Paradoxo dos gêmeos

Na física, o paradoxo dos gêmeos é um experimento mental na relatividade especial envolvendo gêmeos idênticos, um dos quais faz uma viagem ao espaço em um foguete de alta velocidade e volta para casa para descobrir que o gêmeo que permaneceu na Terra envelheceu mais. Este resultado parece intrigante porque cada gémeo vê o outro gémeo em movimento e, portanto, como consequência de uma aplicação incorrecta e ingénua da dilatação do tempo e do princípio da relatividade, cada um deveria paradoxalmente descobrir que o outro envelheceu menos. No entanto, este cenário pode ser resolvido dentro da estrutura padrão da relatividade especial: a trajetória do gêmeo viajante envolve dois referenciais inerciais diferentes, um para a viagem de ida e outro para a viagem de volta. Outra maneira de ver isso é perceber que o gêmeo viajante está em aceleração, o que o torna um observador não inercial. Em ambas as visões não há simetria entre os caminhos do espaço-tempo dos gêmeos. Portanto, o paradoxo dos gêmeos não é realmente um paradoxo no sentido de uma contradição lógica. Ainda há debate quanto à resolução do paradoxo dos gêmeos.

Começando com Paul Langevin em 1911, tem havido várias explicações para este paradoxo. Essas explicações “podem ser agrupadas naquelas que focam no efeito de diferentes padrões de simultaneidade em diferentes referenciais, e naquelas que designam a aceleração [experimentada pelo gêmeo viajante] como a principal razão”. Max von Laue argumentou em 1913 que, como o gêmeo viajante deve estar em dois referenciais inerciais separados, um na saída e outro na volta, essa mudança de referencial é a razão para a diferença de envelhecimento. As explicações apresentadas por Albert Einstein e Max Born invocaram a dilatação do tempo gravitacional para explicar o envelhecimento como um efeito direto da aceleração. No entanto, foi provado que nem a relatividade geral, nem mesmo a aceleração, são necessárias para explicar o efeito, uma vez que o efeito ainda se aplica se dois astronautas se cruzarem no ponto de viragem e sincronizarem os seus relógios nesse ponto. Tal observador pode ser pensado como um par de observadores, um viajando para longe do ponto de partida e outro viajando em direção a ele, passando um pelo outro onde seria o ponto de retorno. Neste momento, a leitura do relógio do primeiro observador é transferida para o segundo, ambos mantendo velocidade constante, sendo os tempos de viagem somados ao final da viagem.

Histórico

Em seu famoso artigo sobre a relatividade especial em 1905, Albert Einstein deduziu que quando dois relógios fossem aproximados e sincronizados, e então um fosse afastado e trazido de volta, o relógio que havia passado pela viagem estaria atrasado. o relógio que havia permanecido parado. Einstein considerou isso uma consequência natural da relatividade especial, não um paradoxo como alguns sugeriram, e em 1911, ele reafirmou e elaborou este resultado da seguinte forma (com os comentários do físico Robert Resnick seguindo os de Einstein):

Einstein: Se tivéssemos colocado um organismo vivo numa caixa, podia-se arranjar que o organismo, depois de um longo voo arbitrário, pudesse ser devolvido ao seu local original numa condição pouco alterada, enquanto organismos correspondentes que tinham permanecido nas suas posições originais já tinham dado lugar a novas gerações. Para o organismo em movimento, o longo tempo da viagem foi um mero instante, desde que o movimento ocorreu com aproximadamente a velocidade da luz.
Resnick: Se o organismo estacionário é um homem e o viajante é seu gêmeo, então o viajante retorna para casa para encontrar seu irmão gêmeo muito envelhecido em comparação com ele mesmo. O paradoxo centra-se na disputa que, na relatividade, ou gêmeo poderia considerar o outro como o viajante, em que caso cada um deve encontrar o outro mais jovem - uma contradição lógica. Esta disputa assume que as situações dos gêmeos são simétricas e intercambiáveis, uma suposição que não está correta. Além disso, as experiências acessíveis foram feitas e apoiar a previsão de Einstein.

Em 1911, Paul Langevin deu um "exemplo notável" descrevendo a história de um viajante fazendo uma viagem com um fator de Lorentz de γ = 100 (99,995% da velocidade da luz). O viajante permanece em um projétil por um ano de seu tempo e depois inverte a direção. Ao retornar, o viajante descobrirá que envelheceu dois anos, enquanto 200 anos se passaram na Terra. Durante a viagem, tanto o viajante como a Terra continuam a enviar sinais um ao outro a uma taxa constante, o que coloca a história de Langevin entre as versões do efeito Doppler do paradoxo dos gémeos. Os efeitos relativísticos sobre as taxas de sinal são usados para explicar as diferentes taxas de envelhecimento. A assimetria que ocorreu porque apenas o viajante sofreu aceleração é usada para explicar por que existe alguma diferença, porque "qualquer mudança de velocidade, ou qualquer aceleração tem um significado absoluto".

