Número de Bernoulli

Na matemática, os números de Bernoulli B_n são uma sequência de números racionais que ocorrem frequentemente na análise. Os números de Bernoulli aparecem (e podem ser definidos por) nas expansões em série de Taylor das funções tangente e tangente hiperbólica, na fórmula de Faulhaber para a soma de m-ésimas potências do primeiro < i>n inteiros positivos, na fórmula de Euler-Maclaurin, e em expressões para certos valores da função zeta de Riemann.

Os valores dos primeiros 20 números Bernoulli são dados na tabela adjacente. Duas convenções são usadas na literatura, denotadas aqui por $Não. B_{n}^{-{}}}$ e $Não. B_{n}^{+{}}}$; eles diferem apenas para n = 1, onde $Não. B_{1}^{-{}}=-1/2}$ e $Não. B_{1}^{+{}}=+1/2}$. Para todas as probabilidades n > 1, B_n = 0. Para todos n > 0, B_n é negativo se n é divisível por 4 e positivo de outra forma. Os números Bernoulli são valores especiais dos polinômios Bernoulli $(x)}$, com $Não. B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ e $Não. B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$.

Os números de Bernoulli foram descobertos na mesma época pelo matemático suíço Jacob Bernoulli, que deu nome a eles, e de forma independente pelo matemático japonês Seki Takakazu. A descoberta de Seki foi publicada postumamente em 1712 em sua obra Katsuyō Sanpō; Bernoulli, também postumamente, em seu Ars Conjectandi de 1713. A nota G de Ada Lovelace na Máquina Analítica de 1842 descreve um algoritmo para gerar números de Bernoulli com os de Babbage máquina. Como resultado, os números de Bernoulli têm a distinção de ser o assunto do primeiro programa de computador complexo publicado.

Notação

O sobrescrito ± usado neste artigo distingue as duas convenções de sinais para números de Bernoulli. Apenas o termo n = 1 é afetado:

• B^{- Sim.}
  _n com B^{- Sim.}
  ₁ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/2 (OEIS: A027641 / OEIS: A027642) é a convenção de sinais prescrita por NIST e a maioria dos livros de texto modernos.
• B⁺
  _n com B⁺
  ₁ = +1/2 (OEIS: A164555 / OEIS: A027642) foi usado na literatura mais antiga, e (desde 2022) por Donald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas abaixo, pode-se alternar de uma convenção de sinal para a outra com a relação $Não. B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$, ou para inteiro n = 2 ou superior, simplesmente ignorá-lo.

Como B_n = 0 para todo n > 1, e muitas fórmulas envolvem apenas números de Bernoulli de índice par, alguns autores escrevem "B_n" em vez de B_2n . Este artigo não segue essa notação.

História

História inicial

Os números de Bernoulli estão enraizados no início da história do cálculo de somas de potências inteiras, que têm sido de interesse dos matemáticos desde a antiguidade.

Uma página de Seki Takakazu's Katsuyō Sanpō (1712), tabulando coeficientes binomiais e números Bernoulli

Métodos para calcular a soma dos primeiros n inteiros positivos, a soma dos quadrados e dos cubos do primeiro n inteiros positivos eram conhecidos, mas não havia 'fórmulas' reais, apenas descrições dadas inteiramente em palavras. Entre os grandes matemáticos da antiguidade que consideraram esse problema estavam Pitágoras (c. 572–497 AEC, Grécia), Arquimedes (287–212 AEC, Itália), Aryabhata (n. 476, Índia), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Pérsia) e Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965–1039, Iraque).

Durante o final do século XVI e início do século XVII, os matemáticos fizeram progressos significativos. No Ocidente, Thomas Harriot (1560–1621) da Inglaterra, Johann Faulhaber (1580–1635) da Alemanha, Pierre de Fermat (1601–1665) e o colega matemático francês Blaise Pascal (1623–1662) desempenharam papéis importantes.

