Parábola

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Curva de avião: seção conic

Parte de um parabola (azul), com várias características (outras cores). A parabola completa não tem endpoints. Nesta orientação, estende-se infinitamente à esquerda, direita e para cima.

A parabola é um membro da família de seções cônicas.

Na matemática, uma parábola é uma curva plana que é simétrica ao espelho e tem aproximadamente a forma de U. Ele se encaixa em várias descrições matemáticas superficialmente diferentes, que podem ser provadas para definir exatamente as mesmas curvas.

Uma descrição de uma parábola envolve um ponto (o foco) e uma reta (a diretriz). O foco não está na diretriz. A parábola é o lugar geométrico dos pontos desse plano que são equidistantes da diretriz e do foco. Outra descrição de uma parábola é como uma seção cônica, criada a partir da interseção de uma superfície cônica circular reta e um plano paralelo a outro plano que é tangente à superfície cônica.

A reta perpendicular à diretriz e passando pelo foco (isto é, a reta que divide a parábola ao meio) é chamada de "eixo de simetria". O ponto onde a parábola intercepta seu eixo de simetria é chamado de "vértice" e é o ponto onde a parábola é mais acentuadamente curvada. A distância entre o vértice e o foco, medida ao longo do eixo de simetria, é a "distância focal". O "latus rectum" é a corda da parábola que é paralela à diretriz e passa pelo foco. As parábolas podem abrir para cima, para baixo, para a esquerda, para a direita ou em alguma outra direção arbitrária. Qualquer parábola pode ser reposicionada e redimensionada para caber exatamente em qualquer outra parábola - ou seja, todas as parábolas são geometricamente semelhantes.

As parábolas têm a propriedade de que, se forem feitas de material que reflete a luz, então a luz que viaja paralelamente ao eixo de simetria de uma parábola e atinge seu lado côncavo é refletida em seu foco, independentemente de onde na parábola o reflexão ocorre. Por outro lado, a luz que se origina de uma fonte pontual no foco é refletida em um feixe paralelo ("colimado"), deixando a parábola paralela ao eixo de simetria. Os mesmos efeitos ocorrem com o som e outras ondas. Esta propriedade reflexiva é a base de muitos usos práticos de parábolas.

A parábola tem muitas aplicações importantes, desde uma antena parabólica ou microfone parabólico até refletores de faróis de automóveis e o projeto de mísseis balísticos. É freqüentemente usado em física, engenharia e muitas outras áreas.

História

bússola parabólica projetada por Leonardo da Vinci

O trabalho mais antigo conhecido sobre seções cônicas foi feito por Menaechmus no século 4 aC. Ele descobriu uma maneira de resolver o problema de dobrar o cubo usando parábolas. (A solução, no entanto, não atende aos requisitos da construção com régua e compasso.) A área delimitada por uma parábola e um segmento de reta, o chamado "segmento da parábola", foi calculada por Arquimedes por o método de exaustão no século III aC, em sua A Quadratura da Parábola. O nome "parábola" deve-se a Apolônio, que descobriu muitas propriedades das seções cônicas. Significa "aplicação", referindo-se a "aplicação de áreas" conceito, que tem ligação com essa curva, como provou Apolônio. A propriedade foco-diretriz da parábola e outras seções cônicas é devida a Pappus.

Galileu mostrou que a trajetória de um projétil segue uma parábola, consequência da aceleração uniforme da gravidade.

A ideia de que um refletor parabólico poderia produzir uma imagem já era bem conhecida antes da invenção do telescópio refletor. Os projetos foram propostos no início e meados do século XVII por muitos matemáticos, incluindo René Descartes, Marin Mersenne e James Gregory. Quando Isaac Newton construiu o primeiro telescópio refletor em 1668, ele deixou de usar um espelho parabólico devido à dificuldade de fabricação, optando por um espelho esférico. Espelhos parabólicos são usados na maioria dos telescópios refletores modernos e em antenas parabólicas e receptores de radar.

Definição como lugar geométrico dos pontos

Uma parábola pode ser definida geometricamente como um conjunto de pontos (local dos pontos) no plano euclidiano:

Um parabola é um conjunto de pontos, tal que para qualquer ponto $P$ do conjunto da distância ${displaystyle |PF|}$ a um ponto fixo $F$ , o foco, é igual à distância ${displaystyle |Pl|}$ para uma linha fixa $l$ , o Direto:

{displaystyle {P:|PF|=|Pl|}.}

O ponto médio $V$ do perpendicular do foco $F$ para o directrix $l$ é chamado de vértice, e a linha $FV$ é o eixo da simetria da parabola.

Em um sistema de coordenadas cartesianas

Eixo de simetria paralelo ao eixo y

Parabola com eixo paralelo a

Sim.

-axis.

p

é o semi-latus rectum

Se se apresentar coordenadas cartesianas, tal que $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0,f),f>0,{displaystyle F=(0,f), f>0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f105402df7669fac64b626d8259a90d9dce4c4b" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.924ex; height:2.843ex;"/>$ e o directrix tem a equação ${displaystyle y=-f}$ , um obtém para um ponto ${displaystyle P=(x,y)}$ a partir de ${displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$ a equação ${displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$ . Vendendo para $y$ produção

{displaystyle y={frac {1}{4f}}x^{2}.}

Esta parábola é em forma de U (abertura para o topo).

O acorde horizontal através do foco (ver imagem na seção de abertura) é chamado de latus rectum; uma metade é o semi-latus rectum. O latus rectum é paralelo ao directrix. O reto semi-latus é designado pela letra $p$ . Da imagem que se obtém

{displaystyle p=2f.}

O recto de latus é definido de forma semelhante para os outros dois conics – a elipse e a hiperbola. O latus rectum é a linha traçada através de um foco de uma seção conic paralela ao directrix e terminou ambas as formas pela curva. Para qualquer caso, $p$ é o raio do círculo oscilante no vértice. Para uma parabola, o semi-latus rectum, $p$ , é a distância do foco do directrix. Usando o parâmetro $p$ , a equação da parabola pode ser reescrita como

{displaystyle x^{2}=2py.}

Mais geralmente, se o vértice é ${displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ , o foco ${displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$ , e o directrix ${displaystyle y=v_{2}-f}$ , um obtém a equação

{displaystyle y={frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={frac {1}{4f}}x^{2}-{frac {v_{1}}{2f}}x+{frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}

Observações

No caso de $<math alttext="{displaystyle ff<0Não. <img alt="{displaystyle f$ a parabola tem uma abertura para baixo.
A presunção de que eixo é paralelo ao eixo y permite considerar um parabola como o gráfico de um polinômio de grau 2, e inversamente: o gráfico de um polinômio arbitrário de grau 2 é um parabola (veja próxima seção).
Se uma troca $x$ e $y$ , obtém-se equações da forma ${displaystyle y^{2}=2px}$ . Estes parabolas abrem para a esquerda (se $<math alttext="{displaystyle pp<0Não. <img alt="{displaystyle p$ ) ou à direita (se) $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dffb51e20581d50c3012634fd9f7b059a68c1c4" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;"/>$ ).

Posição geral

Parabola: posição geral

Se o foco é ${displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ , e o directrix $ax+by+c=0$ , então um obtém a equação

{displaystyle {frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}

(o lado esquerdo da equação usa a forma normal de Hesse de uma linha para calcular a distância ${displaystyle |Pl|}$ ).

Para uma equação paramétrica de uma parábola em posição geral, consulte § Como a imagem afim da parábola unitária.

A equação implícita de uma parábola é definida por um polinômio irredutível de grau dois:

{displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}

tal que ${displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ ou, equivalente, tal que ${displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ é o quadrado de um polinômio linear.

Como gráfico de uma função

Parabolas

{displaystyle y=ax^{2}}

A seção anterior mostra que qualquer parábola com a origem como vértice e o eixo y como eixo de simetria pode ser considerada como o gráfico de uma função

{displaystyle f(x)=ax^{2}{text{ with }}aneq 0.}

Para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">um>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ os parabolas estão abrindo para o topo, e para $<math alttext="{displaystyle aum<0Não. <img alt="{displaystyle a$ estão abrindo para o fundo (ver imagem). Da seção acima obtém-se:

O foco o ${displaystyle left(0,{frac {1}{4a}}right)}$ ,
o distância focal ${displaystyle {frac {1}{4a}}}$ , o semi-latus rectum o ${displaystyle p={frac {1}{2a}}}$ ,
o vértice o $(0,0)$ ,
o Direto tem a equação ${displaystyle y=-{frac {1}{4a}}}$ ,
o tangente ponto ${displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ tem a equação ${displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$ .

