Número de Erdős

Paul Erdős em 1992

O número Erdős (Húngaro: [ˈɛrdøːʃ]) descreve a "distância colaborativa" entre o matemático Paul Erdős e outra pessoa, conforme medido pela autoria de artigos matemáticos. O mesmo princípio foi aplicado em outros campos em que um determinado indivíduo colaborou com um grande e amplo número de pares.

Visão geral

Paul Erdős (1913–1996) foi um influente matemático húngaro que, na última parte de sua vida, passou muito tempo escrevendo artigos com um grande número de colegas, trabalhando em soluções para problemas matemáticos pendentes. Ele publicou mais artigos durante sua vida (pelo menos 1.525) do que qualquer outro matemático da história. (Leonhard Euler publicou mais páginas totais de matemática, mas menos artigos separados: cerca de 800.) Erdős passou grande parte de sua vida vivendo em uma mala, visitando mais de 500 colaboradores em todo o mundo.

A ideia do número de Erdő foi originalmente criada pelos amigos do matemático como um tributo à sua enorme produção. Mais tarde, ganhou destaque como uma ferramenta para estudar como os matemáticos cooperam para encontrar respostas para problemas não resolvidos. Vários projetos são dedicados ao estudo da conectividade entre pesquisadores, usando o número de Erdős como proxy. Por exemplo, os gráficos de colaboração de Erdő podem nos dizer como os autores se agrupam, como o número de coautores por artigo evolui ao longo do tempo ou como novas teorias se propagam.

Vários estudos mostraram que os principais matemáticos tendem a ter números de Erdős particularmente baixos. O número médio de Erdős de Medalhistas Fields é 3. Apenas 7.097 (cerca de 5% dos matemáticos com um caminho de colaboração) têm um número Erdős de 2 ou inferior. Com o passar do tempo, o número de Erdős mais baixo que ainda pode ser alcançado aumentará necessariamente, pois os matemáticos com números de Erdős baixos morrem e ficam indisponíveis para colaboração. Ainda assim, figuras históricas podem ter números de Erdős baixos. Por exemplo, o renomado matemático indiano Srinivasa Ramanujan tem um número de Erdős de apenas 3 (através de G. H. Hardy, Erdős número 2), embora Paul Erdős tivesse apenas 7 anos quando Ramanujan morreu.

Definição e aplicação em matemática

Se Alice colabora com Paul Erdős em um artigo, e com Bob em outro, mas Bob nunca colabora com o próprio Erdős, então Alice é dada um número Erdős de 1 e Bob é dado um número Erdős de 2, como ele é dois passos de Erdős.

Para receber um número de Erdős, alguém deve ser coautor de um trabalho de pesquisa com outra pessoa que tenha um número de Erdős finito. O próprio Paul Erdős recebe um número zero de Erdős. O número de Erdős de um determinado autor é um maior que o menor número de Erdős de qualquer um de seus colaboradores; por exemplo, um autor que foi co-autor de uma publicação com Erdős teria um número de Erdős de 1. A American Mathematical Society fornece uma ferramenta online gratuita para determinar a distância de colaboração entre dois autores matemáticos listados no catálogo Mathematical Reviews.

Erdős escreveu cerca de 1.500 artigos matemáticos durante sua vida, a maioria co-escritos. Teve 509 colaboradores diretos; estas são as pessoas com Erdős número 1. As pessoas que colaboraram com eles (mas não com o próprio Erdős) têm um número Erdős de 2 (12.600 pessoas em 7 de agosto de 2020), aquelas que colaboraram com pessoas que têm um número Erdős de 2 (mas não com Erdős ou qualquer um com um número Erdős de 1) têm um número Erdős de 3, e assim por diante. Uma pessoa sem essa cadeia de coautoria conectada a Erdős tem um número de Erdős infinito (ou indefinido). Desde a morte de Paul Erdős, o menor número de Erdős que um novo pesquisador pode obter é 2.