Thomas Harriot parece ter sido o primeiro a derivar e escrever fórmulas para somas de potências usando notação simbólica, mas mesmo ele calculou apenas até a soma das quartas potências. Johann Faulhaber deu fórmulas para somas de potências até a 17ª potência em sua Academia Algebrae de 1631, muito maior do que qualquer um antes dele, mas ele não deu uma fórmula geral.

Blaise Pascal em 1654 provou a identidade de Pascal relacionando as somas das pésimas potências da primeira n inteiros positivos para p = 0, 1, 2,..., k.

O matemático suíço Jakob Bernoulli (1654–1705) foi o primeiro a perceber a existência de uma única sequência de constantes B₀, B₁, B₂,... que fornecem uma fórmula uniforme para todas as somas de poderes.

A alegria que Bernoulli experimentou quando descobriu o padrão necessário para calcular rápida e facilmente os coeficientes de sua fórmula para a soma do c< /span>ésimas potências para qualquer número inteiro positivo c podem ser vistas em seu comentário. Ele escreveu:

"Com a ajuda desta tabela, demorei menos de metade de um quarto de uma hora para descobrir que as décimas potências dos primeiros 1000 números que estão sendo adicionados juntos renderão a soma 91.409,924,241.424,243,424,241,924,242,500."

O resultado de Bernoulli foi publicado postumamente em Ars Conjectandi em 1713. Seki Takakazu descobriu independentemente os números de Bernoulli e seu resultado foi publicado um ano antes, também postumamente, em 1712. No entanto, Seki não apresentou seu método como uma fórmula baseada em uma sequência de constantes.

A fórmula de Bernoulli para somas de potências é a formulação mais útil e generalizável até hoje. Os coeficientes na fórmula de Bernoulli são agora chamados de números de Bernoulli, seguindo uma sugestão de Abraham de Moivre.

A fórmula de Bernoulli às vezes é chamada de fórmula de Faulhaber em homenagem a Johann Faulhaber, que encontrou maneiras notáveis de calcular a soma de potências, mas nunca declarou a fórmula de Bernoulli. De acordo com Knuth, uma prova rigorosa da fórmula de Faulhaber foi publicada pela primeira vez por Carl Jacobi em 1834. O estudo aprofundado de Knuth sobre a fórmula de Faulhaber conclui (a notação fora do padrão no LHS é explicada mais adiante):

"Faulhaber nunca descobriu os números Bernoulli; ou seja, ele nunca percebeu que uma única sequência de constantes B₀, B₁, B₂, ... forneceria um uniforme

$- Sim. {1}{m+1}}left(B_{0}n^{m+1}-{binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-cdots +(-1)^{m}{binom {m+1}{m}}B_{m}nright)}$

para todas as somas de poderes. Ele nunca mencionou, por exemplo, o fato de que quase metade dos coeficientes acabou sendo zero depois de ter convertido suas fórmulas para Σ n^m de polinômios em N para polinômios em n"

No Knuth acima significava $Não. B_{1}^{-}}$; em vez de usar $Não. B_{1}^{+}}$ a fórmula evita subtração:

$- Sim. {1}{m+1}left (B_{0}n^{m+1+{binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+cdots + {m+1}{m}}B_{m}nright).}$

Reconstrução do "Summae Potestatum"

Jakob Bernoulli "Summae Potestatum", 1713

Os números de Bernoulli OEIS: A164555(n)/OEIS: A027642(n) foram introduzidos por Jakob Bernoulli no livro Ars Conjectandi publicado postumamente em 1713 página 97. A fórmula principal pode ser vista na segunda metade do fac-símile correspondente. Os coeficientes constantes denotados A, B, C e D de Bernoulli são mapeados para a notação que agora prevalece como < span class="texhtml">A = B₂, B = B₄, C = B ₆, D = B₈. A expressão c·c−1·c−2·c− 3 significa c·(c−1)·(c−2)·(c−3) – os pequenos pontos são usados como símbolos de agrupamento. Usando a terminologia atual, essas expressões são potências fatoriais decrescentes c^k. A notação fatorial k! como um atalho para 1 × 2 ×... × k não foi introduzido até 100 anos depois. O símbolo integral no lado esquerdo remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz em 1675, que o usava como uma letra longa S para "summa&# 34; (soma). A letra n no lado esquerdo não é um índice de soma, mas dá o limite superior do intervalo de soma que deve ser entendido como < span class="texhtml">1, 2,..., n. Juntando as coisas, para c positivo, hoje um matemático provavelmente escreverá a fórmula de Bernoulli como:

${displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{c}={frac {n^{c+1}}{c+1}}+{frac {1}{2}}n^{c}+sum _{k=2}^{c}{frac {B_{k}}{k!}}c^{underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Esta fórmula sugere definir B₁ = 1/2 ao mudar de modo -chamado 'arcaico' enumeração que usa apenas os índices pares 2, 4, 6... para a forma moderna (mais sobre diferentes convenções no próximo parágrafo). O mais impressionante neste contexto é o fato de que o fatorial descendente c^k−1 tem para k = 0 o valor 1/ c + 1. Assim, a fórmula de Bernoulli pode ser escrita

${displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{c}=sum _{k=0}^{c}{frac {B_{k}}{k!}}c^{underline (k-1}}n^{c-k+1}}$

se B₁ = 1/2, recapturando o valor que Bernoulli deu ao coeficiente naquela posição.

A fórmula para ${displaystyle textstyle sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ na primeira metade da cotação de Bernoulli acima contém um erro no último prazo; deve ser $(3}{20}}n^{2}}$ em vez de $(1}{12}}n^{2}}$.

Definições

Muitas caracterizações dos números de Bernoulli foram encontradas nos últimos 300 anos, e cada uma delas pode ser usada para apresentar esses números. Aqui apenas três dos mais úteis são mencionados:

• uma equação recursiva,
• uma fórmula explícita,
• uma função geradora.

Para a prova da equivalência das três abordagens.

Definição recursiva

Os números de Bernoulli obedecem às fórmulas de soma

${displaystyle {begin{aligned}sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=delta _{m,0}\sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1end{aligned}}}$

Onde? $Não.$ e δ denota o delta de Kronecker. Vendendo para $Não. B_{m}^{mp Não.$ dá as fórmulas recursivas

${displaystyle {begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=delta _{m,0}-sum _{k=0}^{m-1} - Não. {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}B_{m}^{+}&=1-sum _{k=0}^{m-1} - Não. {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.end{aligned}}}$

Definição explícita

Em 1893, Louis Saalschütz listou um total de 38 fórmulas explícitas para os números Bernoulli, geralmente dando alguma referência na literatura mais antiga. Um deles é (para ${displaystyle mgeq 1}$:

${displaystyle {begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=sum _{k=0}^{m}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{binom {k}{v}}{frac {v^{m}}{k+1}}B_{m}^{+}&=sum _{k=0}^{m}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{binom {k}{v}}{frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.end{aligned}}}$

Função de geração

As funções geradoras exponenciais são

$Não. {t}{e^{t}-1}}&={frac {t}{2}}left(operatorname {coth} {t}{2}}-1right)&&=sum _{m=0}^{infty }{frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}{frac {t}{1-e^{-t}}}&={frac {t}{2}}left(operatorname {coth} {t}{2}}+1right)&=sum _{m=0}^{infty }{frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}end{alignedat}}}$

onde a substituição é $Não.$.

A função geradora (comum)

${displaystyle z^{-1}psi _{1}(z^{-1})=sum _{m=0}^{infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

é uma série assintótica. Ele contém a função trigamma ψ₁.

Números de Bernoulli e a função zeta de Riemann

Os números Bernoulli como dado pela função zeta de Riemann.

Os números de Bernoulli podem ser expressos em termos da função zeta de Riemann:

B⁺
_n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.(1-) n) para n ≥ 1.

Aqui o argumento da função zeta é 0 ou negativo.

Através da equação funcional zeta e da fórmula de reflexão gama pode-se obter a seguinte relação:

$Não. B_{2n}={frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2pi)^{2n}}}zeta (2n)quad }$ para n ≥ 1.