Para $a=1$ o parabola é o parabola de unidade com equação $y=x^{2}$ . Seu foco é ${displaystyle left(0,{tfrac {1}{4}}right)}$ , o semi-latus rectum $p={tfrac {1}{2}}$ , e o directrix tem a equação ${displaystyle y=-{tfrac {1}{4}}}$ .

A função geral do grau 2 é

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c{text{ with }}a,b,cin mathbb {R} aneq 0}

Completar os rendimentos quadrados

{displaystyle f(x)=aleft(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}},}

que é a equação de uma parábola com

o eixo ${displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}$ (paralela ao Sim. eixo),
o distância focal ${displaystyle {frac {1}{4a}}}$ , o semi-latus rectum ${displaystyle p={frac {1}{2a}}}$ ,
o vértice ${displaystyle V=left(-{frac {b}{2a}},{frac {4ac-b^{2}}{4a}}right)}$ ,
o foco ${displaystyle F=left(-{frac {b}{2a}},{frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}right)}$ ,
o Direto ${displaystyle y={frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$ ,
o ponto do parabola intersetando o Sim. eixo tem coordenadas ${displaystyle (0,c)}$ ,
o tangente em um ponto sobre o Sim. eixo tem a equação ${displaystyle y=bx+c}$ .

Semelhança com a parábola unitária

Quando o parabola

{displaystyle color {blue}{y=2x^{2}}}

é uniformemente dimensionado pelo fator 2, o resultado é o parabola

{displaystyle color {red}{y=x^{2}}}

Dois objetos no plano euclidiano são semelhantes se um pode ser transformado no outro por uma semelhança, ou seja, uma composição arbitrária de movimentos rígidos (translações e rotações) e escalas uniformes.

Um parabola ${mathcal {P}}$ com vértice ${displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ pode ser transformado pela tradução ${displaystyle (x,y)to (x-v_{1},y-v_{2})}$ a um com a origem como vértice. Uma rotação adequada em torno da origem pode então transformar o parabola a um que tem o $Sim.$ eixo como eixo da simetria. Daí a parabola ${mathcal {P}}$ pode ser transformado por um movimento rígido para uma parabola com uma equação ${displaystyle y=ax^{2}, aneq 0}$ . Tal parabola pode então ser transformado pelo couro cabeludo uniforme ${displaystyle (x,y)to (ax,ay)}$ na unidade parabola com equação $y=x^{2}$ . Assim, qualquer parabola pode ser mapeado para a unidade parabola por uma semelhança.

Uma abordagem sintética, usando triângulos semelhantes, também pode ser usada para estabelecer esse resultado.

O resultado geral é que duas seções cônicas (necessariamente do mesmo tipo) são semelhantes se e somente se tiverem a mesma excentricidade. Portanto, apenas os círculos (todos com excentricidade 0) compartilham essa propriedade com as parábolas (todos com excentricidade 1), enquanto as elipses e hipérboles gerais não.

Há outras transformações afinas simples que mapeiam a parabola ${displaystyle y=ax^{2}}$ na parabola da unidade, como ${displaystyle (x,y)to left(x,{tfrac {y}{a}}right)}$ . Mas este mapeamento não é uma semelhança, e só mostra que todos os parabolas são afinely equivalente (veja § Como a imagem affine da parabola unitária).

Como seção cônica especial

Lápis de conics com um vértice comum

O lápis de seções cônicas com o x eixo como eixo de simetria, um vértice na origem (0, 0) e o mesmo reto semi-latus $p$ pode ser representado pela equação

{displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},quad egeq 0,}

com $e$ a excentricidade.

Para $e=0$ o conic é um círculo círculo (círculo de oscilação do lápis),
para $<math alttext="{displaystyle 0<e0<e<1Não. <img alt="0<e$ um Elipse,
para $e=1$ o Parabola com equação ${displaystyle y^{2}=2px,}$
para $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e>1- Sim. 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605ca17e3915b659685c0326fbbcbfb522f11b3" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ um hiperbola (ver imagem).

Em coordenadas polares

Lápis de conics com um foco comum

Se $p > 0$ , o parabola com equação ${displaystyle y^{2}=2px}$ (abertura à direita) tem a representação polar

{displaystyle r=2p{frac {cos varphi }{sin ^{2}varphi }},quad varphi in left[-{tfrac {pi }{2}},{tfrac {pi }{2}}right]setminus {0}}

(

{displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=rcos varphi }

Seu vértice é ${displaystyle V=(0,0)}$ , e seu foco é ${displaystyle F=left({tfrac {p}{2}},0right)}$ .

Se alguém mudar a origem para o foco, isto é, ${displaystyle F=(0,0)}$ , um obtém a equação

{displaystyle r={frac {p}{1-cos varphi }},quad varphi neq 2pi k.}

Observação 1: A inversão dessa forma polar mostra que uma parábola é o inverso de um cardióide.

Observação 2: A segunda forma polar é um caso especial de um lápis de conics com foco ${displaystyle F=(0,0)}$ (ver imagem):

{displaystyle r={frac {p}{1-ecos varphi }}}

(

e

é a excentricidade).

Seção cônica e forma quadrática

Diagrama, descrição e definições

Cone com seções transversais

O diagrama representa um cone com seu eixo AV. O ponto A é o seu ápice. Uma seção transversal inclinada do cone, mostrada em rosa, é inclinada a partir do eixo pelo mesmo ângulo $θ$ , que o lado do cone. De acordo com a definição de uma parábola como uma seção cônica, o limite dessa EPD de seção transversal rosa é uma parábola.

Uma seção transversal perpendicular ao eixo do cone passa pelo vértice P da parábola. Essa seção transversal é circular, mas parece elíptica quando vista obliquamente, conforme mostrado no diagrama. Seu centro é V e PK é um diâmetro. Chamaremos seu raio de $r$ .

Outra seção circular perpendicular ao eixo do cone está mais distante do ápice A do que a que acabamos de descrever. Possui um acorde DE, que une os pontos onde a parábola intercepta o círculo. Outro acorde BC é a bissetriz perpendicular de DE e é consequentemente um diâmetro do círculo. Essas duas cordas e o eixo de simetria da parábola PM se cruzam no ponto M.

Todos os pontos rotulados, exceto D e E, são coplanares. Eles estão no plano de simetria de toda a figura. Isso inclui o ponto F, que não é mencionado acima. É definido e discutido abaixo, em § Posição do foco.

Vamos chamar o comprimento de DM e de EM $x$ e o comprimento de PM $y$ .

Derivação da equação quadrática

Os comprimentos de BM e CM são:

{displaystyle {overline {mathrm {BM} }}=2ysin theta }

(triângulo BPM é isosceles, porque

{displaystyle {overline {PM}}parallel {overline {AC}}implies angle PMB=angle ACB=angle ABC}

{displaystyle {overline {mathrm {CM} }}=2r}

(PMCK é um paralelogramo).

Usando o teorema dos acordes de interseção nos acordes BC e DE, nós pegar

{displaystyle {overline {mathrm {BM} }}cdot {overline {mathrm {CM} }}={overline {mathrm {DM} }}cdot {overline {mathrm {EM} }}.}

Substituindo:

{displaystyle 4rysin theta =x^{2}.}

Reorganizando:

{displaystyle y={frac {x^{2}}{4rsin theta }}.}

Para qualquer cone e parábola, $r$ e $θ$ são constantes, mas $x$ e $y$ são variáveis que dependem da altura arbitrária na qual o BECD da seção transversal horizontal é feito. Esta última equação mostra a relação entre essas variáveis. Eles podem ser interpretados como coordenadas cartesianas dos pontos D e E, em um sistema no plano rosa com P como origem. Como $x$ é elevado ao quadrado na equação, o fato de D e E estarem em lados opostos do $y$ não é importante. Se a seção transversal horizontal se move para cima ou para baixo, em direção ao ápice do cone ou para longe dele, D e E se movem ao longo da parábola, sempre mantendo a relação entre $x$ e $y$ mostrados na equação. A curva parabólica é, portanto, o lugar geométrico dos pontos onde a equação é satisfeita, o que a torna um gráfico cartesiano da função quadrática na equação.