Max von Laue (1911, 1913) elaborou a explicação de Langevin. Usando o formalismo espaço-tempo de Hermann Minkowski, Laue passou a demonstrar que as linhas de mundo dos corpos em movimento inercial maximizam o tempo adequado decorrido entre dois eventos. Ele também escreveu que o envelhecimento assimétrico é completamente explicado pelo fato de que o gêmeo astronauta viaja em dois referenciais separados, enquanto o gêmeo da Terra permanece em um referencial, e o tempo de aceleração pode ser arbitrariamente pequeno em comparação com o tempo do movimento inercial.. Eventualmente, Lord Halsbury e outros removeram qualquer aceleração introduzindo o conceito de 'três irmãos'. abordagem. O gêmeo viajante transfere a leitura do relógio para um terceiro, viajando na direção oposta. Outra maneira de evitar efeitos de aceleração é o uso do efeito Doppler relativístico (veja § Como é: o deslocamento Doppler relativístico abaixo).

Nem Einstein nem Langevin consideraram tais resultados problemáticos: Einstein apenas os chamou de resultados "peculiares" enquanto Langevin o apresentou como consequência da aceleração absoluta. Ambos os homens argumentaram que, a partir da diferença temporal ilustrada pela história dos gêmeos, nenhuma autocontradição poderia ser construída. Por outras palavras, nem Einstein nem Langevin consideraram a história dos gémeos um desafio à autoconsistência da física relativista.

Exemplo específico

Considere uma nave espacial viajando da Terra até o sistema estelar mais próximo: a uma distância d = 4 anos-luz de distância, a uma velocidade v = 0,8c (ou seja, 80% da velocidade da luz).

Para facilitar os números, presume-se que o navio atinja a velocidade máxima em um tempo insignificante após a partida (mesmo que na verdade leve cerca de 9 meses acelerando a 1 g para ganhar velocidade). Da mesma forma, no final da viagem de ida, assume-se que a mudança de direcção necessária para iniciar a viagem de regresso ocorre num tempo desprezível. Isto também pode ser modelado assumindo que o navio já está em movimento no início do experimento e que o evento de retorno é modelado por uma aceleração de distribuição delta de Dirac.

As partes observarão a situação da seguinte forma:

Perspectiva da Terra

As razões de controle de missão baseadas na Terra sobre a viagem desta forma: a viagem de ida e volta terá ) = 2D/v = 10 anos no tempo da Terra (Ou seja. Todos na Terra serão 10 anos mais velhos quando o navio voltar. A quantidade de tempo medida nos relógios do navio e o envelhecimento dos viajantes durante sua viagem será reduzida pelo fator α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. v2/c2{displaystyle alpha =scriptstyle {sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}, o reciprocal do fator Lorentz (dilação do tempo). Neste caso α = 0,6 e os viajantes terão envelhecido apenas 0.6 × 10 = 6 anos quando voltarem.

Did you mean:

Travellers N#39; perspective

Os tripulantes do navio também calculam os detalhes da viagem a partir de sua perspectiva. Eles sabem que o sistema estelar distante e a Terra estão se movendo em relação à nave a uma velocidade v durante a viagem. Em seu referencial de repouso, a distância entre a Terra e o sistema estelar é α d = 0,6 × 4 = 2,4 anos-luz (contração de comprimento), para ambos as viagens de ida e volta. Cada metade da viagem leva α d / v = 2,4 / 0,8 = 3 anos, e a viagem de ida e volta leva duas vezes tanto tempo (6 anos). Seus cálculos mostram que eles chegarão em casa com 6 anos. Os viajantes' o cálculo final sobre o seu envelhecimento está em total concordância com os cálculos dos que estão na Terra, embora vivam a viagem de forma bastante diferente daqueles que ficam em casa.

Conclusão

Leituras nos relógios da Terra e da nave espacial

Evento	Terra (anos)	Espaço (anos)
Partida	0	0
Fim da viagem de saída = Início da viagem	5	3
Chegada	10.	6

Não importa o método usado para prever as leituras do relógio, todos concordarão com eles. Se gêmeos nascerem no dia da partida da nave e um viajar enquanto o outro permanecer na Terra, eles se encontrarão novamente quando o viajante tiver 6 anos e o gêmeo que fica em casa tiver 10 anos.

Resolução do paradoxo na relatividade especial

O aspecto paradoxal da história dos gêmeos A situação surge do fato de que, a qualquer momento, o relógio do gêmeo viajante está lento no referencial inercial do gêmeo terrestre, mas com base no princípio da relatividade, pode-se igualmente argumentar que o relógio do gêmeo terrestre o relógio está lento no referencial inercial do gêmeo viajante. Uma resolução proposta baseia-se no fato de que o gêmeo terrestre está em repouso no mesmo referencial inercial durante toda a viagem, enquanto o gêmeo viajante não está: na versão mais simples do experimento mental, o gêmeo viajante muda no ponto médio do viagem de estar em repouso em um referencial inercial que se move em uma direção (para longe da Terra) para estar em repouso em um referencial inercial que se move na direção oposta (em direção à Terra). Nesta abordagem, determinar qual observador troca de quadro e qual não o faz é crucial. Embora ambos os gémeos possam legitimamente afirmar que estão em repouso no seu próprio corpo, apenas o gémeo viajante experimenta aceleração quando os motores da nave espacial são ligados. Esta aceleração, mensurável com um acelerômetro, torna seu referencial de repouso temporariamente não inercial. Isso revela uma assimetria crucial entre os gêmeos. perspectivas: embora possamos prever a diferença de envelhecimento de ambas as perspectivas, precisamos usar métodos diferentes para obter resultados corretos.

