pipedon em vez de epipedon. Noah Webster (1806) inclui a grafia paralelopípedo. A edição de 1989 do Oxford English Dictionary descreve parallelopiped (e parallelipiped) explicitamente como formas incorretas, mas estas são listadas sem comentários na edição de 2004, e apenas pronúncias com ênfase na quinta sílaba pi ( /paɪ/) são fornecidos.
Contenido relacionado
Antiprisma
Charles Babbage
Dodecaedro
Espaço euclidiano
Absoluto Infinito