Distância focal

É provado em uma seção anterior que se uma parábola tem seu vértice na origem, e se abre no positivo $y$ , então sua equação é $y = x 2 / 4 f$ , onde $f$ é sua distância focal. A comparação com a última equação acima mostra que a distância focal da parábola no cone é $r sin θ$ .

Posição do foco

No diagrama acima, o ponto V é o pé da perpendicular do vértice da parábola ao eixo do cone. O ponto F é o pé da perpendicular do ponto V ao plano da parábola. Por simetria, F está no eixo de simetria da parábola. O ângulo VPF é complementar ao $θ$ , e o ângulo PVF é complementar ao ângulo VPF, portanto o ângulo PVF é $θ$ . Como o comprimento de PV é $r$ , a distância de F do vértice da parábola é $r sen θ$ . É mostrado acima que esta distância é igual à distância focal da parábola, que é a distância do vértice ao foco. O foco e o ponto F estão, portanto, igualmente distantes do vértice, ao longo da mesma linha, o que implica que são o mesmo ponto. Portanto, o ponto F, definido acima, é o foco da parábola.

Esta discussão começou com a definição de uma parábola como uma seção cônica, mas agora levou a uma descrição como um gráfico de uma função quadrática. Isso mostra que essas duas descrições são equivalentes. Ambos definem curvas exatamente da mesma forma.

Prova alternativa com esferas Dandelin

Parabola (vermelho): visão de projeção lateral e visão de projeção superior de um cone com uma esfera de Dandelin

Uma prova alternativa pode ser feita usando esferas Dandelin. Ele funciona sem cálculo e usa apenas considerações geométricas elementares (veja a derivação abaixo).

A interseção de um cone vertical por um avião $pi$ , cuja inclinação da vertical é a mesma que uma generatrix (a.k.a. linha de gerador, uma linha contendo o ápice e um ponto na superfície do cone) $m_{0}$ do cone, é uma parabola (curva vermelha no diagrama).

Esta generatriz $m_{0}$ é a única generatriz do cone que é paralela ao plano $pi$ . Caso contrário, se houver dois gêneros paralelos ao plano de interseção, a curva de interseção será um hiperbola (ou hiperbola degenerada, se os dois gêneros estiverem no plano de intersecção). Se não houver generatrix paralela ao plano de interseção, a curva de interseção será uma elipse ou um círculo (ou um ponto).

Deixe o avião $sigma$ ser o plano que contém o eixo vertical do cone e da linha $m_{0}$ . A inclinação do avião $pi$ da vertical é a mesma linha $m_{0}$ significa que, vendo do lado (isto é, o avião $pi$ é perpendicular ao plano $sigma$ ), ${displaystyle m_{0}parallel pi }$ .

A fim de provar a propriedade do directrix de um parabola (ver § Definição como um locus de pontos acima), um usa uma esfera de Dandelin $d$ , que é uma esfera que toca o cone ao longo de um círculo $c$ e avião $pi$ ponto $F$ . O avião que contém o círculo $c$ intersetos com avião $pi$ em linha $l$ . Há uma simetria de espelho no sistema que consiste em plano $pi$ , esfera de Dandelin $d$ e o cone (o plano da simetria é $sigma$ ).

Desde o avião que contém o círculo $c$ é perpendicular ao plano $sigma$ e ${displaystyle pi perp sigma }$ , sua linha de interseção $l$ deve também ser perpendicular ao plano $sigma$ . Desde a linha $m_{0}$ está no avião $sigma$ , ${displaystyle lperp m_{0}}$ .

Acontece que $F$ é o foco da parabola, e $l$ é o Direto da parabola.

Let $P$ be an arbitrary point of the intersection curve.
The generatrix of the cone containing $P$ intersects circle $c$ at point $A$ .
The line segments ${displaystyle {overline {PF}}}$ and ${displaystyle {overline {PA}}}$ are tangential to the sphere $d$ , and hence are of equal length.
Generatrix $m_{0}$ intersects the circle $c$ at point $D$ . The line segments ${displaystyle {overline {ZD}}}$ and ${displaystyle {overline {ZA}}}$ are tangential to the sphere $d$ , and hence are of equal length.
Let line $q$ be the line parallel to $m_{0}$ and passing through point $P$ . Since ${displaystyle m_{0}parallel pi }$ , and point $P$ is in plane $pi$ , line $q$ must be in plane $pi$ . Since ${displaystyle m_{0}perp l}$ , we know that ${displaystyle qperp l}$ as well.
Let point $B$ be the foot of the perpendicular from point $P$ to line $l$ , that is, ${displaystyle {overline {PB}}}$ is a segment of line $q$ , and hence ${displaystyle {overline {PB}}parallel {overline {ZD}}}$ .
From intercept theorem and ${displaystyle {overline {ZD}}={overline {ZA}}}$ we know that ${displaystyle {overline {PA}}={overline {PB}}}$ . Since ${displaystyle {overline {PA}}={overline {PF}}}$ , we know that ${displaystyle {overline {PF}}={overline {PB}}}$ , which means that the distance from $P$ to the focus $F$ is equal to the distance from $P$ to the directrix $l$ .

Prova da propriedade reflexiva

Propriedade reflexiva de um parabola

A propriedade reflexiva afirma que, se uma parábola pode refletir a luz, então a luz que entra viajando paralelamente ao eixo de simetria é refletida em direção ao foco. Isso é derivado da óptica geométrica, com base na suposição de que a luz viaja em raios.

Considere a parábola $y = x 2$ . Como todas as parábolas são semelhantes, este caso simples representa todos os outros.

Construção e definições

O ponto E é um ponto arbitrário na parábola. O foco é F, o vértice é A (a origem) e a linha FA é o eixo de simetria. A linha EC é paralela ao eixo de simetria e intercepta o $x$ eixo em D. O ponto B é o ponto médio do segmento de linha FC.

Deduções

O vértice A é equidistante do foco F e da diretriz. Como C está na diretriz, as coordenadas $y$ de F e C são iguais em valor absoluto e opostas em sinal. B é o ponto médio de FC. Sua coordenada $x$ é metade da coordenada D, ou seja, $x /2$ . A inclinação da linha BE é o quociente dos comprimentos de ED e BD, que é $x 2 / x /2 = 2 x$ . Mas $2 x$ também é a inclinação (primeira derivada) da parábola em E. Portanto, a linha BE é a tangente à parábola em E.

As distâncias EF e EC são iguais porque E está na parábola, F é o foco e C está na diretriz. Portanto, como B é o ponto médio de FC, os triângulos △FEB e △CEB são congruentes (três lados), o que implica que os ângulos marcados com $α$ são congruentes. (O ângulo acima de E é verticalmente oposto ao ângulo ∠BEC.) Isso significa que um raio de luz que entra na parábola e chega a E viajando paralelo ao eixo de simetria será refletido pela linha BE para que ele viaje ao longo da linha EF, conforme mostrado em vermelho no diagrama (assumindo que as linhas possam de alguma forma refletir a luz). Como BE é a tangente à parábola em E, a mesma reflexão será feita por um arco infinitesimal da parábola em E. Portanto, a luz que entra na parábola e chega a E viajando paralelamente ao eixo de simetria da parábola é refletida pela parábola em direção ao seu foco.

Esta conclusão sobre a luz refletida se aplica a todos os pontos da parábola, conforme mostrado no lado esquerdo do diagrama. Esta é a propriedade reflexiva.

Outras consequências

Existem outros teoremas que podem ser deduzidos simplesmente do argumento acima.

Propriedade da bisseção tangente

A prova acima e o diagrama que a acompanha mostram que a tangente BE divide o ângulo ∠FEC. Em outras palavras, a tangente à parábola em qualquer ponto divide ao meio o ângulo entre as linhas que unem o ponto ao foco e perpendicularmente à diretriz.

Interseção de uma tangente e perpendicular a partir do foco

Perpendicular do foco ao tangente

Como os triângulos △FBE e △CBE são congruentes, FB é perpendicular à tangente BE . Como B está no eixo $x$ , que é a tangente à parábola em seu vértice, segue-se que o ponto de interseção entre qualquer tangente a uma parábola e a perpendicular do foco a essa tangente está na linha que é tangente à parábola em seu vértice. Veja o diagrama animado e a curva do pedal.

Reflexão da luz atingindo o lado convexo

Se a luz viaja ao longo da linha CE, ela se move paralela ao eixo de simetria e atinge o lado convexo da parábola em E. É claro do diagrama acima que esta luz será refletida diretamente longe do foco, ao longo de uma extensão do segmento FE.