Papel da aceleração

Embora algumas soluções atribuam um papel crucial à aceleração do gêmeo viajante no momento da volta, outras observam que o efeito também surge se imaginarmos dois viajantes separados, um indo para fora e outro voltando para dentro, que passam uns aos outros e sincronizar seus relógios no ponto correspondente ao 'turnaround'; de um único viajante. Nesta versão, a aceleração física do relógio viajante não desempenha nenhum papel direto; “A questão é quão longas são as linhas mundiais, não quão curvadas”. O comprimento referido aqui é o comprimento invariante de Lorentz ou "intervalo de tempo adequado" de uma trajetória que corresponde ao tempo decorrido medido por um relógio seguindo essa trajetória (veja a seção Diferença no tempo decorrido como resultado de diferenças nos caminhos do espaço-tempo dos gêmeos abaixo). No espaço-tempo de Minkowski, o gêmeo viajante deve sentir uma história de acelerações diferente do gêmeo terrestre, mesmo que isso signifique apenas acelerações do mesmo tamanho separadas por diferentes períodos de tempo, no entanto, “mesmo esse papel da aceleração pode ser eliminado em formulações do paradoxo dos gêmeos no espaço-tempo curvo, onde os gêmeos podem cair livremente ao longo das geodésicas do espaço-tempo entre os encontros".

Relatividade da simultaneidade

Para compreender momento a momento como se desenrola a diferença horária entre os gémeos, é preciso compreender que na relatividade especial não existe o conceito de presente absoluto. Para diferentes referenciais inerciais, existem diferentes conjuntos de eventos que são simultâneos nesse referencial. Esta relatividade da simultaneidade significa que a mudança de um referencial inercial para outro requer um ajuste na fatia do espaço-tempo que conta como o “presente”. No diagrama do espaço-tempo à direita, desenhado para o referencial do gémeo baseado na Terra, a linha do mundo desse gémeo coincide com o eixo vertical (a sua posição é constante no espaço, movendo-se apenas no tempo). Na primeira etapa da viagem, o segundo gêmeo se move para a direita (linha preta inclinada); e na segunda etapa, de volta à esquerda. As linhas azuis mostram os planos de simultaneidade para o gêmeo viajante durante a primeira etapa da viagem; linhas vermelhas, durante a segunda mão. Pouco antes da virada, o gêmeo viajante calcula a idade do gêmeo baseado na Terra medindo o intervalo ao longo do eixo vertical desde a origem até a linha azul superior. Logo após o retorno, se ele recalcular, medirá o intervalo da origem até a linha vermelha inferior. De certa forma, durante a inversão de marcha, o plano de simultaneidade salta do azul para o vermelho e varre muito rapidamente um grande segmento da linha mundial do gêmeo baseado na Terra. Quando se transfere do referencial inercial de saída para o referencial inercial de entrada, há uma descontinuidade de salto na idade do gêmeo baseado na Terra (6,4 anos no exemplo acima).

Uma abordagem não espaço-temporal

Como mencionado acima, uma operação de "ida e volta" A aventura do paradoxo dos gêmeos pode incorporar a transferência da leitura do relógio de uma pessoa "de saída" astronauta para um 'chegada'; astronauta, eliminando assim o efeito da aceleração. Além disso, a aceleração física dos relógios não contribui para os efeitos cinemáticos da relatividade especial. Em vez disso, na relatividade especial, o diferencial de tempo entre dois relógios reunidos é produzido puramente por movimento inercial uniforme, como discutido no artigo original de Einstein sobre relatividade de 1905, bem como em todas as derivações cinemáticas subsequentes das transformações de Lorentz.

Como os diagramas de espaço-tempo incorporam a sincronização do relógio de Einstein (com sua metodologia de rede de relógios), haverá um salto necessário na leitura da hora do relógio da Terra feita por um “astronauta que retorna repentinamente”. que herda um "novo significado de simultaneidade" de acordo com uma nova sincronização do relógio ditada pela transferência para um referencial inercial diferente, conforme explicado em Física do Espaço-Tempo por John A. Wheeler.

Se, em vez de incorporar a sincronização do relógio de Einstein (rede de relógios), o astronauta (que sai e chega) e o grupo baseado na Terra atualizam-se regularmente sobre o status de seus relógios por meio do envio de sinais de rádio (que viajam à velocidade da luz), então todas as partes notarão um aumento incremental de assimetria na marcação do tempo, começando na "viragem" apontar. Antes da “reversão”, cada parte considera que o relógio da outra parte está registrando o tempo de forma diferente do seu, mas a diferença observada é simétrica entre as duas partes. Após a “reviravolta”, as diferenças observadas não são simétricas e a assimetria cresce gradativamente até que as duas partes se reunifiquem. Ao finalmente se reunirem, essa assimetria pode ser vista na diferença real mostrada nos dois relógios reunidos.