Agora o argumento da função zeta é positivo.

Segue então de ζ → 1 (n → ∞) e a fórmula de Stirling que

${displaystyle |B_{2n}|sim 4{sqrt {pi n}}left({frac {n}{pi e}}right)^{2n}quad }$ para n → ∞.

Cálculo eficiente de números de Bernoulli

Em algumas aplicações, é útil poder calcular os números de Bernoulli B₀ até B_{p − 3} módulo p, onde p é primo; por exemplo, para testar se a conjectura de Vandiver é válida para p, ou mesmo apenas para determinar se p é um primo irregular. Não é viável realizar tal cálculo usando as fórmulas recursivas acima, pois pelo menos (um múltiplo constante de) p²< /span> operações aritméticas seriam necessárias. Felizmente, foram desenvolvidos métodos mais rápidos que requerem apenas O(p (log p)² ) operações (consulte a notação O grande).

David Harvey descreve um algoritmo para calcular números de Bernoulli calculando B_n módulo p para muitos primos pequenos p e, em seguida, reconstruindo B_n por meio do teorema chinês do resto. Harvey escreve que a complexidade de tempo assintótica deste algoritmo é O(n² log(n )^{2 + ε}) e afirma que essa implementação é significativamente mais rápida do que implementações baseadas em outros métodos. Usando essa implementação, Harvey calculou B_n para < i>n = 10⁸. A implementação do Harvey foi incluída no SageMath desde a versão 3.1. Antes disso, Bernd Kellner calculou B_n com precisão total para n = 10⁶ em dezembro de 2002 e Oleksandr Pavlyk por n = 10⁷ com o Mathematica em abril de 2008.

Computador	Ano	n	Digitas*
J. Bernoulli	1689	10.	1
L. Euler	1748	30	8
J. C. Adams	1878	62	36
D. E. Knuth, T. J. Buckholtz	1967	1672	3330
G. Taxa, S. Plouffe	1996	10.)	27677
G. Taxa, S. Plouffe	1996	100.)	376755
B. C. Kellner	2002	1))	4767529
O. Pavlyk	2008	10.))	57675260
D. Harvey	2008	100.))	676752569

* Digitalização é para ser entendido como o expoente de 10 quando B_n é escrito como um número real na notação científica normalizada.

Um possível algoritmo para calcular os números de Bernoulli na linguagem de programação Julia é dado por

b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Array(Float64Não.em defesa, n+1)b)Não.1] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1b)Não.2] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - Não.0,5para m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2:n para k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0:m para v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0:k b)Não.m+1] - Sim. (- Não.1)^v * binomial(k,v) * v^(m) / (k+1) fim fimfimretorno b)

Aplicações dos números de Bernoulli

Análise assintótica

Indiscutivelmente, a aplicação mais importante dos números de Bernoulli em matemática é seu uso na fórmula de Euler-Maclaurin. Assumindo que f é uma função diferenciável com frequência suficiente, a fórmula de Euler-Maclaurin pode ser escrita como

${displaystyle sum _{k=a}^{b-1}f(k)=int _{a}^{b}f(x),dx+sum _{k=1}^{m}{frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m). ?$

Esta formulação assume a convenção B^-
₁ = −1/2< /span>. Usando a convenção B⁺
₁ = +< span class="num">1/2 a fórmula torna-se

${displaystyle sum _{k=a+1}^{b}f(k)=int _{a}^{b}f(x),dx+sum _{k=1}^{m}{frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m). ?$

Aqui. $(0)}=f}$ (isto é, o derivado da ordem zero $Não.$ É só... $Não.$). Além disso, deixe ${displaystyle f^{(-1)}}$ denote um antiderivado de $Não.$. Pelo teorema fundamental do cálculo,

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a). ?$

Assim, a última fórmula pode ser ainda mais simplificada para a seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

${displaystyle sum _{k=a}^{b}f(k)=sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)))+R(f,m). ?$

Esta forma é, por exemplo, a fonte para a importante expansão de Euler-Maclaurin da função zeta

${displaystyle {begin{aligned}zeta (s)&=sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{overline {k-1}}+R(s,m)&={frac {B_{0}}{0!}}s^{overline {-1}+{frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{overline {0}+ {B_{2}}{2!}}s^{overline {1}}+cdots +R(s,m)&={frac {1}{s-1}+{frac {1}{2}+{frac {1}{12}}s+cdots +R(s,m).end{aligned}}}$

Aqui s^k denota a potência fatorial crescente.