Provas alternativas

Parabola e tangente

As provas acima das propriedades de bisseção reflexiva e tangente usam uma linha de cálculo. Aqui uma prova geométrica é apresentada.

Neste diagrama, F é o foco da parábola, e T e U estão sobre sua diretriz. P é um ponto arbitrário na parábola. PT é perpendicular à diretriz, e a linha MP bissecciona o ângulo ∠FPT. Q é outro ponto na parábola, com QU perpendicular à diretriz. Sabemos que FP = PT e FQ = QU. Claramente, QT > QU, então QT > FQ. Todos os pontos na bissetriz MP são equidistantes de F e T, mas Q está mais próximo de F do que de T. Isso significa que Q está à esquerda de MP, ou seja, do mesmo lado que o foco. O mesmo seria verdade se Q estivesse localizado em qualquer outro lugar na parábola (exceto no ponto P), então a parábola inteira, exceto o ponto P, está no lado do foco de MP. Portanto, MP é a tangente à parábola em P. Como ela divide o ângulo ∠FPT ao meio, isso prova a propriedade da bisseção da tangente.

A lógica do último parágrafo pode ser aplicada para modificar a prova acima da propriedade reflexiva. Ele efetivamente prova que a linha BE é a tangente à parábola em E se os ângulos $α$ são iguais. A propriedade reflexiva segue como mostrado anteriormente.

Construção de pinos e cordas

Parabola: pin string construction

A definição de uma parábola por seu foco e diretriz pode ser usada para desenhá-la com a ajuda de alfinetes e cordas:

Escolha o foco $F$ e o Direto $l$ da parabola.
Pegue um triângulo de um conjunto quadrado e preparar um string com comprimento $|AB|$ (ver diagrama).
Pin uma extremidade da string no ponto $A$ do triângulo e o outro ao foco $F$ .
Posicione o triângulo tal que a segunda borda do ângulo direito é livre para slide ao longo do directrix.
Toma. caneta e segurar a corda apertada para o triângulo.
Ao mover o triângulo ao longo do directrix, a caneta desenhos um arco de um parabola, por causa de ${displaystyle |PF|=|PB|}$ (ver definição de parabola).

Propriedades relacionadas ao teorema de Pascal

Uma parabola pode ser considerada como a parte affine de um conic projectivo não degenerado com um ponto $Y_{infty }$ na linha de infinito $g_{infty }$ , que é o tangente em $Y_{infty }$ . As degenerações de 5, 4 e 3 pontos do teorema de Pascal são propriedades de um conic que lida com pelo menos um tangente. Se considerarmos este tangente como linha no infinito e seu ponto de contato como ponto de infinitude do Sim. eixo, obtém-se três declarações para uma parabola.

As seguintes propriedades de um parabola lidam apenas com termos Conecte-se, interseto, paralelo, que são invariantes de semelhanças. Então, é suficiente para provar qualquer propriedade para o parabola de unidade com equação $y=x^{2}$ .

Propriedade de 4 pontos

Propriedade de 4 pontos de um parabola

Qualquer parabola pode ser descrita em um sistema de coordenadas adequado por uma equação ${displaystyle y=ax^{2}}$ .

Vamos. ${displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2}), P_{3}=(x_{3},y_{3}), P_{4}=(x_{4},y_{4})}$ ser quatro pontos do parabola ${displaystyle y=ax^{2}}$ e $Q_{2}$ a interseção da linha secant ${displaystyle P_{1}P_{4}}$ com a linha ${displaystyle x=x_{2},}$ e deixar $Q_{1}$ ser a interseção da linha secant ${displaystyle P_{2}P_{3}}$ com a linha ${displaystyle x=x_{1}}$ (ver imagem). Então a linha secante ${displaystyle P_{3}P_{4}}$ é paralelo à linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ .

(As linhas

{displaystyle x=x_{1}}

{displaystyle x=x_{2}}

são paralelos ao eixo da parabola.)

Prova: cálculo direto para a parabola da unidade $y=x^{2}$ .

Aplicação: A propriedade de 4 pontos de um parabola pode ser usada para a construção do ponto $P_{4}$ , enquanto $P_{1},P_{2},P_{3}$ e $Q_{2}$ são dados.

Observação: a propriedade de 4 pontos de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 5 pontos do teorema de Pascal.

Propriedade de 3 pontos–1 tangente

Propriedade de 3 pontos–1-tangent

Vamos. ${displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ser três pontos do parabola com equação $y=ax^{2}$ e $Q_{2}$ a interseção da linha secant ${displaystyle P_{0}P_{1}}$ com a linha ${displaystyle x=x_{2}}$ e $Q_{1}$ a interseção da linha secant ${displaystyle P_{0}P_{2}}$ com a linha $x=x_{1}$ (ver imagem). Então o tangente no ponto $P_{0}$ é paralelo à linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ . (As linhas $x=x_{1}$ e ${displaystyle x=x_{2}}$ são paralelos ao eixo da parabola.)

Prova: pode ser realizada para a unidade parabola $y=x^{2}$ . Um pequeno cálculo mostra: linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ tem inclinação ${displaystyle 2x_{0}}$ que é a inclinação do tangente no ponto $P_{0}$ .

Aplicação: O 3-pontos-1-tangent-propriedade de um parabola pode ser usado para a construção do tangente no ponto $P_{0}$ , enquanto ${displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$ são dados.

Observação: A propriedade 3-pontos-1-tangente de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 4 pontos do teorema de Pascal.

Propriedade de 2 pontos–2 tangentes

Propriedade de 2 pontos–2 agentes

Vamos. ${displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ser dois pontos do parabola com equação ${displaystyle y=ax^{2}}$ e $Q_{2}$ a interseção do tangente no ponto $P_{1}$ com a linha ${displaystyle x=x_{2}}$ e $Q_{1}$ a interseção do tangente no ponto $P_{2}$ com a linha ${displaystyle x=x_{1}}$ (ver imagem). Então o secante ${displaystyle P_{1}P_{2}}$ é paralelo à linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ . (As linhas ${displaystyle x=x_{1}}$ e ${displaystyle x=x_{2}}$ são paralelos ao eixo da parabola.)

Prova: cálculo direto para a frente para a unidade parabola $y=x^{2}$ .

Aplicação: A propriedade de 2 pontos-2-tangentes pode ser usada para a construção do tangente de um parabola no ponto $P_{2}$ , se $P_{1},P_{2}$ e o tangente em $P_{1}$ são dados.

Observação 1: A propriedade de 2 pontos–2 tangentes de uma parábola é uma versão afim da degeneração de 3 pontos do teorema de Pascal.

Observação 2: A propriedade 2-pontos-2-tangentes não deve ser confundida com a seguinte propriedade de uma parábola, que também lida com 2 pontos e 2 tangentes, mas não é relacionado ao teorema de Pascal.

Direção do eixo

Construção da direção do eixo

As declarações acima presumem o conhecimento da direção do eixo do parabola, a fim de construir os pontos ${displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ . A seguinte propriedade determina os pontos ${displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ por dois pontos dados e seus tangentes apenas, e o resultado é que a linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ é paralelo ao eixo da parabola.

Deixe

${displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ser dois pontos do parabola ${displaystyle y=ax^{2}}$ e ${displaystyle t_{1},t_{2}}$ sejam seus tangentes;
$Q_{1}$ ser a interseção dos tangentes ${displaystyle t_{1},t_{2}}$ ,
$Q_{2}$ ser a interseção da linha paralela a $t_{1}$ através de $P_{2}$ com a linha paralela a $t_{2}$ através de $P_{1}$ (ver imagem).

Então a linha ${displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ é paralelo ao eixo do parabola e tem a equação ${displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Prova: pode ser feito (como as propriedades acima) para a unidade parabola $y=x^{2}$ .

Aplicação: Esta propriedade pode ser usada para determinar a direção do eixo de uma parábola, se forem dados dois pontos e suas tangentes. Uma maneira alternativa é determinar os pontos médios de duas cordas paralelas, consulte a seção sobre cordas paralelas.

Observação: Esta propriedade é uma versão afim do teorema de dois triângulos em perspectiva de uma cônica não degenerada.