A equivalência entre envelhecimento biológico e cronometragem do relógio

Todos os processos – químicos, biológicos, funcionamento de aparelhos de medição, percepção humana envolvendo o olho e o cérebro, a comunicação de força – são limitados pela velocidade da luz. Há um relógio funcionando em todos os níveis, dependendo da velocidade da luz e do atraso inerente até mesmo no nível atômico. O envelhecimento biológico, portanto, não é de forma alguma diferente da cronometragem do relógio. Isto significa que o envelhecimento biológico seria retardado da mesma maneira que um relógio.

O que parece: o desvio Doppler relativístico

Em vista da dependência da simultaneidade para eventos em diferentes locais do espaço, alguns tratamentos preferem uma abordagem mais fenomenológica, descrevendo o que os gêmeos observariam se cada um enviasse uma série de pulsos de rádio regulares, igualmente espaçados no tempo de acordo com ao relógio do emissor. Isso equivale a perguntar: se cada gêmeo enviasse um ao outro um vídeo de si mesmo, o que eles veriam em suas telas? Ou, se cada gêmeo sempre carregasse um relógio indicando sua idade, que horas cada um veria na imagem de seu gêmeo distante e em seu relógio?

Logo após a partida, o gêmeo viajante vê o gêmeo que fica em casa sem demora. Na chegada, a imagem na tela da nave mostra o gêmeo remanescente como ele era 1 ano após o lançamento, porque o rádio emitido da Terra 1 ano após o lançamento chega à outra estrela 4 anos depois e encontra a nave lá. Durante esta etapa da viagem, o gêmeo viajante vê seu próprio relógio avançar 3 anos e o relógio na tela avançar 1 ano, então parece avançar 1⁄3 a taxa normal, apenas 20 segundos de imagem por minuto de envio. Isso combina os efeitos da dilatação do tempo devido ao movimento (pelo fator ε = 0,6, cinco anos na Terra são 3 anos na nave) e o efeito do aumento do atraso-luz (que cresce de 0 a 4 anos).

É claro que a frequência de transmissão observada também é 1⁄3 a frequência do transmissor (uma redução na frequência; "deslocamento para o vermelho"). Isso é chamado de efeito Doppler relativístico. A frequência dos tiques do relógio (ou das frentes de onda) que se vê de uma fonte com frequência de repouso f_rest é

fob)S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =fReS)(1- Sim. - Sim. v/c)/(1+v/c)({1-v/c}right)/left({1+v/c}right)}

quando a fonte está se afastando diretamente. Isto é f_obs = 1⁄3f_rest para v/c = 0,8.

Já o gêmeo que fica em casa recebe um sinal lento do navio por 9 anos, na frequência 1 ⁄3 a frequência do transmissor. Durante esses 9 anos, o relógio do gêmeo viajante na tela parece avançar 3 anos, então ambos os gêmeos veem a imagem de seu irmão envelhecendo a uma taxa de apenas 1⁄3 sua própria taxa. Expressado de outra forma, ambos veriam o relógio um do outro rodando em 1⁄3 sua própria velocidade de clock. Se eles considerarem fora do cálculo o fato de que o atraso da transmissão no tempo de luz está aumentando a uma taxa de 0,8 segundos por segundo, ambos poderão concluir que o outro gêmeo está envelhecendo mais lentamente, aos 60 anos. % avaliar.

Então o navio volta para casa. O relógio do gêmeo remanescente mostra "1 ano após o lançamento" na tela do navio, e durante os 3 anos da viagem de volta aumenta até "10 anos após o lançamento", então o relógio na tela parece estar avançando 3 vezes mais rápido que o normal.

Did you mean:

When the source is moving towards the observer, the observed frequency is higher ("blue-shifted#34;) and given by

fob)S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =fReS)(1+v/c)/(1- Sim. - Sim. v/c)- Não. ({1+v/c}right)/left({1-v/c}right)}}}

Isso é f_obs = 3f_rest para v/c = 0,8.

Quanto à tela na Terra, ela mostra a viagem de volta começando 9 anos após o lançamento, e o relógio de viagem na tela mostra que 3 anos se passaram na nave. Um ano depois, o navio volta para casa e o relógio marca 6 anos. Então, durante a viagem de volta, ambos os gêmeos veem o relógio do irmão andando 3 vezes mais rápido que o seu. Considerando o fato de que o atraso da luz está diminuindo 0,8 segundos a cada segundo, cada gêmeo calcula que o outro gêmeo está envelhecendo a 60% de sua própria velocidade de envelhecimento.

Os diagramas x–t (espaço-tempo) à esquerda mostram os caminhos dos sinais de luz viajando entre a Terra e a nave (1º diagrama) e entre a nave e a Terra (2º diagrama). Esses sinais transportam as imagens de cada gêmeo e seu relógio de idade para o outro gêmeo. A linha preta vertical é o caminho da Terra através do espaço-tempo e os outros dois lados do triângulo mostram o caminho da nave através do espaço-tempo (como no diagrama de Minkowski acima). No que diz respeito ao remetente, ele as transmite em intervalos iguais (digamos, uma vez por hora) de acordo com o seu próprio relógio; mas de acordo com o relógio do gêmeo que recebe esses sinais, eles não estão sendo recebidos em intervalos iguais.