Os números de Bernoulli também são frequentemente usados em outros tipos de expansões assintóticas. O exemplo a seguir é a expansão assintótica clássica do tipo Poincaré da função digamma ψ.

${displaystyle psi (z)sim ln z-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}}}}}$

Soma de potências

Os números de Bernoulli aparecem com destaque na expressão de forma fechada da soma das mésimas potências da primeira n inteiros positivos. Para m, n ≥ 0 defina

$(n)=sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+cdots +n^{m}$

Esta expressão sempre pode ser reescrita como um polinômio em n de grau m + 1. Os coeficientes desses polinômios estão relacionados aos números de Bernoulli pela fórmula de Bernoulli:

$(n)={frac {1}{m+1} _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

onde (^{< i>m + 1}
_{k< /sub>}) denota o coeficiente binomial.

Por exemplo, tomar m como 1 fornece os números triangulares 0, 1, 3, 6,... OEIS: A000217.

${displaystyle 1+2+cdots - Sim. {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Tomar m como 2 fornece os números piramidais quadrados 0, 1, 5, 14,... OEIS: A000330.

$Não. 1^{2}+2^{2}+cdots - Sim. {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={tfrac {1}{3}}left(n^{3}+{tfrac {3}{2}}n^{2}+{tfrac {1}{2}}nright).}$

Alguns autores usam a convenção alternativa para números de Bernoulli e expressam a fórmula de Bernoulli desta forma:

$(n)={frac {1}{m+1} _{k=0}^{m}(-1)^{k}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

A fórmula de Bernoulli às vezes é chamada de fórmula de Faulhaber em homenagem a Johann Faulhaber, que também descobriu maneiras notáveis de calcular somas de potências.

A fórmula de Faulhaber foi generalizada por V. Guo e J. Zeng para um q-analógico.

Série Taylor

Os números de Bernoulli aparecem na expansão em série de Taylor de muitas funções trigonométricas e funções hiperbólicas.

Tangente.

${displaystyle {begin{aligned}tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)};x^{2n-1},&left|xright|&<{frac {pi }{2}}\end{aligned}}}$

Cotanoso.

${displaystyle {begin{aligned}cot x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad 0<|x$

Tangente hiperbólico

${displaystyle {begin{aligned}tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)}};x^{2n-1},&|x|&<{frac {pi }{2}}.end{aligned}}}$

Cotanagem hiperbólica

${displaystyle {begin{aligned}coth x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad qquad 0<|x|$

Série Laurent

Os números de Bernoulli aparecem na seguinte série de Laurent:

Função de Digamma: ${displaystyle psi (z)=ln z-sum _{k=1}^{infty ? {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}}}}}$

Uso em topologia

A fórmula de Kervaire–Milnor para a ordem do grupo cíclico de classes de difeomorfismo de esferas exóticas (4n − 1) que limitam variedades paralelizáveis envolve números de Bernoulli. Seja ES_n o número dessas esferas exóticas para n ≥ 2, então

${displaystyle {textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})operatorname {Numerator} left({frac {B_{4n}}{4n}}right).}$

O teorema da assinatura de Hirzebruch para o gênero L de uma variedade fechada de orientação suave de dimensão 4n também envolve números de Bernoulli.

Conexões com números combinatórios

A conexão do número de Bernoulli com vários tipos de números combinatórios é baseada na teoria clássica das diferenças finitas e na interpretação combinatória dos números de Bernoulli como uma instância de um princípio combinatório fundamental, o princípio de inclusão-exclusão.