Há espaço para ambigüidade sobre o que constitui um vínculo entre dois autores. A calculadora de distância de colaboração da American Mathematical Society usa dados de Mathematical Reviews, que inclui a maioria dos periódicos de matemática, mas cobre outros assuntos apenas de forma limitada, e que também inclui algumas publicações não relacionadas à pesquisa. O site do Erdős Number Project diz:

... Uma desvantagem do sistema MR é que considera todas as obras autorizadas conjuntamente como fornecer links legítimos, mesmo artigos como obituários, que não são realmente pesquisas conjuntas....

Também diz:

... O nosso critério para a inclusão de uma margem entre os vértices u e v é alguma colaboração de pesquisa entre eles resultando em um trabalho publicado. Qualquer número de coautores adicionais é permitido,...

mas exclui publicações não relacionadas à pesquisa, como livros didáticos elementares, editoras conjuntas, obituários e similares. O "número de Erdő do segundo tipo" restringe a atribuição de números de Erdős a artigos com apenas dois colaboradores.

O número de Erdős provavelmente foi definido pela primeira vez na imprensa por Casper Goffman, um analista cujo próprio número de Erdős é 2. Goffman publicou suas observações sobre o número de Erdős' colaboração prolífica em um artigo de 1969 intitulado "E qual é o seu número de Erdős?" Veja também alguns comentários em um obituário de Michael Golomb.

O número médio de Erdős entre os medalhistas de Fields é de apenas 3. Os medalhistas de Fields com Erdős número 2 incluem Atle Selberg, Kunihiko Kodaira, Klaus Roth, Alan Baker, Enrico Bombieri, David Mumford, Charles Fefferman, William Thurston, Shing-Tung Yau, Jean Bourgain, Richard Borcherds, Manjul Bhargava, Jean-Pierre Serre e Terence Tao. Não há medalhistas de Fields com Erdős número 1; no entanto, Endre Szemerédi é um laureado com o Prêmio Abel com o número 1 de Erdős.

Colaboradores Erdős mais frequentes

Enquanto Erdős colaborou com centenas de co-autores, houve alguns indivíduos com quem ele foi co-autor de dezenas de artigos. Esta é uma lista das dez pessoas que mais frequentemente escreveram em coautoria com Erdős e o número de artigos em coautoria com Erdős (ou seja, o número de colaborações).

Campos relacionados

A partir de 2022, todos os medalhistas de Fields têm um número finito de Erdős, com valores que variam entre 2 e 6, e uma mediana de 3. Em contraste, o número médio de Erdős entre todos os matemáticos (com um número finito de Erdős) é 5, com um valor extremo de 13. A tabela abaixo resume as estatísticas do número de Erdős para ganhadores do prêmio Nobel em Física, Química, Medicina e Economia. A primeira coluna conta o número de laureados. A segunda coluna conta o número de vencedores com um número finito de Erdős. A terceira coluna é a porcentagem de vencedores com um número finito de Erdős. As colunas restantes relatam os números mínimos, máximos, médios e medianos de Erdős entre os laureados.

Física

Entre os laureados do Prêmio Nobel de Física, Albert Einstein e Sheldon Glashow têm um número Erdős de 2. Laureados do Nobel com um número Erdős de 3 incluem Enrico Fermi, Otto Stern, Wolfgang Pauli, Max Born, Willis E. Lamb, Eugene Wigner, Richard P. Feynman, Hans A. Bethe, Murray Gell-Mann, Abdus Salam, Steven Weinberg, Norman F. Ramsey, Frank Wilczek e David Wineland. O físico vencedor da Medalha Fields Ed Witten tem um número de Erdős de 3.

Biologia

O biólogo computacional Lior Pachter tem um número de Erdős de 2. O biólogo evolutivo Richard Lenski tem um número de Erdős de 3, tendo sido co-autor de uma publicação com Lior Pachter e com o matemático Bernd Sturmfels, cada um dos quais tem um número de Erdős de 2.