Geração Steiner

Parábola

Geração de Steiner de um parabola

Steiner estabeleceu o seguinte procedimento para a construção de uma cônica não degenerada (ver cônica de Steiner):

Dado dois lápis ${displaystyle B(U),B(V)}$ de linhas em dois pontos $U, V$ (todas as linhas contendo $U$ e $V$ respectivamente) e um mapeamento projetivo, mas não de perspectiva $pi$ de $B(U)$ sobre $B(V)$ , os pontos de interseção das linhas correspondentes formam uma seção conic projetiva não degenerada.

Este procedimento pode ser usado para uma construção simples de pontos no parabola ${displaystyle y=ax^{2}}$ :

Considere o lápis no vértice ${displaystyle S(0,0)}$ e o conjunto de linhas ${displaystyle Pi _{y}}$ que são paralelos ao Sim. eixo.

Vamos. ${displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ser um ponto sobre o parabola, e ${displaystyle A=(0,y_{0})}$ , ${displaystyle B=(x_{0},0)}$ .
O segmento de linha ${displaystyle {overline {BP}}}$ é dividido em n segmentos igualmente espaçados, e esta divisão é projetada (na direção $BA$ ) no segmento de linha ${displaystyle {overline {AP}}}$ (ver figura). Esta projeção dá origem a um mapeamento projetivo $pi$ de lápis $S$ sobre o lápis ${displaystyle Pi _{y}}$ .
A interseção da linha ${displaystyle SB_{i}}$ e o Eu...-o paralelo ao Sim. eixo é um ponto na parabola.

Prova: cálculo direto.

Observação: a geração de Steiner também está disponível para elipses e hipérboles.

Parábola dupla

Parabola dupla e curva de Bezier do grau 2 (direita: ponto de curva e pontos de divisão

{displaystyle Q_{0},Q_{1}}

para o parâmetro

{displaystyle t=0.4}

)

Uma parábola dupla consiste no conjunto de tangentes de uma parábola ordinária.

A geração de Steiner de uma cônica pode ser aplicada à geração de uma cônica dupla alterando os significados de pontos e linhas:

Vamos dar dois conjuntos de pontos em duas linhas $u,v$ , e um mapeamento projetivo mas não perspectiva $pi$ entre esses conjuntos de pontos, então as linhas de conexão de pontos correspondentes formam um conic dual não degenerado.

Para gerar elementos de uma parábola dupla, começa-se com

três pontos ${displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ não em linha,
divide as seções de linha ${displaystyle {overline {P_{0}P_{1}}}}$ e ${displaystyle {overline {P_{1}P_{2}}}}$ cada um em $n$ segmentos de linha igualmente espaçados e adiciona números como mostrado na imagem.
Então as linhas ${displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),dotsc }$ são tangentes de um parabola, daí elementos de um parabola dual.
A parabola é uma curva de Bezier do grau 2 com os pontos de controle ${displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ .

A prova é uma consequência do algoritmo de Casteljau para uma curva de Bezier de grau 2.

Ângulos inscritos e a forma de 3 pontos

Ângulos inscritos de um parabola

Um parabola com equação ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c, aneq 0}$ é determinada exclusivamente por três pontos ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ com diferente x coordenadas. O procedimento habitual para determinar os coeficientes $a,b,c$ é inserir as coordenadas de ponto na equação. O resultado é um sistema linear de três equações, que pode ser resolvido por eliminação gaussiana ou regra de Cramer, por exemplo. Uma forma alternativa usa o teorema de ângulo inscrito parabolas.

No seguinte, o ângulo de duas linhas será medido pela diferença das encostas da linha em relação ao directrix do parabola. Isto é, para uma parabola da equação ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$ o ângulo entre duas linhas de equações ${displaystyle y=m_{1}x+d_{1}, y=m_{2}x+d_{2}}$ é medida por ${displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

Análogo ao teorema do ângulo inscrito para círculos, temos o teorema do ângulo inscrito para parábolas:

Quatro pontos

{displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}), i=1,ldots4,}

com diferente

x

coordenadas (ver imagem) estão em um parabola com equação

{displaystyle y=ax^{2}+bx+c}

se e somente se os ângulos em

P_{3}

P_{4}

tem a mesma medida, conforme definido acima. Isso é,

{displaystyle {frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}

(Proof: cálculo simples: Se os pontos estiverem em um parabola, pode-se traduzir as coordenadas para ter a equação ${displaystyle y=ax^{2}}$ , então um tem ${displaystyle {frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$ se os pontos estiverem na parabola.)

Uma consequência é que a equação (em ${displaystyle {color {green}x},{color {red}y}}$ ) da parabola determinada por 3 pontos ${displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}), i=1,2,3,}$ com diferente $x$ coordenadas é (se dois $x$ coordenadas são iguais, não há parabola com directrix paralelo ao $x$ eixo, que passa pelos pontos)

{displaystyle {frac {{color {red}y}-y_{1}}{{color {green}x}-x_{1}}}-{frac {{color {red}y}-y_{2}}{{color {green}x}-x_{2}}}={frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}

Multiplicando pelos denominadores que dependem ${displaystyle {color {green}x},}$ um obtém o formulário mais padrão

{displaystyle (x_{1}-x_{2}){color {red}y}=({color {green}x}-x_{1})({color {green}x}-x_{2})left({frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}right)+(y_{1}-y_{2}){color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}

Relação pólo-polar

Parabola: relação pólo-polar

Em um sistema de coordenadas adequado qualquer parabola pode ser descrita por uma equação ${displaystyle y=ax^{2}}$ . A equação do tangente em um ponto ${displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}), y_{0}=ax_{0}^{2}}$ o

{displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}

Obtém-se a função

{displaystyle (x_{0},y_{0})to y=2ax_{0}x-y_{0}}

no conjunto de pontos da parábola sobre o conjunto de tangentes.

Obviamente, esta função pode ser estendida para o conjunto de todos os pontos de $R^2$ a uma bijeção entre os pontos de $R^2$ e as linhas com equações ${displaystyle y=mx+d, m,din mathbb {R} }$ . O mapeamento inverso é

linha de linha

{displaystyle y=mx+d}

→ ponto

{displaystyle ({tfrac {m}{2a}},-d)}

Esta relação é chamada de relação polo-polar da parábola, onde o ponto é o polo, e a reta correspondente é o polar.

Pelo cálculo, verificam-se as seguintes propriedades da relação polo-polar da parábola:

Para um ponto (polo) sobre o parabola, o polar é o tangente neste ponto (ver imagem: ${displaystyle P_{1}, p_{1}}$ ).
Para um poste $P$ fora os pontos de interseção de seu polar com o parabola são os pontos de toque dos dois tangentes passando $P$ (ver imagem: ${displaystyle P_{2}, p_{2}}$ ).
Para um ponto dentro de o parabola o polar não tem nenhum ponto com o parabola em comum (veja imagem: ${displaystyle P_{3}, p_{3}}$ e ${displaystyle P_{4}, p_{4}}$ ).
O ponto de interseção de duas linhas polares (por exemplo, ${displaystyle p_{3},p_{4}}$ ) é o pólo da linha de conexão de seus pólos (em exemplo: ${displaystyle P_{3},P_{4}}$ ).
Foco e directrix do parabola são um par polo-polar.

Observação: Relações pólo-polares também existem para elipses e hipérboles.

Propriedades da tangente

Duas propriedades tangentes relacionadas ao latus rectum

Deixe a linha de simetria interceptar a parábola no ponto Q e denotar o foco como ponto F e sua distância do ponto Q como $f$ . Deixe a perpendicular à linha de simetria, através do foco, interceptar a parábola em um ponto T. Então (1) a distância de F a T é $2 f$ , e (2) uma tangente à parábola no ponto T intercepta a linha de simetria em um ângulo de 45°.

tangentes perpendiculares se cruzam no directrix

Propriedade ortóptica

Se duas tangentes a uma parábola são perpendiculares entre si, então elas se interceptam na diretriz. Inversamente, duas tangentes que se cruzam na diretriz são perpendiculares. Em outras palavras, em qualquer ponto da diretriz, toda a parábola subtende um ângulo reto.

Teorema de Lambert

Deixe três tangentes a uma parábola formar um triângulo. Em seguida, o teorema de Lambert afirma que o foco da parábola está no circuncírculo do triângulo.

A conversa de Tsukerman com o teorema de Lambert afirma que, dadas três retas que limitam um triângulo, se duas das retas são tangentes a uma parábola cujo foco está no circuncírculo do triângulo, então a terceira reta também é tangente à parábola.