Depois que o navio atingir sua velocidade de cruzeiro de 0,8c, cada gêmeo verá 1 segundo passar na imagem recebida do outro gêmeo para cada 3 segundos de seu próprio tempo. Ou seja, cada um veria a imagem do relógio do outro ficando lento, não apenas lento pelo fator ε 0,6, mas ainda mais lento porque o atraso da luz está aumentando 0,8 segundos por segundo.. Isto é mostrado nas figuras por caminhos de luz vermelha. Em algum momento, as imagens recebidas por cada gêmeo mudam de modo que cada um veria 3 segundos passarem na imagem para cada segundo de seu próprio tempo. Ou seja, o sinal recebido foi aumentado em frequência pelo deslocamento Doppler. Estas imagens de alta frequência são mostradas nas figuras por caminhos de luz azul.

A assimetria nas imagens com desvio Doppler

A assimetria entre a Terra e a nave espacial é manifestada neste diagrama pelo fato de que mais imagens com desvio para o azul (envelhecimento rápido) são recebidas pela nave. Dito de outra forma, a nave espacial vê a imagem mudar de um desvio para o vermelho (envelhecimento mais lento da imagem) para um desvio para o azul (envelhecimento mais rápido da imagem) no ponto médio de sua viagem (na virada, 3 anos após a partida).); a Terra vê a imagem da nave mudar do desvio para o vermelho para o desvio para o azul após 9 anos (quase no final do período em que a nave está ausente). Na próxima seção, veremos outra assimetria nas imagens: o gêmeo da Terra vê a nave gêmea envelhecer na mesma proporção nas imagens deslocadas para vermelho e azul; a nave gêmea vê a idade gêmea da Terra em quantidades diferentes nas imagens deslocadas para vermelho e azul.

Cálculo do tempo decorrido a partir do diagrama Doppler

O gêmeo na nave vê imagens de baixa frequência (vermelhas) por 3 anos. Durante esse tempo, ele veria o gêmeo da Terra na imagem envelhecer em 3/3 = 1 ano. Ele então vê imagens de alta frequência (azuis) durante a viagem de volta de 3 anos. Durante esse tempo, ele veria o gêmeo da Terra na imagem envelhecer 3 × 3 = 9 anos. Quando a viagem terminar, a imagem do gêmeo da Terra envelhecerá em 1 + 9 = 10 anos.

A nave gêmea vê 9 anos de imagens lentas (vermelhas) da nave gêmea, durante os quais a nave gêmea envelhece (na imagem) em 9/3 = 3 anos. Ele então vê imagens rápidas (azuis) pelo 1 ano restante até o retorno do navio. Nas imagens rápidas, a nave gêmea envelhece 1 × 3 = 3 anos. O envelhecimento total da nave gêmea nas imagens recebidas pela Terra é 3 + 3 = 6 anos, então a nave gêmea retorna mais jovem (6 anos em oposição aos 10 anos na Terra).

A distinção entre o que veem e o que calculam

Para evitar confusão, observe a distinção entre o que cada gêmeo vê e o que cada um calcularia. Cada um vê uma imagem de seu gêmeo que sabe ter origem em um momento anterior e que sabe ser desvio Doppler. Ele não considera o tempo decorrido na imagem como a idade de seu irmão gêmeo agora.

• Se ele quer calcular quando seu gêmeo foi a idade mostrada na imagem (Ou seja. que idade ele mesmo era então), ele tem que determinar o quão longe seu gêmeo era quando o sinal foi emitido - em outras palavras, ele tem que considerar a simultaneidade para um evento distante.
• Se ele quer calcular quão rápido seu gêmeo estava envelhecendo quando a imagem foi transmitida, ele se ajusta para a mudança Doppler. Por exemplo, quando ele recebe imagens de alta frequência (mostrando seu envelhecimento gêmeo rapidamente) com frequência fReS)(1+v/c)/(1- Sim. - Sim. v/c){displaystyle scriptstyle {f_{mathrm {rest} }{sqrt {left ({1+v/c}right)/left({1-v/c}right)}}}}, ele não conclui que o gêmeo estava envelhecendo que rapidamente quando a imagem foi gerada, mais do que ele conclui que a sirene de uma ambulância está cometendo a frequência que ele ouve. Ele sabe que o efeito Doppler aumentou a frequência da imagem pelo fator 1 / (1 − v/c). Portanto, ele calcula que seu gêmeo estava envelhecendo à taxa de

fReS)(1+v/c)/(1- Sim. - Sim. v/c)× × (1- Sim. - Sim. v/c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =fReS)1- Sim. - Sim. v2/c2)) ε ε fReS)- Não. ({1+v/c}right)/left({1-v/c}right)}}times left(1-v/cright)=f_{mathrm {rest} }{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}equiv epsilon f_{mathrm {rest} }}

quando a imagem foi emitida. Um cálculo semelhante revela que seu gêmeo estava envelhecendo com a mesma taxa reduzida de εf_descanso em todas as imagens de baixa frequência.