Conexão com números Worpitzky

A definição a seguir foi desenvolvida por Julius Worpitzky em 1883. Além da aritmética elementar, apenas a função fatorial n! e a função de potência k^m é empregado. Os números de Worpitzky sem sinal são definidos como

$Não. W_{n,k}=sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

Eles também podem ser expressos através dos números de Stirling do segundo tipo

$Não. W_{n,k}=k!left{n+1 atop k+1}right}.$

Um número de Bernoulli é então introduzido como uma soma de inclusão-exclusão de números de Worpitzky ponderados pela sequência harmônica 1, 1/2, < span class="num">1/3,...

$Não. B_{n}=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{frac {W_{n,k}}{k+1}} = sum _{k=0}^{n}{frac {1}{k+1}}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k choose v}.}$

B₀ = 1

B₁ = 1 − 1/2

B₂ = 1 − 3/2 + 2/3

B₃ = 1 − 7/2 + 12/3 - Sim. 6/4

B₄ = 1 − 15/2 + 50/3 - Sim. 60/4 + 24./5

B₅ = 1 − 31/2 + 180/3 - Sim. 390/4 + 360./5 - Sim. 120/6

B₆ = 1 − 63/2 + 602/3 - Sim. 2100/4 + 3360/5 - Sim. 2520/6 + 720/7

Esta representação tem B⁺< br/>₁ = +1/2.

Considere a sequência s_n, n ≥ 0. Dos números de Worpitzky OEIS: A028246, OEIS: A163626 aplicado a s₀, s₀, s₁, s₀, s₁, s₂, s₀, s₁, s_{2, s3,...} é idêntico à transformação Akiyama–Tanigawa aplicada a s< sub>n (veja Conexão com números Stirling do primeiro tipo). Isso pode ser visto através da tabela:

Identidade
A representação de Worpitzky e a transformação de Akiyama-Tanigawa

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	- Sim.					0	2	-2				0	0	3	-3			0	0	0	4	-4
1	-3	2				0	4	- Sim.	6			0	0	9	- Sim.	12
1	-7	12	-6			0	8	-38	54	- 24.
1	- 15.	50	- 60.	24.

A primeira linha representa s₀, s₁, < i>s₂, s₃, s₄< /span>.

Portanto, para os segundos números fracionários de Euler OEIS: A198631 (n) / < span class="nowrap external">OEIS: A006519 (n + 1):

E₀ = 1

E₁ = 1 − 1/2

E₂ = 1 − 3/2 + 2/4

E₃ = 1 − 7/2 + 12/4 - Sim. 6/8

E₄ = 1 − 15/2 + 50/4 - Sim. 60/8 + 24./16.

E₅ = 1 − 31/2 + 180/4 - Sim. 390/8 + 360./16. - Sim. 120/32

E₆ = 1 − 63/2 + 602/4 - Sim. 2100/8 + 3360/16. - Sim. 2520/32 + 720/64

Uma segunda fórmula que representa os números de Bernoulli pelos números de Worpitzky é para n ≥ 1

$Não. B_{n] {n}{2^{n+1}-2}}sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k},W_{n-1,k}.$

A segunda representação simplificada de Worpitzky dos segundos números de Bernoulli é:

OEIS: A164555 (n + 1) / OEIS: A027642(n + 1) = n + 1/2^{n + 2} − 2 × OEIS: A198631(n) / OEIS: A006519(< i>n + 1)

que liga os segundos números de Bernoulli aos segundos números fracionários de Euler. O começo é:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42...1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21,... 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2,...

Os numeradores dos primeiros parênteses são OEIS: A111701 (consulte Conexão com números Stirling do primeiro tipo).

Conexão com números de Stirling de segundo tipo

Se S(k,m) denota números de Stirling do segundo tipo então tem-se:

$Não. j^{k}=sum _{m=0}^{k}{j^{underline {m}}}S(k,m)}$

onde j^m denota o fatorial descendente.