Fatos relacionados a cordas e arcos

Distância focal calculada a partir dos parâmetros de um acorde

Suponha que uma corda cruza uma parábola perpendicular ao seu eixo de simetria. Seja o comprimento da corda entre os pontos onde ela intercepta a parábola $c$ e a distância do vértice da parábola ao acorde, medido ao longo do eixo de simetria, seja $d$ . A distância focal, $f$ , da parábola é dada por

{displaystyle f={frac {c^{2}}{16d}}.}

Prova

Suponha que um sistema de coordenadas cartesianas é usado de tal forma que o vértice do parabola está na origem, e o eixo da simetria é o $Sim.$ eixo. A parabola abre para cima. É mostrado em outro lugar neste artigo que a equação do parabola é $4 F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 2$ , onde $f$ é a distância focal. No positivo $x$ fim do acorde, $x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = c / 2$ e $Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D$ . Uma vez que este ponto está no parabola, essas coordenadas devem satisfazer a equação acima. Portanto, por substituição, ${displaystyle 4fd=left({tfrac {c}{2}}right)^{2}}$ . A partir disto, ${displaystyle f={tfrac {c^{2}}{16d}}}$ .

Área delimitada entre uma parábola e uma corda

Parabola (magenta) e linha (azul claro inferior) incluindo um acorde (azul). A área entre eles está em rosa. O acorde em si termina nos pontos onde a linha interseta o parabola.

A área entre uma parábola e uma corda (ver diagrama) é dois terços da área de um paralelogramo que a rodeia. Um lado do paralelogramo é a corda e o lado oposto é a tangente à parábola. A inclinação dos outros lados paralelos é irrelevante para a área. Freqüentemente, como aqui, eles são desenhados paralelamente ao eixo de simetria da parábola, mas isso é arbitrário.

Um teorema equivalente a este, mas diferente em detalhes, foi derivado por Arquimedes no século III aC. Ele usou as áreas dos triângulos, em vez do paralelogramo. Veja A quadratura da parábola.

Se a corda tiver comprimento $b$ e for perpendicular ao eixo de simetria da parábola, e se a perpendicular a distância do vértice da parábola até a corda é $h$ , o paralelogramo é um retângulo, com lados de $b$ e $h$ . A área $A$ do segmento parabólico delimitado pela parábola e a corda é, portanto,

{displaystyle A={frac {2}{3}}bh.}

Esta fórmula pode ser comparada com a área de um triângulo: $1 / 2 bh$ .

Em geral, a área fechada pode ser calculada da seguinte forma. Primeiro, localize o ponto na parábola onde sua inclinação é igual à da corda. Isso pode ser feito com cálculos ou usando uma linha paralela ao eixo de simetria da parábola e que passe pelo ponto médio da corda. O ponto necessário é onde esta linha intercepta a parábola. Em seguida, usando a fórmula dada em Distância de um ponto a uma linha, calcule a distância perpendicular deste ponto à corda. Multiplique isso pelo comprimento da corda para obter a área do paralelogramo e depois por 2/3 para obter a área delimitada necessária.

Corolário sobre pontos médios e finais de cordas

Pontos médios de acordes paralelos

Um corolário da discussão acima é que se uma parábola tem várias cordas paralelas, seus pontos médios estão todos em uma linha paralela ao eixo de simetria. Se as tangentes à parábola forem traçadas pelas extremidades de qualquer uma dessas cordas, as duas tangentes se interceptam nessa mesma linha paralela ao eixo de simetria (consulte Direção do eixo de uma parábola).

Comprimento do arco

Se um ponto X estiver localizado em uma parábola com distância focal $f$ , e se $p$ é a distância perpendicular de X ao eixo de simetria da parábola, então os comprimentos dos arcos da parábola que terminam em X podem ser calculados a partir de $f$ e $p$ da seguinte forma, assumindo eles são todos expressos nas mesmas unidades.

{displaystyle {begin{aligned}h&={frac {p}{2}},\q&={sqrt {f^{2}+h^{2}}},\s&={frac {hq}{f}}+fln {frac {h+q}{f}}.end{aligned}}}

Esta quantidade $s$ é o comprimento do arco entre X e o vértice da parábola.

O comprimento do arco entre X e o ponto simetricamente oposto no outro lado da parábola é $2 s$ .

A distância perpendicular $p$ pode receber um sinal positivo ou negativo para indicar de que lado do eixo de simetria X está situado. Inverter o sinal de $p$ inverte os sinais de $h$ e $s$ sem alterar seus valores absolutos. Se essas quantidades forem sinalizadas, o comprimento do arco entre quaisquer dois pontos na parábola é sempre mostrado pela diferença entre seus valores de $s$ . O cálculo pode ser simplificado usando as propriedades dos logaritmos:

{displaystyle s_{1}-s_{2}={frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+fln {frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}

Isso pode ser útil, por exemplo, para calcular o tamanho do material necessário para fazer um refletor parabólico ou uma calha parabólica.

Este cálculo pode ser usado para uma parábola em qualquer orientação. Não se restringe à situação em que o eixo de simetria é paralelo ao eixo y.

Uma construção geométrica para encontrar uma área de setor

S é o foco, e V é o vértice principal da parábola VG. Desenhe VX perpendicular a SV.

Pegue qualquer ponto B em VG e solte uma perpendicular BQ de B a VX. Desenhe a perpendicular ST interceptando BQ, estendida se necessário, em T. Em B desenhe a perpendicular BJ, interceptando VX em J.

Para a parabola, o segmento VBV, a área fechada pelo acorde VB e o arco VB, é igual a ∴VBQ / 3, também ${displaystyle BQ={frac {VQ^{2}}{4SV}}}$ .

A área do setor parabólico SVB = ∴SVB + ∴VBQ / 3 ${displaystyle {}={frac {SVcdot VQ}{2}}+{frac {VQcdot BQ}{6}}}$ .

Como os triângulos TSB e QBJ são semelhantes,

{displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{frac {BQcdot TB}{ST}}=VQ-{frac {BQcdot (SV-BQ)}{VQ}}={frac {3VQ}{4}}+{frac {VQcdot BQ}{4SV}}.}

Portanto, a área do setor parabólico ${displaystyle SVB={frac {2SVcdot VJ}{3}}}$ e pode ser encontrado a partir do comprimento de VJ, como encontrado acima.

Um círculo por S, V e B também passa por J.

Inversamente, se um ponto B na parábola VG for encontrado de modo que a área do setor SVB seja igual a um valor especificado, determine o ponto J em VX e construa um círculo através de S, V e J. Como SJ é o diâmetro, o centro do círculo está em seu ponto médio e está na bissetriz perpendicular de SV, a uma distância de meio VJ de SV. O ponto B necessário é onde este círculo intercepta a parábola.

Se um corpo traça o caminho da parábola devido a uma força do inverso do quadrado direcionada para S, a área SVB aumenta a uma taxa constante à medida que o ponto B avança. Segue-se que J se move com velocidade constante ao longo de VX enquanto B se move ao longo da parábola.

Se a velocidade do corpo no vértice onde ele está se movendo perpendicularmente a SV é v, então a velocidade de J é igual a 3v/4.

A construção pode ser estendida simplesmente para incluir o caso em que nenhum raio coincide com o eixo SV da seguinte forma. Deixe A ser um ponto fixo em VG entre V e B, e ponto H ser a interseção em VX com o perpendicular a SA em A. Do acima, a área do setor parabólico ${displaystyle SAB={frac {2SVcdot (VJ-VH)}{3}}={frac {2SVcdot HJ}{3}}}$ .

Por outro lado, se for necessário encontrar o ponto B para uma determinada área SAB, encontre o ponto J de HJ e ponto B como antes. Pelo livro 1, Proposição 16, Corollário 6 da Principia de Newton, a velocidade de um corpo que se move ao longo de um parabola com uma força direcionada para o foco é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio. Se a velocidade em A é v, então no vértice V é ${displaystyle {sqrt {frac {SA}{SV}}}v}$ , e ponto J move-se a uma velocidade constante de ${displaystyle {frac {3v}{4}}{sqrt {frac {SA}{SV}}}}$ .

A construção acima foi desenvolvida por Isaac Newton e pode ser encontrada no Livro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposição 30.

Distância focal e raio de curvatura no vértice

A distância focal de uma parábola é metade de seu raio de curvatura em seu vértice.