Finanças e economia

Existem pelo menos dois vencedores do Prêmio Nobel de Economia com um número Erdős de 2: Harry M. Markowitz (1990) e Leonid Kantorovich (1975). Outros matemáticos financeiros com número de Erdős de 2 incluem David Donoho, Marc Yor, Henry McKean, Daniel Stroock e Joseph Keller.

Laureados com o Prêmio Nobel de Economia com um número Erdős de 3 incluem Kenneth J. Arrow (1972), Milton Friedman (1976), Herbert A. Simon (1978), Gerard Debreu (1983), John Forbes Nash, Jr. (1994), James Mirrlees (1996), Daniel McFadden (2000), Daniel Kahneman (2002), Robert J. Aumann (2005), Leonid Hurwicz (2007), Roger Myerson (2007), Alvin E. Roth (2012) e Lloyd S. Shapley (2012) e Jean Tirole (2014).

Algumas empresas de investimento foram fundadas por matemáticos com números de Erdős baixos, entre eles James B. Axe, da Axcom Technologies, e James H. Simons, da Renaissance Technologies, ambos com um número de Erdős de 3.

Filosofia

Como as versões mais formais da filosofia compartilham o raciocínio com os fundamentos da matemática, esses campos se sobrepõem consideravelmente e os números de Erdő estão disponíveis para muitos filósofos. Os filósofos John P. Burgess e Brian Skyrms têm um número de Erdős igual a 2. Jon Barwise e Joel David Hamkins, ambos com número de Erdős 2, também contribuíram extensivamente para a filosofia, mas são descritos principalmente como matemáticos.

Lei

O juiz Richard Posner, em coautoria com Alvin E. Roth, tem um número de Erdős de no máximo 4. Roberto Mangabeira Unger, político, filósofo e teórico do direito que leciona na Harvard Law School, tem um número de Erdős de no máximo 4, tendo sido coautor com Lee Smolin.

Política

Angela Merkel, chanceler da Alemanha de 2005 a 2021, tem um número de Erdős de no máximo 5.

Engenharia

Alguns campos da engenharia, em particular a teoria da comunicação e a criptografia, fazem uso direto da matemática discreta defendida por Erdős. Portanto, não é surpreendente que os praticantes dessas áreas tenham números de Erdős baixos. Por exemplo, Robert McEliece, professor de engenharia elétrica na Caltech, tinha um número Erdős de 1, tendo colaborado com o próprio Erdős. Os criptógrafos Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, inventores do sistema criptográfico RSA, têm Erdős número 2.

Linguística

O matemático romeno e linguista computacional Solomon Marcus tinha um número de Erdős de 1 para um artigo na Acta Mathematica Hungarica que ele co-escreveu com Erdős em 1957.

Impacto

Paul Erdős em 1985 na Universidade de Adelaide ensinando Terence Tao, que tinha então 10 anos. Tao tornou-se professor de matemática na UCLA, recebeu a Medalha Fields em 2006, e foi eleito membro da Royal Society em 2007. O número dele é 2.

Os números de Erdő fazem parte do folclore dos matemáticos em todo o mundo há muitos anos. Entre todos os matemáticos ativos na virada do milênio que têm um número de Erdős finito, os números vão até 15, a mediana é 5 e a média é 4,65; quase todo mundo com um número de Erdős finito tem um número menor que 8. Devido à frequência muito alta de colaboração interdisciplinar na ciência hoje, um número muito grande de não-matemáticos em muitos outros campos da ciência também tem números de Erdős finitos. Por exemplo, o cientista político Steven Brams tem um número de Erdős de 2. Na pesquisa biomédica, é comum que os estatísticos estejam entre os autores de publicações, e muitos estatísticos podem ser vinculados a Erdős por meio de John Tukey, que tem um número de Erdős de 2 Da mesma forma, o proeminente geneticista Eric Lander e o matemático Daniel Kleitman colaboraram em artigos e, como Kleitman tem um número de Erdős de 1, uma grande fração da comunidade genética e genômica pode ser vinculada por meio de Lander e seus numerosos colaboradores. Da mesma forma, a colaboração com Gustavus Simmons abriu as portas para Números Erdős dentro da comunidade de pesquisa criptográfica, e muitos linguistas têm números Erdős finitos, muitos devido a cadeias de colaboração com estudiosos notáveis como Noam Chomsky (Erdős número 4), William Labov (3), Mark Liberman (3), Geoffrey Pullum (3), ou Ivan Sag (4). Há também conexões com campos de artes.