Simultaneidade no cálculo do desvio Doppler

Pode ser difícil ver onde a simultaneidade entrou no cálculo do desvio Doppler e, de fato, o cálculo é frequentemente preferido porque não é necessário se preocupar com a simultaneidade. Como visto acima, a nave gêmea pode converter sua taxa de deslocamento Doppler recebida em uma taxa mais lenta do relógio do relógio distante para imagens vermelhas e azuis. Se ele ignorar a simultaneidade, poderá dizer que seu gêmeo envelheceu de forma reduzida ao longo da viagem e, portanto, deveria ser mais jovem do que ele. Ele está agora de volta à estaca zero e tem de levar em conta a mudança na sua noção de simultaneidade na reviravolta. A taxa que ele pode calcular para a imagem (corrigida pelo efeito Doppler) é a taxa do relógio do gêmeo da Terra no momento em que foi enviada, e não no momento em que foi recebida. Uma vez que recebe um número desigual de imagens deslocadas para o vermelho e para o azul, ele deve perceber que as emissões deslocadas para o vermelho e o azul não foram emitidas durante períodos de tempo iguais para o gémeo da Terra e, portanto, deve ter em conta a simultaneidade à distância.

Ponto de vista do gêmeo viajante

Durante a volta, o gêmeo viajante está em um referencial acelerado. De acordo com o princípio da equivalência, o gêmeo viajante pode analisar a fase de reviravolta como se o gêmeo que fica em casa estivesse caindo livremente em um campo gravitacional e como se o gêmeo viajante estivesse estacionário. Um artigo de 1918 de Einstein apresenta um esboço conceitual da ideia. Do ponto de vista do viajante, um cálculo para cada trecho separado, ignorando a reviravolta, leva a um resultado em que os relógios da Terra envelhecem menos que o viajante. Por exemplo, se os relógios da Terra envelhecerem 1 dia a menos em cada perna, o atraso dos relógios da Terra será de 2 dias. A descrição física do que acontece na parada deve produzir um efeito contrário do dobro dessa quantidade: 4 dias' avanço dos relógios da Terra. Então o relógio do viajante terminará com um atraso líquido de 2 dias nos relógios da Terra, de acordo com os cálculos feitos no quadro do gêmeo que fica em casa.

O mecanismo para o avanço do relógio do gêmeo que fica em casa é a dilatação gravitacional do tempo. Quando um observador descobre que objetos em movimento inercial estão sendo acelerados em relação a si mesmos, esses objetos estão em um campo gravitacional no que diz respeito à relatividade. Para o gêmeo viajante na virada, esse campo gravitacional preenche o universo. Em uma aproximação de campo fraca, os relógios funcionam a uma taxa de t' = t (1 + Φ / c²) onde Φ é a diferença no potencial gravitacional. Neste caso, Φ = gh onde g é a aceleração do observador viajante durante retorno e h é a distância até o gêmeo que fica em casa. O foguete está disparando em direção ao gêmeo que fica em casa, colocando-o assim em um potencial gravitacional mais alto. Devido à grande distância entre os gêmeos, os relógios dos gêmeos que ficam em casa parecerão acelerados o suficiente para compensar a diferença nos tempos adequados vividos pelos gêmeos. Não é por acaso que esta aceleração é suficiente para explicar a mudança de simultaneidade descrita acima. A solução da relatividade geral para um campo gravitacional homogêneo estático e a solução da relatividade especial para aceleração finita produzem resultados idênticos.

Outros cálculos foram feitos para o gêmeo viajante (ou para qualquer observador que às vezes acelera), que não envolvem o princípio da equivalência e que não envolvem quaisquer campos gravitacionais. Tais cálculos baseiam-se apenas na teoria especial, e não na teoria geral, da relatividade. Uma abordagem calcula superfícies de simultaneidade considerando pulsos de luz, de acordo com a ideia de cálculo k de Hermann Bondi. Uma segunda abordagem calcula uma integral simples, mas tecnicamente complicada, para determinar como o gêmeo viajante mede o tempo decorrido no relógio que fica em casa. Um esboço desta segunda abordagem é apresentado em uma seção separada abaixo.

Did you mean:

Difference in elapsed time as a result of differences in twins#39; spacetime paths

O parágrafo a seguir mostra várias coisas:

• como empregar uma abordagem matemática precisa no cálculo das diferenças no tempo decorrido
• como provar exatamente a dependência do tempo decorrido nos diferentes caminhos tomados pelo espaço-tempo pelos gêmeos
• como quantificar as diferenças no tempo decorrido
• como calcular o tempo adequado como uma função (integral) do tempo de coordenadas

Deixe o relógio K ser associado ao 'gêmeo fique em casa'. Seja o relógio K' associado ao foguete que faz a viagem. No evento de partida, ambos os relógios são ajustados para 0.

Fase 1: Foguete (com relógio) KK ') embarca com aceleração adequada constante um durante um tempo T_um como medida pelo relógio KK até atingir alguma velocidade V.

Fase 2: Rocket mantém o litoral à velocidade V durante algum tempo T_c de acordo com o relógio KK.

Fase 3: Rocket dispara seus motores na direção oposta de KK durante um tempo T_um de acordo com o relógio KK até que esteja em repouso com respeito ao relógio KK. A aceleração adequada constante tem o valor −um, em outras palavras, o foguete é desacelerando.