Prova

A imagem é invertida. AB é $x$ eixo. C é origem. O é centro. A $(x, Sim.)$ . OA = OC = $R$ . PA = $x$ . CP = $Sim.$ . OP = $(R - Sim. Sim.)$ . Outros pontos e linhas são irrelevantes para esta finalidade.
O raio da curvatura no vértice é o dobro da distância focal. As medidas mostradas no diagrama acima estão em unidades do recto latus, que é quatro vezes a distância focal.

Considere um ponto $(x, y)$ em um círculo de raio $R$ e com centro no ponto $(0, R)$ . O círculo passa pela origem. Se o ponto estiver próximo da origem, o teorema de Pitágoras mostra que

{displaystyle {begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\x^{2}+y^{2}&=2Ry.end{aligned}}}

Mas se $(x, y)$ estiver extremamente próximo da origem, já que $x$ eixo é uma tangente ao círculo, $y$ é muito pequeno em comparação com $x$ , então $y 2$ é insignificante em comparação com os outros termos. Portanto, extremamente próximo da origem

{displaystyle x^{2}=2Ry.}

(1)

Compare isso com a parábola

{displaystyle x^{2}=4fy,}

(2)

que tem seu vértice na origem, abre para cima e tem comprimento focal $f$ (consulte as seções anteriores deste artigo).

As equações (1) e (2) são equivalentes se $R = 2 f$ . Portanto, esta é a condição para que o círculo e a parábola coincidam na origem e estejam extremamente próximos dela. O raio de curvatura na origem, que é o vértice da parábola, é o dobro da distância focal.

Colocação

Um espelho côncavo que é um pequeno segmento de uma esfera se comporta aproximadamente como um espelho parabólico, focalizando a luz paralela a um ponto intermediário entre o centro e a superfície da esfera.

Como a imagem afim da parábola unitária

Parabola como uma imagem affine da unidade parabola

Outra definição de parábola usa transformações afins:

Qualquer Parabola é a imagem afine da unidade parabola com equação $y=x^{2}$ .

representação paramétrica

Uma transformação afinada do plano euclidiano tem a forma ${displaystyle {vec {x}}to {vec {f}}_{0}+A{vec {x}}}$ , onde $A$ é uma matriz regular (determinante não é 0), e ${displaystyle {vec {f}}_{0}}$ é um vetor arbitrário. Se ${displaystyle {vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2}}$ são os vetores de coluna da matriz $A$ , a unidade parabola ${displaystyle (t,t^{2}), tin mathbb {R} }$ é mapeado para o parabola

{displaystyle {vec {x}}={vec {p}}(t)={vec {f}}_{0}+{vec {f}}_{1}t+{vec {f}}_{2}t^{2},}

onde

{displaystyle {vec {f}}_{0}}

é um ponto da parabola,

{displaystyle {vec {f}}_{1}}

é um vetor tangente ponto

{displaystyle {vec {f}}_{0}}

{displaystyle {vec {f}}_{2}}

o paralelo ao eixo da parabola (eixo de simetria através do vértice).

vértice

Em geral, os dois vetores ${displaystyle {vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2}}$ não são perpendiculares, e ${displaystyle {vec {f}}_{0}}$ o não o vértice, a menos que a transformação affine seja uma semelhança.

O vetor tangente no ponto ${displaystyle {vec {p}}(t)}$ o ${displaystyle {vec {p}}'(t)={vec {f}}_{1}+2t{vec {f}}_{2}}$ . No vértice o vetor tangente é ortogonal para ${displaystyle {vec {f}}_{2}}$ . Daí o parâmetro $t_{0}$ do vértice é a solução da equação

{displaystyle {vec {p}}'(t)cdot {vec {f}}_{2}={vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}

que é

{displaystyle t_{0}=-{frac {{vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}

e o vértice é

{displaystyle {vec {p}}(t_{0})={vec {f}}_{0}-{frac {{vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{vec {f}}_{1}+{frac {({vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{vec {f}}_{2}.}

distância focal e foco

A distância focal pode ser determinada por uma transformação de parâmetro adequada (que não altera a forma geométrica da parábola). A distância focal é

{displaystyle f={frac {f_{1}^{2},f_{2}^{2}-({vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}

Portanto, o foco da parábola é

{displaystyle F: {vec {f}}_{0}-{frac {{vec {f}}_{1}cdot {vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{vec {f}}_{1}+{frac {f_{1}^{2},f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{vec {f}}_{2}.}

representação implícita

Solucionando a representação paramétrica para ${displaystyle ;t,t^{2};}$ pela regra de Cramer e usando ${displaystyle ;tcdot t-t^{2}=0;}$ , um recebe a representação implícita

{displaystyle det({vec {x}}!-!{vec {f}}!_{0},{vec {f}}!_{2})^{2}-det({vec {f}}!_{1},{vec {x}}!-!{vec {f}}!_{0})det({vec {f}}!_{1},{vec {f}}!_{2})=0}

parabola no espaço

A definição de um parabola nesta seção dá uma representação paramétrica de um parabola arbitrário, mesmo no espaço, se se permite ${displaystyle {vec {f}}!_{0},{vec {f}}!_{1},{vec {f}}!_{2}}$ ser vetores no espaço.

Como curva quadrática de Bézier

Quadratic Bézier curva e seus pontos de controle

Uma curva quadrada Bézier é uma curva ${vec c}(t)$ definido por três pontos ${displaystyle P_{0}:{vec {p}}_{0}}$ , ${displaystyle P_{1}:{vec {p}}_{1}}$ e ${displaystyle P_{2}:{vec {p}}_{2}}$ , chamado de pontos de controle:

{displaystyle {begin{aligned}{vec {c}}(t)&=sum _{i=0}^{2}{binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{vec {p}}_{i}\&=(1-t)^{2}{vec {p}}_{0}+2t(1-t){vec {p}}_{1}+t^{2}{vec {p}}_{2}\&=({vec {p}}_{0}-2{vec {p}}_{1}+{vec {p}}_{2})t^{2}+(-2{vec {p}}_{0}+2{vec {p}}_{1})t+{vec {p}}_{0},quad tin [0,1].end{aligned}}}

Esta curva é um arco de uma parábola (ver § Como a imagem afim da parábola unitária).

Integração numérica

Regra de Simpson: o gráfico de uma função é substituído por um arco de um parabola

Em um método de integração numérica, substitui-se o gráfico de uma função por arcos de parábolas e integra-se os arcos de parábola. Uma parábola é determinada por três pontos. A fórmula para um arco é

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {b-a}{6}}cdot left(f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right).}

O método é chamado de regra de Simpson.

Como seção plana de quadrícula

As seguintes quádricas contêm parábolas como seções planas:

cone elíptico,
cilindro parabólico,
parabolóide elíptico,
parabolóide hiperbólico,
hiperbolóide de uma folha,
hiperbolóide de duas folhas.

Cone elíptico
Cilindro parabólico
Parabolóide elíptico
Parabolóide hiperbólico
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas

Como trissetriz

Trissecção de ângulo com um parabola

Uma parábola pode ser usada como trissetriz, ou seja, permite a trissecção exata de um ângulo arbitrário com régua e compasso. Isso não está em contradição com a impossibilidade de uma trissecção de ângulo apenas com construções de compasso e régua, já que o uso de parábolas não é permitido nas regras clássicas para construções de régua e compasso.

Para trisectar ${displaystyle angle AOB}$ , coloque sua perna ${displaystyle OB}$ sobre o x eixo tal que o vértice $O$ está na origem do sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas também contém o parabola ${displaystyle y=2x^{2}}$ . O círculo da unidade com raio 1 em torno da origem interseta a outra perna do ângulo ${displaystyle OA}$ , e a partir deste ponto de interseção desenhar o perpendicular para o Sim. eixo. O paralelo ao Sim. eixo através do ponto médio daquele perpendicular e o tangente no círculo da unidade em $(0,1)$ interseto em $C$ . O círculo ao redor $C$ com raio ${displaystyle OC}$ intersecta o parabola em $P_{1}$ . O perpendicular de $P_{1}$ sobre a x eixo cruza o círculo da unidade em $P_{2}$ e ${displaystyle angle P_{2}OB}$ é exatamente um terço de ${displaystyle angle AOB}$ .

A correção desta construção pode ser vista mostrando que o x coordenada de $P_{1}$ o $cos(alpha)$ . Solucionando o sistema de equações dado pelo círculo ao redor $C$ e o parabola leva à equação cúbico ${displaystyle 4x^{3}-3x-cos(3alpha)=0}$ . A fórmula de ângulo triplo ${displaystyle cos(3alpha)=4cos(alpha)^{3}-3cos(alpha)}$ então mostra que $cos(alpha)$ é de fato uma solução dessa equação cúbico.

