Operação binária

Uma operação binária $- Sim.$ é uma regra para combinar os argumentos $Não.$ e $- Sim.$ para produzir $- Sim.$

Em matemática, uma operação binária ou operação diádica é uma regra para combinar dois elementos (chamados operandos) para produzir outro elemento. Mais formalmente, uma operação binária é uma operação de aridade dois.

Mais especificamente, uma operação binária interna em um conjunto é uma operação binária cujos dois domínios e o contradomínio são o mesmo conjunto. Os exemplos incluem as operações aritméticas familiares de adição, subtração e multiplicação. Outros exemplos são facilmente encontrados em diferentes áreas da matemática, como adição de vetores, multiplicação de matrizes e conjugação em grupos.

Uma operação de aridade dois que envolve vários conjuntos às vezes também é chamada de operação binária. Por exemplo, a multiplicação escalar de espaços vetoriais leva um escalar e um vetor para produzir um vetor, e o produto escalar leva dois vetores para produzir um escalar. Tais operações binárias podem ser chamadas simplesmente de funções binárias.

As operações binárias são a pedra angular da maioria das estruturas algébricas estudadas em álgebra, em particular em semigrupos, monóides, grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais.

Terminologia

Mais precisamente, uma operação binária em um conjunto $Não. S.$ é um mapeamento dos elementos do produto cartesiano $Não. Stimes S}$ para $Não. S.$:

${displaystyle ,fcolon Stimes Srightarrow S.}$

Porque o resultado da realização da operação em um par de elementos de $Não. S.$ é novamente um elemento de $Não. S.$, a operação chama-se um fechado (ou interno) operação binária em $Não. S.$ (ou às vezes expressa como tendo a propriedade do fechamento).

Se $Não.$ não é uma função, mas uma função parcial, então $Não.$ é chamado de operação binária parcial. Por exemplo, a divisão de números reais é uma operação binária parcial, porque não se pode dividir por zero: $- Sim.$ é indefinido para cada número real $Não.$. Tanto na álgebra universal como na teoria dos modelos, as operações binárias devem ser definidas em todos os elementos $Não. Stimes S}$.

Às vezes, especialmente na ciência da computação, o termo operação binária é usado para qualquer função binária.

Propriedades e exemplos

Exemplos típicos de operações binárias são a adição ($Sim.$) e multiplicação (${displaystyle times }$) de números e matrizes, bem como composição de funções em um único conjunto. Por exemplo,

• No conjunto de números reais ${displaystyle mathbb {R} } }$, $(a,b)=a+b}$ é uma operação binária, uma vez que a soma de dois números reais é um número real.
• No conjunto de números naturais ${displaystyle mathbb {N} } }$, $(a,b)=a+b}$ é uma operação binária, uma vez que a soma de dois números naturais é um número natural. Esta é uma operação binária diferente da anterior desde que os conjuntos são diferentes.
• No conjunto ${displaystyle M(2,mathbb {R})}$ de ${displaystyle 2times 2}$ matrizes com entradas reais, $(A,B)=A+B}$ é uma operação binária, uma vez que a soma de duas matrizes é uma ${displaystyle 2times 2}$ matriz.
• No conjunto ${displaystyle M(2,mathbb {R})}$ de ${displaystyle 2times 2}$ matrizes com entradas reais, $(A,B)=AB}$ é uma operação binária, uma vez que o produto de duas matrizes é um ${displaystyle 2times 2}$ matriz.
• Para um determinado conjunto $Não. C.$, let $Não. S.$ ser o conjunto de todas as funções ${displaystyle hcolon Crightarrow C}$. Definir ${displaystyle fcolon Stimes Srightarrow S}$ por $(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c)})}$ para todos ${displaystyle cin C}$, a composição das duas funções $Não. h_{1}}$ e $Não. h_{2}}$ em $Não. S.$. Então... $Não.$ é uma operação binária, uma vez que a composição das duas funções é novamente uma função no conjunto $Não. C.$ (isto é, um membro de $Não. S.$).