Fase 4: Rocket continua disparando seus motores na direção oposta de KK, durante o mesmo tempo T_um de acordo com o relógio KK, até KK ' recupera a mesma velocidade V com respeito a KK, mas agora em direção KK (com velocidade −V).

Fase 5: Rocket mantém a costa em direção KK em velocidade V durante o mesmo tempo T_c de acordo com o relógio KK.

Fase 6: Rocket novamente dispara seus motores na direção de KK, então desacelera com uma aceleração adequada constante um durante um tempo T_um, ainda de acordo com o relógio KKAté os dois relógios se reunirem.

Sabendo que o relógio K permanece inercial (estacionário), o tempo próprio total acumulado Δτ do relógio K' será dado pela função integral do tempo coordenado Δt

? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 1- Sim. - Sim. (v())/c)2D)Não. Delta tau =int {sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}} dt }

onde v(t) é a velocidade coordenada do relógio K' em função de t de acordo com o relógio K e, por ex. durante a fase 1, dada por

v())= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um)1+(um)c)2.{displaystyle v(t)={frac {at}{sqrt {1+left({frac {at}{c}}right)^{2}}}}}

Esta integral pode ser calculada para as 6 fases:

Fase 1 :c/umNão!(umTum/c){displaystyle quad c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c),}

Fase 2 :Tc1- Sim. - Sim. V2/c2(em inglês) T_{c} {1-V^{2}/c^{2}}

Fase 3 :c/umNão!(umTum/c){displaystyle quad c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c),}

Fase 4 :c/umNão!(umTum/c){displaystyle quad c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c),}

Fase 5 :Tc1- Sim. - Sim. V2/c2(em inglês) T_{c} {1-V^{2}/c^{2}}

Fase 6 :c/umNão!(umTum/c){displaystyle quad c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c),}

onde a é a aceleração própria, sentida pelo relógio K' durante a(s) fase(s) de aceleração e onde as seguintes relações são válidas entre V, a e T_a:

V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umTum/1+(umTum/c)2Não. V=a T_{a}/{sqrt {1+(a T_{a}/c)^{2}}

umTum= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =V/1- Sim. - Sim. V2/c2{displaystyle a T_{a}=V/{sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}

Did you mean:

So the traveling clock K ' will show an elapsed time of

? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Tc1- Sim. - Sim. V2/c2+4c/umNão!(umTum/c)Não. Delta tau = 2T_{c}{sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c)}

que pode ser expresso como

? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Tc/1+(umTum/c)2+4c/umNão!(umTum/c)Não. Delta tau =2T_{c}/{sqrt {1+(a T_{a}/c)^{2}}}+4c/a {text{arsinh}}(a T_{a}/c)}

enquanto o relógio estacionário K mostra um tempo decorrido de

? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Tc+4Tum{displaystyle Delta t=2T_{c}+4T_{a},}

Did you mean:

which is, for every possible value of a, T_a, T_c and V, larger than the reading of clock K ':

Delta tau ,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">? ? )>? ? ? ? {displaystyle Delta t>Delta tau ,}Delta tau ," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7aa6cd1e81cdb027bbd1bdd8406835f6d52753f" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.399ex; height:2.176ex;"/>

Diferença nos tempos decorridos: como calculá-la a partir do navio

Na fórmula padrão do tempo adequado

? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 0? ? )1- Sim. - Sim. (v())c)2D),Não. Delta tau =int _{0}^{Delta t}{sqrt {1-left({frac {v(t)}{c}}right)^{2}}} dt, }

Δτ representa o tempo do observador não inercial (viajante) K' em função do tempo decorrido Δt do observador inercial (que fica em casa) K para quem o observador K' tem velocidade v(t) no momento t.

Para calcular o tempo decorrido Δt do observador inercial K em função do tempo decorrido Δτ do observador não inercial observador K', onde apenas quantidades medidas por K' são acessíveis, a seguinte fórmula pode ser usada:

? ? )2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.∫ ∫ 0? ? ? ? e∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ]Não.∫ ∫ 0? ? ? ? e- Sim. - Sim. ∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ],{displaystyle Delta t^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},d{bar {tau }}right],left[int _{0}^{ Delta tau }e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},d{bar {tau }}right], }

onde a(τ) é a aceleração própria do observador não inercial K' medida por ele mesmo (por exemplo, com um acelerômetro) durante todo o ida e volta. A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser usada para mostrar que a desigualdade Δt > Δτ segue da expressão anterior:

left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau '),dtau '},d{bar {tau }}right]^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }d{bar {tau }}right]^{2}=Delta tau ^{2}.end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">? ? )2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.∫ ∫ 0? ? ? ? e∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ]Não.∫ ∫ 0? ? ? ? e- Sim. - Sim. ∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ]>Não.∫ ∫ 0? ? ? ? e∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?e- Sim. - Sim. ∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ]2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.∫ ∫ 0? ? ? ? D? ? ? ? ]2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? ? ? 2.{displaystyle {begin{aligned}Delta t^{2}&=left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},d{bar {tau }}right],left[int _{0}^{Delta tau }e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},d{bar {tau }}right]&>left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau '),dtau '},d{bar {tau }}right]^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }d{bar {tau }}right]^{2}= Delta tau ^{2}.end{aligned}}}left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau '),dtau '},d{bar {tau }}right]^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }d{bar {tau }}right]^{2}=Delta tau ^{2}.end{aligned}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35d533392d395fd71134ddd34beb1ef7449dea1" style="vertical-align: -7.171ex; width:64.102ex; height:15.509ex;"/>