Essa trissecção remonta a René Descartes, que a descreveu em seu livro La Géométrie (1637).

Generalizações

Se alguém substitui os números reais por um campo arbitrário, muitas propriedades geométricas do parabola ${displaystyle y=x^{2}}$ ainda são válidos:

Uma linha se cruza no máximo dois pontos.
Em qualquer ponto ${displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$ a linha ${displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$ é o tangente.

Essencialmente surgem novos fenômenos, se o campo tem característica 2 (isto é, $1 + 1 = 0$ ): os tangentes são todos paralelos.

Na geometria algébrica, a parábola é generalizada pelas curvas normais racionais, que têm coordenadas $(x, x 2, x 3, \dots, x n)$ ; a parábola padrão é o caso $n = 2$ , e o caso $n = 3$ é conhecido como o cúbico torcido. Uma generalização adicional é dada pela variedade Veronese, quando há mais de uma variável de entrada.

Na teoria das formas quadráticas, a parábola é o gráfico da forma quadrática $x 2$ (ou outra escalas), enquanto o parabolóide elíptico é o gráfico da forma quadrática definida positiva $x 2 + y 2$ (ou escalas), e o parabolóide hiperbólico é o gráfico da forma quadrática indefinida $x 2 - y 2$ . Generalizações para mais variáveis produzem mais tais objetos.

As curvas $y = x p$ para outros valores de $p$ são tradicionalmente referidos como as parábolas superiores e foram originalmente tratadas implicitamente, na forma $x p = ky q$ para $p$ e $q$ ambos inteiros positivos, em cuja forma eles são vistos como curvas algébricas. Eles correspondem à fórmula explícita $y = x p / q$ para uma potência fracionária positiva de $x$ . As potências fracionárias negativas correspondem à equação implícita $x p y q = k$ e são tradicionalmente chamadas de hipérboles superiores. Analiticamente, $x$ também pode ser elevado a uma potência irracional (para valores positivos de $x$ ); as propriedades analíticas são análogas a quando $x$ é elevado a potências racionais, mas a curva resultante não é mais algébrica e não pode ser analisada por geometria algébrica.

No mundo físico

Na natureza, aproximações de parábolas e parabolóides são encontradas em diversas situações. O exemplo mais conhecido da parábola na história da física é a trajetória de uma partícula ou corpo em movimento sob a influência de um campo gravitacional uniforme sem resistência do ar (por exemplo, uma bola voando pelo ar, desprezando o atrito do ar).

A trajetória parabólica dos projéteis foi descoberta experimentalmente no início do século XVII por Galileu, que realizou experimentos com bolas rolando em planos inclinados. Mais tarde, ele também provou isso matematicamente em seu livro Diálogo sobre duas novas ciências. Para objetos estendidos no espaço, como um mergulhador pulando de um trampolim, o próprio objeto segue um movimento complexo à medida que gira, mas o centro de massa do objeto se move ao longo de uma parábola. Como em todos os casos do mundo físico, a trajetória é sempre uma aproximação de uma parábola. A presença da resistência do ar, por exemplo, sempre distorce a forma, embora em baixas velocidades a forma seja uma boa aproximação de uma parábola. Em velocidades mais altas, como na balística, a forma é altamente distorcida e não se assemelha a uma parábola.

Outra situação hipotética em que as parábolas podem surgir, de acordo com as teorias da física descritas nos séculos XVII e XVIII por Sir Isaac Newton, é em órbitas de dois corpos, por exemplo, o caminho de um pequeno planetoide ou outro objeto sob influência da gravitação do Sol. Órbitas parabólicas não ocorrem na natureza; órbitas simples geralmente se assemelham a hipérboles ou elipses. A órbita parabólica é o caso intermediário degenerado entre esses dois tipos de órbita ideal. Um objeto seguindo uma órbita parabólica viajaria na velocidade de escape exata do objeto que orbita; objetos em órbitas elípticas ou hiperbólicas viajam a uma velocidade menor ou maior que a velocidade de escape, respectivamente. Os cometas de longo período viajam perto da velocidade de escape do Sol enquanto se movem pelo sistema solar interno, de modo que seus caminhos são quase parabólicos.

Aproximações de parábolas também são encontradas na forma dos cabos principais em uma ponte suspensa simples. A curva das correntes de uma ponte pênsil é sempre uma curva intermediária entre uma parábola e uma catenária, mas na prática a curva é geralmente mais próxima de uma parábola devido ao peso da carga (ou seja, a estrada) ser muito maior do que os cabos si mesmos, e nos cálculos a fórmula polinomial de segundo grau de uma parábola é usada. Sob a influência de uma carga uniforme (como uma plataforma suspensa horizontal), o cabo em forma de catenária é deformado em direção a uma parábola (consulte Catenary#Suspension bridge curve). Ao contrário de uma corrente inelástica, uma mola suspensa livremente de comprimento sem tensão zero assume a forma de uma parábola. Os cabos da ponte suspensa são, idealmente, puramente em tração, sem ter que suportar outras forças, por exemplo, flexão. Da mesma forma, as estruturas dos arcos parabólicos estão puramente em compressão.

Os parabolóides também surgem em várias situações físicas. A instância mais conhecida é o refletor parabólico, que é um espelho ou dispositivo reflexivo semelhante que concentra a luz ou outras formas de radiação eletromagnética em um ponto focal comum ou, inversamente, colima a luz de uma fonte pontual no foco em um feixe paralelo. O princípio do refletor parabólico pode ter sido descoberto no século III aC pelo geômetra Arquimedes, que, segundo uma lenda duvidosa, construiu espelhos parabólicos para defender Siracusa contra a frota romana, concentrando os raios do sol para definir fogo nos conveses dos navios romanos. O princípio foi aplicado aos telescópios no século XVII. Hoje, os refletores parabolóides podem ser comumente observados em grande parte do mundo em antenas receptoras e transmissoras de microondas e antenas parabólicas.

Em microfones parabólicos, um refletor parabólico é usado para focalizar o som em um microfone, proporcionando um desempenho altamente direcional.

Os parabolóides também são observados na superfície de um líquido confinado a um recipiente e girado em torno do eixo central. Nesse caso, a força centrífuga faz com que o líquido suba pelas paredes do recipiente, formando uma superfície parabólica. Este é o princípio por trás do telescópio de espelho líquido.

Aeronaves usadas para criar um estado sem peso para fins de experimentação, como o "Vomit Comet" da NASA, seguem uma trajetória verticalmente parabólica por breves períodos para traçar o curso de um objeto em queda livre, que produz o mesmo efeito que a gravidade zero para a maioria dos propósitos.

Galeria

Uma bola de bouncing capturada com um flash estroboscópio a 25 imagens por segundo. A bola torna-se significativamente não-esférica após cada salto, especialmente após o primeiro. Isso, juntamente com a resistência de rotação e ar, faz com que a curva varreu para fora para desviar-se ligeiramente do parabola perfeito esperado.
Trajeções parabólicas de água em uma fonte.
O caminho (em vermelho) do Comet Kohoutek como passou pelo sistema solar interno, mostrando sua forma quase parabólica. A órbita azul é da Terra.
Os cabos de apoio de pontes suspensas seguem uma curva que é intermediária entre um parabola e um catenário.
A Ponte Rainbow do Rio Niagara, conectando o Canadá (à esquerda) aos Estados Unidos (à direita). O arco parabólico está em compressão e carrega o peso da estrada.
Arcos parabólicos usados na arquitetura
Forma parabólica formada por uma superfície líquida sob rotação. Dois líquidos de diferentes densidades preenchem completamente um espaço estreito entre duas folhas de plástico transparente. A lacuna entre as folhas é fechada na parte inferior, nos lados e na parte superior. Toda a montagem gira em torno de um eixo vertical que passa pelo centro. (Veja o forno rotativo)
Fogão solar com refletor parabólico
Antena parabólica
Microfone parabólico com refletor plástico opticamente transparente usado em um jogo de futebol americano universitário.
Raio de massa parabólica para coletar energia solar
O holofote do Edison, montado num carrinho. A luz tinha um refletor parabólico.
Médico Stephen Hawking em uma aeronave voando uma trajetória parabólica para simular gravidade zero

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