Se alguém definir os polinômios de Bernoulli B_k(j) como:

$Não. B_{k}(j)=ksum _{m=0}^{k-1} {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

onde B_k para k = 0, 1, 2,... são os números de Bernoulli.

Depois da seguinte propriedade do coeficiente binomial:

${displaystyle {binom {j}{m}}={binom - Sim. Não.$

um tem,

${displaystyle j^{k}={frac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}.}$

Também temos o seguinte para polinômios de Bernoulli,

${displaystyle B_{k}(j)=sum _{n=0}^{k}{binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

O coeficiente de j em ( ^j
_{m + 1})< /span> é (−1)^{m< /sup>}/m + 1.

Comparando o coeficiente de j nas duas expressões de polinômios de Bernoulli, tem-se:

${displaystyle B_{k}=sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{frac (m!}{m+1}}S(k,m)}$

(resultando em B₁ = +1/2) que é um explícito fórmula para números de Bernoulli e pode ser usada para provar o teorema de Von-Staudt Clausen.

Conexão com números Stirling de primeiro tipo

As duas principais fórmulas relacionadas aos números de Stirling sem sinal do primeiro tipo [ⁿ
_m] elevado aos números de Bernoulli (com B₁ = +1/2) são

${displaystyle {frac {1}{m!}}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}left[{m+1 atop k+1}right] B_{k}={frac {1}{m+1}},}$

e a inversão dessa soma (para n ≥ 0, m ≥ 0)

${displaystyle {frac {1}{m!}}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}left[{m+1 atop k+1}right] B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Aqui o número A_n,m são os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros dos quais são exibidos na tabela a seguir.

Akiyama–Tanigawa número

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20.	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	- Sim.1/30	...	...	...	...

Os números de Akiyama–Tanigawa satisfazem uma relação de recorrência simples que pode ser explorada para calcular iterativamente os números de Bernoulli. Isso leva ao algoritmo mostrado na seção 'descrição algorítmica' acima. Consulte OEIS: A051714/OEIS: A051715.

Uma autosequência é uma sequência que tem sua transformada binomial inversa igual à sequência sinalizada. Se a diagonal principal for zeros = OEIS: A000004, a autosequência é do primeiro tipo. Exemplo: OEIS: A000045, os números de Fibonacci. Se a diagonal principal for a primeira diagonal superior multiplicada por 2, ela é do segundo tipo. Exemplo: OEIS: A164555/OEIS: A027642, o segundo número de Bernoulli (consulte OEIS: A190339). A transformação Akiyama–Tanigawa aplicada a 2^-n = 1/OEIS: A000079 leva a OEIS: A198631 (n) / OEIS: A06519 (n + 1). Por isso:

Akiyama–Tanigawa transforma-se para o segundo Euler números

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16.
1	1/2	1/2	3/8	1/4	...
2	0	1/4	3/8	...	...
3	- Sim.1/4	- Sim.1/4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

Consulte OEIS: A209308 e OEIS: A227577. OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1) são os segundos números de Euler (fracionários) e uma sequência automática de segundo tipo.

(OEIS: A164555 (n + 2)/OEIS: A027642 (n + 2) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42,) × (2^{n + 3} - 2/n + 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3, 14/3, 15/2, 62/521...) = OEIS: A198631 (n + 1)/OEIS: A006519 (n + 2) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2,.

Também valioso para OEIS: A027641 / OEIS: A027642 (consulte Conexão com números Worpitzky).

Conexão com o triângulo de Pascal

Existem fórmulas que ligam o triângulo de Pascal aos números de Bernoulli

$Não. B_{n}^{+}={frac {|A_{n}|{(n+1)!}}~~}$

Onde? $|A_{n}|}$ é o determinante de uma parte matriz n-by-n Hessenberg do triângulo de Pascal cujos elementos são: $Não. a_{i,k}={begin{cases}0&{text{if }}k>1+i\{i+1 choose k-1}&{text{otherwise}}end{cases}}}$

Exemplo:

$Não. B_{6}^{+}={frac {det {begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\1&3&0&0&0\1&4&6&4&0&0&0$