Muitas operações binárias de interesse em álgebra e lógica formal são comutativas, satisfazendo $(a,b)=f(b,a)}$ para todos os elementos $Não.$ e $Não.$ em $Não. S.$, ou associativo, satisfazendo $(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)}$ para todos $Não.$, $Não.$e $Não.$ em $Não. S.$. Muitos também têm elementos de identidade e elementos inversos.

Os três primeiros exemplos acima são comutativos e todos os exemplos acima são associativos.

No conjunto de números reais ${displaystyle mathbb {R} } }$, subtração, isto é, $(a,b)=a-b}$, é uma operação binária que não é comutativa desde, em geral, $Não.$. Também não é associativo, uma vez que, em geral, ${displaystyle a-(b-c)neq (a-b)-c}$; por exemplo, $(2-3)=2}$ mas... $- Sim.$.

No conjunto de números naturais ${displaystyle mathbb {N} } }$, a exponencialização da operação binária, ${displaystyle f(a,b)=a^{b}}$, não é comutativo desde, ${displaystyle a^{b}neq b^{a}}$ (cf. Equação xy = yx), e também não é associativo desde $(f(a,b),c)neq f(a,f(b,c)}$. Por exemplo, com $- Sim.$, $Não.$e $Não.$, ${displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$, mas $(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$. Alterando o conjunto ${displaystyle mathbb {N} } }$ para o conjunto de inteiros ${displaystyle mathbb {Z} } }$, esta operação binária torna-se uma operação binária parcial, uma vez que agora é indefinida quando $- Sim.$ e $Não.$ é qualquer inteiro negativo. Para qualquer conjunto, esta operação tem uma identidade correta (que é $Não. 1$) desde $Não.$ para todos $Não.$ no conjunto, que não é um identidade (duas identidades laterais) desde ${displaystyle f(1,b)neq B.$ em geral.

Divisão ($- Sim.$), uma operação binária parcial no conjunto de números reais ou racionais, não é comutativa ou associativa. Tetração (${displaystyle uparrow uparrow }$), como uma operação binária nos números naturais, não é comutativa ou associativa e não tem elemento de identidade.

Notação

Operações binárias são frequentemente escritas usando notação infixo, como $- Sim.$, $Não. a+b.$, $- Sim.$ ou (por justaposição sem símbolo) $Não.$ em vez de por notação funcional da forma $(a,b)}$. Os poderes são geralmente escritos sem operador, mas com o segundo argumento como superscript.

As operações binárias às vezes são escritas usando notação de prefixo ou (mais frequentemente) pós-fixada, ambas as quais dispensam parênteses. Eles também são chamados, respectivamente, de notação polonesa e notação polonesa reversa.

Operações binárias como relações ternárias

Uma operação binária $Não.$ em um conjunto $Não. S.$ pode ser visto como uma relação ternary em $Não. S.$, isto é, o conjunto de triplos $(a,b,f(a,b)}$ em $Não. Stimes Stimes S}$ para todos $Não.$ e $Não.$ em $Não. S.$.

Operações binárias externas

Um operação binária externa é uma função binária de $Não. Ktimes S}$ para $Não. S.$. Isto difere de um operação binária em um conjunto no sentido em que $Não.$ não precisa ser $Não. S.$; seus elementos vêm de fora.

Um exemplo de uma operação binária externa é a multiplicação escalar em álgebra linear. Aqui. $Não.$ é um campo e $Não. S.$ é um espaço vetorial sobre esse campo.

Algumas operações binárias externas podem, alternativamente, ser vistas como uma ação $Não.$ sobre $Não. S.$. Isso requer a existência de uma multiplicação associativa em $Não.$, e uma regra de compatibilidade do formulário $(b)=(ab)s}$, onde $- Não.$ e $- Sim.$ (aqui, tanto a operação externa quanto a multiplicação em $Não.$ são denotados por justaposição).

O produto do ponto de dois mapas de vetores $Não. Stimes S}$ para $Não.$, onde $Não.$ é um campo e $Não. S.$ é um espaço vetorial sobre $Não.$. Depende dos autores se é considerado como uma operação binária.