De acordo com Alex Lopez-Ortiz, todos os vencedores dos prêmios Fields e Nevanlinna durante os três ciclos de 1986 a 1994 têm números Erdős de no máximo 9.

Matemáticos anteriores publicaram menos artigos do que os modernos, e mais raramente publicaram artigos escritos em conjunto. A primeira pessoa conhecida por ter um número finito de Erdős é Antoine Lavoisier (nascido em 1743, Erdős número 13), Richard Dedekind (nascido em 1831, Erdős número 7) ou Ferdinand Georg Frobenius (nascido em 1849, Erdős número 3), dependendo do padrão de elegibilidade para publicação.

Martin Tompa propôs uma versão em grafo direcionado do problema do número de Erdős, orientando as arestas do grafo de colaboração do autor alfabeticamente anterior para o autor alfabeticamente posterior e definindo o número monótono de Erdős de um autor para seja o comprimento de um caminho mais longo de Erdős ao autor neste grafo direcionado. Ele encontra um caminho desse tipo de comprimento 12.

Além disso, Michael Barr sugere "números racionais de Erdős", generalizando a ideia de que uma pessoa que escreveu p artigos conjuntos com Erdős deve receber o número 1/ de Erdős p. A partir do multigrafo de colaboração do segundo tipo (embora ele também tenha uma maneira de lidar com o caso do primeiro tipo) – com uma aresta entre dois matemáticos para cada artigo conjunto que eles produziram – forme uma rede com um resistor de um ohm em cada borda. A resistência total entre dois nós informa o quão "próximo" esses dois nós são.

Tem sido argumentado que "para um pesquisador individual, uma medida como o número de Erdő captura as propriedades estruturais da rede, enquanto o índice h captura o impacto das citações das publicações" e que "Podemos ser facilmente convencidos de que a classificação em redes de coautoria deve levar em conta ambas as medidas para gerar uma classificação realista e aceitável"

Em 2004, William Tozier, um matemático com um número de Erdős de 4, leiloou uma co-autoria no eBay, fornecendo ao comprador um número de Erdős de 5. O lance vencedor de $ 1.031 foi postado por um matemático espanhol, que recusou pagar e só deu o lance para impedir o que considerava uma zombaria.

Variações

Várias variações do conceito foram propostas para serem aplicadas a outros campos, notadamente o número de Bacon (como no jogo Six Degrees of Kevin Bacon), conectando atores ao ator Kevin Bacon por uma cadeia de aparições conjuntas em filmes. Foi criado em 1994, 25 anos após o artigo de Goffman sobre o número de Erdős.

Um pequeno número de pessoas está conectado a ambos Erdős e Bacon e, portanto, tem um número Erdős–Bacon, que combina os dois números tomando sua soma. Um exemplo é a atriz e matemática Danica McKellar, mais conhecida por interpretar Winnie Cooper na série de TV The Wonder Years. O número de Erdő dela é 4 e o número de Bacon é 2.

Extensões adicionais são possíveis. Por exemplo, o número "Erdős–Bacon–Sabbath" é a soma do número Erdős-Bacon e a distância colaborativa para a banda Black Sabbath em termos de cantar em público. O físico Stephen Hawking tinha um número de Erdős-Bacon-Sabbath de 8, e a atriz Natalie Portman tem um de 11 (seu número de Erdős é 5).

No xadrez, o número de Morphy descreve a conexão de um jogador com Paul Morphy, amplamente considerado o maior jogador de xadrez de seu tempo e um campeão mundial de xadrez não oficial.

Em videogames, o número Ryu descreve a conexão de um personagem de videogame com Ryu, personagem de Street Fighter.