Número real definível

A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1 e, portanto, é número de construção

Informalmente, a número real definido é um número real que pode ser especificado exclusivamente por sua descrição. A descrição pode ser expressa como uma construção ou como uma fórmula de uma linguagem formal. Por exemplo, a raiz quadrada positiva de 2, 2(2}}}, pode ser definido como a solução positiva única para a equação x2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2- Sim., e pode ser construído com uma bússola e straightedge.

Diferentes escolhas de uma linguagem formal ou sua interpretação dão origem a diferentes noções de definibilidade. Variedades específicas de números definíveis incluem os números construtíveis da geometria, os números algébricos e os números computáveis. Como as linguagens formais podem ter apenas muitas fórmulas contáveis, toda noção de números definíveis tem no máximo muitos números reais definíveis contáveis. No entanto, pelo argumento da diagonal de Cantor, existem incontáveis números reais, então quase todo número real é indefinível.

Números construíveis

Uma maneira de especificar um número real usa técnicas geométricas. Um número real RNão. é um número construível se houver um método para construir um segmento de linha de comprimento RNão. usando uma bússola e reta, começando com um segmento de linha fixa de comprimento 1.

Cada número inteiro positivo e cada número racional positivo é construtível. A raiz quadrada positiva de 2 é construtível. No entanto, a raiz cúbica de 2 não pode ser construída; isso está relacionado à impossibilidade de dobrar o cubo.

Números algébricos reais

Números algébricas no plano complexo colorido por grau (vermelho=1, verde=2, azul=3, amarelo=4)

Um número real RNão. é chamado de um número algébrico real se houver um polinomial p(x)(x)}, com apenas coeficientes inteiros, de modo que RNão. é uma raiz de pNão., isto é, p(R)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(R)=0}. Cada número algébrico real pode ser definido individualmente usando a relação de ordem nos reais. Por exemplo, se um polinomial q(x)(x)} tem 5 raízes reais, o terceiro pode ser definido como o único RNão. tal que q(R)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. e tal que há dois números distintos menos do que RNão. em que qNão. é zero.

Todos os números racionais são algébricos e todos os números construtíveis são algébricos. Existem números como a raiz cúbica de 2 que são algébricos, mas não construtíveis.

Os números algébricas reais formam um subcampo dos números reais. Isso significa que 0 e 1 são números algébricas e, além disso, se umNão. e b)Não. são números algébricas, então também são um+b)Não. a+b., um- Sim. - Sim. b)Não., umb)Não. e se b)Não. é Nonzero, um/b)- Sim..

Os números algébricas reais também têm a propriedade, que vai além de ser um subcampo dos reais, que para cada inteiro positivo nNão. e cada número algébrica real umNão., todos os nNão.as raízes de umNão. que são números reais também são algébricas.

Só existem muitos números algébricos contáveis, mas existem muitos números reais incontáveis, portanto, no sentido de cardinalidade, a maioria dos números reais não são algébricos. Esta prova não construtiva de que nem todos os números reais são algébricos foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor em seu artigo de 1874 "Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais".

Números não algébricos são chamados de números transcendentes. Os números transcendentais mais conhecidos são π e e.

Números reais computáveis

Um número real é um número computável se houver um algoritmo que, dado um número natural nNão., produz uma expansão decimal para o número preciso para nNão. lugares decimais. Esta noção foi introduzida por Alan Turing em 1936.

Os números computáveis incluem os números algébricas, juntamente com muitos números transcendentais, incluindo D D - Sim. e eNão.. Como os números algébricas, os números computáveis também formam um subcampo dos números reais, e os números computáveis positivos são fechados sob tomar nNão.as raízes para cada positivo nNão..

Nem todos os números reais são computáveis. Exemplos específicos de números reais não computáveis incluem os limites das sequências de Specker e números reais aleatórios algorítmicos, como os números Ω de Chaitin.

Definibilidade em aritmética

Outra noção de definibilidade vem das teorias formais da aritmética, como a aritmética de Peano. A linguagem da aritmética tem símbolos para 0, 1, a operação sucessora, adição e multiplicação, destinados a ser interpretados da maneira usual sobre os números naturais. Uma vez que nenhuma variável dessa linguagem abrange os números reais, é necessário um tipo diferente de definição para se referir a números reais. Um número real umNão. o definido na linguagem da aritmética (ou Aritmética) se a sua Corte de dedekind pode ser definido como um predicado nessa linguagem; isto é, se houver uma fórmula de primeira ordem φ φ - Sim. na linguagem da aritmética, com três variáveis livres, tal que

A linguagem de segunda ordem da aritmética é a mesma que a linguagem de primeira ordem, exceto que variáveis e quantificadores podem abranger conjuntos de naturais. Um real que é definível de segunda ordem na linguagem da aritmética é chamado de analítico.

Todo número real computável é aritmético, e os números aritméticos formam um subcorpo dos reais, assim como os números analíticos. Todo número aritmético é analítico, mas nem todo número analítico é aritmético. Como existem apenas muitos números analíticos contáveis, a maioria dos números reais não são analíticos e, portanto, também não são aritméticos.

Todo número computável é aritmético, mas nem todo número aritmético é computável. Por exemplo, o limite de uma sequência de Specker é um número aritmético que não é computável.

As definições de realidades aritméticas e analíticas podem ser estratificadas na hierarquia aritmética e na hierarquia analítica. Em geral, um real é computável se e somente se seu Corte de Dedekind está em nível ? ? 10{displaystyle Delta _{1}^{0}} da hierarquia aritmética, um dos níveis mais baixos. Da mesma forma, os reais com cortes aritméticos Dedekind formam o nível mais baixo da hierarquia analítica.

Definibilidade em modelos de ZFC

Um número real umNão. o primeira ordem definida na linguagem da teoria dos conjuntos, sem parâmetros, se houver uma fórmula φ φ - Sim. na linguagem da teoria dos conjuntos, com uma variável livre, tal que umNão. é o número real único tal que φ φ (um)(a)} Detém. Esta noção não pode ser expressa como uma fórmula na linguagem da teoria dos conjuntos.

Todos os números analíticos, e em particular todos os números computáveis, são definidos na linguagem da teoria dos conjuntos. Assim, os números reais definidos na linguagem da teoria dos conjuntos incluem todos os números reais familiares, como 0, 1, D D - Sim., eNão., et cetera, juntamente com todos os números algébricas. Assumindo que eles formam um conjunto no modelo, os números reais definidos na linguagem da teoria dos conjuntos sobre um modelo particular de ZFC formam um campo.

Cada modelo definido MNão. da teoria de conjuntos ZFC que contém incontavelmente muitos números reais devem conter números reais que não são definidos dentro MNão. (sem parâmetros). Isso se segue do fato de que existem apenas muitas fórmulas, e assim só contavelmente muitos elementos de MNão. pode ser definido sobre MNão.. Assim, se MNão. tem incontavelmente muitos números reais, pode-se provar de "fora" MNão. que não todo número real de MNão. é definido sobre MNão..

Este argumento torna-se mais problemático se for aplicado aos modelos de classe do ZFC, como o universo von Neumann. A afirmação "o número real xNão. é definido sobre o classe modelo NNão." não pode ser expresso como uma fórmula de ZFC. Da mesma forma, a questão de saber se o universo von Neumann contém números reais que não pode definir não pode ser expressa como uma frase na linguagem do ZFC. Além disso, existem modelos contáveis de ZFC em que todos os números reais, todos os conjuntos de números reais, funções nos reais, etc são definidos.