Usando a função delta de Dirac para modelar a fase de aceleração infinita no caso padrão do viajante com velocidade constante v durante a viagem de ida e volta, a fórmula produz o resultado conhecido:

? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =11- Sim. - Sim. v2c2? ? ? ? .Não. Delta t={frac {1}{sqrt {1-{tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}} Delta tau. }

No caso em que o observador acelerado K' se afasta de K com velocidade inicial zero, a equação geral se reduz à forma mais simples:

? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 0? ? ? ? e± ± ∫ ∫ 0? ? ? ? um(? ? ?)D? ? ?D? ? ? ? ,{displaystyle Delta t=int _{0}^{ Delta tau }e^{pm int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},d{bar {tau }}, }

que, na versão suave do paradoxo dos gêmeos onde o viajante tem fases de aceleração próprias constantes, dadas sucessivamente por a, −a, −a, a, resulta em

? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4umPecar!⁡ ⁡ (um4? ? ? ? )Não. Delta t={tfrac {4}{a}}sinh({tfrac) (a}{4}}Delta tau) }

onde a convenção c = 1 é usada, de acordo com a expressão acima com fases de aceleração T_a = Δt/4 e fases inerciais (inércia) T_c = 0.

Uma versão rotativa

Os gêmeos Bob e Alice habitam uma estação espacial em órbita circular em torno de um corpo massivo no espaço. Bob se veste e sai da estação. Enquanto Alice permanece dentro da estação, continuando a orbitar com ela como antes, Bob usa um sistema de propulsão de foguete para parar de orbitar e pairar onde estava. Quando a estação completa uma órbita e retorna para Bob, ele se junta a Alice. Alice agora é mais nova que Bob. Além da aceleração rotacional, Bob deve desacelerar para ficar estacionário e depois acelerar novamente para corresponder à velocidade orbital da estação espacial.

Nenhum paradoxo dos gêmeos em um quadro de referência absoluto

A conclusão de Einstein de uma diferença real nos tempos registrados (ou envelhecimento) entre as partes reunidas fez com que Paul Langevin postulasse um quadro de referência absoluto real, embora experimentalmente indetectável:

Em 1911, Langevin escreveu: “Uma tradução uniforme no éter não tem sentido experimental. Mas por causa disso não se deve concluir, como às vezes aconteceu prematuramente, que o conceito de éter deva ser abandonado, que o éter é inexistente e inacessível à experimentação. Apenas uma velocidade uniforme em relação a ela não pode ser detectada, mas qualquer mudança de velocidade tem um sentido absoluto."

Em 1913, os Últimos Ensaios póstumos de Henri Poincaré foram publicados e lá ele reafirmou sua posição: “Hoje alguns físicos querem adotar uma nova convenção. Não é que sejam obrigados a fazê-lo; consideram esta nova convenção mais conveniente; isso é tudo. E aqueles que não têm esta opinião podem legitimamente manter a antiga.”

Na relatividade de Poincaré e Hendrik Lorentz, que assume um quadro de referência absoluto (embora experimentalmente indiscernível), nenhum paradoxo dos gêmeos surge devido ao fato de que a desaceleração do relógio (juntamente com a contração do comprimento e a velocidade) é considerada uma realidade, daí o diferencial de tempo real entre os relógios reunidos.

Essa interpretação da relatividade, que John A. Wheeler chama de “teoria B do éter (contração do comprimento mais contração do tempo)”, não ganhou tanta força quanto a de Einstein, que simplesmente desconsiderou qualquer realidade mais profunda por trás das medições simétricas em referenciais inerciais. Não existe nenhum teste físico que distinga uma interpretação da outra.

Em 2005, Robert B. Laughlin (Prêmio Nobel de Física, Universidade de Stanford), escreveu sobre a natureza do espaço: “É irônico que o trabalho mais criativo de Einstein, a teoria geral da relatividade, deva ser resumem-se a conceituar o espaço como um meio quando sua premissa original [na relatividade especial] era que tal meio não existia... A palavra 'éter' tem conotações extremamente negativas na física teórica devido à sua associação anterior com a oposição à relatividade. Isto é lamentável porque, despojado destas conotações, capta muito bem a forma como a maioria dos físicos realmente pensa sobre o vácuo.... Na verdade, a relatividade não diz nada sobre a existência ou inexistência da matéria que permeia o universo, apenas que qualquer matéria deste tipo deve ter características relativísticas. simetria (ou seja, conforme medido)."

Em Relatividade Especial (1968), A. P. French escreveu: “Observe, porém, que estamos apelando para a realidade da aceleração de A e para a observabilidade do forças inerciais associadas a ele. Existiriam efeitos como o paradoxo dos gêmeos se a estrutura de estrelas fixas e galáxias distantes não existisse? A maioria dos físicos diria não. Nossa definição final de um referencial inercial pode de fato ser que se trata de um referencial com aceleração zero em relação à matéria do universo como um todo.

Fontes primárias

Fontes secundárias